Unidad-I

INGENIERÍA MECÁNICA

MATERIA:

ALGEBRA LINEAL

SEMESTRE-GRUPO:

II GRUPO UNICO

PRODUCTO ACADÉMICO:

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS DE LA UNIDAD I

PRESENTA:

ALEXIS CANO ENRIQUEZ.146Z0107JAIR PADRÓN CRUZ. 146Z0132

GUILLERMO JOSE YEPEZ GARCIA.146Z041RAMON LUIS FELIPE. 146Z0113

JUANLUIS HERRERA ALVARADO. 146Z0123FRANCISCO RAFAEL HERMIDA CORTEZ. 146Z0119

DOCENTE:

ING. MAGDARELY VAZQUEZ CASTAN

H. Y G. ALVARADO, VER. 26 DE FEBRERO DEL 2015

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

DE ALVARADO

Algebra lineal 26 de febrero de 2015

INDICE

Tema pagina

Introducción………………………………………………………………………………. 3

1.1 Definición y origen de los números complejos…………………………………… 6

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos………………………….. 8

1.3 Potencias de “i” modulo o valor absoluto. ……………………………………… 13

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo…………………………… 16

1.5 Teorema de Moirre, potencias y extracción de raíces de un número complejo…………………………………………………………………………………. 25

1.6 Ecuaciones polinómicas. …………………………………………………………. 26

Conclusión………………………………………………………………………………. 28

UNIDAD I 2


INTRODUCCION

El siguiente trabajo es resultado de lo realizado en la primera unidad de la materia de algebra lineal donde aprenderemos todo acerca de los números complejos los cuales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo.

El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.

Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales).

Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.

Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.

Esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton. Todo esto es lo que se verá en esta unidad.

UNIDAD I 3


TEMAS UNIDAD I

Números complejos

Definición y origen de los números complejos. Operaciones fundamentales con números complejos. Potencias de “i” modulo o valor absoluto. Forma polar y exponencial de un número complejo. Teorema de Moirre, potencias y extracción de raíces de un número

complejo. Ecuaciones polinómicas.

Criterios de evaluación

Investigación temática----------------------------------------------------- 20%

Ejercicios en clase y extra clase---------------------------------------- 30%

Investigación de tema----------------------------------------------------- 10%

Examen escrito-------------------------------------------------------------- 40%

UNIDAD I 4


Definición de un número complejo

Tarea

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Ilustración del plano complejo

UNIDAD I 5

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Representaci.C3.B3n_polar

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_algebraicamente_cerrado

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real


Números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Ejemplo: 4+5i

Hallar Z1+Z2 donde Z1 = (3,2) y Z2 = (4,-1)

(3,2) + (4,-1) = (12,1)

Hallar Z1 x Z2 donde Z1 = (3,2) y Z2 = (4,-1)

(3,2) (4,-1) = (7,-2)

¿Qué es un número complejo?

Llamamos conjunto de números complejos y los denotamos con la letra “C” al conjunto de los pares de los números reales (a, b) en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c) (b + d) Multiplicación: (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Ejemplo:

A) (2, 1) + (0, -3) = (2+0) + (1-3) = (2, -2)B) (2, 1) (0, -3) = (2(0)-1(-3),2(-3)+1(0)) = 0+3, -6+0 = (3, -6)C) (2, 1) + (0, 2) = (2+0), (1+2) = (2, 3)D) (3, 0) + (-2, 3) = (3-2, 0+3) = (1, 3)

i=1

i=❑√−1

12 = (❑√−1)2= -1

12= -1

UNIDAD I 6


Z= a+b|i números complejos

A y B son números reales

b. i son números imaginarios

Z = a + bi donde: “i” es la parte imaginaria y “b” la parte real.

Números complejos: un numero complejo es un ordenado de números denotados por (a, bi) o (a + bi) y se puede aplicar las reglas de la aritmética que es la suma, división, restas, o exponencial.

Ejemplo de notación.

Par ordenado Notación equivalente1 (3, 4) 3+ 4i2 (-1, 2) -1+2i3 (0, 1) 0+1i = i4 (2, 1) 2+0i = 25 (4, -2) 4+(-2i) = 4-2i

UNIDAD I 7


1.2 operaciones fundamenta con números complejos

(a+bi) numero complejo. Forma binomica o compleja.

Suma: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i puesto que a,b,c,d son números reales.

Multiplicación: (a+bi) (c+di)= ac+adi+ bci+ bdi2

Ejemplo:

Si z1 (3,2) y z2 (4,-1)

Si z1+z2=

(3+2i)+ (4-1)= (7+i)

Ahora tenemos:

Z1.Z2 =

(3+2i) (4-i)= 12-3i+8i-2i2

Ejemplo:

(4+2i) (3-i)= 12-4i+6i-2i2

Ejemplo:

(5+1i)(2-3i)=10-15i+2i-3i2

Ejemplo:

(5+3i)(8+4i)= 40+20i+24i+12i2

UNIDAD I 8


Conjugado de un número complejo

Im

(3,4)

Z

Re

z

(3,-4)

Si z= x+yi es un numero complejo, llamaremos conjugado del número z al número z=x-y, es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.

UNIDAD I 9


División de números complejo

Z 1Z 2

= a+bic+di =

a+bic+di ▪

c−dic−di=

ac+bd+(−ad+bc ) ic2+d2 =

ac+bd+(−ad+bc ) i¿ z ¿2

La división de número complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador.

Ejemplo 1:

a) Z1= -2 -3i y Z2 = -1+2i hallar a) Z

Z= -1-2i

y

-1+2i

x

-1-2i

b) Z 1Z 2

= 2−3 i−1+2i

▪ −1−2 i−1−2 i

= −2−4 i+3i+6 i2

1+2i−2i−4 i2 =

2−i+6 i2

i−4 i2 =

2−i+6(−1)1−4 (−1) =

−2−i−61+4

=

−8−i5

UNIDAD I 10


Ejemplo:

Dados z1= 2-3i z2= -1 -3i

Halle: a) z 2 y z1z2

a) = -1-3i

b) = 2−3 i

−1+3i =

−1−3 i−1−3 i

=2−6 i+3 i−9 i2

1+3 i−3 i−9 i2=

−2−6 i+3 i+9(−1)1+3 i−3 i (−1 )

= −11−3 i

1+9 =

−1110

−3 i10

Ejercicios de extra clase:

Sean c1= 3+4i c2 = 1-2i c3 = -1+ i

a) C1+ c2 = (3+4i) + (1-2i)= 4+2i

b) C3 – c2 = (-1+i) – (3+4i) = -4-3i

c) c1 c2 = 3-6i+4i-8i2 = 3-2i-8i2 = 3-2i-8(-1) = 3-2i+8 =11-2i

d) c2 c3 = (1-2i) (-3+1) = -1+i+2i-2i2 = -1+i+2i-2i2 = -3+3i-2i2 = -1+3i+2 = 1+3i

e) 4c3 + c2 = 4(1-2i) (1-2i) = (-4+4i) + (1-2i) = -3+2i

UNIDAD I 11


f) c1c2

= 3+4 i1−2 i

▪ 1+2i1+2i

= 3+6 i+4 i+8 i2

1+2i−2 i−4 i2 =

3+10 i+8i2

1−4 i2 =

3+10 i+8(−1)1−4(−1)

= 3+10 i−8

1+4=

−5+10 i5

= −55

+ 10i5

Ejemplo:

Calcule el conjugado de los siguientes números complejos.

a) 3 - 4i = 3+4i

b) -3+8i = -3-8i

c) -7i = 7i

d) 6+7i = 6-7i

UNIDAD I 12


1.3 Potencias de i modulo o valor absoluto de un numero complejo

Las potencias de i

i1 = √−1= i i5 = i4 ▪ i = 1 ▪ i = i

i2 = ( √−1 )2 = - 1 i6 = i5 ▪ i = i ▪ i = i2 = -1

i3 = i2 ▪ i = - 1 – i = - i i7 = i6 ▪ i = -1 ▪ i = - 1

i4 = i2▪ i2 = ( - 1 ) ( - 1 ) = 1 i8 = i7 ▪ i = - i ▪ i = - i2 = 1

Veamos que las potencias de i se repiten cada 4.Para hallar in , basta división entera será el nuevo exponente al ser el divisor 4, el resto solo puede valer 0, 1, 2 o 3.

Modulo y argumento de un numero complejo Sea z = (a+b) = a+bi un numero complejo cualquiera. Llamaremos modulo del

número complejo 2, al número real dado por la √a2+b2 y lo denotaremos por z.

El modulo se interpreta como la distancia al origen del número. (Grafica 2).Por otra parte, llamaremos argumento de numero complejo z = a+bi, al argumento comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a z. El argumento de 2 se denota por arg (z)

Se le calcula mediante la expresión arg (z) = arctang (ab

).

Im

B

Z

Arg (z)

A Re

Grafica 2: modulo y argumento de un numero complejo.

Propiedad: z z = I z I 2

UNIDAD I 13


Demostración

z z= (a+bi) (a –bi) = a2 – abi + abi –b2i2 .

Dónde: b2 = b2 y i2 = - 1

= (a2 + b2) + (-ab + ab) = a2 + b2 + 0i

=a2 + b2 = IzI2

Ejemplo:

Asi para afectuar i243 haremos:

2344

= 60 y el resto es = a 3, entonces quedaría como i3 = i2 ▪ i = (- 1) (i) = - 1


1. calcular las siguientes potencias “ i ”.

Se elimina

a) i189 189/4= 47. 25 47 x 4 = 188 esto se le resta al exponente de i

El sobrante será el nuevo exponente de i que seria i1 = i

b) i134 = i2 = -1

c) i275 = i3 = - i

d) i264 = i0 = i

UNIDAD I 14


2. obtener el modulo y argumento de los siguientes números complejos.

a) (3+4 i)(1+i)

3−4 i = 3+3 i+4 i+4 i2

3−4 i =3+7 i+4 i2

3−4 i = 3+7 i+4 (−1)

3−4 i =

−1+7 i3−4 i

* 3+4 i3+4 i

=

−3−4 i+21i+28 i2

9+12 i−12 i−16 i2 = −3+17 i+28i2

9−16 i2 =

−3+17 i+28(−1)9−16(−1) =

−31+17 i25

= −3125

+ 17 i25

b) (3 + 4i) (1+2i) ( i ) =

3+6i+4i+8i2(i) = 3i+6i2+4i2+8i3= 3i+6(-2)+4(-1)+8(-i)=3i-12-4-5i= - 5i-16= -16 -5i

c) (3-2i) + (-5+i) =

3-2i-5+i = -2-1

d) (3+3i) (-i+2) =

-3i+6-3i2+6i=3i+6-3i2 = 3i+6-3(-1) = 3i + 6 + 3 = 9 + 3i

e) 2−i5 i

* −5i−5i

= −10i+5 i2

−25 i2 =

−10i+5 (−1)−25 (−1)

= −10i−5

25 =

−10i25

- 5

25

UNIDAD I 15


1.4 forma trigonométrica o polar de un número complejo

La fórmula trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo de la gráfica.

Arg con respecto a z

Arg = tan ba si ∞ ˃ 0

Arg = π2

si ∞ = 0 y β ˃ 0

Arg = −π

2si ∞ = 0 y β ˃ 0

Arg = π - tan-1 |β∞

∨¿ si ∞ < 0 y β< 0Arg = -π + tan-1 π

∞ si ∞ < 0 y β< 0

Arg 0 no está definido

Im

r

β b

Re

a

UNIDAD I 16


Gráfica. Forma trigonométrica de un número complejo

En este caso se tiene que

r= |z| = |(a,b)| y que

θ= arg (z)= tan-1 (ba

)

y luego sen θ = br

b= r sen θ

cosθ = ar

a= r cos θ Por lo tanto

Z= (a,b) = a+bi = r cos θ + r sen θi = r (cos θ + i sen θ)

Esta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por z= r cos θ

UNIDAD I 17


Ejemplo:

Halle la forma trigonométrica de z= 1- i

Hallaremos r= √ (1 )2+ (−1 )2 = √2 y θ= tan-1 (−11

) = -π = -45°

Note que θ está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto

Z= 1- i = √2 ¿ [cos(−π4 )−i sen(−π4 )]=√2cos(−π4 )

π2

tanba

a +

−π

3

-

Z= r

b= -1

a= 1

UNIDAD I 18


Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Sean U= r cos ∝ y V= s cos β entonces uv= (rs) cos (∝) + β)

En otros términos uv (rs) (cos(∝+¿ β) + i sin (∝+β )

Por lo tanto la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un numero complejo cada módulo es igual al producto del submodulo y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos

Ejemplo:

Sea U=2cos(π4

) y V=3[cos(π4

)-i sen(π4

)]= 3cos(−π

4)

Sea U=rcos∝

V=Scosβ

Entonces uv=(rs) cos(∝+¿ β)

CONTINUACION

Podemos hallar el valor del argumento del número complejo z usando trigonometría

y

(a,b) ∝ = arc tag ba

b

∝

UNIDAD I 19


0 a x

Denominaremos forma polar de un numero complejo ala expresión z=(r,d) donde r es el módulo de z y d es un argumento de Z.

Ejemplo: expresaremos en forma los siguientes números complejos.

y

5 1+3i a) z=1+3i

∝ =arc tg ba

r c=√a2+b2 ∝ =arc tg 31

=71.6=71°33’54”

∝ x c=√(1)2+(3)2 =√10

1

Z= (√10 , 71°33´54”)

Ejercicio: b)

Z= (-1+i) ∝ = arc tag ba

C=√a2+b2 ∝ = arc tag 1

−1 =45°

C=√(−1)2+(1)2=√2

Y

Los ángulos se miden en el sentido anti horario

1

r

UNIDAD I 20


-1 0 X

Z= (√2, 135°)

Ejercicio: c)

Z= 5-2i ∝ = arc tag ba

c=√a2+b2 ∝ = arc tag −25

= - 21.8014049°= -21°48’5”

C=√(5)2+(−2)2 =√29

y

5

x

2

(5-2i)

Z= (√29 , 338°11´54”)

UNIDAD I 21



Halle la formula trigonométrica de los siguientes números complejos en forma binomica.

a) 3+2i ∝=arctn 23=33 ° 41 ' 24 ' '

c=√a2+b2 z= (√13,33 ° 41' 24 ' ' ¿

c=√(3)2+(2)2

c=√13

b) -5+i ∝=arctn 1−5

=11° 18 ' 35' '

c=√a2+b2 z= (√26,11° 18' 35 ' ' ¿

c=√(−5)2+(1)2

c=√26

c) –i+2

∝=arctn 2−1

=63 ° 24 ' 5 ' '

c=√a2+b2 z= (√5,116° 33 ' 54 ' ' ¿

c=√(−1)2+(2)2

c=√5

UNIDAD I 22


d) −√3 – i

∝=arctn −1

−√3=30 °

c=√a2+b2 z= (√4,210 ° ¿

c=√(−√3)2+(−1)2

c=√4

e) -1+i ∝=arctn 1−1

=45°

c=√a2+b2 z= (√2,135 °¿

c=√(−1)2+(1)2

c=√2

f) -3i ∝=arctn 0−3

=0 °

c=√a2+b2 z= (√9,180 °¿por la grafica

c=√(−3)2+(0)2

c=√9

g) 2√2+2√2 i ∝=arctn 2√22√2

=45 °

UNIDAD I 23


c=√a2+b2 z= (√16,45 ° ¿

c=√(2√2)2+(2√2 i)

2

c=√16

h) -2√3 – 2i ∝=arctn −2

−2√3=30 °

c=√a2+b2 z= (√21,210 ° ¿

c=√(−2√3)2+(−2)2

c=√21

i) -4 - 4i ∝=arctn−4−4

=45°

c=√a2+b2 z= (√32,125 °¿

c=√(−4)2+(−4)2

c=√32

j) 3+4i ∝=arctn 43=53.13010235

c=√a2+b2 z= (√25,53 °7 ´ 48

c=√(3)2+(4)2

c=√25

UNIDAD I 24


1.5 aplicando la propiedad de la potencia de un numero complejo se obtiene la siguiente formula de Moivre.

(Cos θ + i sen θ¿n= cos (n θ) + I sen ( n θ )

Donde si z= re iθ, entonces z=e−iθ aplicando la potencia

zn= (re iθ¿n =rn (e iθ)= re inθ=rn (cos( n θ )+ i sen ( n θ )

Y cunado r = |z|=1, se obtiene la forma Moivre.

Ejercicio:

Z= rn cos (n θ) + i sen (n θ)

Z= (-1+ i¿2

C= √a2+b2 ∝=¿ arctg= ba

C= √(−1)2+(1)2 ∝=¿ arctg= 1

−1 = - 45°

C= √1+1 = √2

Z= (√2 ¿7 [ cos 45° + i sen 45°]

Z= (√2 ¿7[ cos ( 7.135°) +i sen(7)(135) ]

Z= √27 [ cos 945° + I sen (7)(135) ]

UNIDAD I 25


Z= √27 [ -0.70- I 0.70]

11.31[ -0.70- I 0.70]

= -7.9-7.9 i

1.6 Funciones polinómicas

La forma general de la ecuación polinómica n es:

a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2…. an−1x + an = 0

Las ecuaciones de segundo grado n tienen siempre soluciones n o raíces en casos particulares algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.

Solución de ecuación de segundo grado

Método de factorización

Se basa en el producto de dos o más factores es 0, si cualquiera de los factores es “0” (x-4) (x-3)= 0 se satisface ya sea para x = 4 y para x = 3.

Ejemplo: x2- 2x -3 = 0 cuando A=1

Encontrar factores de primer grado. Encontrar dos números que sumados nos den el factor del primer grado y al multiplicarlo nos den como resultado el factor independiente.

UNIDAD I 26


(x – 3) (x + 1)

TAREA

COMPLEMENTO DE ECUACIONES POLONIMICAS

DEFINICIÓN• todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

2. TIPOS DE ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuaciones de primer grado o lineales• Son del tipo ax + b = 0, con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.• (x + 1)2 = x2 - 2• x2 + 2x + 1 = x2 - 2• 2x + 1 = -2• 2x + 3 = 0

3. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas• Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.Ecuaciones de segundo grado incompletas• ax2 = 0• ax2 + b = 0• ax2 + bx = 0

4. Ecuaciones de tercer grado• Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.Ecuaciones de cuarto grado• Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.Ecuaciones bicuadradas• Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.• ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

UNIDAD I 27


5. Ecuaciones de grado n• En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:• a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0= 0Ecuaciones polinómicas racionales• Las ecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

6. Ecuaciones polinómicas irracionales• Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical. Ecuaciones no polinómicas Ecuaciones exponenciales• Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

Conclusión

En la elaboración de este portafolio de evidencias comprendimos que las matemáticas se dividen en diferentes áreas una área de muy importante que un ingeniero debe de dominar es la área de las matemáticas de la algebra lineal, ya que es el conocimiento que todo ingeniero debe de aprender y dominar para realizar un buen desempeño en el área de trabajo.

Comprendimos que la algebra lineal tiene un universo muy amplio de aplicación, una de las áreas muy importantes de la algebra son los números complejos ya que poseen muchas formas de aplicación también comprendimos que con los números complejos se pueden realizar operaciones fundamentales con números complejos, sacar el valor absoluto de un numero complejo, sacar la forma polar y exponencial de un numero complejo, sacar la forma trigonométrica así como otras cosas más.

UNIDAD I 28

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