Unidad i - n s Reales y Los Logartmos

8/19/2019 Unidad i - n s Reales y Los Logartmos

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UNT CATEDRA DE MATEMATICA - MATERIAL DE INGRESO A LA FAU

Números Reales

Material Teórico

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CONTENIDOS TEÓRICOS

LAS FRACCIONES: Los babilonios y los egi!ios " #$$$-1%$$ A C& !ono!'an las ()a!!iones

*+!,o anes .+e los g)iegos sise*ai/a)an los !ono!i*ienos *ae*ái!os0

La ne!esia e *ei) *agni+es !o*o las longi+es2 el 3ol+*en2 el eso2 e!0 lle34 al

,o*b)e a in)o+!i) las fracciones0 Si o*a*os +na +nia2 !o*o la longi+2 a)a *ei)

+na *agni+ !onin+a2 la +nia +ee esa) !onenia +n n5*e)o ene)o e 3e!es o no0

El )es+lao e esa 5li*a *ei!i4n lo e6)esa*os !on +n a) e n5*e)os ene)os2

isinos e !e)o2 lla*aos )ese!i3a*ene numerador y denominador0 El eno*inao)nos a)á el n5*e)o e a)es en .+e ,e*os i3iio la +nia2 y el n+*e)ao)2 el

n5*e)o e s+b+niaes !onenias en la *agni+ .+e a!aba*os e *ei)0 S+)gen as' los

n5*e)os ()a!!iona)ios0 Poe*os e!i) a*bi7n2 .+e son n5*e)os ()a!!iona)ios los .+e nos

e)*ien e6)esa) el cociente e +na división inexacta2 o lo .+e es lo *is*o2 +na

i3isi4n en la !+al el i3ieno no es *5lilo el i3iso)0

Son n5*e)os ()a!!iona)ios24

3,

2

1,

3

2 e!0

Realiza: En cada caso, rodea la fracción ue re!resenta el !unto se"alado en cada

recta#

0 1

0 1

0 1

Co*o se 3e2 en oosi!i4n a los n5*e)os ()a!!iona)ios ene*os los n5*e)os ene)os2 .+e

oe*os e(ini) !o*o a.+ellos .+e e6)esan el !o!iene e +na i3isi4n e6a!a2 !o*o

o) e8e*lo 12 #2 92

Ab)i) esa ágina a)a )easa) ese e*a: http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2060

LOS N$%EROS &OSI'I(OS ) NE*A'I(OS: Los n5*e)os negai3os no (+e)on !ono!io o)

los *ae*ái!os e la anigea2 sal3o en el !aso e Dio(ano "siglo III D0C0&0 En el siglo

Página #

LOS N+%EROS RACIONALES

4

3,

2

1,

3

2

4

3,

3

1,

3

2

4

3,

3

2,

4

1

http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2060http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=2060


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;I2 los ,in5es +san los n5*e)os negai3os e +n *oo )á!i!o2 sin llega) a a) +na

e(ini!i4n e ellos0 D+)ane la Ea Meia y el Rena!i*ieno los *ae*ái!os )e,+ye)on

+sa) los n5*e)os negai3os2 y (+e Ne


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Pa)a los Piag4)i!os los números eran la esencia del universo, oo se )e)esenaba !on

n5*e)os enteros !ositivos y fracciones "(o)*aas o) la i3isi4n e ene)os&0

El !on(li!o s+)gi4 !+ano se .+iso ali!a) el )oio eo)e*a e Piágo)as a)a

en!on)a) la iagonal e +n !+a)ao e lao ig+al a +no o launidad,

(i87*onos en +no

e los # )iáng+los )es+lanes.

Ali!ano el Teo)e*a e Piágo)as:

a0 1 20 3 c0 ⇒ 40 1 40 3 c0 ⇒ 0 3 c0

El cuadrado de la dia.onal es 0 555

Los g)iegos e*os)a)on .+e no e6ise ning5n n5*e)o )a!ional "ni ene)o ni ()a!!iona)io&

!+yo !+a)ao ie)a #2 !on lo !+al y e (o)*a ini)e!a es!+b)ie)on los nmeros no

racionales# Este descu2rimiento de6ó sin efecto la teor7a de la armon7a del mundo -

su ex!resión a trav8s de los enteros !ositivos# 'odo se 9a27a construido 9asta el

momento en 2ase de una !erfección - usando los racionales#

Lo ue uedó en claro, es ue .racias al 'eorema de &it.oras se !udo 9allar el

clculo teórico de la dia.onal del cuadrado de lado la unidad, dando ori.en a la

a!arición de un nuevo con6unto num8rico: los nmeros IRRACIONALES;

Sig+ieno el o)en ,is4)i!o .+e nos ,e*os )a/ao2 sabe*os !+áno y !4*o s+)gie)on

los n5*e)os irracionales#

Página

LOS N+%ERO IRRACIONALES < Su Ori.en

Ali!ano el Teo)e*a e Piágo)as:

a0 1 20 3 c 0 ⇒ 40 1 40 3 c0

⇒ 0 3 c0 ⇒ c 3 2


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),*,3,2 Re)esenan a*bi7n *agni+es .+e al se) *eias no en!on)a*os

ning5n n5*e)o ene)o ni ()a!!iona)io .+e las e6)ese0 Esas se lla*an inconmensura2les

y los n5*e)os .+e se o)iginan al *ei) ales *agni+es se lla*an irracionales0

- Obse)3a las i*ágenes y b5s!alas en ine)ne a)a a3e)ig+a) .+e )e)esenan0

Viendo el PENTAGONO….

También podemos comprobar que los

segmentos

BE,AB,A ! G est"n en proporci#n

"urea.

Ver la trigonometr$a ! el numero de oro , en el %in&'

,:JJ)$$$/%y0e)es*as0neJElK#$n+*e)oK#$eK#$o)o0,*

- El pentágono es una figura geométrica muy frecuente en la naturaleza; suarraigo en la simbología de la religión y el arte ha trascendido la historia.

- El Pentágono, unido al hexágono, permite conertir en esférica una superficie

plana como las cúpulas geodésicas de Buckminster Fuller.

- ! diferencia del cuadrado y del triángulo e"uilátero, el pentágono regular no

crea estructuras bidimensionales o tridimensionales continuas. En cambio,

está ligado al crecimiento de las formas dado "ue contiene esa medida de las

proporciones armónicas llamada #sección aurea $

Página >

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#7http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#7


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Co*o ()a!!iona)ios el !o!iene e os

n5*e)os ene)os "!on eno*inao)

isino e !e)o&0

Co*o De!i*al e6a!o o e)i4i!o


SIN'ESIS:

Pa)a (o)*a) los NUMEROS REALES ,e*os ne!esiao e los n5*e)os RACIONALES y e los

n5*e)os IRRACIONALES2 oe*os a(i)*a) .+e:

Los N$%EROS RACIONALES se e6)esan

Los NUMEROS IRRACIONALES se e6)esan

" No se +een e6)esa) !o*o F)a!!iones&

Pa)a a*lia) esos e*as 3isia las aginas:

Página ?

+!m! $adicales: ),*,3,2 etc#

Con los = Nmeros: 9211>0000"Pi&

e #21%#%000000 12?1%$9000 "Fi&

Co*o De!i*al e in(inias !i()as no

e)i4i!as


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,:JJ)e!+)sosi!0e+!a!ion0esJes!a)esJ?#99$>$%%$1?%%##1$

E6isen *7oos geo*7)i!os .+e e)*ien )e)esena) alg+nos n5*e)os i))a!ionales en

la )e!a n+*7)i!a2 *eiane la )ai!a!i4n2 !ons)+yeno )iáng+los )e!áng+los0

Pa)a )e)esena) : Co*o 1210002es e!i)2 1Q Q #

Obse)3a el !+a)ao el ib+8o2 si ali!a*os el eo)e*a e Piágo)as a)a ,alla) s+

iagonal :

Página

Los N$%EROS IRRACIONALES < Su Re!resentación

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htmhttp://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htmhttp://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm


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Con la ay+a e +n !o*ás oe*os )e)esena) e6a!a*ene en la )e!a n+*7)i!a0

Sabe*os .+e es +n n5*e)o i))a!ional2 o) lo ano2 el +no P e la )e!a no +ee

esa) o!+ao o) ning5n o)o n5*e)o i))a!ional0

E8e*lo:

a& Re)esena) en la )e!a n+*7)i!a el n5*e)o i))a!ional

Pa)a el !aso se !ons)+ye +n )iang+lo )e!áng+lo !+yos !aeos ienen longi+es 2 , 1

)ese!i3a*ene2 22 1-23 += e *ane)a .+e el !aeo e longi+ 2 se si5a sob)e

la )e!a a a)i) el !e)o0

b& Re)esena) en la )e!a n+*7)i!a el n5*e)o i))a!ional *

Los !aeos ienen longi+es # y 1 enon!es: =* 22 12 +

=e*os !onsie)ao el !on8+no e los n5*e)os )eales !o*o la +ni4n e los )a!ionales y

los i))a!ionales R 3 > $ I2 enon!es 3a*os a gene)ali/a) a)a los reales las )eglas ela s+*a y *+lili!a!i4n e los racionales0

P)oieaes e los n5*e)os )eales: http://www.vit(t!r.c!m/di/re/r3.html

No todos los radicales son nmeros reales#

a? 2 es +n n )eal i))a!ional2 lo en!on)a*os en la !al!+lao)a 2 121#19>00 y

e la *is*a (o)*a son: 343 3//4 − 0

b& Alg+nas )a'!es !o*o 4− no son n5*e)os )eales2 +es la e(ini!i4n nos i!e .+e 4−

x enon!es 2 x - y sabe*os .+e no e6ise +n n )eal .+e ele3ao al !+a)ao sea

-0 Enon!es 4− no es n )eal0

Página %

O eraciones en R

Radicales

http://www.vitutor.com/di/re/r3.htmlhttp://www.vitutor.com/di/re/r3.html


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No oos los n5*e)os i))a!ionales e)i3an e )a'!es e n5*e)os )a!ionales2

+i7nose 8+si(i!a) s+ e6isen!ia ese +n +no e 3isa geo*7)i!o0

E6em!lo: Los nmeros , - e

a los ,e*os )esenao2 in)o+!i7nolos ese +n +no e 3isa a)i*7i!o y

geo*7)i!o0 Pe)o2 .+i/ás2 la )in!ial *e8o)a .+e ao)an los n5*e)os )eales es .+e

llenan la recta0 +7 signi(i!a esoV

Sabe*os .+e los n5*e)os )a!ionales se si5an en la )e!a e (o)*a .+e en !aa )a*o e

7sa2 o) e.+eBo .+e sea2 ,ay in(inios n5*e)os )a!ionales0

Cada punto e la )e!a !o))esone a un número racional o a un número irracional seg5n

los ,e*os )e)esenao.

Po) eso2 en aelane2 a la )e!a n+*7)i!a la lla*a)e*os recta real0

&ro!iedades del con6unto de Nmeros reales

- R es +n !on8+no in(inio0 No iene )i*e)o ni +li*o ele*eno0

- R es +n !on8+no o)enao o) la )ela!i4n W ≤ W

- En)e os n5*e)os )eales e6isen in(inios n5*e)os )eales0 De!i*os .+e el

!on8+no e los )eales es denso0

- El !on8+no e los )eales !o*lea la )e!a0 Eso .+ie)e e!i) .+e W a !aa n+*e)o

)eal !o))esone +n +no e la )e!a y a !aa +no e la )e!a !o))esone +n

n+*e)o )eal0 R es continuo

Consie)e*os a los in(inios n5*e)os )eales en ine)3alos2 ee)*inaos o) os n5*e)os

.+e se lla*an e6)e*os0 En +n ine)3alo se en!+en)an oos los n5*e)os !o*)enios

en)e a*bos y a*bi7n +een esa) los e6)e*os0

Página

'odas las ra7ces exce!to las de 7ndice par - radicando negativo son nmerosreales


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X5s.+ea en la ágina: ,:JJ


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a)a )oble*as e io )á!i!o2 el n5*e)o e !i()as signi(i!ai3as ebe se) ae!+ao a

a.+ello .+e .+e)e*os e6)esa)0 ;ea*os e8e*los:

Lo ue medimos Esto no !arece mu-adecuado

Esto es ms razona2le

Caa!ia e +na lag+na 9 $ ?$ $$$ li)os

$$$ *illones e li)os

o bien ,*9

Al+)a e +n ei(i!io 1912?%> * 19# * o bien 1912 *

N5*e)o e e)sonas .+e ,an

3oao en +na !i+a#0%>9 Un !+a)o e *ill4n

P)es++eso e +n Esao 1% 9? 9?# *illones e esos 1%2 billones e esos

C+ano nos en!on)a*os !on n5*e)os *+y g)anes o *+y e.+eBos2 s+)ge .+e:

- Al ene) anas !i()as2 nos )es+la i('!il ,a!e)nos +na iea !la)a e lo g)ane o

e.+eBo .+e es el n5*e)o2 a no se) .+e !one*os las !i()as0

- Las oe)a!iones !on ellos son *+y esaas0

As' oe*os e6)esa) en notación científica:

- ;ol+*en e la Tie))a: 1 $%$ ?$ $$$ $$$ $$$ $$$ $$$ *9 12$%Y1$#1 *90

- Disan!ia e la ie))a a α-Cena+)o: $ ?%$ $$$ $$$ $$$ Z* 2$Y1$19 Z*0

- Diá*e)o el 3i)+s e la olio: $2$9# *i!)as 92#Y1$% *0

Obse)3a .+e a)a n5*e)os e.+eBos2 la es)+!+)a e la noa!i4n !ien'(i!a es la *is*a

.+e a)a n5*e)os g)anes2 sal3o .+e el e6onene e 1$ es +n n5*e)o negai3o0

Página 11

Un n5*e)o +eso en notación científica iene:

- Una a)e ene)a (o)*aa o) la !i()a e las +niaes0

- El )eso e las !i()as signi(i!ai3as2 !o*o a)e e!i*al

- Una oen!ia e 1$2 .+e a el o)en e *agni+ al n5*e)o0


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⇒ 4 3± 0# La )ai!a!i4n no es

+ni(o)*e en R, o).+e el )es+lao noes 5ni!o0 La )ai!a!i4n solo es +ni(o)*een N#


De(ini!i4n

Dao +n n5*e)o )eal a y +n ene)o osii3o n2 se lla*a )a'/ en7si*a e a a o)o

n+*e)o )eal 2 al .+e 2 ele3ao a n es ig+al a a#

nabba nn =⇔= [ $& Po) lo ano

se lla*a radical2 a se lla*a radicando y n 7ndice e la )a'/0

&ro!iedades de la Radicación

La radicación no es cerrada en R

Sea o) e8e*lo: 4− 2 e a!+e)o !on la e(ini!i4n:

4− 6 ⇔ 2 x -

Si 6 @ # enon!es "@ #& 2 @ ≠ -

Si 6 - # enon!es " #& 2 @ ≠ -

La radicación no es uniforme

4 3 x Si 6 @ # enon!es "@ #& 2 @

Si 6 - # enon!es " #& 2 @

Elemento neutro

4 es ele*eno a la e)e!,a, 4444 11 =⇒= ,

"2 1& →2 no iene ele*eno a la i/.+ie)a2 no 9a- neutro0

La radicación no es conmutativa0

Página 1#

4− no iene sol+!i4n en R

La )ai!a!i4n no es !e))aa en R

RAICACIDN


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Si a≠ n entonces an na ≠ # E8e*lo: ! 3 3 ≠

Le-es istri2utivas

La )ai!a!i4n es is)ib+i3a !on )ese!o a la multi!licación y a la división sie*)e

.+e las oe)a!iones sean osibles#

E8e*lo:

a& 10*.212*.12*. 333 === b& -.-4-.-4 −−=−− i*osible en R#

Las e6)esiones (o)*aas o) el signo )ai!al y +na e6)esi4n n+*7)i!a o lie)al

eba8o el *is*o se lla*a radical

En los !asos .+e los i))a!ionales e)i3an e )a'!es )es+la !on3eniene oe)a) !on las

e6)esiones: 43 ,*,2

S+onga*os la e6)esi4n: - 2*3

1 y x

2* y es el )ai!al y x3

1− es el !oe(i!iene el )ai!al0

La )a'/ n-si*a e +n n5*e)o +ee one)se en (o)*a e oen!ia:

32

3 2 =⇒

Sim!lificar Radicales

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1 - n cba .. = nnn cba . 2- nnn baba ÷=÷

Conviene sim li icar las ex resiones ara realizar las o eraciones

RAICALES#


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Si el 'ni!e y el e6onene e +n )ai!al e )ai!ano osii3o2 se *+lili!an o

i3ien o) +n *is*o n5*e)o2 la )a'/ a)i*7i!a no 3a)'a0

1\ 2 ya .+e

Ejemplos: a)

O)o )o!ei*ieno se)'a el sig+iene: b&

O sea2 si*li(i!a) )ai!ales se )e+!e a si*li(i!a) las ()a!!iones el e6onene0

c).

Si el 'ni!e y el e6onene el )ai!ano son ig+ales:

Si n es i*a) ⇒ aan n

= si n es a) ⇒ aa

n n

= 2 aa =

2

E8e*lo: 1& == *-* 2 > #&2

3

2

3-

2

3 2 =−=−

Con8+nos n+*7)i!os: ,:JJ


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1) Elabo)a en +n Diag)a*a e ;enn o Maa !on!e+al la e3ol+!i4n e los Con8+nos

N+*7)i!os ese los Naturales ,asa los Reales y uica donde corresponda los

números: 1)/*

)*/*.../2*111.2/36/

2 −−

π

!) Conesa la )eg+nas (+na*enano las )es+esas:

a? i& "#u$ operaciones pueden %acerse con los números &ue detallaste en 1)'

) "(iene solución la ecuación *+! en cual&uier conjunto de números'.

c) "(iene solución la ecuación a.+ , a ≠ -, en cual&uier conjunto de Nros'

& "(iene solución la ecuación + !! en cual&uier conjunto de números '

e) "(iene solución la ecuación + !! en cual&uier conjunto de números'

f) "(iene solución la ecuación + ! 1 en cual&uier conjunto de números'

) Re)esena en la )e!a: 0

/) Oe)a y e6)esa el )es+lao en noa!i4n !ien'(i!a:

a& 192>1 0 1$ @ #291 0 1$ -? b& )3

10.2,310.*

10.3*,)4

+−

0

Reali0a las operaciones con radicales

B? a? 2? c?

?& Usano )egla y Co*ás ib+8a +n )iang+lo isósceles o2tusn.ulo y en!+en)a los

+nos noables e i!,o )iang+lo: incentro2 circuncentro, ortocentro y 2aricentro#

Página 1>

TRABAJO PRACTICO DE REPASO DE CONJUNTOS NUMERICOS


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& a& Cal!+la el á)ea e +n )iáng+lo e.+iláe)o ins!)io en +na !i)!+n(e)en!ia e

)aio ? !*0 "el !en)o e la !i)!+n(e)en!ia es el ba)i!en)o&0

b& Dee)*ina) el á)ea el !+a)ao ins!)io en +na !i)!+n(e)en!ia e longi+

1%0% !*0

%&a& Con(e!!iona +na abla e oble en)aa (o)*aa o) !+e)os Reonos y

Polie)os !on s+s )ese!i3as S+e)(i!ies lae)al2 s+e)(i!ie oal y 3ol+*en e los

*is*os0

b& !al!+la la a)isa y 3ol+*en e +n dodecaedro e á)ea ig+al #$? !* #0

1$& Dao los Polie)os Reg+la)es lla*aos Wólidos 2latónicos]:

Resone:

a& +e signi(i!aba a)a los iag4)i!os !aa +no e ellosV 0

b& C+anas !a)as y .+e (o)*a ienen las !a)as e !aa +noV

!& C+anas a)isas y 37)i!es iene !aa +no e los olie)osV

? Los Reales en la Re!a N+*7)i!a0 Co*lea la sig+iene abla:

Nom2re S7m2olo Si.nificado Re!resentación

Ine)3aloabie)o

Página 1?


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+ ∈R J aQ + ≤ b H

N )eales !o*)enios

en)e a y 22 in!l+io 2

G a,2 ?

Ine)3alo

!e))aoG a,2H

Se*i))e!a

+ ∈R J + ≤ aH

N )eales *eno)es .+e a

in!l+io a

4/? Sean los n5*e)os N112# Y1$ N##29 Y1$1 N9921 Y1$ ? N2# Y1$%0

Cal!+la

44? Se e(ine el aBo l+/ !o*o la isan!ia .+e )e!o))e la l+/ en +n aBo0 Sabieno .+e

la l+/ se esla/a !on +na 3elo!ia e 9$$0$$$ Z*Js2 !al!+la) y e6)esa) en noa!i4n

!ien'(i!a2 a !+ános Z* e.+i3ale +n aBo l+/0

40? Usa )e!áng+los á+)eos a)a iseBa) el ()ene e +na es!+ela2 !onsie)ano la

)a/4n: Φ=ancho

ol ar2 sieno 34,4J/==JJK###

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!4*o se)'an las !ien!ias e ,oy sin loga)i*osV^o,n Naie) "1>>$-1?12 en esaBol Nee)& na!i4 en Es!o!ia y se ei!4 a la *ae*ái!a

!o*o +na a(i!i4n e)o2 as4 a la ,iso)ia !+ano o) el aBo 1>2 se le o!+))i4 +na iea0

Pens4 .+e oas las !i()as o'an e6)esa)se e (o)*a e6onen!ial0

Pas4 #$ aBos obenieno e6onen!iales e i3e)sas (+n!iones )igono*7)i!as ya .+e se

e*leaban *+!,o en !ál!+los as)on4*i!os0 Ese )o!eso ,i/o .+e lla*a)a a esos

n5*e)os _loga)i*os_ .+e .+ie)e e!i) _n5*e)os )oo)!ionaos_0

S+ lib)o _Des!)i!i4n el *a)a3illoso !anon e los loga)i*os_2 +bli!ao en 1?12

e6li!aba el in3eno0

_Los loga)i*os son n5*e)os2 .+e se es!+b)ie)on a)a (a!ilia) la sol+!i4n e los

)oble*as a)i*7i!os y geo*7)i!os2 a )a37s e eso se e3ian oas las !o*le8as

*+lili!a!iones y i3isiones )ans(o)*ánolo a algo !o*lea*ene si*le0 Naie) ,ab'a

e6)esao los loga)i*os en es!ala na+)al "oen!ias el n5*e)o e2 lla*ánose

loga)i*os na+)ales o _nee)ianos_&0 X)iggs le ,i/o 3e) .+e a 3e!es e)a *+y !on3eniene

+ili/a) oen!ias el n5*e)o 1$0 Los loga)i*os as' e6)esaos son !ono!ios !o*o

b)igsianos o e!i*ales y !ons)+y4 las )i*e)as ablas loga)'*i!as !on oen!ias e 1$

!on naa *enos .+e 1 e!i*ales en 1?#0

+ienes *ás +ili/a)on los loga)i*os (+e)on los as)4no*os0 Uno e ellos2 Lala!e2 lo

e6)es4 e (o)*a *+y !la)a0

34os lo5aritmos %an duplicado la vida de los astrónomos3

Página 1%

LOS LO*ARI'%OS


19/28


O&ERACIONES IN(ERSAS E LA &O'ENCIACIDN

La !otenciación iene os oe)a!iones in3e)sas: la radicación y la lo.aritmación0

6 3 % ⇒ 6 RAICACIDN

x=32

&O'ENCIACIDN # x % ⇒ 6 l! 2 LO*ARI'%ACIN

Eso nos e)*ie oe) e(ini) ese n+e3o !on!eo

De(ini!i4n

Se lla*a loga)i*o en base a e +n n+*e)o N a o)o n+*e)o n2 al .+e a ele3ao a la n

sea ig+al a N# En s'*bolos: lo. a N 3 n na⇔ 3 N

Anali/a*os la 2ase

- La base no !uede ser la unidad ya .+e 1n 12 !+al.+ie)a .+e sea n0

- La base no !uede ser cero ya .+e $n $2 !+al.+ie)a .+e sea n0

P+ee se) negai3a la baseV Si n 2

* y a 3 M=

Seg5n e(ini!i4n: N "-9& 2*

*3− 243− no iene sol+!i4n )eal0

La oen!ia e base negai3a y e6onene )a!ional en alg+nos !asos s+ )es+lao es +n

n5*e)o )eal y en o)o !o*le8o2 o) ano:

Página 1

Las mayorías de las leyes de la biología contienenexpresiones logarítmicas


20/28


Anali/a*os el nmero N

'ienen lo.aritmo los nmeros ne.ativosV y El cero tiene lo.aritmoV

Di8i*os .+e a2 la base es sie*)e osii3a eso es2 a [ $2 enon!es- No 'ienen lo.aritmo

los nmeros ne.ativos- o).+e !+al.+ie)a .+e sea n2 sieno a osii3o el )es+laosie*)e se)á osii3o2 o) ano no +ee se) n+lo2 ni negai3o0

&ro!iedades derivadas del conce!to de lo.aritmo:

C+al.+ie)a .+e sea la base2 el loga)i*o e la +nia es !e)o: lo. 4 3 / ⇔ a/ 3 4

C+al.+ie) n5*e)o ele3ao a la +nia es ig+al a la base: lo.a a 3 4 ⇔ a4 3 a

Clculo de lo.aritmos:

Los loga)i*os e los n5*e)os se !al!+lan !on ay+a e las ablas "en es+so&2 la

!al!+lao)a y la !o*+ao)a0

Dese +n +no e 3isa !on!e+al2 a)a !al!+la) el loga)i*o e +n n5*e)o )eal

osii3o N2 se ,a e isone) e +na base a2 .+e es +n n5*e)o )eal osii3o isino e 1

y es!)ibi) N2 !o*o oen!ia e a el e6onene !al!+lao es el loga)i*o0

Cual ser el lo.aritmo decimal de 4//5 Es osible ali!a) an NV

Re!+e)e: n loga N 1$$ es!)io !o*o oen!ia e base 1$ es: 1$# 1$$

C+al es el e6onene al .+e engo .+e ele3a) la base 1$2 a)a obene) el n5*e)o 1$$V

El e6onene es #2 l+ego # log1$ 1$$ 0 En el sise*a e!i*al no se es!)ibe la base0 0

Página #$

La 2ase de un lo.aritmo no !uede ser ne.ativa, nula o la unidad

En los nmeros reales tienen lo.aritmo los nmeros reales !ositivos


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Cual ser el lo.aritmo decimal de /,45 Es)aegia: se e6)esa $21 !o*o +nia

()a!!iona)ia y es+7s !o*o oen!ia negai3a e 1$2 as': $21 10

1 1$-1

Cons)+i)e*os +na abla e loga)i*os e!i*ales "los n5*e)os g+a)an +na )a/4nV&0

N5*e)os: Loga)i*os

$2$$$1 1$- -

$2$$1 1$-9 -9$2$1 1$-# -#

$2 1 1$-1 -1

1 1$$ $

1$ 1$1 1

1$$ 1$# #

1$$$ 1$9 9

1$$$$ 1$

Co*o +ee !o*)oba)se2 los n5*e)os "N& esán en )og)esi4n 0 y s+s loga)i*os

"n& en )og)esi4n

En la abla2 la )a/4n e los n5*e)os es 1$ y la i(e)en!ia en los loga)i*os es 10

Al in)o+!i) el !on!eo e Loga)i*a!i4n se ,a a)io e la sig+iene e6)esi4n:

N 3 an en la .+e (ig+)an )es 3alo)es: el n5*e)o N, la base a y el e6onene n# Si se

!ono!en os 3alo)es se +ee !al!+la) el e)!e)o0

Seg5n sea el 3alo) es!ono!io se)á la oe)a!i4n a )eali/a)0 Co*lea la *a)i/

sig+iene: N an a n N n LogaN

Oe)a!i4n N a n E6)esi4n

Poen!ia!i4n V Dao Dao

Rai!a!i4n Dao V Dao

Página #1


22/28


Loga)i*a!i4n Dao Dao V

La *a)i/ ane)io) e6)esa la )ela!i4n e6isene en)e oen!ia!i4n2 )ai!a!i4n y

loga)i*a!i4n0

=asa a.+' oe*os e!i) .+e en la !otencia2 !ono!ia la 2ase y el resultado2 !al!+la) el

e6onene " n& es la loga)i*a!i4n0 N an

Clculos sim!les con lo.aritmos:

C4*o se !al!+la !on loga)i*osV C+al es s+ !a*o e ali!a!i4nV

Dos )oble*as in*eiaos se lanean en el !ál!+lo !on loga)i*os:

- Dao +n nmero ee)*ina) s+ lo.aritmo0

- Dao el lo.aritmo ee)*ina) el nmero0

El nmero el .+e se !ono!e s+ lo.aritmo se lla*a antilo.aritmo0

Caso i)e!o: Dao el n5*e)o !al!+la) s+ loga)i*o0

E6em!lo 4: Cal!+la): a& log 1#> b& ln 1#>

a& Te!lea) en la !al!+lao)a 1#> +lsa) l̀og2 aa)e!e en el 3iso) #2$?1 o) ano: log

1#> #2$?1

Página ##

Usa)e*os la W!al!+lao)a !ien'(i!a]2 one ,ay os (+n!iones loga)'*i!as:

- La e los loga)i*os e!i*ales " 3+lga)es o e X)igs& e base 1$2 signaa en la!al!+lao)a !on la e!la `log !on s+ (+n!i4n in3e)sa2 aniloga)i*o `1$60

- La e los loga)i*os na+)ales o nee)ianos !+ya base es el n5*e)o e2 signaaen la !al!+lao)a !on la e!la `ln2 !on s+ (+n!i4n in3e)sa aniloga)i*o `e60

- Con la e!la `log y `ln ee)*ina*os el lo.aritmo e!i*al y nee)iano2)ese!i3a*ene2 e +n n5*e)o ao0

- Con las (+n!iones in3e)sas `1$

6

y `e

6

ee)*ina*os el n5*e)o oantilo.aritmo2 ao s+ loga)i*o e!i*al o nee)iano2 )ese!i3a*ene0


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b& Te!lea) en la !al!+lao)a 1#> +lsa) `ln2 aa)e!e en el 3iso) 2%#%919 o) ano:

ln 1#> 2%#%919

El loga)i*o e +n n5*e)o eene e la 2ase en .+e oe)e*os0

E6em!lo 0: Cal!+la) los n5*e)os o aniloga)i*os2 o sea ,alla) N :

a& log N 12#>%?9 b& ln N #2>9%#

a& Te!lea) en la !al!+lao)a 12#>%?9 +lsa) s,i( o in3e) "(+n!i4n in3e)sa& `1$ 62 aa)e!e

en el 3iso) .+e: N1%21$?%%

b& Te!lea) en la !al!+lao)a #2>9%# +lsa) s,i( o in3e) "(+n!i4n in3e)sa& `e6

2 aa)e!een el 3iso) .+e: N1#2?19?%10

LO*ARI'%OS E LAS O&ERACIONES :

+7 oe)a!iones +een se) )aaas o) loga)i*osV C4*o W(+n!ionan] los loga)i*os

en las oe)a!ionesV

El loga)i*o e +n n5*e)o es el e6onene e +na oen!ia2 o) ano2 los loga)i*os enlas oe)a!iones se !o*o)a)án !o*o lo ,agan los e6onenes0

Sean o) e8e*lo los n5*e)os M a6 N ay

Re!o)a*os e n+e3o .+e 6 loga M y loga N

Cuanto valdr el lo.aritmo de la suma o diferenciaV

La oen!ia no es is)ib+i3a )ese!o e la s+*a0

La !otencia de una suma o diferencia no es i.ual a la suma de las !otencias0

Po) ano )es+*ieno: lo.a @% N? ≠ lo.a % lo.a N

&RO&IEAES (PLIAS

1& Cuanto valdr el lo.aritmo del !roductoV

Página #9


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Dao los n5*e)os: M a6 N ay 0 Re!o)e*os .+e: 6 loga M e y log aN

Log a "M 0 N& log a " a6 0 a y & loga" a 6@y&2 → loga"M 0 N& 6 @ y

"6 @ y& es el e6onene al .+e ,ay .+e ele3a) a a)a obene) %#N

y !o*o 6 log a M e y log a N →

EL LO!R"#$O %E &N 'RO%&C#O E( "&!L ! L! (&$! %E LO( LO!R"#$O(

- El !a)á!e) *+lili!ai3o e los (a!o)es se )ans(o)*an en aii3o en s+s loga)i*os0

- En la )ans(o)*a!i4n se ,a +ili/ao la )oiea: El )o+!o e oen!ias e ig+al

base es o)a oen!ia e la *is*a base y e e6onene ig+al a la s+*a e lose6onenes e los (a!o)es0

#& Cuanto valdr el lo.aritmo del cocienteV "si*ila) a la ane)io)2 )eal'/ala&

9& Cuanto valdr el lo.aritmo de una !otenciaV

* (a!o)es

Sea o) e8e*lo la oen!ia: M * M0 M0 M00000M 02 o*ano loga)i*os en los os

*ie*b)os e )es+la)á:

* (a!o)es ig+ales

log a M* log a"M0M0M00000M& logaM @ logaM @ logaM @@ log a M

"* s+*anos ig+ales&

L+ego se +ee !on!l+i) .+e:

EL LO!R"#$O %E &N! 'O#ENC"! E( "&!L !L E)'ONEN#E 'OR EL LO!R"#$O %E L!

*!(E %E %"C+! 'O#ENC"!

- La oen!ia !o*o oe)a!i4n se )ans(o)*a o) el +so e los loga)i*os en )o+!o0

- En la )ans(o)*a!i4n se ,a +ili/ao la )oiea: El loga)i*o e +n )o+!o .+e es

ig+al a la s+*a e los loga)i*os e los (a!o)es0

& Cuanto valdr el lo.aritmo de una raizV

Página #

Lo a M 0 N lo a M @ lo a N

Log a M* *0 log a M

nn M M

1

= n

1 log a M


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Sea o) e8e*lo la e6)esi4n nn M M 1

= 2 si se le ali!a a esa e6)esi4n el

loga)i*o e +na oen!ia )es+la)á:

EL LO!R"#$O %E &N! R!"- E( "&!L !L LO!R"#$O %EL R!%"C!N%O %"."%"%O 'OR

EL /N%"CE %E L! R!/-

- En la )ans(o)*a!i4n se ,a +ili/ao la )oiea: El loga)i*o e +na oen!ia .+e

es ig+al al e6onene o) el loga)i*o e la base0

E6ercicio:

Cal!+la) el loga)i*os e la sig+iene e6)esi4n:

)

3

* 23

-

.

D

C

B A N =

Log el n+*e)ao) 9 log A @ *2

log X

Log el eno*inao) )

3 0

2

1"log C - Log D&

14

3 log C -

14

3 log D

Po) ano: Log N 9 log A@*

2 log X - "

14

3 log C-

14

3 log D&

Final*ene: Log N 9 log A@*

2log X -

14

3log C@

14

3 log D

Si A2 X2 C2 D se s+si+yen o) s+s )ese!i3os 3alo)es y se oe)a2 se ,ab)á obenio el

3alo) el lo. N0

Página #>

La es)aegia !onsise en !al!+la) los loga)i*os e los(a!o)es y ose)io)*ene ag)+a)los o) ali!a!i4n e las)eglas loga)'*i!as e las oe)a!iones0


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TRAXA^O PRCTICO DE LOGARITMOS

1& Ali!ano e(ini!i4n e loga)i*o2 !al!+la):

a& log $0$$1 b& log $0$$$1 !& log# $0#> & log9 #9

Ali!ano la e(ini!i4n e loga)i*o2 !al!+le 6: a& x=*

10100l! b&

x=32

l! !& 2l!

−= x & 41l! −= x

e&

xn=3l!3 (& 462*l! = x

#& Cal!+le *enal*ene 6 "sin !al!+lao)a&

a& 6 42*

2)

l!l!l!l!l!

2

1*

343

−

−+= b&

1,0.100

0001,001,0

l!l!

l!l!

01,01,0

10010−

= x

9& Es!)ibi) en (o)*a e6onen!ial a los sig+ienes loga)i*os0

a& 32)

64-2

64

1-01-664 l!l!l!l!

4

3

62

−=−=== d cb

& Es!)ibi) las ig+alaes sig+ienes en (o)*a loga)'*i!a:

a &64

2)

4

3 3

=

b&12*

1* 3

=−

!&16

1

2

1 4

=

& 0001,0104=

−

>& E6)esa) !o*o s+*a algeb)ai!a los sig+ienes loga)i*os: "+se P)oieaes&

a& pa

y x

ccbabc

ba 21

2*

*3

2

22 .

l!-..l!-

.

l! −

*

1- l!

q p

d b −

?& Es!)ibi) !o*o +n solo loga)i*o2 +sano )oieaes:

a&( ) ( )[ ] ( )acbd cabac

cbabq p x x xaa

l!l!.3l!3

2-l!l!

2

1-

/3

1.2-/ l!l!l!l!l!

−+−+−

−++

& Cal!+la) 6 :

34244

* 1*11,0

4

--2

1

-12*

64

-22

x x

x x

x

xed cb

=====

−−

Página #?


27/28


%& Si log 9 $21 log > $2?% l$g # $29$1$# !al!+la):

a& log 1> b& log ? !&log > & log $ e& log >$ (& log 9$

& Si log a 12% y log b #2 0 Cal!+le ( )

ba .l! 3

2

-Situaciones !ro2lemticas

& a& La )ela!i4n en)e el 3ol+*en y la )esi4n a .+e esá so*eio +n gas a

e*e)a+)a !onsane esá aa o) la (4)*+la K v p =⋅ 41,1

0 Si

c1#$$$2 ,alla) la )esi4n !+ano 3#%290

b&En +n *oo) iesel se iene32,1

2

1

1

2

=

V

V

P

P en one P1 y ;1 son la )esi4n y el

3ol+*en2 )ese!i3a*ene2 anes e la !o*)esi4n0 Si la )esi4n ini!ial es e 9#

lib)as o) +lgaa !+a)aa y ;# 6

1V

2 !+áno 3ale P#V0

!& Sid

T

r n

π π

.2

1= es ( o F .+e: log n - log# @log )@ log π @ -l!l!

2

1d T ⋅− π 0

& Sid

A K C

.10

.4,3

= es ( o F .+e: log C log %2% @ log c @log A 9 log 0

>& El eso *á6i*o en onelaas .+e soo)a +na !ol+*na esá ao o) la (o)*+la <

12%2

**,3

l

d one d es s+ iá*e)o en +lgaas y l es s+ longi+ en ies0 =alla)

el eso .+e soo)a)á +na !ol+*na e 192 +lgaas e iá*e)o y 1%2# ies e

longi+0

Página #


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Unidad i - n s Reales y Los Logartmos

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