Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2
! Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
aaa)))
=−=⇒=⇔= →=−=+
→→
=−=+
75x3y4x44x1115y3x929y3x2
5yx329y3x2 sumando
E3
E
2
1
0119213
32≠−=−−=
−
bbb))) 3
85y,x.,I.C.S,0016y6x10
16y6x1016y6x10
8y3x5 sumandoE
E2
2
1 −λ=λ== →
−=+−=−
→ →
−=+−=−
0303061035
=−=−
−
ccc))) 3x417y;5x15x319y2x5
34y2x819y2x517yx4 sumando
E
E2
2
1
−=−==⇔−=− →
=+−=−−
→ →
=+=+ −
.
0155205514
≠=−=
ddd))) .I.S47033y12x18
14y12x1811y4x67y6x9 sumando
E3
E2
2
1
⇒= →
=+−=−
→ →
=+−=−
036364669
=−=−
−
eee))) 341x,ySi.I.C.S,00
30y120x9030y120x90
5y20x156y24x18 sumando
E6
E5
2
1 λ−=λ== →
=+−=−−
→ →
=+=+ −
036036020152418
=−=
fff))) 11
886y,1091402x1402x109
506y77x88896y77x21
46y7x8128y11x3 sumando
E11
E7
2
1
=
=⇔= →=−=+
→ →
=−=+
0109882178
113≠−=−−=
−
Resolución de sistemas 2 x 2 mediante determinantes
! Resuelve, aplicando x = AAx e y =
AAy
, los siguientes sistemas de ecuaciones:
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222
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aaa)))
−=−=+−=
−=
==+
+=−
−
=
⇒
=+=−
1126286
2062926
2453
24733
y
626
15620610146
245322573
x
2y2x473y5x3
.
bbb)))
=−−=
−−−=
−
=
=−
−=−−−−=
−
−=
⇒
=−=+
83166
83166
285523165
11745
137335
y
83415
83415
285552363
117451113433
x
13y11x733y4x5
.
ccc)))
−=−=+
+−=
−
−−=
==+
+=
−
−=
⇒
−=+−=+
564320
105440360
952660586
y
364
1921054
12072
952696028
x
60y9x58y2x6
.
ddd)))
−=−
=−−−=
−
=
=−−=
−−−−=
−
−=
⇒
=−=+
510
5064656
2612
28612
y
31030
64282
2612
22811
x
28y2x61yx2
EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página "" ) 111 Calcula el valor de estos determinantes :
2007
)d00
141373)c
333111
)b7413
)a−
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 333
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
"""##$##"""
aaa))) 174217413
=−= . bbb))) 3333333111
−= = 0.
ccc))) =00
1413730 � 0 = 0. ddd))) =
− 2007
-14.
"""##$##""" 222 Calcula :
bcacba
)d00ba
)cbaba)b
dcba
)a 33
22
"""##$##"""
aaa))) cbaddcba
−= . bbb))) ( )abbababababa 222332
33
22−=−= .
ccc))) =−= 0000ba
0. ddd))) =−= abcabcbcacba
0.
"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página "# ) 111 Calcula los siguientes determinantes :
120011309
)b869630415
)a −
"""##$##"""
aaa))) 144180108541208·1·06·6·59·3·49·6·14·0·68·3·5869630415
−=−−+=−−−++= .
bbb))) 3691)·1·(09·2·03·1·00·0·03)·1·(21·1·9120011309
=−=−−−−+−+=− .
"""##$##""" 222 Halla el valor de estos determinantes :
100091100594710
)b103121140
)a−
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 444
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aaa))) )1·(2·33·1·4)1·(0·11·2·0103121140
−−+−+=−
- 0·0·1- 1·1·4 = 12 + 6 � 4 = 14.
bbb))) 100091100594710
= 10·10·10 + 0·0·59 + 47·91·0 � 0·10·59 � 0·91·10 � 0·47·10 = 1000
"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #$ ) 333 Justifica sin desarrollar, estas igualdades :
04111000713
) =−
a
1428192714
)−−−
b 0719427792147
) =c 0015114
101145) =d
"""##$##""" aaa))) Una de las filas es nula, luego el determinante es nulo (propiedad 2).
bbb))) F3 = - 2F1, dos filas proporcionales, determinante nulo ( P6). ccc))) F3 = 10F2 + F1, dos filas proporcionales, luego determinante nulo (P6). ddd))) F1 = 10F2 + F3, dos filas proporcionales, luego determinante nulo (P6).
"""##$##""" 444 Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula sin desarrollar :
1111305 =zyx
"""##$##"""
aaa))) .31·3111305zyx
3111305z3y3x3
===
bbb))) .11·1111305zyx
5·51
1115301
z5y5x5
3
2
1
F
F5
F51
==→ → →
ccc)))
=+++++
=+++
++++
=+++++
111305zyx
zyx305zyx
1z1y1xzyxzyx
·21z1y1x
305zyx
1z1y1xz2y2x2zyx
1z1y1x3z2y25x2
zyx0 + 0 + 1
= 1. """##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 555
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EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #% ) 111 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz :
−
−
=
43005114621572645132
M
"""##$##"""
Menores de orden 2: 00014
171077251
=−=−−=−
.
Menores de orden 3:
=−−−−++−=−
=−−−−−−−++=−
−
.21)1·(5·34·2·10·6·10·5·26·3·14·1·1430511621
.107)1·(6·67·3·25·2)·1()1)·(1·(75·2·66·2·3621726513
"""##$##""" 222 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12 , a33 y a43 .
−
=
7564321153126420
A
"""##$##"""
( ) 2)3·1·75·3·25·2·44·3·35·5·17·2·2(754321532
·1A,754321532
1221
1212 =−−−++−=−=α−==α + .
( ) 108)0·5·67·2·26)·1·(44·5·26·6·27)·1·(0(764512620
·1A,764512620
3333
3333 =−−−−++−=−=α−=−=α +
( ) 16)0·5·13·2·26)·1·(11·5·26·1·23)·1·(0(311512620
·1A,311512620
4334
4343 −=−−−−++−−=−−=α−=−=α +
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 666
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EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #& ) 111 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas y comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos:
489625173
−−
"""##$##""" ' Mediante la regla de Sarrus:
456140144184037824)5(4·78·6·39·2)·1()1)·(5·(89·6·74·2·3489625173
=+−+++=−−−−−−−++=−−
' Desarrollo por la 1ª fila:
45658518120)1840()5420(7)488(38925
14965
74862
3489625173
=++−=−−−−−−−=−
−−
−=−−
' Desarrollo por la 2ª fila:
45623442180)6324(6)912(2)828(58973
64913
24817
5489625173
=++=−−+++=−−
+−
=−−
' Desarrollo por la 3ª fila:
456164104396)356(4)518(8)242(92573
46513
86217
9489625173
=+−=++−−+=−
+−
−−
−=−
−
' Desarrollo por la 1ª columna:
456396180120)242(9)828(5)488(36217
94817
54862
3489625173
=++−=++++−=−
+−
+=−−
' Desarrollo por la 2ª columna:
45610442518)518(8)912(2)5420(76513
84913
24965
7489625173
=−+=−−++−−−=−
−−
−+
−−=−
−
' Desarrollo por la 3ª columna:
45616423458)356(4)6324(6)1840(12573
48973
68925
1489625173
=++=++−−−−−=−
+−−
−=−−
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 777
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
222 Calcula los siguientes determinantes : """##$##"""
.2030)4)·3·(97·7·14·4·11)·3·(74·1·49·4·7(7911744437
7
9101967374044307
)a −=−−−−−++−=−
−=
−
Desarrollando por la 2ª columna.
( ) +−−−−−−++−−=−−
+−−
−=−−
)1·(4·51·4·2)1·(3·3)1·(4·34·2·35)·1·(12230141113
2523414311
2
2002523041413113
)b
2(3·4·2+ 3·1·(-1)+0·1·(-1)-0·4·(-1)-1·1·2-3·3·(-1))= -2·28+2·28 = 0. C4 = C1+ C2 + C3. Desarrollando por la última fila.
"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #( ) 111 Calcula el rango de las siguientes matrices :
−
−
=
812307601314211013410321
A
=
1623610128123565623235124
B
−
−
=
00011100000121111001
C
−−−−−
=
2201832773151012
D
"""##$##"""
aaa))) F3 = F1 + F2 y F4 = F2 + F3 y 076113
21≠−=−−=
−luego Ran(A) = 2.
bbb))) El menor 084123224
≠=−= , luego hay dos filas linealmente independientes. Si
añadimos la 3ª 0356232124
= , ya que F3 = F1 + F2, 08481209072501441256632524
≠=−−−++= ,
luego las tres primeras filas son linealmente independientes. Ahora comprobamos si la 4ª fila es linealmente independiente con las demás:
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 888
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
0
23610121235662325124
= ya que F4 = F1 + F2 + F3, 0
231610121285665325324
= , ya que F4 = F1 + F2 + F3 luego
Ran(B) = 3.
ccc)))
−
−
00011100000121111001
010111
≠=−
, 02100012110
≠−=−
, 2
0001100001211100
−=−
−
, luego hay
4 filas linealmente independientes y Ran(C) = 4.
ddd))) F3 = F1 + F2, luego podemos prescindir de ella. 031512
≠−= , 09201315
012≠−=−
luego Ran(D) = 3. """##$##"""
EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #( ) 111 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles :
=−−=+
=−
3223
523)
yxyxyx
a
=+=−=+
411702754
)yxyxyx
b
=+−−=+−=++
644314372
)tzyx
tyxzyx
c
"""##$##"""
aaa))) M* =
−−
−
3|122|31
5|23
M es de 3x2 y 0113123
≠=−
, luego Ran(M) = 2.
066308527312231
523=+−−+−=
−−
−luego Ran(M*) = 2.
Como Ran(M*) = Ran(M) = nº de incógnitas = 2, el sistema es compatible y determinado.
bbb))) M* =
−
4|1170|127|54
M es de 3x2 y 01410412
54≠−=−−=
−, luego Ran(M) = 2.
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 999
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
01474049154164117012754
≠+=−++−=− luego Ran(M*) = 3.
Como Ran(M*) = 3 ≠ Ran(M) = 2 el sistema es incompatible. ccc)))
−−−=⇒
=+−−=+−
=++
6|44311|40137|0211
*M6t4z4y3x
1t4yx37z2yx
0121244431413011
,0122184431
013211
,03113
11=−++−=
−−=++−=
−−−≠−−=
−, luego Ran
(M) = 2, ahora vemos el rango de la matriz ampliada:
07618371636631113711
≠−=−+++−−=−− luego Ran (M*) = 3.
Como Ran(M) = 2 y Ran(M*) = 3, el sistema es incompatible. """##$##"""
222 Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:
=−=+=−+
022213
)zyzxzyx
a
=−=+=−+
522213
)zyzxzyx
b
−=+−−=+−=++
1344314372
)tzyx
tyxzyx
c
"""##$##"""
aaa)))
−
−=⇒
=−=+
=−+
0|1202|1021|131
*M0zy22zx2
1zy3x
2)M(Ran0624120
102131
,060231
=⇒=+−−=−
−≠−= , en la matriz ampliada C4 = C1, luego
Ran (M*) = 2, y como el nº de incógnitas =2, el sistema es compatible e indeterminado.
bbb)))
−
−=⇒
=−=+
=−+
5|1202|1021|131
*M5zy22zx2
1zy3x
0624120
102131
,060231
=+−−=−
−≠−= luego Ran(M) = 2. Estudiamos ahora el rango de la
matriz ampliada: 0303044520202131
≠−=−−= , luego Ran(M*) = 3.
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111000
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
Como Ran(M) = 2 y Ran(M*) = 3, el sistema es incompatible.
ccc)))
−−−−=⇒
−=+−−=+−=++
13|44311|40137|0211
*M13t4z4y3x
1t4yx37z2yx
0121244431413011
,0122184431
013211
,043113
11=−++−=
−−=++−=
−−−≠−=−−=
−, luego
hay dos filas linealmente independientes y Ran (M) = 2. Veamos ahora el rango de la matriz
ampliada: 2*)M(Ran03937163131331113711
=⇒=++++−=−−
− , como los rangos son
iguales el sistema es compatible y como el nº de incógnitas es 4, es indeterminado ( biparamétrico).
"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #) ) 111 Resuelve mediante la regla de Cramer :
=+−=+−
−=+−
9842
2453)
yxzyxzyx
a
=+=+−=−+
103282
)yxzyxzyx
b
"""##$##""" aaa)))
51
5
0114125319118122431
AA
z,212
0114125310914825241
A
Ay,7
17
011412531
0194185324
AA
x zyx −=−
=
−−
−−−−
===−−=
−−
−−
===−−=
−−
−−−−
==
bbb)))
36
18
032111111
1032811211
AA
z,06
0
032111111
0102181121
AA
y,56
30
0321111110310118112
AA
x zyx =−−=
−−
−
===−
=
−−
−
===−−=
−−
−−
==
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111111
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
222 Resuelve aplicando la regla de Cramer :
=++=+−=+−
1175324352
)zyxzyxzyx
a
−=++=+=−−
17526443
)zyx
zyzyx
b
"""##$##""" aaa)))
21326
7151213521115321452
AA
z,0130
7151213527115131342
A
Ay,5
1365
7151213527111123354
AA
x zyx −=−=
−−
−−
====
−−
====
−−
−−
==
bbb))) 0752110143
=−−
y 031043
≠=−
luego Ran(M) = 2 pero 0751116144
≠−
−−luego
Ran(M*) = 3 y el sistema es incompatible. """##$##"""
EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #" ) 333 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones :
=+−=+−=+−
07232313
)zyzyxzyx
a
=+−=+−=+−
107232313
)zyzyxzyx
b
"""##$##"""
aaa)))M* =
−−−
0|7203|2131|311
|M| = 0214187720213311
=++−−=−−−
. 02311311
≠=+−=−−
, Ran(M)
= 2 .
Como también 0020313111
=−−−
pues C1 = C3, Ran(M*) = 2, el sistema es compatible e
indeterminado, para resolverlo tomamos las ecuaciones que hacen que el rango sea 2, es decir la dos primeras ecuaciones pero tomando z como parámetro pasándola al otro miembro:
22
22z
2z23z31
1311
1z231z31
MM
xz23yx3
z31yx x +λ=+=−++−=
−−
−−−−
==⇒−=−
−=−haciendo z = λ
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111222
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
27
2z7
2z93z23
1311
z233z311
MM
y y λ==+−−=
−−−−
== luego la solución es:
λ=λ=+λ= z,
27y,
22x
bbb))) M* =
−−−
10|7203|2131|311
la matriz de los coeficientes M es la misma luego Ran(M) = 2, pero
0103066101020313111
≠=++−−=−−−
luego Ran(M*) = 3 que es distinto de Ran(M) = 2 lo que
hace el sistema sea incompatible. """##$##"""
444 Resuelve estos sistemas :
=+−=+=+=+
65453
)
zyxzxzyyx
a
=+−=+=+
1322362443
)yxyxyx
b
"""##$##"""
aaa))) M* =
− 6|1154|1015|1103|011
Como las dimensiones de M son 4x3, el rango máximo de M puede ser 3, lo comprobamos:
211101110011
=+= , luego Ran(M) = 3.
0000620051103011
21700620051103011
9160111051103011
6115410151103011
*M
34
3
2
1
24
23
2
1
14
13
2
1
F7F2
F
F
F
F6F
FF
F
F
F5F
FF
F
F
→→→→
→ →
→→
−−−
→ →
→→
−
=
−+
+
−
− = 0,
luego Ran(M*) = 3. Como Ran(M*) = Ran(M) = nº incógnitas = 3, el sistema es compatible y determinado, para resolverlo tomamos las tres ecuaciones que sabemos que son linealmente independientes, las tres primeras:
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111333
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
326
101110011401510311
AA
z,224
101110011141150031
AA
y,122
101110011104115013
AA
x4zx5zy3yx
zyx ============⇒
=+=+=+
La solución es ( x = 1, y = 2, z = 3).
bbb))) M* =
− 1|3223|624|43
M es de 3x2, luego el rango máximo es 2, lo comprobamos 0108186243
≠=−= ,
Ran(M) = 2. Ahora probamos si el rango de M* puede ser tres:
03092078481842418132
2362443
≠−=−−+−+=−
, luego Ran(M*) = 3 y el sistema es
incompatible. """##$##"""
EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página ## ) 111 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones :
=+=+−=+−
002053
)yxzyxzyx
a
=+−=−+=++−=−+
05162020420411
)
zyxzyxzyxzyx
b
"""##$##"""
aaa))) 53251011121153
−=−+−=−−
≠ 0, luego Ran(M) = Ran(M*) = n = 3 y la única solución
que tiene el sistema es la trivial x = 0, y = 0, z = 0.
bbb))) M =
−−
−−
5162211
1424111
018441161188211
1424111
≠−=−−+++−=−
−−
,Ran(M) =
Ran(M*) = n = 3 luego la solución es la trivial x = 0, y = 0, z = 0. """##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111444
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
222 Resuelve estos sistemas :
aaa))) 09151359951
311111
M951
311111
M0z9y5x0z3yx
0zyx=−++−+−=
−−
−−=⇒
−−
−−=⇒
=−−=++
=−− el
rango es menor de 3, 2111111
=+=−
luego Ran(M) = Ran(M*) = 2 < n = 3 y el sistema es
compatible e indeterminado, para resolverlo tomamos las ecuaciones que sabemos que son linealmente independientes, las dos primeras y pasamos z al segundo miembro que tomamos como parámetro:
z22
zz3
1111z31
z1
AA
y,z2
z3z
11111z31z
AA
xz3yx
zyx yx −=−−=−
−==−=−=
−−
−
==⇒
−=+=−
Si hacemos z = λ, la solución es ( x = - λ, y = -2λ, z = λ).
bbb)))
−−−−=⇒
=−+−=−−=++
0|11110|20130|0511
*M0tzyx0t2yx30z5yx
01435151111013511
≠−=−+−−=−− luego Ran(M) = Ran(M*) = 3 < n = 4, luego el sistema es
compatible e indeterminado, tomamos t como parámetro pasándolo al segundo miembro y resolvemos el sistema:
t21
14t7
1110135111t10t23501
AA
y,t21
14t7
11101351111t01t2510
AA
xtzyxt2yx30z5yx
yx −=−
=
−−
===−−=
−−
−−
==⇒
=+−=−
=++
0140
111013511t11t213
011
AA
z z =−
=
−−
−−
== , si hacemos t = λ, la solución es (x = λ/2, y = -λ/2, z = 0, t = λ).
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111555
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página *$ )
111 Discute y resuelve:
aaa)))
=++−=−=++
0z6y4x1yax0azyx
bbb)))
=+=−=+
16y3x513ykxkyx
"""##$##"""
aaa))) M* =
−−0|6411|01a
0|a11 hallamos 6a5a4a6aa46
64101aa11
M 22 −−=−++−=−=
luego el rango de M depende de a.
Resolvemos 4a2 � 5a - 6 = 0,
−=−
==±=±=+±=
43
86
28
16
8115
81215
896255a
DDDiiissscccuuusssiiióóónnn
" Si a = 2 M* =
−−0|6411|012
0|211
# Como 0My032112
11=≠−=−−=
−Ran(M) = 2.
# Comprobamos el determinante que queda con los términos independientes:
0341041112
011≠=+−=−− luego Ran(M*) = 3
Como los rangos son distintos el sistema el incompatible.
" Si a = -3/4 M* =
−−−
−
0|6411|014/3
0|4/311
# Como 0My041
431
14/311
=≠−=+−=−−
Ran(M) = 2.
# Comprobamos el determinante que queda con los términos independientes:
0341
041
1143
011≠=+−=−−− luego Ran(M*) = 3
Como los rangos son distintos el sistema el incompatible.
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111666
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
" Si a ≠ 2 y a 4/3−≠ Ran(M) = Ran(M*) = nº de incógnitas = 3, el sistema es compatible y determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
)3a4)(2a(6a
64101aa1160101aa01
MM
y,)3a4)(2a(
6a4
64101aa11640011a10
MM
x yx
+−−=
−
−
==+−
+−=
−
−−
==
)3a4)(2a(3
64101aa1104111a
011
MM
z z
+−=
−
−−
==
bbb))) M* =
−
16|3513|1kk|11
hallamos el determinante de M*:
10k11k339k16k565k3161635131kk11
22 +−=−−+++−=− .
Resolvemos la ecuación :
3k2 � 11k + 10 = 0
=±=−±=⇒352
6111
612012111k
" Si k = 2, M* =
−
16|3513|122|11
Como 03112
11≠−−=
− Ran(M) = Ran(M*) = nº de
incógnitas = 2, luego el sistema es compatible y determinado. Para resolverlo nos sobra una ecuación (la tercera pues sabemos que las dos primeras son linealmente independientes):
=−=+
13yx22yx
33
9
1211
13221
MM
y,53
15
1211
11312
MM
x yx −=−
=
−
===−−=
−
−==
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111777
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
" Si k = 5/3, M* =
−
16|3513|13/5
3/5|11 Como 0
38
13/511
≠−=−
Ran(M) = Ran(M*) = nº
de incógnitas = 2, luego el sistema es compatible y determinado. Para resolverlo nos sobra una ecuación (la tercera pues sabemos que las dos primeras son linealmente independientes):
=−
=+
13yx35
35yx
6
233/89/92
13/511
133/5351
MM
y,211
3/83/44
13/511113
135
MM
x yx −=−
=
−
===−
−=
−
−==
" Si k ≠ 2 y k ≠ 5/3 Ran(M*) = 3 > Ran(M) = 2 y el sistema es incompatible. """##$##"""
222 Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:
=++−=+−
0y)1a(x)1a(0yx)1a(
"""##$##"""
M*=
+−
−0|1a1a0|11a
Hallamos )1a(aaa1a1a1a1a
11aM 22 −=−=+−−=
+−−
= .
Si igualamos a cero y resolvemos la ecuación a(a -1) = 0, a = 0, a = 1.
" Si a = 0 M * =
−−
0|110|11
Ran(M) = Ran(M*) = 1 ya que 1111
−−
= 0, pues las dos
filas son iguales 0 nº de incógnitas n = 2, luego el sistema es compatible e indeterminado. Si utilizamos una de las dos ecuaciones que quedan � x + y = 0, y = x, y llamando x = λ, y = λ.
" Si a = 1 M* =
0|200|10
Ran(M) = Ran(M*) = 1 ya que sólo hay una columna no
nula, como hay dos incógnitas el sistema es compatible y determinado:
==
0y20y
si hacemos x =
λ, tenemos la solución ( x = λ, y = 0). " Si a ≠ 0 y a ≠ 1, Ran(M) = Ran(M*) = 2 = nº de incógnita y la única solución que tiene el sistema es la trivial x = 0, y = 0.
"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página *+ )
111 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111888
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
! A =
−−−
−−
352301111
" Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
0131565352
301111
≠−=+−+=−−
−−−
luego admite inversa
" Matriz de los adjuntos
AAdj =
−−−−−−−−−
=
−−
−−
−−−
−−
−−−−
−−−
−
−−
−−−
−−
1233585915
0111
3111
3011
5211
3211
3511
5201
3231
3530
" Traspuesta de los adjuntos
( )
−−−−−−−−−
=1352593815
A tAdj
" Inversa
A-1 = ( )
=
−
−−−−−−−−−
=1352593815
11352593815
AA tAdj
!
−−
=2112
B
" Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
03142112
≠−=+−=−−
luego admite inversa.
" Matriz de los adjuntos
AAdj =
−−=
−−
−−2112
2112
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111999
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
" Traspuesta de los adjuntos
( )
−−
=2112
A tAdj
" Inversa
A-1 = ( )
−
−=
−−
−=−
−−
=
32
31
31
32
2112
31
32112
AA tAdj
"""##$##""" 222 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
!
=
7241
A
" Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
01877241
≠−=−= luego admite inversa.
" Matriz de los adjuntos
AAdj =
−
−=
−
−1427
1427
" Traspuesta de los adjuntos
( )
−
−=
1247
A tAdj
" Inversa
A-1 = ( )
−
−=
−
−
−
=12
471
1247
AA tAdj
! B =
−
351120014
" Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
0320124351120014
≠=−−=−
luego admite inversa
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222000
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
" Matriz de los adjuntos
AAdj =
−−−−
=
−−
−
−−
−−
−
84121123211
2014
1004
1201
5114
3104
3501
5120
3110
3512
" Traspuesta de los adjuntos
( )
−−−−
=82124121131
A tAdj
" Inversa
A-1 = ( )
−−
−
−
=
−−−−
=
−−−−
=
387
32
344
31
311
31
82124121131
31
382124121131
AA tAdj
"""##$##"""
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR
111 Sabiendo que 7dcba
= , justifica las siguientes igualdades, citando en cada caso las propiedades que has
aplicado: """##$##"""
aaa))) dcba
ddbb
dcba
ddcbba
=−−
+=−−
ya que el segundo es nulo por tener dos columnas iguales.
bbb))) 427·6dcba
·6dcba
2·3d2c3b2a3
==== Si multiplicamos C1 por 3 y C2 por 2.
ccc))) 7dcba
cdab
−=−= ya que si permutamos alguna línea del determinante, el determinante cambia
de signo.
ddd))) 147·2dcba
2d2c2
bababa
d2bc2aba
−=−=−=−−
+=−−
ya que el primer determinante es
nulo al ser F1 = F2 y que para multiplicar un determinante por un número se multiplica una de sus líneas ( la F2 en este caso).
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222111
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
222 Si 5qpnm
−= , ¿cuál es el valor de cada uno de estos determinantes?
"""##$##"""
aaa))) 5qnnm
qnqn
3qnnm
qnq3n3
qnnm
qnq3pn3m )3)2)1
−==+=+=++
1) Suma de determinantes. 2) Producto de un número por una matriz. 3) El segundo determinante es nulo ya que F1 = F2.
bbb))) 5)5(qpnm
nmqp
nqmp )2)1
=−−=−==
1) El determinante de una matriz coincide con el su traspuesta. 2) Al permutar alguna línea el determinante cambia de signo.
ccc))) 15)5·(3qpnm
3pqmn
·3pq3mn3 )2)1
−=−==−=−−
1) Producto de un número por un determinante. 2) Al permutar dos columnas, el determinante cambia de signo.
ddd))) 10)5(2qpnm
2nmqp
2nqmp
2n2qm2p )3)2)1
=−−=−===
1) Producto de un número por una matriz. 2) Al trasponer una matriz, sus determinante no varía. 3) Al permutar dos filas, el determinante cambia de signo.
"""##$##""" 333 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades:
aaa))) 32
7133
7235
73−
+−
=−
bbb))) 02410
0216
0234 −
+−
=−
"""##$##""" 444 Resuelve estas ecuaciones:
aaa))) 12x1x1x1x1
=+−−+
bbb))) 0xx
x212x2 =
−−
aaa))) 34
12x12x4xx21xx21)x1()x1(x1x1x1x1 2222 ==⇔==−+−++=−−+=
+−−+
bbb)))
−===
⇔=−=+−−=−−−=−−
1x1x0x
0)1x(x)x21x2x(x)x21(x)2x(xxx
x212x 2222
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222222
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
555 Calcula el valor de los determinantes:
aaa))) 08767161
071181
=+−+−=−
( C3 = C2 � 7C1).
bbb))) 040930203615535
112643
=+−−+−=−
−−
(F3 = F1 + F2).
ccc))) .252449101370087
−=+−=−
ddd))) .10188043202130
=+−=−
"""##$##""" 666 ¿Qué valor de a anula estos determinantes?
aaa))) 1a07a7a43545a3a11111543
=⇔=+−=−+−++−=−−
−
bbb)))
03a2a6a66aa6a3a3)1a(6)6a)(1a()1a(3021a36a0111a
22 =−+=+−−−++−=−−+−+−=−
+−−
−
=±−=+±−=⇔=−+3
12
422
1242a03a2a2
ccc))) 3a012a41244a4a32220112
22
2±=⇔=−=−−+=
ddd)))
=+−−=
⇔=+−−=−−−++=+−−−+++=+
06aa0a
0)6aa(aaa4a24a4)1a(a22aa)1a(42a1a21111a
22232
−
=−±=
−+±=⇔=+−−
23
251
22411a06aa2
"""##$##"""
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222333
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
777 Calcula el valor de los siguientes determinante aaa)))
321441202420192108981544643
981054406430
2101
351312422232
2101
13
13
12
1
F3F
F2F
F2F
F
−=+++−−−=−−−
=
−−−
−
→ → →
→
−
−−
−
−
−
bbb))) .18361812·318712312211
3712413211
0712341313120211
−=−=−=−
−−
=
−
ccc))) 024148301082110743
1082011007430
4321
2143542112124321
13
13
12
1
F3F
FF
F2F
F
=−−+=−−−
−−−=
−−−
−−−
→ → →
→
−
−
−
ddd))) 938)225368130260115360(92313
4105154
9231304105015401231
29874105031221231
13
3
12
1
F7F
F
F2F
F
=−−−+−−−=−
−−=
−−
−−
→→
→→
−−−−
−−
+
+
"""##$##""" 888 Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el resultado:
aaa)))
=
1134
A
Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
01341134
≠=−= , luego admite inversa.
Matriz de los adjuntos
AAdj =
−
−=
−
−4311
4311
Traspuesta de los adjuntos
( )
−
−=
4131
A tAdj
Inversa
A-1 = ( )
−
−=
−
−
=4131
14131
AA tAdj
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222444
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
bbb)))
−=
4321
B
Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
010644321
B ≠=+=−
= , luego admite inversa.
Matriz de los adjuntos
BAdj =
−=
−−
−1234
1234
Traspuesta de los adjuntos
( )
−
=1324
B tAdj
Inversa
B-1 = ( )
−
=
−
=1324
101
101324
BB tAdj
ccc))) C =
101030102
Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
0336101030102
≠=−= luego admite inversa
Matriz de los adjuntos
CAdj =
−
−=
−
−−
−
603010303
3002
0012
0310
0102
1112
1010
0130
1100
1003
Traspuesta de los adjuntos
( )
−
−=
603010303
C tAdj
Inversa
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222555
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
C-1 = ( )
−
−=
−
−
=20103/10101
3603010303
CC tAdj
ddd))) D =
−−020102
201
Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:
01028020102
201≠−=−−=
−− luego admite inversa
Matriz de los adjuntos
DAdj =
−
−−=
−−
−
−−
−−
−−
−−
−
050204402
0201
1221
1020
2001
0021
0220
2002
0012
0210
Traspuesta de los adjuntos
( )
−
−−=
024500042
D tAdj
Inversa
D-1 = ( )
−
−−
=
−
−−
=
051
52
2100
052
51
10024500042
DD tAdj
"""##$##"""
999 Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales
aaa)))
=
0330
X1221
Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 222666
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
Sea X = ⇒
=
++
++⇔
=
⇒
0330
db2ca2d2bc2a
0330
dcba
·1221
dcba
=−=⇔=− →=−−
=+ →
→
=+=+
=−=⇔=− →
=+=−−
→ →
=+=+
−
−
2d;1b3b30d2b4
3d2b0db23d2b
2a;1c3c33ca2
0c4a23ca20c2a
SumandoE2
E
SumandoE
E2
2
1
2
1
luego la matriz buscada
es : X =
−
−2112
.
bbb))) X · ( )214151
=
−−
Sea X = ( )ba ya que el resultado es de 1 x2 y el factor conocido es de 2x2.
( ) ( ) ( )
→=+=−−
→ →
=+=−−
⇒=+−−=
−− Sumando
E
E4
2b4a54b4a4
2b4a51ba
21b4a5ba4151
·ba2
1
a = 6; y b = -1- a = - 1 � 6 = -7, luego X = ( 6 - 7).
"""##$##"""