108 Prof. Jesús Calixto Suárez
UNIDAD VII.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Ecuaciones Lineales Ecuación: Es una expresión algebraica en la que debe aparecer el símbolo de igualdad =, y la cual resolverla, consiste en encontrar los valores que hacen verdadera dicha igualdad. Ecuaciones Lineales Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno. Ejemplos:
Ahora resolvamos una ecuación lineal.
Ejemplo 1. Resolver y comprobar:
a)
Para resolver una ecuación lineal, basta “despejar” a la variable que aparece en la ecuación.
“pasemos” las “x” del lado derecho ya que si lo hacemos hacia el izquierdo queda “x” negativa
Reducimos o simplificamos
El “2” multiplica con x
el valor de x es 10, ahora verifiquemos
152 x 74
2
yy
2535 xx
2535 xx
x220
x520
x10
OJO: Despejar una variable consiste en dejarla de un solo lado de la igualdad (izquierdo o derecho), pero donde esté o donede quede
POSITIVA.
exponente 1
exponente 1
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Estos signos si se pueden eliminar
La misma ecuación quitamos signos de agrupación reduciendo términos semejantes “pasando” las “x” a la derecha
Ejemplo 2. Resolver y verificar:
b) Ahora en este ejemplo primero hay que eliminar los signos de agrupación, los cuales recuerda hay que quitarlos de adentro hacia fuera o lo mismo que decir que un signo de agrupación podrá ser eliminado a menos que dentro de él NO exista otro signo de agrupación.
Ahora fíjate, para que finalmente quede despejada “x” hay que -11 que está multiplicando con ella, por tanto “pasará” dividiendo del lado izquierdo con todo y su signo (NO SE CAMBIA).
Ejemplo 3. Resolver y comprobar: c)
Ya se pueden quitar
)3()2(61015 xxxx3261015 xxxx
141015 xx
15 4 1 1011 11
11 1111
x xx
x
x
15 10 6 ( 2) ( 3)15 10 6 2 315 10 4 1
10 1 4 1511 11
x x x xx x x xx x
x xx
1111
1
x
x
958]35[3 xxxxx
OJO: Recuerda que la SUGERENCIA al “pasar” las “x”, es que queden del lado donde sean positivas, sin embargo puedes pasarlas de cualquier lado.
15 10 6 ( 2) ( 3)x x x x
Reduciendo poco ahora nos conviene “pasar” las “x” del lado izquierdo, ya que positivo por que de “pasarlas” del lado derecho queda negativo
observa como el símbolo de la igualdad se conserva al mismo nivel, esto es una buena sugerencia para que todo te salga mejor y no cometer errores.
3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)x x x x x
Primero quitamos estos signos de agrupación, pues dentro de ellos NO existen otros signos de agrupación. www.ca
lixto.
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x
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Se reduce un poco
Pasamos las “x” a la derecha
Ejemplo 4. Resolver y comprobar
d)
Recuerda cuando existen sumas y restas de fracciones, conviene tener un mismo denominador, en éste caso convertimos a veintavos.
Ya son veintavos
Si multiplicamos toda la ecuación por 20 tenemos
958353 xxxxx
9333 xx
xx 3339
x66 x66 1x
203
)5(4)5(5
)20(1)20(2
)4(5)4(1
)5(4)5(3 xxx
203
2025
2040
204
2015 xxx
3x
xxx 32540415
4
55 3 25 458 29
295812
x xx
x
x
Comprobación:
3 5 31 24 5 4 20x xx
Comprobación:
Convertimos a cuarentavos
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Ejercicios Resolver y comprobar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
147348 xxxx
17231535130158 xxxxxx
)3()2(61015 xxxx
)38()65()45()6(30 xxxxx
)]3()23([30)]96(3[16 xxxxxx
36535 xxxx
051
32
53
xx
053
4
x
25
122 xxx
54
43
32
xxx
)3(24
3810
xxx
110
57)15(
xxx
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Ecuación cuadrática o de segundo grado Una ecuación cuadrática en general tiene la forma
a los términos se les denomina
Para resolver una ecuación de 2º grado utilizaremos alguno de los tres métodos siguientes: Factorización Completando un T.C.P. Utilizando la fórmula de 2º grado
Recuerda que resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de la variable, en este caso por ser de segundo grado serán dos o uno pero repetido (más adelante se explica esto).
Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización.
Resolver
Como se puede observar del lado izquierdo de la ecuación ( ) se puede factorizar:
Para que una multiplicación (lado izquierdo) dé como resultado cero (lado derecho), uno de los dos factores debe de ser cero, es decir:
y si resolvemos las ecuaciones lineales anteriores tenemos:
Las soluciones de la ecuación son: y , comprobemos las soluciones:
b) Nuevamente factorizando el lado izquierdo
O sea
2 0a x b x c
IndependienteCuadrático o constanteLineal
2 0ax bx c
2 4 0x
2 4x
Caso IVDiferencia de cuadrados
2 4 0x
Multiplicación
2 2 0x x
2 2 0 2 0 ó 2 0x x x x
2 0 2 0
2 2
x x
x x
2x 2x
? ?2 2
? ?2 4 0 (2) 4 0
4 4 0 4 4 00 0 0 0
2 7 12 0x x
2
Caso V7 12 0 4 3 0x x x x
4 0 ó 3 0
4 3
x x
x x
a, b, c ∈ ℝ y a≠0
OJO:
Esto quiere decir que al multiplicar 2 números el resultado debe ser cero
Comprobación:
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Matemáticas IV.- Álgebra 113
c)
Factorizando
O sea
Ejercicios: Resolver y Comprobar las siguientes ecuaciones de 2º grado (cuadráticas) por factorización
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) 216 4 0x x
i) j)
k)
Solución de ecuaciones de 2º grado completando un T.C.P.
Cuando en una ec. De 2º grado no se puede factorizar, se procede a completar un T.C.P., por ejemplo veamos el siguiente caso:
si intentas factorizar nos queda
Como podras darte cuenta no encontraste dos números que al multiplicarse dieran 3 y sumados dieran –8, por lo tanto completaremos un T.C.P.
Primero quitamos el término independiente del lado izquierdo
El espacio es para completar un T.C.P.
Sumamos 16 de ambos lados
Se puede ver que del lado izquierdo ya hay un T.C.P., es decir, factorizandolo Esta situación del cuadrado de un binomio es igual a 13, siempre la vamos a tener cuando
completemos un T.C.P. de donde despejaremos a la variable para obtener las soluciones de la ecuación de 2º grado.
22 5 3 0x x
2
Caso VI2 5 3 0 2 1 3 0x x x x
12
2 1 0 3 02 1 ó
3
x xx
xx
22 5 3 0x x 2 81 0x
22 4 0x 26 3 0x x
23 17 10 0x x 2 5 14 0x x
2 72 0x x
2 225 2 7 81x x
2 22 3 5 23x x
29 1 3 5 3 2x x x x
2 8 3 0x x
? ? 0x x
2 8 3 0x x
2 8 __ 3x x
2 8 16 3 16x x
24 13x
–6 +1 –5
Comprobación:
Mitad de –8 al cuadrado
Observación: Para poder completar un T.C.P. siempre el coeficiente del término cuadrático debe ser uno.
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24 13x obteniendo raíz cuadrada de ambos lados
24 13x
4 13x
4 13x ó 4 13x
Ahora, resolviendo las dos ecuaciones lineales antes obtenidas se tiene:
Para la comprobación sólo sustituimos por separado cada solución, recuerda que al elevar al cuadrado un binomio tienes que , o sea, ;
1 2
4 13 4 13
4 13 4 13
x x
x x
2 2 2( ) 2a b a ab b 2 224 13 4 2 4 13 13
2
4 13 16 8 13 13 29 8 13
Para la solución
Para la solución
recuerda
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