Date post: | 25-Jan-2016 |
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FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIALCURSO: ANALISIS MATEMATICO IIDOCENTE: FREDDY ANDIA HERRERA
Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejemplo: El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar la fórmula siguiente:
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (1/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN (2/2)
Sea la función dada por y=f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a,b]. La longitud de arco de f entre a y b es:
Longitud de arco
La definición de longitud de arco puede aplicarse a una función lineal.
Longitudes de arco(EJEMPLO)
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenxxudxdu
dxxsendv )(xv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cos(x)dx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x 2
2xuxdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasFórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan
GRACIAS POR SU ATENCION
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