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Sistemas de
Ecuaciones Lineales
UNIDAD 5
Prof. Rosa De Peña
1
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Índice 5.1 Ecuación lineal o de primer grado………………………………………………….2 5.2 Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales…………………………………………………………….....3 5.3 Matriz del sistema o matriz de los coeficientes del sistema…………………….4 5.4 Matriz de los términos independientes del sistema…………………………….....4 5.5 Matriz de las incógnitas del sistema………………………………………………...4 5.6 Matriz ampliada…………………………………………………………………..........4 5.7 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales…………………………………..5 5.7.1 Método de Gauss. Forma escalonada de un sistema de ecuaciones lineales. 5.7.2 Método de Gauss-Jordan. Forma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales. 5.8 Equivalencia de Sistemas……………………………………………………………8 5.9 Teorema de Rouché-Frobenius. Analizar atendiendo al Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones lineales………………………........8 5.10 Casos de compatibilidad e incompatibilidad en la solución de sistemas de ecuaciones………………………………………………………………….........8 5.11 Variables libres………………………………………………………………………..8 5.12 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos…………………………………8 5.13 Solución en los sistemas homogéneos: Trivial. No trivial………………….........9 5.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando matriz inversa….....15 5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro………….......16
Practica Propuesta No. 1. Unidad 5……………………………………………………..18
Practica Propuesta No. 2. Unidad 5…………………………………………………… .24
Cuestionario Unidad 5…………………………………………………………………….32
Bibliografia Consultada ……………………………………………………………….....33
2
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5.1 Ecuación lineal o de primer grado.
Una ecuación lineal o de primer grado se obtiene igualando a cero un polinomio de primer grado de una o
más incógnitas. La forma general de una ecuación lineal, una vez eliminados los denominadores y
reunidos los términos semejantes, y suponiendo que las incógnitas sean: nxxxx ,...,,, 321 , será:
cxaxaxaxa nn ...332211
La ecuación anterior podemos determinarla tomando una matriz fila que identificamos como A y una
matriz columna que identificamos como X. El producto matricial de AX origina un valor c que
genera la ecuación lineal.
Es decir si: naaaaA ,...,,, 321
nx
x
x
x
X
.
:3
2
1
Tenemos que : AX= C ecuación lineal.
Un sistema de valores numéricos nxxxx ,...,,, 321 que satisfaga a la ecuación anterior se llamará una
solución de dicha ecuación. Una solución consta de “n” valores numéricos.
Caso de una Ecuación con una Incógnita: bax .
1) Si 0a :
Evidentemente a
bx , siendo ésta la solución única, quedando el problema totalmente
resuelto.
2) En cambio, si 0a :
Se presentan dos subcasos:
a) Si 0b , y puesto que, cualquiera sea el valor de “x”, 0.0 x .
La ecuación no tiene solución; es contradictoria consigo misma, imposible o
incompatible.
3
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
b) Si también 0b
Cualquier valor “x”, sustituido en la ecuación la satisface, de modo que ésta tiene
infinitas soluciones; se dice en éste caso que es indeterminada.
Generalmente, el caso 0a , en la práctica se presenta bajo la siguiente forma:
Al reducir los términos que contienen la incógnita, se los ve desaparecer en ambos miembros de la
ecuación. Si los términos constantes no desaparecen simultáneamente, tenemos una ecuación
incompatible; si desaparecen también, tenemos una ecuación indeterminada.
5.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales.
En general, un sistema de ""m ecuaciones lineales con ""n incógnitas está dado por:
11313212111 ... bxaxaxaxa nn
22323222121 ... bxaxaxaxa nn
. . . . .
. . . . .
. . . . .
mnmnmmm bxaxaxaxa ...332211
Pueden presentarse diferentes tipos de sistemas de ecuaciones:
a) Que tenga el mismo número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm
b) Que tenga mayor número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm
c) Que tenga menor número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm
4
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Un sistema puede ser escrito en forma matricial:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
.....
.....
.....
...
...
321
2232221
1131211
mn b
b
b
x
x
x
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
Si consideramos:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.....
.....
.....
...
...
321
2232221
1131211
nx
x
x
X
.
.
.
2
1
mb
b
b
B
.
.
.
2
1
El sistema puede ser escrito como BXA . donde:
A representa la 5.3 Matriz de los Coeficientes del Sistema, cuyos elementos son los valores .ija
B representa la 5.4 Matriz de los Términos Independientes del Sistema, cuyos elementos son los
valores jb
X representa la 5.5 Matriz de las Incógnitas del Sistema, cuyos elementos son los valores de ix .
En este sistema los valores .ija , jb son números reales dados. El problema es encontrar los valores ix
que satisfagan simultáneamente cada una de las ""m ecuaciones.
Una matriz a considerar es la 5.6 Matriz Ampliada 'A , la cual formamos agregándole la columna
formada por los valores de los términos independientes ""b a la matriz de los coeficientes del sistema a
considerar.
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
...
.....
.....
.....
...
...
'
21
222221
111211
5
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Unidad 5
5.7 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 5.7.1 Método de Eliminación de Gauss.
En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada, se despeja la última incógnita y
luego se usa la sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.
5.7.2 Método de Eliminación de Gauss-Jordan.
En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada reducida, obteniéndose los valores de
las incógnitas.
En el proceso puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes:
A) La última ecuación diferente de cero queda Cxn para alguna constante.
Entonces hay una única solución o hay un número infinito de soluciones para el Sistema que
identificamos como Consistente.
B) Si la última ecuación es una ecuación lineal en dos o más de las variables, entonces existe un número
infinito de soluciones. Este caso corresponde a un Sistema Consistente.
C) Si la última ecuación queda C0 , donde 0C , entonces no existe solución para el sistema. En este
caso, decimos que el Sistema es Inconsistente.
Ejemplo
Resolver el sistema usando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan
1335
1223
822
zyx
zyx
zyx
A) Método de Gauss
Escribimos en forma matricial el sistema:
1
1
8
335
223
212
z
y
x
La matriz ampliada A’ la escribimos a continuación y nombramos sus filas:
1335
1223
8212
3
2
1
F
F
F
6
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Realizamos operaciones elementales con las filas de 'A :
1335
1223
412
11
2
1
3
2
1
F
F
F
2182
110
1352
70
412
11
5
3
31
21
1
FF
FF
F
11
42
11
1610
7
26
7
1010
412
11
11
2
7
2
3
2
1
F
F
F
1
77
200
7
26
7
1010
412
11
32
2
1
FF
F
F
41007
26
7
1010
412
11
2
773
2
1
F
F
F
El nuevo sistema es:
47
264
1007
1010
12
11
z
y
x
De otro modo, el sistema anterior se puede escribir al efectuar el producto matricial como:
1) 42
1
zyx
2) 7
26
7
10
zy
3) 4z
7
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Sustituyendo 3) en 2): 27
26
7
40
7
264
7
10
y
Sustituyendo yz, en 1): 14422
14
2
1
zyx
El conjunto solución es: 4,2,1,, zyx
Método de Gauss-Jordan
Usaremos la matriz ampliada escalonada, para continuar con la reducción del sistema:
41007
26
7
1010
412
11
3
2
1
F
F
F
4100
20107
15
7
201
7
10
2
1
3
32
21
F
FF
FF
4100
2010
10017
2
3
2
31
F
F
FF
El sistema en forma matricial se puede escribir:
4
2
1
100
010
001
z
y
x
Realizando el producto matricial e igualando las dos matrices resultantes, encontramos:
1) 1x
2) 2y
3) 4z
El conjunto solución es: 4,2,1,, zyx
8
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Unidad 5
5.8 Equivalencia de Sistemas
Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando toda
solución de un sistema lo es también del otro, es decir cuando tienen las mismas soluciones.
5.9 Teorema de Rouché-Frobenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la
matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual característica o rango. Si difieren la
característica de la matriz de los coeficientes y la característica de la matriz ampliada el sistema es
incompatible.
Si la característica es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y posee
solución única. Si la característica es menor que el número de incógnitas, el sistema es indeterminado. El
sistema posee infinitas soluciones.
En resumen, tenemos:
5.10 A) Caso de Incompatibilidad. En un sistema a estudiar, si el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de
incógnitas, el sistema no admite solución. Es decir, se dice que el sistema o las ecuaciones que lo forman,
son incompatibles.
B) Caso de Compatibilidad B.1) Sistemas Determinados. Poseen solución única. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones
independientes es igual al número de incógnitas.
B.2) Sistemas Indeterminados. Poseen infinitas soluciones. Ocurre cuando el número de ecuaciones
independientes, es menor que el número de incógnitas.
En estos casos, se procede tomando un número de variables como parámetros, que identificamos como
variables libres, a las cuales asignamos valores para resolver el sistema. Si llamamos “m” al número de
ecuaciones linealmente independientes del sistema considerado y “n” al número de incógnitas del
sistema (m < n), entonces:
5.11 Número de variables libres del sistema = n-m
La asignación de valores a las variables libres nos permitirá obtener las infinitas soluciones del sistema
que se considera.
5.12 Sistemas Homogéneos. Una ecuación lineal se llama homogénea cuando su término conocido
o independiente es nulo. Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando todas sus
ecuaciones lo son.
Es decir: BAX es el sistema conocido, cuando 0B entonces:
0AX es un Sistema Homogéneo.
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Podemos escribir un sistema homogéneo:
0... 1313212111 nn xaxaxaxa
0... 2323222121 nn xaxaxaxa
. . . . .
. . . . .
. . . . .
0...332211 nmnmmm xaxaxaxa
Expresando en forma matricial el sistema anterior:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
.....
.....
.....
...
...
321
2232221
1131211
0
.
.
.
0
0
.
.
.
2
1
nx
x
x
5.13 Solución en los sistemas homogéneos.
En este caso, el sistema admite, al menos, una solución. Es evidente que tal solución, siempre existente, es
la 0...21 nxxx , que por convenir a cualquier sistema homogéneo, se le llama la solución
trivial.
La solución trivial será solución única cuando el número de ecuaciones independientes sea igual al
número de incógnitas. Es decir, la característica de la matriz de los coeficientes sea igual a la
característica de la matriz ampliada. En este caso, el sistema se identifica como un sistema determinado.
Si el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, el sistema de
ecuaciones admite infinitas soluciones. Podemos decir, que es un sistema indeterminado e incluye la
solución trivial.
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Unidad 5
Ejemplos
Analizar los sistemas usando el Teorema de Rouché - Frobenius. Resolverlos si es posible
A) 15 zyx
342 zyx
3724 zyx
Escribimos el sistema en forma matricial:
3
3
1
724
142
511
z
y
x
Formamos la matriz ampliada y procedemos a calcular la característica de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada simultáneamente, mediante operaciones elementales:
3724
3142
1511
3
2
1
F
F
F
11360
11160
1511
4
2
13
12
1
FF
FF
F
2200
11160
1511
23
2
1
FF
F
F
11006
1
6
1110
1511
2
1
6
1
3
2
1
F
F
F
De la matriz anterior, podemos decir que la matriz A de los coeficientes es:
1006
1110
511
A
El rango o característica de A es: 3Ar
La matriz 'A ampliada es:
11006
1
6
1110
1511
'A
El rango o característica de 'A es: 3' Ar
Como las características de A y 'A son iguales, entonces el Sistema es Compatible. Si ocurre
que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el Sistema es Determinado y posee
solución única.
11
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Si escribimos el sistema en forma matricial tenemos:
16
11
1006
1110
511
z
y
x
Efectuando el producto matricial podemos escribir el sistema equivalente:
1) 15 zyx
2)6
1
6
11
zy
3) 1z
En el sistema anterior, de 3): 1z
Sustituyendo z en 2): 216
11
6
1
6
1
6
11
zy
Sustituyendo z, y en 1) 2115215 zyx
El conjunto solución es: 1,2,2,, zyx
B) 52 zyx
832 zyx
Escribimos en forma matricial el sistema:
8
5
132
211
z
y
x
Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar el rango o característica de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada.
8132
5211
2
1
F
F
2510
5211
212
1
FF
F
La matriz A de los coeficientes es:
510
211A
El rango o característica de A es: 2
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Unidad 5
La matriz 'A ampliada es:
2510
5211'A
El rango o característica de 'A es: 2' Ar
Como las características de A y 'A son iguales , entonces el Sistema es Compatible. Al ocurrir
que el número de ecuaciones linealmente independientes (rangos de las dos matrices es dos (2) es menor
que el número de incógnitas (3), entonces el Sistema es Indeterminado. Posee infinitas soluciones.
Escribiendo el sistema en forma matricial:
2
5
510
211
z
y
x
Realizando el producto matricial, en el sistema tenemos:
1) 52 zyx
2) 25 zy
Como tenemos dos 2 ecuaciones m = 2 y tres 3 incógnitas n=3 entonces:
Número de variables libres NVL es: 123 mnNVL
Luego el sistema lo expresamos como:
1) zyx 25
2) zy 52
Este sistema posee infinitas soluciones, para determinar una solución asignamos un valor a la variable
libre “z”, de este modo:
Para : 0z
Sustituyendo en 2) : 2)0(5252 zy
Sustituyendo y en 1): 725)2()0(2525 yzx
Una solución es: 0,2,7,, zyx
Para : 8z
Sustituyendo en 2): 38)8(5252 zy
Sustituyendo y en 1: 493816538)8(2525 yzx
Otra solución es: 8,38,49,, zyx
Las dos soluciones anteriores forman parte de las infinitas soluciones del sistema dado.
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Unidad 5
C) 0 zyx
0342 zyx
010135 zyx
Escribimos el sistema en forma matricial:
0
0
0
10135
342
111
z
y
x
Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar la característica o rango de la matriz de los
coeficientes y de la matriz ampliada.
010135
0342
0111
3
2
1
F
F
F
015180
0560
0111
5
2
31
12
1
FF
FF
F
0000
0560
0111
36
1
32
2
1
FF
F
F
0000
06
510
0111
3
2
1
F
F
F
Escribiendo el sistema en forma matricial:
0
0
0
0006
510
111
z
y
x
La matriz A de los coeficientes es:
0006
510
111
A
El rango de A es dos: 2Ar
La matriz ampliada 'A es:
0000
06
510
0111
'A
El rango de 'A es dos: 2' Ar
Este sistema es un Sistema Homogéneo.
Como 'ArAr el Sistema es Compatible.
14
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
0
0
6
510
111
z
y
x
Realizando el producto matricial, el sistema se puede escribir:
1) 0 zyx
2) 06
5
zy
Como tenemos dos ecuaciones m=2; y tres incógnitas n=3, el Sistema es Indeterminado. Posee
Infinitas Soluciones.
Número de variables libres NVL es: 123 mnNVL
Para determinar una solución del sistema fijamos un valor a una variable. De este modo,
Cuando: 0z
En 2) : 006
5
6
5
zy
En 1) : 000 zyx
Un conjunto solución es: 0,0,0,, zyx Esta solución se conoce como Solución Trivial (siempre
estará presente en un sistema homogéneo).
Cuando: 6z
En 2) : 566
5
6
5
zy
En 1) : 165 zyx
Un conjunto solución es: 6,5,1,, zyx Esta solución se conoce como Solución No Trivial en el
sistema homogéneo dado.
15
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5.14 Resolución de un Sistema de Ecuaciones Lineales usando Matriz Inversa
En un sistema BXA . si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene solución
única. Esta solución única está dada por:
BAX .1
Ejemplo.
Resolver el sistema BXA . usando la inversa de matrices.
Sea el sistema dado:
12 21 xx
043 21 xx
Expresamos en forma matricial el sistema conocido:
0
1
43
21
2
1
x
x
Identificamos la matriz de los coeficientes (A), la matriz de las incógnitas (X) y la matriz de los términos
independientes (B):
43
21A
2
1
x
xX
0
1B
La solución del sistema dado la tenemos cuando determinemos:
2
1
x
xX
Con este propósito procedemos a buscar la inversa de A, mediante el uso de las operaciones
elementales, para ello formamos la matríz aumentada[A I]:
1043
0121
2
1
F
F
1020
0121
3 21
1
FF
F
2
1
2
310
1201
2
12
21
F
FF
La inversa es :
2
1
2
312
1A
Resolviendo el producto BAX .1 tendremos la solución del sistema considerado.
2
32
02
302
02
11
2
3
0112
0
1
2
1
2
312
2
1
x
x
2
32
2
1
x
x
El conjunto solución es:
2
3,2, 21 xx
16
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Unidad 5
5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.
Determine el valor del parámetro para que el sistema sea:
A) Consistente - Determinado.
B) Inconsistente
Sea el sistema a considerar:
1 zyx
13 zyx
656 azyx
2azyx
Escribimos en forma matricial el sistema:
2
65
1
1
111
116
113
111
a
az
y
x
Formamos la matriz ampliada para determinar el rango o característica de la matriz
de los coeficientes y de la matriz ampliada.
2
4
3
2
1
111
65116
1113
1111
a
a
F
F
F
F
1000
5550
2420
1111
6
3
2
14
13
12
1
a
a
FF
FF
FF
F
1000
110
1210
1111
2
4
351
221
1
a
a
F
F
F
F
1000
1100
1210
1111
24
23
2
1
a
a
F
FF
F
F
17
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Escribimos el sistema equivalente en forma matricial:
2
1
1
1
000
100
210
111
a
az
y
x
La matriz A de los coeficientes es:
000
100
210
111
A
El rango o característica de la matriz A es: 3Ar
La matriz 'A o matriz ampliada es:
1000
1100
1210
1111
'
2a
aA
Caso A) Sistema Consistente – Determinado.
Para que el sistema posea solución la característica de 'A debe ser igual a tres (3)
para que eso suceda :
012 a 1a
Caso B) Sistema Inconsistente
Cuando 1a el sistema no tiene solución, porque 'ArAr
En este caso decimos que el sistema es Inconsistente o incompatible.
18
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1. UNIDAD 5
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. Completar el cuadro siguiente a partir de los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema Dado
Sistema
dado en
forma
matricial
Matriz de
coeficientes
de las
incógnitas
Matriz de las
incógnitas
Matriz de los
términos
independientes
Matriz
ampliada.
1)
3332
5453
32
zyx
zyx
zyx
2) 41062
253
zyx
zyx
3)
538
439
24274
1065
zyx
zyx
zyx
zyx
4)
036
054
0
zyx
zyx
zyx
5)
03452
0
0
uwzyx
uwzyx
uwzyx
19
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
II. En los siguientes sistemas :
A) Exprese en forma matricial
B) Resuelva usando Gauss.
C) Seleccione tres sistemas y resuelva usando Gauss-Jordan
1) 2) 3)
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14
4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 3
4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 11
4) 5) 6)
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24
2𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 30
3𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = 92𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 6
−𝑥 + 16𝑦 − 14𝑧 = −3
7) 8) 9)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4
6𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 20
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 114𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 43𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 7
10) 11) 12)
𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑤 = 42𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 6
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 36𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤 = 5 9𝑥 − 8𝑦 − 5𝑧 + 2𝑤 = 2
6𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1
13) 14) 15)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 06𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 04𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 03𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0
−𝑥 − 11𝑦 + 6𝑧 = 0
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna
Sistema Dado Forma escalonada del
sistema de ecuaciones
lineales.
Sistema Equivalente Solución
del sistema
1)
2)
20
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
III. En cada uno de los sistemas dados, aplique el Teorema de Rouché-Frobenius.
Identifique si los sistemas son compatibles o no. De su solución si es
compatible determinado y una solución si posee infinitas soluciones.
1) 2) 3)
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14
4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 3
4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 11
4) 5) 6)
5𝑥 + 3𝑦 = 13𝑥 − 4𝑦 = 18
8𝑥 + 7𝑦 = −5
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 43𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −3
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 9
5𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = −104𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = 24
9𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 48x + 3y − z = 5
7) 8) 9)
3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 36𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤 = 5 9𝑥 − 8𝑦 − 5𝑧 + 2𝑤 = 2
6𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1
𝑥 + 𝑦 − 2 𝑧 + 4𝑤 = 102𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = −3 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 64𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 6𝑤 = 16
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝑢 + 3𝑤 = −52𝑥 − 7𝑦 + 6𝑧 + 4𝑢 − 5𝑤 = 32𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 − 3𝑢 + 5𝑤 = 3
10) 11) 12)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
−4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
−𝑥 + 6𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −22𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = −3
13) 14) 15)
4𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 63𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4
5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 5
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 9
4𝑥 − 𝑦 + 4 𝑧 = 22𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 27𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 5
16) 17) 18)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 82𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑤 = −13 −𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 1121𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 − 2𝑤 = 0
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 102𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = −3 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 64𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 6𝑤 = 16
−3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = −36𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 + 4𝑤 = 6 −2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑤 = 1
8𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 − 𝑤 = 5
21
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Unidad 5
19) 20) 21)
3332
5453
32
zyx
zyx
zyx
1032
44
1132
zyx
zyx
zyx
495
1332
652
zyx
zyx
zyx
22) 23) 24)
1446
22589
52366
343
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
538
439
24274
1065
zyx
zyx
zyx
zyx
35342
354672
5332
wuzyx
wuzyx
wuzyx
25) 26) 27)
452 zyx 41062
253
zyx
zyx
3332
5453
32
zyx
zyx
zyx
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.
Sistema Dado Forma escalonada del
sistema de ecuaciones
lineales.
Sistema Equivalente Solución
del
sistema
1)
2)
3)
4)
22
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
IV. ¿En cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos se presentan
soluciones no triviales? Indique el caso en donde sólo se posea solución trivial.
1) 2) 3) 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 02𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 06𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 04𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
4) 5) 6)
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 03𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0
−𝑥 − 11𝑦 + 6𝑧 = 0
5𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 03𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 + 𝑢 = 0𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 + 𝑢 = 0
2𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 − 3𝑤 − 𝑢 = 0
7) 8)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 0
−5𝑥 + 13𝑦 − 10𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 2𝑦 + 7𝑧 = 0
A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.
Sistema Dado Forma escalonada del
sistema de ecuaciones
lineales.
Sistema Equivalente Solución
del
sistema
1)
2)
3)
4)
23
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Unidad 5
V. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales mediante:
a) Matriz inversa.
b) Eliminación de Gauss.
c) Gauss-Jordan.
1)
1032
44
1132
zyx
zyx
zyx
2)
495
1332
652
zyx
zyx
zyx
3)
1446
22589
52366
343
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
VI. Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
VII. Determine el valor del parámetro k de modo que el sistema dado sea
consistente determinado
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = −10
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −9
7
4
5
421
331
321
z
y
x
24
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Unidad 5
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 5
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se
plantea en cada caso.
1. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , A corresponde a la matriz:
a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
2. Una sistema es homogéneo cuando:
a)El resultado es un numero entero b) Termino independiente es distinto de cero
c) Termino independiente es cero d) Posee infinitas soluciones
3. Un sistema homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene :
a) Solución No trivial b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
4. Un sistema homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de
incógnitas tiene :
a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
5. Un sistema no homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene
:
a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
6. Un sistema no homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de
incógnitas tiene :
a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior
7. ¿Cómo se llama el método que permite reducir la matriz ampliada a la forma escalonada :
a) Gauss-Jordan b) Rouche Frobenius c) Cramer d) Gauss
8. Un sistema homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee:
a) A = 1 b) B = 0 c) B≠ 0 d) Ninguna Anterior
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Unidad 5
9. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , X corresponde a la matriz:
a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
10. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , B corresponde a la matriz:
a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior
11. Un sistema no homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee:
a) A = 1 b) B = 0 c) B≠ 0 d) Ninguna Anterior
12. un sistema de ecuaciones posee solución única si:
a) Número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
b) Número de ecuaciones difiere del número de incógnitas
c) Número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas
d) Ninguna Anterior
13. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de Ecuaciones lineales tenga solución según el
Teorema de Rouche –Frobenius es que:
a) Tenga solución única
b) La matriz ampliada y la de los coeficientes tengan igual rango
c) La matriz ampliada y la de los coeficientes difieran en el rango
d) Posea infinitas soluciones
14. El método que reduce la matriz ampliada a la forma escalonada reducida es:
a) Teorema de Rouche Frobenius b) Equivalencia de Sistemas c) Gauss-Jordan d) Gauss
15. La matriz que formamos agregando la columna formada por los términos independientes a la matriz
de los coeficientes del sistema es la matriz:
a) Adjunta b) Cofactores c) Coeficientes del sistema d) Ampliada
16. ¿Cuál es la solución del sistema 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) (x, y ,z) = ( 1, 1, 1) b) (x, y ,z) = ( 7/5, 6/5, 2/5) c) (x, y ,z) = ( 1/5, 6/5, 3/5) d) (x, y ,z) = ( 7/5, 1/4, 2/5)
17. ¿ Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) [1 2 31 −1 31 1 −2
] b) [1 1 12 −1 13 3 −2
] c) [3 1 12 −1 17 3 −2
] d) [1 3 12 2 13 7 −2
]
26
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18. ¿Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
4𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 = 3
a) [1 −1 −53 4 13 2 −7
] b) [1 2 4
−1 4 2−5 1 −7
] c) [3 1 12 −1 17 3 −2
] d) [1 −1 −52 4 14 2 −7
]
19. Un sistema de valores numéricos (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama:
a) Sistema Determinado b) Sistema homogéneo c) Matriz ampliada d) Solución del sistema
20. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 1 11/60 0 1
] es:
a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna Anterior
21. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 1 11/60 0 0
] es:
a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna Anterior
22. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 0 00 0 0
] es:
a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna Anterior
23. Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando:
a) Difieren en las soluciones b) Toda solución de uno es también solución del otro
c) Toda solución de uno no es también solución del otro d) Ninguna anterior
24. En un sistema AX=B Si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene:
a) Varias soluciones b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
25. La solución trivial existe en un sistema homogéneo cuando el número de ecuaciones independientes
es:
a)Al termino independiente b) Igual al número de incógnitas
c) a y b son correctas d) Mayor al número de incógnitas
26. Un sistema de valores numéricos (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama:
a) Ecuación b) Incógnita c) Solución d) Todas las anteriores son verdaderas
27
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Unidad 5
27. ¿Cuándo un sistema de Ecuaciones lineales es homogéneo:
a) Cuando sus términos poseen infinitas soluciones b) Al sumar una matriz tenemos una variable
c) Cuando su término independiente es nulo d) Ninguna anterior
28. ¿Qué sistema posee solución única no trivial?
a) Indeterminado b) Determina do c) Homogéneo d) Ninguna anterior
29. ¿Cuál es la matriz ampliada de 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
5𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = −1
a) [2 −1 23 2 −25 3 −3
] b) [2 −1 23 2 −25 3 −3
𝑥𝑦𝑧
] 𝑐) [2 −1 23 2 −25 3 −3
−1−18
] d) [2 −1 23 2 −25 3 −3
8
−1−1
]
30. ¿Cuál es rango de la matriz 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
a) 2 c) 3 d) 1 d) Ninguna anterior
31. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4
a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior
32. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1
− 2𝑥 + 2𝑦 + 10𝑧 = −2
3𝑥 − 3𝑦 − 15𝑧 = 3
a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior
33. Si en un Sistema de Ecuaciones Lineales el conjunto solución (x, y, z) es (0,0,0) su solución se
conoce como una solución:
a) Inversa b) Compatible c) No trivial d) Trivial
34. El número de variables libres en un sistema de ecuaciones lineales es igual a:
a) Número de ecuaciones más el número de incógnitas
b) Número de ecuaciones menos el número de incógnitas
c) Número de ecuaciones por el número de incógnitas
d) Numero de incógnitas menos el número de ecuaciones
28
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
35. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior
36. ¿Cuál es la matriz traspuesta de la matriz de los coeficientes de: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) [1 1 12 −1 13 3 −2
] b) [3 1 12 −1 17 3 −2
] c) [1 2 31 −1 31 1 −2
] d) Ninguna anterior
37. ¿Cuál es la matriz traspuesta de los términos independiente en el sistema : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) [3 2 7] b) [327
] c) [𝑥𝑦𝑧
] d) Ninguna anterior
38. ¿Cuál es la matriz traspuesta de las incógnitas en el sistema : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7
a) [327
] b) [𝑥𝑦𝑧
] c)[𝑥 𝑦 𝑧] d) Ninguna anterior
39. La solución trivial será solución única en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuando el
número de ecuaciones independientes sea igual a:
a) Número de ecuaciones b) Número de incógnitas c) Número de variables libres d) Ninguna Anterior
40. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 3x – 4y + z = 4
2x + y – 5z = 8
x + 2y + 3z = 14
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
41. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10
x -2y + z = 1
5x - y - 4z = 3
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
29
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Unidad 5
42. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10
x -2y + z = 1
5x - y - 4z = 11
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
43. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado x + 3y –5z + w = 4
2x +5y –2z + 4w = 6
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior
44. ¿Cuál es la solución del sistema x + y – z = 7
4x – y + 5z = 4
2x +2y –3z = 0
a) ( x, y, z ) = ( -5 , 15,7 ) b) ( x, y, z) = ( 1 , 30,14 ) c) ( x, y, z) = (-9 , 30 , 1 ) d) (x , y, z) = (-9 ,30 , 14 )
45. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado x + 3y –5z + w = 4
2x +5y –2z + 4w = 6
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
46. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado x + 3y –5z + w = 0
2x +5y –2z + 4w = 0
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
47. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado si z= w = 0
x + 3y –5z + w = 0
2x +5y –2z + 4w = 0
a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
48. ¿Cómo se expresa El sistema dado en forma matricial
41062
253
zyx
zyx
a) [1 −32 −6
] [𝑥𝑦] = [
2 −5𝑧4 −10𝑧
] b) [1 −32 −6
] [𝑥𝑦] = [
2 −5𝑧4 −10𝑧
]
c) [1 −32 −6
5
10 −2 −4
] [𝑥𝑦𝑧
] = [00
] d) [1 −32 −6
5
10] [
𝑥𝑦𝑧
] = [24
]
49. La matriz conocida
87
42A posee:
a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero
30
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Unidad 5
50. La matriz conocida
84
42A posee:
a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero
51. La matriz conocida
87
42A posee:
a) Rango tres b) Rango dos c) Inversa nula d) Determinante cero
52. Según Rouche Frobenius la ecuación formada por 452 zyx posee:
a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
53. Según Rouche Frobenius el sistema formada por las ecuaciones
41062
253
zyx
zyx posee:
a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial
54. Al resolver el sistema
1032
44
1132
zyx
zyx
zyx mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que
obtenemos son:
a) Diferentes b) Semejantes c) Idénticas d) Ninguna anterior
55. Al resolver el sistema
495
1332
652
zyx
zyx
zyx mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que
obtenemos son:
a) Idénticas b) Semejantes c) Diferentes d) Ninguna anterior
56. ¿Cuál es rango de la matriz
495
1332
652
zyx
zyx
zyx
a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior
57. ¿Cuál es rango de la matriz
1032
44
1132
zyx
zyx
zyx
a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna anterior
58. Si decimos que dos sistemas poseen la misma solución entonces son:
a) Mónicos b) Equivalentes c) Homogéneos d) Ninguna anterior
31
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
59. Si decimos que dos sistemas poseen solución trivial entonces son:
a) Mónicos b) Equivalentes c) No Homogéneos d) Ninguna anterior
60. Si decimos que dos sistemas no poseen solución trivial entonces son:
a) Mónicos b) Homogéneos c) No Homogéneos d) Ninguna anterior
32
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Cuestionario No. 5
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que
corresponde a cada una.
1. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que no es homogéneo?
2. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que es homogéneo?
3. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representan: A, X,B?
4. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representa : A' , y cómo se forma?
5. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es consistente o compatible?
6. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente o incompatible?
7. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss?
8. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss-Jordan?
9. Cómo se identifican las soluciones en los sistemas homogéneos?
10. Para qué se utiliza el Teorema de Rouché Frobenius y en qué se fundamenta su uso?
11. Cuando decimos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes?
12. Ponga algún ejemplo sobre la aplicación o uso de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
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Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Unidad 5
Bibliografía Consultada
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Direcciones Electrónicas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_lineales