UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS
Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en condiciones de certeza
TEMA II:
TEMA
II
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Se selecciona el criterio bajo el cual se desea decidir la mejor solución entre el número de alternativas que se presenta
Se define el conjunto de restricciones que limitan la solución del problema
PARADIGMA DECISIONAL MONOCRITERIO
TEMA
II
Uno de los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX
El adjetivo lineal significa que se requiere que todas las funciones matemáticas en este modelo sean funciones lineales
La palabra programación no se refiere aquí a la programación por computadoras; más bien, esencialmente un sinónimo de planificación.
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PROGRAMACIÓN LINEAL
TEMA
II
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TEMA
II
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE UN PROBEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
El problema general de la programación lineal puede ser descrito de la siguiente forma:
Dada una función lineal de varias variables, se quieren determinar valores no negativos para dichas variables que maximicen o minimicen el valor de la función lineal, sujeta a un cierto número de limitaciones que asumen la forma de un sistema de ecuaciones y/ o inecuaciones lineales.
Modelo general de programación lineal
Z = C1X1+ C2X2+ ... +CnXn ( MAX o MIN ) ( 1 )
Sujeto a:
ai1 X1 + ai2 X2 + … + ain Xn bi i=1,…,m (2 )
Xj ≥ 0 j= 1,...,n (3 )
Considerando a n como el número de variables y a m como el número de ecuaciones e inecuaciones y si se cumple que m n entonces el modelo matemático sería el siguiente:
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Modelo general de programación linealLa expresión (1) representa el objetivo organizacional global que se quiere optimizar. A esta expresión se le conoce como FUNCIÓN OBJETIVO . El valor de esta función se representa por Z. Los coeficientes Cj expresan los criterios económicos o técnicos a partir de los cuales el administrador desea buscar la solución óptima (minimizar costos, consumo de materias primas, maximizar utilidades, ingresos, ahorro recursos financieros)
Modelo general de programación lineal
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TEMA
II
Modelo general de programación lineal
Las Xj son las variables de decisión del modelo que se pretenda diseñar. Cada una representa una actividad económica y sus valores representan los niveles de esas actividades.
La expresión (2) es el sistema de ecuaciones y/o inecuaciones lineales que se va denominar como sistema de restricciones lineales, donde los bi (términos independientes) pueden tener diferentes significados económicos
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La expresión (3) establece que las variables del modelo solo pueden tomar valores no negativos, A esta expresión se le conoce como condición de no negatividad.
El conjunto de soluciones que satisfaga las expresiones (1), (2) y (3) se le conoce como solución posible óptima
Modelo general de programación lineal
Procedimiento para la construcción de un modelo de optimización lineal
1. Identificar las variables de decisión
2. Construcción de las restricciones
3. Definición de la función objetivo
4. Plantear la condición de no negatividad.
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Identificación de las variables de decisión
Las variables de decisión son los elementos a través de los cuales se logra el objetivo que se persigue
La definición de las variables de decisión implica identificar cada una de las actividades en que se descompone el problema que se estudia y se realiza en dos etapas fundamentales:
Definición conceptual Definición dimensional Definición temporal
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Construcción del sistema de restricciones
1. Cerciorarse de la necesidad objetiva de considerar que existe una limitación cuantitativa
2. Cuantificar esa limitación, entiéndase cantidad de recurso disponible, demanda de producción, etc
3. Definir el signo de la restricción atendiendo a las características específicas de la limitación que se esté modelando y las variables que deben formar parte de las restricciones.
4. Definir los coeficientes asociados a las variables, es decir, los coeficientes de conversión.
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Definición de la función objetivo
La función objetivo debe ser lineal y en la misma se deben incluir todas las variables, aunque el coeficiente asociado a las mismas sea cero o negativo.
El objetivo debe representar la meta del decisor
Condición de no negatividad:Las variables deben tomar valores no
negativos
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TEMA
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1X
Caso 1: Planificaciòn de la producciòn
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1X
MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
MAX Z=5X1+8X2 (Ingresos)
0.2X1+0.5X2 ≤120 (Capacidades productivas)
X1≥50 (Demanda mínima del producto EQUIS)
X1,X2≥0
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PROGRAMACIÓN LINEAL EN ENTEROS
TEMA
II
Las variables de decisión solo pueden tomar valores enteros
Xj 0
Un caso especial es que las variables tomen valores binarios (0 o 1) Xj 0, Xj ≤ 1, Xj-entero
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Caso 2: Aplicación de la programación en enteros al presupuesto de capital
TEMA
II
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1X
Requerimientos de capital ($)
Proyecto Valor actual estimado
Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Ampliación de la planta
90000 15000
20000 20000 15000
Ampliación del almacén
40000 10000
15000 20000 5000
Nueva maquinaria 10000 10000
0 0 4000
Investigación sobre nuevos productos
37000 15000
10000 10000 10000
Fondos de capital disponibles
40000
50000 40000 35000
TEMA
II
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1X
X1= 1 si se acepta el proyecto de ampliación de la planta; 0, si se rechaza.X2= 1 si se acepta el proyecto de ampliación del almacén; 0, si se rechaza.X3= 1 si se acepta el proyecto de nueva maquinaria; 0, si se rechaza. X4= 1 si se acepta el proyecto de investigación sobre nuevos productos; 0, si se rechaza.
VARIABLES DE DECISIÓN
TEMA
II
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1X
4321 37104090 xxxxZMax
1
1
1
1
35104515
40102020
50101520
4015101015
4
3
2
1
4321
421
421
4321
x
x
x
x
xxxx
xxx
xxx
xxxx
0,,, 4321 xxxx
MODELO MATEMÁTICO
TEMA
II
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1X
TEMA
II
SOLUCIÓN ÓPTIMA APLICANDO UN MODELO DE PL
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1X
TEMA
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SOLUCIÓN ÓPTIMA APLICANDO UN MODELO DE PL EN ENTERO