UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 4

Rafael Salas noviembre de 2004

Esquema...

F. de demanda ordinaria

F. indirecta de utilidad

F. de gasto

Ecuación de Slutsky

Propiedades:

Los axiomas imponen una serie de propiedades o restricciones:

F. de demanda compensada

(1) Existen, contínuas y diferenciables (ya visto)

(2) Homogéneas de grado 0 en p e Y

xid

(p,Y) = xid (tp,tY) para todo t >0, p, Y

(3) Restricción presupuestaria

pxid

(p,Y) = Y (4) Las derivadas de xi

d con respecto a p e Y pueden tener cualquier signo, aunque existen unas restricciones:

Propiedades f. de demanda ordinaria

x2

x1

x*

Consumo óptimo dado p, y dado Y

Consumo óptimo dado p, y dado Y

x*

Consumo óptimo dado tp y dados tY

Consumo óptimo dado tp y dados tY

xd (tp, tY) = xd (p, Y) xd (tp, tY) = xd (p, Y)

Homogeneidad de grado 0 en p e Y

Restricciones:

Diferenciando la propiedad (3) con respecto a pj se deduce la:

(4.1) Condición de agregación de Cournot

jsisdij

n

i

1

01

j

j

d

i

n

i

xp

x

ip

o lo que es lo mismo:

Donde es la elasticidad-precio cruzada ordinaria entre i y j, y Si es la proporción del gasto en el bien i sobre el gasto total.

dij

Restricciones:

Diferenciando la propiedad (3) con respecto a Y se deduce la:

(4.2) Condición de agregación de Engel

1

1

isi

n

i

11

Y

x

ip

d

i

n

i

o lo que es lo mismo:

Donde es la elasticidad-renta del bien ii

Restricciones:

De la propiedad (2) se deduce por el teorema de Euler:

(4.3) Condición de homogeneidad:

i

n

j

dij

1

01

Y

xY

p

x

ip

d

i

j

d

i

n

j

o lo que es lo mismo:

Restricciones:

De la ecuación de Slutsky deduciremos más adelante otra serie de restricciones sobre los signos. Antes veamos algunas propiedades de la función indirecta de utilidad

La función indirecta de utilidad

Si introducimos todas las xid (p, Y ) en la función de utilidad

obtenemos la función indirecta de utilidad:

V(p, Y) = U(xd (p, Y))

Indica la máxima utiidad obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de renta del individuo

• (1) Homogéneas de grado 0 en p e Y

V (p,Y) = V (tp,tY) para todo t >0, p, Y

(2) Creciente en Y y no creciente en p

(3) Identidad de Roy…

Propiedades f. indirecta de utilidad

x2

x1

x*

Máxima utilidad dado p, y dado Y

Máxima utilidad dado p, y dado Y

x*

Máxima utilidad, dado tp y dados tY

Máxima utilidad, dado tp y dados tY

V(tp, tY) = V(p, Y) V(tp, tY) = V(p, Y)

Homogeneidad de grado 0 en p e Y

Identidad de Roy:

Differentiate w.r.t. pi . Use Shephard’s Lemma

V (p, y) / pi xi

d = – ———— V (p, y) /y

V (p, y) / pi xi

d = – ———— V (p, y) /y

Desutilidad marginal del precio de i

Desutilidad marginal del precio de i

Utilidad marginal de la renta

Utilidad marginal de la renta

Nos permite rescatar la función de demanda ordinaria a partir de la función indirecta de utilidad

Nos permite observar que =utilidad marginal de la renta (positiva)

Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES

La función de gasto

Si introducimoslos xic (p, U ) en la definición de gasto

obtenemos la función de gasto:

e(p, U) = pi xic (p, U)

Indica el mínimo gasto obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de utilidad

• (1) Homogéneas de grado 1 en p

e (p,U) = t e (tp,U) para todo t >0, p, U

(2) Creciente en U y no decreciente en p

(3) Lema de Shepard…

Propiedades f. de gasto

x2

x1

x*

Mínimo gasto dados p y

Mínimo gasto dados p y

x*

Mínimo gasto dados tp, y

Mínimo gasto dados tp, y

e(tp, ) = t ipi xic = t e(p, ) e(tp, ) = t ipi xi

c = t e(p, )

Homogeneidad de grado 1 en p

Lema de Shepard:

xic(p, ) = e (p, )/ pi

Determina el signo de ciertas respuestas: función de gasto cóncava en p y simetría de efectos sustitución cruzados (más adelante)

Nos permite rescatar la función de demanda compensada partir de la función de gasto

Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES

e(p, )

pi = xi

c_______

pi

e

Lema de Shephard Pendiente = x1c

Pendiente = x1c

p1

DA

B

Gasto en D > 1/2 [Gasto en A + Gasto en B]

e

La f. de gasto es cóncava en precios

x2

x1

La f. de gasto es cóncava en precios

x’

x’’

x*

e(p*,) t e(p’’,) + (1-t) e(p’,)

Demostración

Dados p’, p’’ y p* = tp’’ + (1-t)p’ tenemos inicialmente que :

p’’x* p’’x’’ y p’x* p’x’ Si multiplicamos por t y 1-t las dos expresiones, donde 0 t 1, y las sumamos :

tp’’x* + (1-t)p’x* tp’’x’’+ (1-t)p’x’

Pero como p* = tp’’ + (1-t)p’ tenemos:

p*x* tp’’x’’+ (1-t)p’x’

Con lo cual:

e(p*,) t e(p’’,) + (1-t) e(p’,)

(1) Homogéneas de grado 0 en p

xic(p,U)= xi

c(p,U)

(2) Los efectos con respecto a p son no positivos (negativos, si convexidad estricta)…

(3) Los efectos cruzados son simétricos…

(4) La matriz de efectos sustitución es semidefina negativa

Propiedades f. de demanda compensada

Restricciones:

De la propiedad (1) se deduce aplicando el teorema de Euler:

(1bis) Condición de agregación:

01

i

scij

n

j

01

j

c

i

n

j p

x

jp

o lo que es lo mismo:

Restricciones:

(2) Negatividad del efecto sustitución propio

0cii

0 isidii

0),(

2

2

ip

Upe

ip

ci

x

Donde y son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadas

es la elasticida renta de i y si es la proporción de gasto de i sobre el total

dij c

ij

i

Por la concavidad de la función de gasto,o lo que es lo mismo:

Restricciones:

(3) Simetría del efecto sutitución cruzado

ji

pp

Upe

ip

cj

x

jp

ci

x

),(2

Implicación: los bienes son inequívocamente sustitutos o complementarios “netos”.

Se rompe la ambigüedad existente en el concepto “bruto”

Relaciones...

La ecuación de Slutsky va a relacionar las funciones de demanda ordinaria y compensada. Antes formulemos unas identidades propias de la dualidad :

xic(p, ) = xi

d(p, e(p, ))

xid(p, Y) = xi

c(p, V(p, Y ))

Ecuación de Slutsky...

La ecuación de Slutsky relaciona las funciones de demanda ordinaria y compensada :

1

1

1

1

1

1pe

e

dx

p

dx

p

cx

1

1

1

1

1

1pe

e

dx

p

cx

p

dx

11

1

1

1

1 xe

dx

p

cx

p

dx

Ecuación de Slutsky...

La ecuación de Slutsky introduce restricciones en ciertos signos:

ET= ES + ER

-(vo), si bien normal

+(vo), si bien inferior

ET, -(vo) ET, ambiguo -(vo)

-(vo)

11

1

1

1

1 xe

dx

p

cx

p

dx

Ecuación de Slutsky...

La ecuación de Slutsky más general :

jxe

dix

jp

cix

jp

dix

jpe

e

dix

jp

cix

jp

dix

jsicij

dij

En términos de elasticidades :

Donde y son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadasdij c

ij

es la elasticida renta de i y sj es la proporción de gasto de ji

Otras relaciones...

Por último, vemos como se relacionan la función de gasto y la función indirecta de utilidad:

e(p, U*) = Y* e(p, V(p, Y)) = Y

V(p, Y*) =U* V(p, e(p, U)) =U

La función de gasto es la inversa de la función indirecta de utilidad y viceversa

Esquema resumen

L. SHEPARD

F. de demanda ordinaria

F. indirecta de utilidad F. de gasto

P. Primal:

F. de demanda compensada

P. Dual:

I. ROY

E. SLUTSKY

INVERSA

C.P.O.+ P.R.

F.D.U.

C.P.O.+ F.D.U.

R.P.

Otras restricciones

Existen otro tipo de restricciones que se imponen a menudo en los modelos para introducir otras propiedades:

Aditividad y separabilidad Condiciones de agregación de bienesCondiciones de agregación de consumidores

Práctica:

(1) Deriva las funciones de demanda que se generan de:

V= i/ i(pi/y) i

donde son parámetros positivos. Houthakker: indirect addilog model, Econometrica (1960)

SOL

.

Práctica:

(2) Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. Razone brevemente las respuestas.

(a) El efecto de sustitución con respecto al propio precio será negativo si y solo si las curvas de indiferencia son convexas al origen(b) El efecto sobre la demanda del bien j de un cambio infinitesimal del precio del bien i es idéntico al efecto sobre la demanda del bien i de un cambio infinitesimal del precio del bien j(c) La demanda ordinaria del bien i es decreciente en el precio del bien i(d) La demanda ordinaria del bien i es proporcional al efecto marginal sobre la utilidad de un incremento del precio del bien i(e) La demanda compensada del bien i es decreciente en el precio del bien i

.

Práctica:

(3) Un consumidor dispone de una función de utilidad indirecta:

donde (p1,...,pn) es el vector de precios y Y la renta monetaria y i,

i son parámetros no negativos tales que

Deduce la función de gasto del consumidor SOL

.

n

i

n

iiiii

pYpV1 1

loglog

1

1

n

ii

Práctica:

(4) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema de demanda para ser coherente con la teoría?

(5) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema para ser coherente con la teoría?

.

nipyxn

kkikiii

,...,1logloglog1

nipypxpn

jijijiiiii

,...,11

Práctica:

(6) Demuestra que la homogeneidad de grado 0 de las funciones de demanda imponen que:

o lo que es lo mismo

(7) Demuestra que si se dan las condiciones de agregación y de simetría se cumple la condición de homogeneidad.

.

niidij

n

j

,...,10

1

niyx

ypx

jp i

j

in

j

,...,10

1

Práctica:

(8) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios netos? Es decir, cómo es el signo de

(9) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios brutos? Es decir, cómo es el signo de

.

jp

cix

jp

dix

Práctica:

(10) Dada la siguiente matriz de efectos de sustitución de un consumidor sobre 3 bienes para los precio p1=1, p2=2 y p3=6:

Completa los valores que faltan. Verifica que la matriz resultante cumple las propiedades de una matriz de efectos sustitución.

.

??3

?4?

??10

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Microeconomía Superior I:Tema 4

Rafael Salas noviembre de 2004