Universidad Nacional de Huancavelica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍAEscuela Académico Profesional de Ingeniería Civil - Huancavelica

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA

1. Método de Integración Compleja

a) ∫ sen5 (2 x )dx

Solución

Sabemos que:

sen (ax )= eaxi−e−axi

2 icos (ax )= eaxi+e−axi

2

Reemplazando sen (2x )= e2xi−e−2xi

2i

∫ sen5 (2 x )dx=∫( e2xi−e−2 xi

2 i )5

dx

¿∫ 1

2∗24 i5(e2xi−e−2xi )5dx

utilizando el binomio denewton

(a−b )5=a5−5a4b+10 a3b2−10a2b3+5a b4−b5

sabiendo que i5=i

¿ 116∫

12i

( e(2ix )5−5e (2 ix )4 e (−2 ix )+10 e(2ix )3 e(−2 ix )2−10 e(2 ix )2 e(−2 ix)3+5e (2 ix ) e (−2ix )4−e(−2 ix )5 ) dx

¿ 116∫

12i

¿

Reemplazandoen funcion del seno :

¿ 116∫ ( sen (10 x )−5 sen (6 x )+10 sen(2 x)) dx

¿ 116∫ sen (10 x ) dx−¿ 5

16∫ sen (6 x ) dx+1016∫ sen (2x ) dx¿

¿ 160cos (10 x )− 5

96cos (6 x )+ 5

16cos (2x )+C

Página 1


b) ∫cos5 (2x ) dx

Solución

Sabemos que:

sen (ax )= eaxi−e−axi

2 i;cos (ax )= eaxi+e−axi

2

Reemplazando cos (2 x )= e2xi+e−2 xi

2

∫cos5 (2x ) dx=∫( e2 xi+e−2xi

2 )5

dx


(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5

¿ 116∫

12

(e(2 ix )5+5 e(2 ix )4 e (−2 ix )+10e(2 ix)3 e (−2 ix )2+10e (2 ix )2e (−2ix )3+5e (2 ix )e (−2 ix )4+e(−2ix )5 ) dx

¿ 116∫

12¿

Reemplazandoen funcion del coseno :

¿ 116∫ (cos (10x )+5cos (6 x )+10cos (2x )) dx

¿ 116∫cos (10 x ) dx+¿ 5

16∫ cos (6 x ) dx+ 1016∫ cos (2 x )dx ¿

¿− 160

sen (10x )− 596

sen (6 x )− 516

sen (2x )+C

c) ∫ tan7 (3x ) dx

Solución:

Sabemos que tan7 (3 x )=( e3xi−e−3xi

i (e3xi+e−3xi ) )7

Página 2


Reemplazando en la integral

∫ tan7 (3x ) dx=∫ [ e3 xi−e−3 xi

i (e3xi+e−3 xi ) ]7

dx

Desarrollando con el binomio de newton

(a+b )7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a b6+b7

¿∫( e21 xi−7e (15 xi )+21e (9 ix )−35e (3 ix )+35e (−3 ix )−21e (−9 ix )+7e (−15 xi )−e21 xi

i7 (e21 xi+7e (15 xi )+21e (9ix )+35e (3 ix )+35e(−3 ix )+21e (−9ix )+7e (−15 xi)+e21 xi ) )dx

Sabemos que: i7=−i

¿∫−( e21 xi−e21 xi−7 ( e (15 xi )−e (−15 xi ) )+21 (e (9 ix )−e (−9 ix ))−35 (e (3 ix )−e (−3 ix ) )i (e21 xi+e21 xi+7 ( e(15 xi)+e (−15 xi) )+21 (e (9 ix )+e (−9ix ) )+35 ( e(3 ix )+e (−3 ix ) )) )dx

Reemplazandoen funcion de seno y coseno :

¿∫−( sen(21x )−7 sen (15 x)+21 sen (9 x )−35 sen (3 x)cos (21 x )+7cos (15 x )+21cos (9 x )+35cos (3 x) )dx

¿−∫( sen (21 x)−7 sen (15 x)+21 sen (9 x)−35 sen(3x )cos (21 x )+7 cos (15 x )+21cos (9x )+35cos (3 x) )dx

Estaintegral sehace complicadoresolver coneste metodo , si

Tratamos de reducir vuelve a la expresión original. Por lo tanto sería

factible resolver con otro método.

d) ∫ sec3 (4 x ) dx

Solución

Sabemos que sec (4 x )= 2

e4xi+e−4 xiReemplazando a la integral

Página 3


∫ sec3 (4 x ) dx=∫( 2e4 xi+e−4 xi )

3

dx



(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3

¿∫( 8

e12 xi+3e4 xi+3e−4 xi+e−12 xi )dx




e) ∫ senh5 (3 x )dx

Solución

Sabemos que senh (3x )= e3 x−e−3x

2Reemplazando a la

integral

∫ senh5 (3 x )dx=∫( e3x−e−3 x

2 )5

dx

(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5

¿ 116

∫( e15 x−5e9 x+10e3x−10e−3 x+5e−9 x−e−15 x

2 )dx

Reemplazandoel valor de senhtenemos que :

¿ 116∫ ( senh (15 x )−5 senh (9x )+10 senh (3 x)) dx

¿ 116∫ senh (15x ) dx−5

6∫ senh (9x ) dx+1016∫senh (3 x)dx

Página 4


¿cosh (15 x )240

−5cosh (9 x )144

+5cosh (3 x )

24+C

f) ∫cosh3 (4 x )dx

Solución

Sabemos que co sh (4 x )= e4 x+e−4 x

2Reemplazando a la

integral

∫cosh3 (4 x )dx=∫( e4x+e−4 x

2 )3

dx

(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3

¿ 14∫( e12 x+3e4 x+3e−4 x+e−12 x

2 )dx

Reemplazandoel valor decosh tenemos que :

¿ 14∫ (cosh (12x )+3cosh (4 x ) ) dx

¿ 14∫ cosh (12 x ) dx+ 3

4∫cosh (4 x )dx

¿senh (12 x )

48+3 senh (4 x )

16+C

g) ∫coth 3 (6 x ) dx

Solución

Página 5


Sabemos que cot h (6 x )= e6x+e−6 x

e6x−e−6 x Reemplazando a la

integral

∫coth3 (6 x ) dx=∫( e6 x+e−6x

e6 x−e−6x )3

dx

(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3

¿∫( e18 x+3e6x+3e−6x +e−18 x

e18 x−3e6x+3e−6 x−e−18 x )dx

Reemplazandoel valor de senh y cosh tenemos que :

¿∫( cosh (18 x )+3cosh (6 x )senh (18 x )−3 senh (6 x ) )dx




h) ∫ cosech5 (4 x ) dx

Solución

Sabemos que co sech (4 x )= 2

e4x−e−4x Reemplazando a la

integral

∫ cosech5 (4 x ) dx=∫( 2e4 x−e−4 x )

5

dx


(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5

Página 6


¿∫( 32

e20 x−5e12 x+10e4x−10e−4 x+5e−12 x−e−20 x )dx

¿16∫( 1

e20 x−5e12 x+10e4 x−10e−4 x+5e−12 x−e−20 x

2 )dx

Reemplazandoel valor de senhtenemos que :

16∫( 1senh (20 x )−5 senh (12 x )+10 senh (4 x ))dx




i) ∫ e3 x sen4(2x )dx

Solución

Sabemos quesen (ax )= eaxi−e−axi

2i; a=2

reemplazando a la integral.

¿∫e3x ( e2xi−e−2 xi

2 i )4

dx

¿ 1

16i2∫ e3 x((e2xi)4−4 ( e2 xi )3 ( e−2xi )+6 (e2xi)

2(e2xi)2−4 ( e−2xi )3 (e2xi )¿+(e−2 xi)4)dx ¿

¿ 1

16i2∫ e3 x (e8 xi+e−8xi−4 ( e4xi+e−4xi )+6)dx

i2=−1

¿ 18∫e3x ( e8xi+e−8xi

2−4 ( e4 xi+e−4 xi

2 )+3)dx

Página 7


¿ 18∫e3x (cos (8 x )−4cos (4 x )+3 ) dx

¿ 18∫e3x cos (8 x ) dx−4

8∫ e3 xcos (4 x ) dx+¿ 38∫ e3x dx¿

¿ 18∫e3x cos (8 x ) dx−1

2∫ e3 xcos (4 x ) dx+¿ 38∫ e3x dx¿

sabemos que∫ebxcos (ax )dx=ebx ( asen (ax )+bcos (ax ) )

a2+b2

entonces b=3 ;a=8 ,4

18 [ e3x (8 sen (8x )+3cos (8x ) )

73 ]−12 [ e3x (4 sen (4 x )+3cos (4 x ) )25 ]+ 18 e3 x+C

¿e3 x sen(8x )

73+

e3x cos(8 x )584

−2e3x sen (4 x )

25−3e3x cos(4 x )

50+ 18

e3x+C

j) ∫ e−2 xcos5 (3 x ) dx

Solución

Sabemos queco s (ax )= eaxi+e−axi

2; a=3


¿∫e−2x ( e3xi+e−3 xi

2 )5

dx

¿ 132∫ e−2x ((e3xi )5+5 ( e3 xi )4 ( e−3 xi )+10 (e3xi )3 ( e−3 xi )2+10 (e3xi )2 (e−3 xi )3+5 (e3xi ) (e−3 xi )4¿+( e−3xi )5)dx¿

¿ 116

∫e−2x (e15 xi+e−15 xi+5 (e9 xi+e−9xi )+10 ( e6 xi+e−6 xi ))2

dx

Página 8


¿ 116

∫e−2x ( e15 xi+e−15 xi

2+5( e9xi+e−9xi

2 )+10 ( e6 xi+e−6 xi

2 ))dx

¿ 116∫e−2x (cos (15 x )+5cos (9 x )+10cos (6 x ) ) dx

¿ 116∫e−2x cos (15 x ) dx+ 5

16∫ e−2xcos (9 x )dx+¿ 1016∫e−2 xcos (6 x ) dx ¿

¿ 116∫e−2x cos (15 x ) dx+ 5

16∫ e−2xcos (9 x )dx+¿ 58∫e−2 xcos (6 x ) dx ¿


a2+b2

entonces b=−2 ;a=15 ,9 ,6

¿ 116 [ e−2x (15 sen (15 x )−2cos (15 x ) )

229 ]+ 516 [ e−2x (9 sen (9x )−2cos (9 x ) )85 ]+ 58 [ e−2x6 sen (6 x )−2cos (6 x )

40 ]¿15e−2x sen(15 x )

3664−

e−2x cos (15 x )1832

+e−2x sen (9x )

272−

e−2x cos (9 x )136

+3e−2x sen (6 x )

32−

e−2xcos (6 x )32

+C

k) ∫ e2 x tan2 (2 x )dx

Solución

Sabemos que tan ( ax )= eaxi−e−axi

i (eaxi+e−axi ); a=2


¿∫e2x ( e2xi−e−2xi

i (e2xi+e−2xi ) )2

dx

¿∫ e2 x

i2 ( e4 xi+e−4 xi−2e2xi e−2xi

e4 xi+e−4 xi+2e2xi e−2xi )dx

¿∫−e2x ( e4xi+e−4 xi−2e4 xi+e−4 xi+2 )dx

Página 9


¿∫−e2x ( e4 xi+e−4xi−22

e4xi+e−4xi+22

)dx

¿∫−e2x ( cos (4 x )−1cos (4 x)+1 )d x

¿−∫ e2x ( cos (4 x )−1cos (4 x )+1 )d x

É staexpresi ó nse hacedificil resolver coneste mé todo

l) ∫ e4 x sec3 ( x )dx

Solución

Sabemos quesec (ax )= 2

( eaxi+e−axi );a=1


¿∫e4 x( 2( exi+e− xi ) )

3

dx

¿∫e4 x( 8

e3xi+e−3xi+3e2xi e− xi+3exi+e−2xi )dx

¿∫e4 x( 8

e3xi+e−3xi+3 (e xi+e−xi ) )dx

¿∫e4 x( 4

e3xi+e−3 xi

2+3 ( exi+e− xi

2 ))dx

¿∫e4 x( 4cos (3 x )+3cos (x ))dx

Página 10


É staexpresi ó nse hacedificil resolver coneste mé todo

ll) ∫ e2 x sen3(3 x)dx

Solución


2i; a=3


¿∫e2x ( e3 xi−e−3 xi

2 i )3

dx

¿ 18 i3

∫ e2 x((e3xi)3−3 (e3xi )2 ( e−3 xi )+3(e3 xi)1(e3 xi)2−¿(e−3 xi)3)dx¿

¿∫e2x ( e9xi−e−9xi−3 ( e3 xi+e−3xi )8 i3 )dx

i3=−i

¿−14∫ e2 x(( e9xi−e−9xi

2 i )−3( e3xi−e−3xi

2i ))dx

¿−14∫ e2 x ( sen (9 x )−sen (3 x ) ) dx

¿−14∫ e2 x sen (9 x )dx+ 4

3∫e2x sen (3 x ) dx

sabemos que∫ebx sen (ax ) dx=ebx (bsen (ax )−acos (ax ) )

a2+b2


¿−14 [ e2 x (2 sen (9x )−9cos (9 x ) )

85 ]+ 43 [ e2 x (2 sen (3 x )−3cos (3x ) )13 ]+C

¿9e2 xcos (9 x)

340−

e2x sen (9 x )170

+8e2x sen (3 x )

39−4e2x cos(3 x )

13+C

Página 11


m) ∫ e√ xcos3(√x )dx

Solución

Sabemos quecos (√x )= e√x i+e−√x i

2


¿∫e√x ( e√x i+e−√xi

2 )3

dx

¿ 14∫ e√x (( e3√x i+e−3√x i

2 )+3( e√x i+e−√x i

2 ))dx

¿ 18∫ ( e3√x i+√x+e−3√xi+√x+3e√x i+√x+3e−√x i+√x) dx

¿ 18∫e3√x i+√ x dx+ 1

8∫e−3√x i+√x dx+¿ 38∫ e√ xi+√x dx+¿ 3

8∫ e−√x i+√x dx¿¿

haciendo cambiode variable

√ x=t ;dx=2tdt

¿ 18∫e3 ti+t2 tdt+ 1

8∫ e−3 ti+t2 tdt+¿ 38∫ eti+√x2 tdt+¿ 3

8∫e−ti+√ x2 tdt¿¿

¿ 14∫ e3ti+ t tdt+ 1

4∫ e−3ti+t tdt+¿ 34∫ eti+√ x tdt+¿ 3

4∫ e−ti+√x tdt¿¿

estos integrales no se puederesolver poreste metodo , resolveremos

mediante integracion por partes

14∫ e3 ti+t tdt=¿

Página 12


u=t ;du=dt dv=e3 ti+t dt ; v= e3ti+ t

3i+1

14∫ e3 ti+t tdt= t

4 ( e3 ti+t

3 i+1 )−14∫ e3 ti+t

3i+1dt

14∫ e3 ti+t tdt= t

4 ( e3 ti+t

3 i+1 )− e3 ti+t

4 (3i+1 )2+C

haciendo el mismo procedimiento paralos demas integrales

∫ e√ xcos3(√x )dx= t4 ( e3 ti+t

3 i+1 )− e3 ti+t

4 (3 i+1 )2+ t4 ( e−3 ti+t

−3 i+1 )− e−3 ti+t

4 (−3 i+1 )2+ 3t4 ( e3 ti+t

i+1 )− 3e3ti+ t

4 (i+1 )2+ 3 t4 ( e−3 ti+t

−i+1 )− 3e−3 ti+t

4 (−i+1 )2+C

∫ e√ xcos3(√x )dx= t4 ( e3 ti+t (3 i−1 )

−8 )+ t4 ( e−3 ti+t (−3 i−1 )

−8 )+ 3 t4 ( e ti+t (i−1 )

−2 )+ 3 t4 ( e−ti+t (−i−1 )

−2 )−( e3ti+ t (6 i+8 )−100 )−( e−3 ti+t (−6 i+8 )

−100 )− 34 ( eti+ t (2i )−4 )− 34 ( e−ti+t (−2 i)

−4 )+C

Finalmente reemplazando t=√ x

∫ e√ xcos3(√x )dx=√x4 ( e3√x i+√x (3 i−1 )

−8 )+ √ x4 ( e−3√x i+√ x (−3 i−1 )

−8 )+ 3√x4 ( e√xi+√x ( i−1 )

−2 )+ 3√x4 ( e−√xi+√x (−i−1 )

−2 )−( e3√ xi+√x (6 i+8 )−100 )−( e−3√ xi+√x (−6 i+8 )

−100 )−34 ( e√ xi+√x (2 i )−4 )−34 ( e−√x i+√x (−2i )

−4 )+C

n) ∫ e√ x sen2(√ x)dx

Solución

Sabemos quesen (√x )= e√x i−e−√xi

2 i


¿∫e√x ( e√x i−e−√x i

2i )2

dx

Página 13


¿∫e√x ( e2√ xi+e−2√x i−2 (e√x i e−√x i )4 i2 )dx

i2=−1

¿∫e√x ( e2√ xi+e−2√x i−2−4 )dx

¿−14∫ e√x+2√x i dx−1

4∫ e√ x−2√ xi dx+¿ 12∫ e√x dx ¿

haciendo cambiode variable

√ x=t ;dx=2tdt

¿−14∫ et+2 ti2 tdt−1

4∫e t−2 ti2 tdt+¿ 12∫e t2tdt ¿



−12 ∫e t+2ti tdt=¿

u=t ;du=dt dv=e t+2ti dt ; v= e2ti+t

2i+1

−12∫e t+2ti tdt= t

2 ( e2 ti+t

2 i+1 )+12∫ e2 ti+t

2 i+1dt

−12∫e t+2ti tdt=−t

2 ( e2 ti+t

2i+1 )+ 12 ( e2 ti+t

2i+12 )+C

haciendo el mismo procedimiento paralos demas integrales

∫ e√ x sen2(√ x)dx=−12 ∫e t+2 ti tdt−1

2∫e t−2 ti tdt+¿∫e t tdt ¿

Página 14


¿− et+2 ti

2 i+1+ t2 ( e t+2 ti

(2 i+1 )2 )+12 ( et+2 ti

(−2 i+1 )2)− t2 ( e−2ti+ t

−2 i+1 )+ 12 (e t t )−12

(e t )+C

¿et+2 ti (2 i−1 )

10−

e t+2 ti (4 i+3 )50

+e t−2 ti (−2i−1 )

10−

e t+2ti (4 i−3 )30

+ 12

(e t t )−12

( et )+C

Finalmente reemplazando t=√ x

∫ e√ x sen2(√ x)dx=e2√ xi+√x (2i−1 )

10−

e2√xi+√x (4 i+3 )50

+e−2√ xi+√x (−2 i−1 )

10−

e2√xi+√x (4 i−3 )30

+(e√x √x )2

−(e√x )2

+C

ñ¿∫e x sen3(x )dx

Solución


2i; a=1


¿∫ex ( exi−e−xi

2 i )3

dx

¿∫ex ( e3 xi−e−3 xi−3e2xi e−xi+3e−2xi exi )8 i3

dx

¿ 14∫ ex (( e3 xi−e−3 xi

−2i )−3( exi−e− xi

2 i ))dx

¿ 14∫ ex (−sen (3 x)−3 (sen (x)) )dx

¿−14∫ ex sen (3 x )dx−3

4∫ e3 sen (x ) dx

sabemos que∫ebx sen (ax ) dx=ebx (bsen (ax )−acos (ax ) )

a2+b2

Página 15



¿−14 [ ex ( sen (3 x )−3cos (3 x ) )

10 ]+ 34 [ e3 (sen ( x )−cos ( x ) )2 ]+C

¿−ex sen(3 x )

40+3excos (3 x)

40+3e x sen ( x )

8−3ex cos(x )

8+C

o) ∫ e3 xcos3(√3 x )dx

Solución

Sabemos quecos (√3 x )= e√3 xi+e−√3 xi

2


¿∫e3x ( e√3 xi+e−√3 xi

2 )3

dx

¿ 18∫e3x (e3√3 xi+e−3√3x i+3e√3 xi+3e−√3x i ) dx

¿ 14∫ e3x (( e3√3x i+e−3√3 xi

2 )+3( e√3 xi+e−√3x i

2 ))dx

¿ 14∫ e3x (cos (3√3 x )+3cos (√3x ) )dx

¿ 14∫ e3xcos (3√3 x ) dx+ 3

4∫ e3 xcos (√3 x ) dx



Página 16


p) ∫ e2 xcos2(√2 x)dx

Solución

Sabemos quecos (√2 x )= e√2 xi+e−√2x i

2


¿∫e2x ( e√2 xi+e−√2x i

2 )2

dx

¿∫e2x ( e2√2x i+e−2√2x i+24 )dx

¿ 12∫ e2x (( e2√2x i+e−2√2x i

2 )+1)dx

¿ 12∫ e2x (cos (2√2 x)+1 ) dx

¿ 12∫ e2xcos (2√2 x ) dx+ 1

2∫e2x dx

¿ 12∫ e2xcos (2√2 x ) dx+ 1

4e2x+C

La integral∫ e2 xcos (2√2x ) dx no se puederesolver coneste metodo

Pero se puede aplicar otros métodos como integración por partes.

r) ∫ e2 xcosn ( x ) dx

Solución

A) Analizando la integral cuando n= par

Página 17



2; a=1


¿∫e2x ( exi+e− xi

2 )n

dx

utilizando binomio denewton

(a+b )n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+( n

n−1)abn−1+(nn)bn

cosn ( x )=

(n0)( enxi+e−nxi)+(n1) (e (n−1 ) xi+e−(n−1 ) xi )+…+( nn2 )

2n

Sabemos que(n0)=(n

n);(n1)=( n

n−1)…

¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)( enxi+e−nxi

2 )+(n1)( e( n−1) xi+e−( n−1) xi

2 )+…+( nn2 )]dx

¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)cos (nx )+(n

1)cos ( (n−1 ) x )+(n2)cos ( (n−2 ) x )+…+( n

n2 )]dx

¿(n0)2n−1∫ e2 xcos (nx )dx+

(n1)2n−1∫ e2xcos ( (n−1 ) x ) dx+¿

(n2)2n−1∫ e2 xcos ( ( n−2 ) x ) dx+…+

( nn2 )2n−1∫ e2 x dx ¿


a2+b2

Página 18


∫ e2 xcosn ( x ) dx= e2x

2n−1 {[(n0) ( nsen (nx )+2cos (nx ) )4+n2 ]+(n

1)[(n−1)(sen ((n−1) x )+2cos ((n−1)x ) )4+ (n−1 )2 ]+(n2)[ (n−2 ) sen ( (n−2 ) x )+2cos ( (n−2 ) x)

1+ (n−1 )2+…+

( nn2 )2n ]}

B) Analizando la integral cuando n=impar


2; a=1


¿∫e2x ( exi+e− xi

2 )n

dx

utilizando binomio denewton

(a+b )n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+( n

n−1)abn−1+(nn)bn

cosn ( x )=

(n0)( enxi+e−nxi)+(n1) (e (n−1 ) xi+e−(n−1 ) xi )+…+( nn2 )

2n−1

Sabemos que(n0)=(n

n);(n1)=( n

n−1)…

¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)( enxi+e−nxi

2 )+(n1)( e( n−1) xi+e−( n−1) xi

2 )+…+( nn2 )]dx

¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)cos (nx )+(n

1)cos ( (n−1 ) x )+(n2)cos ( (n−2 ) x )+…+( n

n2 )cos ( n

2 )]dx

¿(n0)2n−1∫ e2 xcos (nx )dx+

(n1)2n−1∫ e2xcos ( (n−1 ) x ) dx+¿

(n2)2n−1∫ e2 xcos ( ( n−2 ) x ) dx+…+

( nn2 )2n−1∫ e2 xcos ( n

2 )dx ¿

Página 19



a2+b2

∫ e2 xcosn ( x ) dx= e2x

2n−1 {[(n0) ( nsen (nx )+cos (nx ) )n2+1 ]+(n1)[ (n−1) (sen ((n−1)x )+2cos ((n−1) x ) )

( n−1 )2+1 ]+(n2)[ (n−2 ) sen ( (n−2 ) x )+2cos ( (n−2 ) x )

(n−2 )2+1+…+( n

n2 )

n2

sen(( n2 ) x)+cos (( n

2 ) x)( n2 )

2

+1 ]}7.- METODO DE INTEGRACIOIO TRIGONOMÉTRICA

a) ∫ sen5 (2 x )dx = ∫ sen4 (2 x ) sen (2x )dx = ∫ sen2 (2 x ) sen2 (2x ) sen (2x )dx

= ∫(1−cos2 (2 x ))(1−cos2 (2 x ))sen (2 x)dx

= ∫(1−2cos2 (2 x )+cos4 (2 x )) sen(2 x)dx

= ∫(sen (2 x)−2cos2 (2 x ) sen (2x )+cos4 (2x ) sen (2x ))dx

=

∫ sen(2x )dx−∫ 2cos2 (2x ) sen (2 x ) dx+∫ cos4 (2 x ) sen(2x )dx

= −cos (2x )

2 + cos3 (2 x )3

– cos5 (2 x )10

+c

b) ∫cos5 (3x ) dx = ∫cos4 (3 x )cos (3 x)dx = ∫cos2 (3x ) cos2 (3 x )cos (2 x)dx

= ∫(1−sen2 (3 x ))(1−sen2 (3 x ))cos (3x )dx

= ∫(1−2 sen2 (3 x )+sen4 (3 x ))cos (3 x)dx

= ∫(cos (3 x)−2 sen2 (3x ) cos (3x )+sen4 (3 x )cos (3 x))dx

=

∫cos (3 x)dx−∫2 sen2 (3x ) cos (3 x)dx+∫ sen4 (3 x ) cos (3 x)dx

= sen (3 x)3

- 2 sen3 (3 x )

9 +

sen5 (3 x )15

+c

c) ∫ tang6 (2x ) dx = ∫ tang4 (2 x ) tang2 (2x ) dx

= ∫(1−sec2 (2 x ))2 tang2 (2 x )dx

Página 20


=∫(1−2 sec 2 (2 x )+sec4 (2 x )) tang2 (2 x )dx

= ∫(tang2 (2 x )−2 sec2 (2x ) tang2 (2 x )+sec 4 (2 x )tang2 (2x ))dx

=∫ tang2 (2x ) dx−¿∫2 sec2 (2 x ) tang2 (2 x ) dx+∫ sec4 (2 x ) tang2 (2x ) ¿dx

=∫(1−sec2 (2 x ))dx−tang3 (2x )

3+∫(1+tang2 (2 x ))sec 2 (2 x ) tang2 (2 x ) dx

=∫ dx−∫ sec2 (2 x ) dx−tang3 (2 x )

3+∫ sec2 (2x ) tang2 (2 x ) dx+∫ sec2 (2 x )tang4 (2 x )dx

=x−tang (2x )

2−

tang3 (2x )3

+tang3 (2x )

6+

tang5 (2x )10

+c

d) ∫ cosec5 (2 x ) dx=¿ ∫ cosec4 (2x ) cosec(2x )dx

= ∫(1+cot2 (2x ))2 cosec(2x )dx

=∫(1+2cot2 (2x )+¿cot4 (2 x ))cosec(2x )dx ¿

=∫(cosec(2x )+2cot2 (2 x )cosec (2x )+¿cot4 (2 x ) cosec(2 x))dx ¿

e) ∫ sen5 ( x )tang4 ( x ) dx = ∫ sen5 ( x ) sen4 ( x )cos4 ( x )

dx

= ∫ sen ( x ) sen8 ( x )cos4 ( x )

dx

= ∫ sen ( x )(1−cos2 ( x ))2(1−cos2 ( x ))2

cos4 ( x )dx

¿∫ sen ( x )¿¿¿

¿∫ sen ( x )cos4 ( x )

dx−∫ sen ( x )4cos2 ( x )cos4 ( x )

dx+∫ sen ( x )6cos4 ( x )cos4 ( x )

dx−∫ sen (x )4 cos6 ( x )cos4 ( x )

dx+∫ sen ( x ) cos8 ( x )cos4 ( x )

dx

Página 21


¿∫ sen ( x )cos4 ( x )

dx−4∫ sen ( x )cos2 ( x )

dx+6∫ sen ( x ) dx−4∫ sen ( x ) cos2 ( x )dx+∫ sen ( x )cos4 ( x ) dx

¿ 13cos3 ( x )

− 4cos ( x )

−6cos (x )+ 4 cos3 ( x )3

−cos5 (x )5

+c

f) ∫cos4 ( x ) sen3 ( x ) dx=∫cos4 ( x ) sen2 ( x ) sen ( x )dx

=∫cos4 ( x )(1−cos¿¿2 ( x ))sen (x ) dx ¿

=∫(cos4 ( x )−cos6 (x ))sen ( x ) dx

=∫(cos4 ( x ) sen ( x )−cos6 ( x ) sen (x ))dx

=∫cos4 ( x ) sen (x)dx−∫cos6 (x ) sen ( x )dx

=−cos5 ( x )

5+cos7 ( x )7

+c

g) ∫ tan3 (3x ) sen3 (x ) dx

h) ∫ sec2( x3 )sen2( x

2 )dx

i) ∫ sen2 (2 x ) cos2( x2 )cos2( x

4 )dx

j) ∫ sen3 (2 x ) sen2( 2x3 ) sen2( 3 x

4 )sen( 2 x5 )dx

k) ∫cos2 (3x ) cos2( 3 x2 )cos2( 2 x

3 )cos ( 5 x2 )dx

l) ∫ tan3 ( x ) sec4 (2x ) dx

ll) ∫ senh3 (2 x ) senh2 (2x ) dx ) ¿∫ senh (2x )(cos h2 (2 x )−1)(cos h2 (2 x )−1)dx

¿∫ senh (2x )(cosh 4 (2 x )−2cosh2 (2 x )+1)dx

¿∫ senh (2x ) cosh4 (2x ) dx−∫ senh (2 x )2cosh2 (2 x ) dx+∫ senh (2 x )dx

Página 22


m) ∫cosh2 (3 x )cosh2 (2x ) cosh2 (4 x ) dx

n) ∫ tan h (2x ) sen h2 (2 x ) dx=∫ tan h (2 x )(cosh2 (2 x )−1)dx

¿∫ senh (2 x )cosh (2 x )

(cosh2 (2x )−1)dx

¿∫ senh (2 x )cos h2 (2x )cosh (2 x )

dx−∫ senh (2x )cosh (2x )

dx

ñ)

s¿∫ sen h3(2x )cos(2 x) senh( x2)dx

senh ( z )= ez−e−z

2

∫( e2 · x

2− e−2 · x

2 )3

cos(2x )senh( x2 )dx

senh ( z )= ez−e−z

2

∫(e

x2

2−

e− x2

2)(

e6 xcos (2 x )8

−3e (2 x ) cos (2x )

8+3e−2 xcos (2 x )

8−

e−6 xcos (2x )8

)dx

∫(e13 x2 cos (2 x )16

−e

(11 x2 )cos (2 x )16

−3e

5x2 cos (2x )16

+3e

3x2 cos (2x )16

+3 e

−3 x2 cos (2 x )16

−3e

−5 x2 cos (2 x )16

–e

−11 x2 cos (2 x )16

+e

−13 x2 cos (2x )16

¿)dx ¿

Aplicando:

∫ eax+b cos (cx+d)dx=eax+b ¿¿

e13 x2 (13cos (2x )

1480+

sen (2 x )370 )−e

11 x2 ( 11cos (2 x )

1096+

sen (2x )274 )−e

5 x2 (15cos (2x )

328+3 sen (2x )82 )+e

3 x2 ( 9cos (2 x )

200+3 sen (2x )50 )+e

−3 x2 ( 3 sen (2x )

50−9cos (2 x )200 )+e

−5x2 ( 15cos (2x )

328−3 sen (2 x )82 )+e

−11 x2 ( 11cos (2x )

1096−

sen (2 x )274 )+e

−13 x2 ( sen (2 x )

370−13cos (2x )1480 )+c

t ¿ .∫ sen2 x

(1−senx )3dx

Página 23


2∫ senxcosx

(1−senx )3dxu=1−senx−du=cosxdx

Remplazando:

−2∫ 1−u

u3du

−2u

+ 1u2

+c= −21−senx

+ 1

(1−senx )2+c

u¿ .∫ co s32 xsen2 x

dx

∫ (2cos ( x )2−1 )3

sen ( x )2dx

∫ 8cos ( x )6

sen (x )2dx−∫ 12cos ( x )4

sen ( x )2dx+∫ 6cos ( x )2

sen ( x )2dx−∫ 1

sen ( x )2dx

2cos ( x )5

sen (x )−cos ( x )3

sen ( x )+3cos ( x )sen ( x )

+3x+∫ 6cos ( x )2

sen ( x )2dx−∫ 1

sen ( x )2dx

2cos ( x )5

sen (x )+

sen ( x )2 cosxsen ( x )

−3cos ( x )sen ( x )

−3 x+c

v¿ .∫ dx

( cosx−senx )4

Desarrollando por partes:

dx=dv1

(cosx−senx )4=u

x=v4 (cos ( x )+sen (x ) ) dx

(cos ( x )−sen ( x ) )5=du

Remplazando:

x

(cosx−senx )4−4∫ x (cos ( x )+sen ( x ) ) dx

(cos ( x )−sen (x ) )5

Aplicando partes en el segundo miembro:

Página 24


(cos ( x )+sen ( x )) dx

(cos ( x )−sen ( x ) )5=dvu=x

−14 ( cosx−senx )

=v du=dx

−x4 ( cosx−senx )

+ 14∫

dxcosx−senx

Remplazando el total:

x

(cosx−senx )4− x

(cosx−senx )+∫ dx

cosx−senx

x(cosx−senx )4

− x(cosx−senx )

− 1√2ln( tan(

x2 )+1−√2

tan( x2 )+1+√2 )+c

w ¿ .∫ cos2 x2 senx+3cosx

dx

∫ 2cos2 x−12 sen2 x+3cosx

dx

∫ 2co s2 x2 senx+3cosx

dx−∫ 12 senx+3cosx

dx

Haciendo:

senx= 2t1+ t2

cosx=1−t 2

1+t 2dx= 2dt

1+t2

∫ 4 (1−2 t2+t 4 )4 t +3−3 t 2

dx−∫ 2dt(4 t+3−3 t 2)

dt

−4¿

−( 544 √131053

+ 12881 ) ln(3 tan( x

2 )−√13−2)+(544 √131053

−12881 ) ln(3 tan( x

2 )+√13−2)−4 tan ( x

2 )(3 tan( x2 )

2

+6 tan( x2 )+7)

27−∫ 2dt

(4 t+3−3 t 2)dt

Página 25


−( 544 √131053

+ 12881 ) ln(3 tan( x

2 )−√13−2)+(544 √131053

−12881 ) ln(3 tan( x

2 )+√13−2)−4 tan ( x

2 )(3 tan( x2 )

2

+6 tan( x2 )+7)

27− 3

√13ln( t−2

3−√133

t−23+ √133

)+c

y ¿ .∫ Se n22xsenxcos3 x

dx

∫ 4 ( sen2 xcos2 x )senxcosx (2cos2 x−1)

dx

2∫ sen2x(2cos2x−1)

dx

Haciendo cambio de variable:

2cos2 x−1=u

−du4

=sen2 xdx

−12 ∫ du

u

−12ln (2cos2 x−1 )+c

Página 26


METODO DE FRACCIONES PARCIALES

a¿ .∫ 3 x+22 x2+7 x – 6

dx

3 x+22x2+7 x−6

=1 /2( A

(x+ 9712

4+ 74 )

+ B

( x−9712

4+ 74 )

)

Remplazando:

Página 27


∫ −13√97+29197 (4 x – √97+7 )

dx+∫ −13√97+29197 (4 x –√97+7 )

dx

( 34−13 √97388 ) ln (4 x –√97+7 )+(13√97+291 ) ln (4 x+√97+7 )

388+c

b¿ .∫ 2x2+4 x−63 x5−5 x2−11 x+2

dx

La expresión 3 x5−5 x2−11 x+2 no contiene factores primos ni complejas por lo que no se puede solucionar el ejercicio.

c ¿ .∫ 4 x−39 x3−81 x

dx

1/9∫ 4 x−3x ( x2−9 )

dx

4 x−3x ( x2−9 )

= Ax+3

+ Bx−3

+ Cx

Remplazando:

∫ x3−∫( 5

6 ( x+3 )dx)+∫( 1

2(x−3) )dx

9

ln ( x – 3 )18

−5ln ( x+3 )54

+ln (x )27

+c

d ¿ .∫ 3 x+2x4−4 x2−3

dx

3x+2x4−4 x2−3

= Ax−1

+ Bx+C

x2+x−3

Remplazando:

∫ −5x−1

dx+∫ 5 x+13x2+x−3

dx

−5 ln ( x−1 )+∫ 5 x+13x2+x –3

dx

Página 28


Desarrollando el segundo miembro:

∫ 5 x+13x2+x –3

dx= Ax+√13 /2+1 /2

+ Bx−√13 /2+1 /2

Remplazando:

∫ 21√13+6513 (2x−√13+1 )

dx+∫ −21√13+6513 (2 x+√13+1 )

dx

(21 √1326

+ 52 ) ln (2x – √13+1 )+(−21√13+65 ) ln (2 x+√13+1 )

26+c

e ¿ .∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9x3−32x2+72

dx

Llevando a una fracción propia:

∫−34

x4+ 274

x3+24 x2−17 x−58

(x−2)(x2+2 x+4)(2 x+3)(2x−3)dx+∫ 1

4xdx+∫ 34 dx …….θ

Desarrollando el primer termino de la integral:

−34

x4+274

x3+24 x2−17 x−58

( x – 2 ) ( x2+2 x+4 ) (2 x+3 ) (2x – 3 )=

Ax−2

+Bx+C

x2+2x+4+

D2 x+3

+¿

E2x−3

Hallando las ecuaciones de la fracción:

−34

=4 A+4 B+2D+2 E

274

=8 A−8B+4C−3D+3 E

24=7 A−9B−8C

−17=18 A−18 B+9C+16D+16E

58=36 A−18C−24D+24 E

Remplazando e integrando las ecuaciones:

Página 29


∫ 194 (x−2)

+∫−389x962

−653481

x2+2x+4+∫

−358943682x+3

+∫−259117762 x−3

19ln (x−2 )4

−917√3ATAN (√3 ( x+1 )

3 )2886

−389ln ( x2+2 x+4 )

1924−3589

ln (2 x+3 )8736

−2591ln (2x−3 )3552

……. α

Remplazando el resultado final deα enθ:

19ln (x−2 )4

−917√3ATAN (√3 ( x+1 )

3 )2886

−389ln ( x2+2 x+4 )

1924−3589

ln (2 x+3 )8736

−2591ln (2x−3 )3552

+ 18

x2+ 34

x+c

f ¿ .∫ x4+3 x2+ x−1

x ( x2−4 )3(x−3)dx

x4+3 x2+x−1

x ( x2−4 )3(x−3)= A

X+ BX +C

X2−4+ DX +E

( x2−4 )2+ FX +G

( x2−4 )3+ H

X−3

Hallando las ecuaciones de la integral:

A + B + H=0

3A + 3B – C=0

12A + 8B + 3C - D + 12H=0

36A + 24B - 8C - 3D + G=1

48A + 16B + 24C - 4D + F - 3G + 48H=0

144A + 48B - 16C - 12D + 3F + 3G=-3

64A + 48C - 9G + 64H=-1

192A=-1

Página 30


Remplazando los valores:

∫ 17x+24

4 (4 – x2 )3dx−∫ 17 (7 · x+16 )

80 ( x2−4 )2dx−∫ 461 x+1408

1600 ( x2−4 )dx+∫ 22

75 (x−3 )dx−∫ 1

192 xdx

22 ln (x−3 )75

−75 ln ( x−2 )256

+31 ln ( x+2 )6400

−ln ( x )192

+ 91 x3+238 x2−244 x−612320 ( x+2 )2 ( x−2 )2

+c

g¿ .∫ 4 x5−6 x3+2 x−13 x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2

dx

13∫ 4 x5−6 x3+2 x−1

x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2dx

4 x5−6 x3+2 x−1x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2

=( Ax2

+ Bx+ C

( x−1 )3+ D

( x−1 )2+ E

x−1+ F

(x+5 )2+ G

x+5)

Sacando las ecuaciones:

B+E+G=0

A+7 B+D+8 E+F+2G=4

7 A−2B+C+9D+6 E−3F−12G=0

2 A+46 B−10C−15D+40 E−3 F−14G=6

46 A−65 B−25C+25D−25 E+F+5G=0

65 A−25B=2

25 A=1


13∫

11761

5400 ( x+5 )2dx−1

3∫14671

54000 ( x+5 )dx−1

3∫1

36 ( x –1 )3dx+ 1

3

Página 31


∫ 19

108 ( x – 1 )2dx+1

3∫107

432 ( x –1 )dx+ 1

3∫1

25 x2dx+1

3∫3

125 xdx

−14671 ln (x+5 )162000

+107 ln ( x−1 )1296

+ln ( x )125

−4237 x2−6599 x+22125400 ( x+5 ) ( x−1 )2

− 175 x

+c

h¿ ,∫ x3−4 x2+2x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x

dx

x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 (x−1 )2 x

= A( x+5 )3

+ B( x+5 )2

+ CX+5

+ D(x−1 )2

+ EX−1

+ FX

Sacando las ecuaciones:

B+C+E+F=0

8C+ D+14 E+13 F=0

A+3 B+6C+15D+60E+46 F=1

2 A+9 B+40C−75D−50 E+10 F=4

A+5 B+25C+125D−125E−175 F=2

125 F=−9


∫ 61

45 ( x+5 )3dx+∫ 197

2700 ( x+5 )2dx+∫ 37

2250 ( x+5 )dx−∫ 5

108 ( x−1 )dx+∫ 1

18 ( x – 1 )dx−∫ 9

125 xdx

37 ln ( x+5 )2250

+ln ( x−1 )18

−9 ln ( x )125

+ 2x2+38 x−16575 (1−x ) ( x+5 )2

+c

i ¿.∫ x5+6 x3−3 x−2( x+6 )2 ( x2+16 )3

dx

x5+6 x3−3 x−2( x+6 )2 ( x2+16 )3

= A( x+6 )2

+ BX+6

+ CX +D

( x2+16 )3+ EX+F

( x2+16 )2+ GX+H

X2+16

Hallando las ecuaciones:

B+G=0

A+6 B+12G+H=0

Página 32


48 B+E+68G+12H=19

48 A+288B+12 E+F+384G+68H=0

768B+C+52 E+12 F+1408G+384H =6

768 A+4608B+12C+D+192 E+52 F+3072G+1408H=0

4096 B+36C+12D+576E+192F+9216G+3072H=−3

4096 A+24576B+36D+576F+9216H =−2


∫ 791 x+7526

676 ( x2+16 )3dx−∫ 3137 x+74362

35152 ( x2+16 )2dx−∫ 11121 x−184454

1827904 ( x2+16 )dx−∫ 283

4394 ( x+6 )2dx+∫ 11121

1827904 (x+6 )dx

5979249atan( x4 )

467943424−11121 ln ( x2+16 )3655808

+11121 ln (x+6 )1827904

+ 131445 x4−2287298 x3+15351088x2−29836768x+171126272

8998912 ( x+6 ) ( x2+16 )2+c

j ¿ .∫ x+1x4 ( x−6 )3

dx

x+1x4 (x−6 )3

= A

X4+ B

X3+ C

X2+ D

X+ E

( x−6 )3+ F

( x−6 )2+ G

X−6


D+G=0

C−18D+F−12G=0

B−18C+108D+ E−6 F+36G=0

A−18B+108C−216D=0

18 A−108 B+216C=0

108 A−216B=1

216 A=−1

Remplazando las ecuaciones:

∫ 7

1296 ( x−6 )3dx−∫ 11

3888 (x−6 )2dx+∫ 23

23328 ( x−6 )dx−∫ 1

216 x4dx−∫ 1

144 x3dx−∫ 1

324 x2dx−∫ 23

23328 xdx

Página 33


23 ln ( x−6 )23328

−23 ln ( x )23328

+ 22 x−1537776 ( x−6 )2

+ 1324 x

+ 1

288 x2+ 1

648 x3+c

k ¿ .∫ 3x+2( x+2 )3 ( x2−2x+4 )

dx

3 x+2( x+2 )3 ( x2−2 x+4 )

= A

( x+2 )3+ B

( x+2 )2+ C

x+2+ Dx+E

x2−2 x+4


C+ D=0

B+2C+6D+E=0

A+12D+6 E=0

2 A−8C−8D−12E=−3

4 A+8 B+16C+8E=2

Remplazando las ecuaciones:

∫ 14−5 x

72 ( x2−2x+4 )dx−∫ 1

3 ( x+2 )3dx+∫ 1

12 (x+2 )2dx+∫ 5

72 ( x+2 )dx

√3arctan (√3 (x−1 )3 )

24−5 ln ( x2−2 x+4 )

144+5 ln ( x+2 )72

− x

12 ( x+2 )2+c

l ¿ .∫ 4 x2−3 x+4x ( x−6 )(2 x2+5 x+8)

dx

4 x2−3x+4x ( x−6 ) (2 x2+5x+8 )

= Ax

+ Bx−6

+ Cx+D2x2+5 x+8


2A + 2B + C=0

7A - 5B + 6C – D=-4

22A - 8B + 6D=3

Página 34


48A=-4


∫ 47−10 x

44 (2x2+5 x+8 )dx+∫ 13

66 ( x−6 )dx−∫ 1

12xdx

119√39arctan(√39 (4 x+5 )

39 )1716

−5 ln (2 x2+5 x+8 )

88+13 ln (x−6 )

66−ln ( x )12

+c

¿¿ .∫ x−2x2 ( x2+x+1 ) ( x−3 )2

dx

x−2x2 ( x2+ x+1 ) ( x−3 )2

= A

x2+ B

x+ Cx+D

x2+x+1+ E

( x−3 )2+ F

x−3

B + C + F=0

A - 5B - 6C + D+ E - 2F=0

5A - 4B - 9C + 6D - E + 2F=0

4A + 3B + 9D + E - 3F=0

3A + 9B=1

9A=-2

∫ 6−31x

169 ( x2+x+1 )dx+∫ 1

117 ( x−3 )2dx−∫ 8

4563 ( x−3 )dx−∫ 2

9 x2dx+∫ 5

27 xdx

43√3arctan(√3 (2x+1 )

3 )507

−31 ln ( x2+x+1 )

338−8 ln ( x−3 )4563

+5 ln (x )27

− 1117 ( x−3 )

+ 29 x

+c

m ¿( X2+3 X+6 )

( X+2 ) ( X2+4 )

( X2+3 X+6 )( X+2 ) ( X2+4 )

Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a

resolver.

Página 35


( X2+3 X+6 )( X+2 ) ( X2+4 )

= A( X+2 )

+ BX+C( X2+4 )

A ( X 2+4 )+ (BX+C ) ( X+2 )=( X2+3 X+6 )----------2

CUANDO X=−2 remplazando en la ecuación 2

A (8 )=(−32 )

A=−4

Resolviendo la ecuación 2

A X2+4 A+B X2+2BX+CX +2C=X2+3 X+6

X2 ( A+B )+X (2B+C )+4 A+2C=X2+3 X+6 IGUALADO SE TIENE LA ECUACIÓN

SE TIENE

A+B=1

(2B+C )=3

4 A+2C=6

Hallando AYB

−2 A−2 B=−2

2B+C=3

−2 A+C=1

−8+C=1

C=9

B=−3

∫ ( X 2+3 X+6 ) dx

( X+2 ) ( X2+4 )=∫−4 dx

( X+2 )+∫ (−3 X+9 ) dx

( X2+4 )=−4 ln|X+2|−3∫ ( X−3 )

X 2+4

∫ ( X 2+3 X+6 ) dx

( X+2 ) ( X2+4 )=¿−4 ln|X+2|−3

2ln|X2+4|+ 9

2arcctan

X2

+C

Página 36


n¿∫ ( X 3+4 X+2 ) dx

( X+2 ) ( x3) ( X2−3 x+5 )

( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )

Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a resolver.

( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )

= A( X+2 )

+ BX3+

CX2+

DX 1+

E( X2−3 X+5 )

( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )

=A ( X3 ) ( X2−3 X+5 )+B ( X+2 ) ( X2−3x+5 )

❑

+C ( X+2 ) ( X 2−3 x+5 ) ( X )+D ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X2 )+E ( X+2 ) ( x3 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )

=¿

( X 3+4 X+2 )=A ( X3 ) ( X2−3 X+5 )+B ( X+2 ) ( X2−3 x+5 )+¿

+C ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X )+D ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X2 )+E ( X+2 ) ( x3 )=¿

X3+4 X+2=A X5−3 X4 A+5 X3 A+X3 B−X 2B−XB+10 B+X 4C−X3C−X2C+10 XC

+X 5D−X4 D−X3D+10 X2D+E X 4+2 E X3

Hallando las ecuaciones algebraicas

X5 ( A+D )+ X4 (−3 A+C−D+E )+ X3 (5 A+B−C−D+2E )+ X2 (−B−C+10D )

X (−B+10C )+ (10 B )=X3+4 X+2

A+B=0

−3 A+C−D+E=0

5 A+B−C−D+2 E=1

−B−C+10D=0

−B+10C=4

10B=2=B=15

, , A=−15

,C=215

,D=2250

, E=−21850

=−10925

,

Página 37


∫ ( X3+4 X+2 ) dx

( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )=−15∫ dx

( X+2 )+15∫ dx

X3+215∫ dx

X2+¿

2250∫

dx

X1−¿ 109

25 ∫ dx

( X2−3 X+5 )=¿¿

∫ ( X3+4 X+2 ) dx

( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )

¿−15ln|X+2|− 1

10 X2− 215 X

+ 2250ln|X|−109

25 ∫ dx

(x−32 )

2

−94+5

∎

∎∫ dx

(x−32 )

2

+114

∎Remplazando en la formula∫ du

u2+a2=1

a+arctg

ua+c

∎∫ dx

(x−32 )

2

+114

= 411

+arctg ⌈(x−3

2 )411

⌉+c

∫ ( X3+4 X+2 ) dx

( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )=−15ln|X+2|− 1

10 X2− 215 X

+ 2250ln|X|−109

25411

+arctg ⌈( x−3

2 )411

⌉+c

ñ¿∫ (2 X2+X−4 ) dx

( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )

(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )

Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos

a resolver.

(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )

= A( X+4 )3

+ B( X+4 )2

+ C( X+4 )

+ DX 2+

EX

Página 38


(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )

=A ( x2 )+B ( x2 ) ( X+4 )+C ( x2 ) ( X+4 )2+D ( X+4 )3+E ( X+4 )3 ( X )

( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )

(2 X2+X−4 )=A X2+B X3+4 B X2+C X 4+8C X3+16CX 2+D X3+12D X 2+48 XD+

64D+E X4+12 E X3+48 E X 2+64 EX

2 X2+X−4=X 4 (C+E )+ X3 (B+8C+D+12E )+X2 ( A+4 B+16C+12D+48 E )+¿

X (48D+64 E )+64D

IGUALANDO SISTEMA DE ECUACIONES

C+ E=0

B+8C+D+12E=0

A+4 B+16C+12D+48 E=2

48D+64 E=1

64D=¿-4

D=−116

, E= 116

, C=−116

, B=−516

, A=21=2

∫ (2 X2+ X−4 ) dx

( X+4 )2 ( x2 ) (x+4 )=2∫ dx

( X+4 )3− 516

∫ dx( X+4 )2

− 116

∫ dx( X+4 )

− 116

∫ dxX2+

116

∫ dxX

∫ (2 X2+ X−4 ) dx

( X+4 )2 ( x2 ) (x+4 )= −1

( X+4 )2+ 516 ( X+4 )

− 116ln|X+4|− 1

16 X+ 116ln|X|+C

O ¿∫ ( X−4 ) dx

( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )

( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )

Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver

( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )

= AX+B

( X2−2 X+4 )+ CX +D

( X2+3 X+9 )

Página 39


( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )

=AX+B ( X2+3 X+9 )+CX +D ( X2−2X+4 )

( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )

( X−4 )=AX +B ( X2+3 X+9 )+CX +D ( X2−2 X+4 )

X−4=A X 3+B X2+3 A X2+3 BX+9 AX+9 B+C X3+D X 2−2C X2−2DX+4CX +4 D

X−4=X3 ( A+C )+X2 ( B+3 A+D−2C )+ X (3B+9 A−2D+4C )+9 B+4D

1. A+C=02. B+3 A+D−2C=03. 3B+9 A−2D+4C=14. 9 B+4 D=−4

Multiplicamos la ecuación 2 por 2 luego sumamos la ecuación 2 y 3

2B+6 A+2D−4C=0

5B+15 A=1

3B+9 A−2D+4C=1

Multiplicamos la ecuación 3 por -3 luego sumamos la ecuación 3 y 4

−9 B−27 A+6D−12C=3

−27 A+10D−12C=−1=−15 A+10D=−1

9 B+4 D=−4

Multiplicamos la ecuación por - 9 luego a la ecuación 4 por 5 pasando a sumar la ecuación y 4.

−45B−135 A=−9

−135 A+20D=−29

45 B+20D=−20

Multiplicamos la ecuación por - 2 luego a la ecuación por 1 pasando a sumar la ecuación y .

30 A−20D=2

−105 A=−27

Página 40


−135 A+20D=−29

A= 927

=13

,C=−927

=−13

,B=−45

, D=4 ,

∫ ( X−4 ) dx

( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=∫

( 13−45 X )dx

( X2−2 X+4 )+∫

(−45 +4 X )dx

( X2+3 X+9 )

∫ ( X−4 ) dx

( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=13∫

1

( X2−2 X+4 )dx−4

5∫Xdx

( X2−2 X+4 )−¿¿

45∫

1dx

( X2+3 X+9 )+4∫ Xdx

( X2+3 X+9 )

¿ 13∫

1

( X−1 )2+(√3 )2dx−4

5∫Xdx

( X−1 )2+(√3 )2−¿ 45∫

1dx

( X2+3 X+9 )+¿¿¿

4∫ Xdx

( X2+3 X+9 )

Remplazando en la formula∫ du

u2+a2=1

a+arctg

ua+c

Remplazando en la formula∫ udu

au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b

2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1

√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac

2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac

∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b

√b2−4ac+cb2<4 ac

¿ −715 ∫

1

( X−1 )2+(√3 )2dx−2

5ln|( X−1 )2+(√3 )2|−34

5 ∫ 1dx

( X2+3 X+9 )+¿¿

Página 41


2 ln|X2+3 X+9|

∫ ( X−4 ) dx

( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=

−715 ( 1(√3 )

+arctgX−1√3 )±25 ln|( X−1 )2+(√3 )2|

−345

1

√−27arctg

2 X+3√−27

++2 ln|X2+3 X+9|+C

p¿∫ (3 X+2 ) dx

( X2+ X+4 )3 ( X2−X+4 )2

(3 X+2 )

( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )2= AX+B

( X 2+ X+4 )3+ CX +D

( X2+ X+4 )2+ EX+F

X 2+ X+4+¿

GX+H

( X2−X+4 )2+ IX+J

X2−X+4

(3 X+2 )

( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )2=

( AX+B ) ( X 2−X+4 )2+(CX +D ) ( X2+X+4 )❑

( X2−X+4 )2+( EX+F ) ( X2+ X+4 )2 ( X2−X+4 )2+ (GX+H ) ( X 2+ X+4 )3+X❑

( X 2+ X+4 )3 ( X2−X+4 )2

(IX +J ) ( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )❑

(3 X+2 )=A X5+X 4 ( B−2 A )+ X3 (9 A−2B )+ X2 (−8 A+9 B )+X (16 A−8B )+16 B+¿

CX 7+X6 (−C+D )+ X5 (11C−D )+ X4 (−7C+11D )+X3 (44C−7D )+ X2 (−16C+44 D )

+X (64C−16D )+64D+E X9+F X8+14 E X7+14 F X6+81 E X5+81 F X 4+80 E X3+¿

80 FX2+256 EX+256 F+GX 7+ X6 (3G+H )+ X5 (15G+3H )+ X4 (40G+15H )+¿

X3 (135G+40H )+X 2 (108G+135H )+X (64G+ 108H )+64H+ X9 I +X 8 (2 I+J )+¿

X7 (16 I+2J )+ X6 (37 I +16 J )+X5 (155 I+37 J )+ X4 (133 I+155 J )+ X3 (496 I+133 J )+¿

X2 (368 I+496J )+X (256 I+368J )+256J

3 X+2=X9 ( E+ I )+ X8 ( F+2 I+J )+ X7 (C+14E+G+16 I+2J )+¿

X6 (−C+D+14 F+3G+H+37 I +16 J )+¿

X5 ( A+11C−D+81E+155 I+37J +15G+3H )+¿

Página 42


X 4 (B−2 A−7C+11D+81F+40G+15H+133 I+155J )+¿

X3 (9 A−2B+44C−7D+80E+135G+40H +496 I +133J )+¿

X2 (−8 A+9 B−16C+44D+80 F+108G+135H+368 I+496J )+¿

X (16 A−8B+64C−16D+256E+64G+108H+256 I+368 J )+¿

16 B+64D+256 F+64H+256 J

E+ I=0

F+2 I +J=0

C+14E+G+16 I +2J=0

−C+ D+14 F+3G+H +37 I +16 J=0

A+11C−D+81E+155 I +37J +15G+3H =0

B−2 A−7C+11D+81 F+40G+15H +133 I +155 J=0

9 A−2B+44C−7D+80E+135G+40H+496 I +133J=0

−8 A+9B−16C+44D+80 F+108G+135H +368 I+496=0

16 A−8B+64C−16D+256E+64G+108H+256 I+368 J=1

16 B+64D+256 F+64H+256 J=2

q¿∫ ( X+2 )3dx

( X2+5 X+12 )2=¿

( X+2 )3

( X2+5 X+12 )2Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a

resolver.

( X+2 )3

( X2+5 X+12 )2= AX+B

( X2+5 X+12 )2+ CX +D

X2+5 X+12

( X+2 )3

( X2+5 X+12 )2=

( AX +B )+(CX +D ) ( X2+5 X+12 )( X2+5 X+12 )2

( X+2 )3=( AX +B )+(CX +D ) ( X2+5 X+12 )

X3+6 X2+12X+8=+C X3+X2 (5C+D )+ X ( A+12C+5D )+12D+B

Página 43


IGUALANDO EL SISTEMA DE ECUACIONES

C=1 ,

5C+D=6

A+12C+5D=12

12D+B=8

D=1

A=−5

B=−4

∫ ( X+2 )3dx

( X 2+5 X+12 )2=−∫ (5 X+4 ) dx

( X2+5 X+12 )2+∫ ( X+1 ) dx

X2+5 X+12

¿−∫ ⌈ 5 ( X+5 )−21⌉ dx

( X2+5 X+12 )2+¿∫ Xdx

X 2+5 X+12+∫ dx

X2+5 X+12¿

¿−5∫ ( X+5 ) dx

( X2+5 X+12 )2+∫ 21dx

( X2+5 X+12 )2+¿∫ Xdx

X2+5 X+12+∫ dx

X2+5 X+12¿


u2+a2=1

a+arctg

ua+c



2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1



∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b


∫ ( X+2 )3dx

( X 2+5 X+12 )2=52 ( 1

X2+5 X+12 )−212 ( 1X2+5 X+12 )+¿

12ln|X2+5 X+12|−¿ ( 5

2√−23− 1

√−23 )arctg2 X+5√−23

+c¿

Página 44


r ¿∫ (4 X 2+3 X+2 ) dx

( X+2 )2 ( X2+1 )2

(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2

Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver

(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2

= A( X+2 )2

+ BX+2

+ CX +D

( X2+1 )2+ EX +F

X2+1

(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2

=A ( X2+1 )2+B ( X2+1 )2 ( X+2 )+(CX+D ) ( X+2 )2+ (EX+F )

( X+2 )2 ( X2+1 )2

( X+2 )2 ( X2+1 )❑

4 X2+3 X+2=A X4+2 X2 A+ A+B X5+2B X4+2B X3+4 B X2+BX+2 B+C X 3+¿

X2 (4C+D )+ X (4C+4D )+4D+X5 E+ X4 (4E+F )+ X3 (5E+4 F )+X2 (4E+5 F )+¿

X (4E+4F )+4 F

4 X2+3 X+2=X5E+X4 ( A+2B+4E+F )+X3 (2B+C+5E+4 F )+¿

X2 (2 A+4 B+4C+ D+4E+5 F )+ X ( B+4C+4D+4E+4 F )+( A+2B+4D+4 F )

E=0

A+2 B+4E+F=0------1

2B+C+5E+4 F=0--------2

2 A+4 B+4C+D+4E+5 F=4-----------3

B+4C+4D+4E+4 F=3------------4

A+2 B+4D+4 F=2---------5

Multiplicamos la ecuación 1 por -4 ,luego a la ecuación 2 por 1 , pasando a sumar la ecuación 1 y 2.

−4 A−8B−4 F=0

Ecuación (1,2) −4 A−6 B+c=0

2B+C+4 F=0

Página 45


Multiplicamos la ecuación 4 por -1, luego a la ecuación 5 por 1 , pasando a sumar la ecuación 4 y 5.

−B−4C−4 D−4 F=−3

Ecuación (4,5) A+B−4C=−1

A+2 B+4D+4 F=2

Multiplicamos la ecuación (1,2) por 1, luego a la ecuación (4,5) por 4 , pasando a sumar la ecuación (1,2) y (4,5) .

−4 A−6 B+c=0

Ecuación (1, 2 , 4 , 5) 10B+15C=4

4 A−4 B−16C=−4

Multiplicamos la ecuación 1 por 1, luego a la ecuación 2 por -1 , pasando a sumar la ecuación 1 y 2.

A+2 B+F=0

Ecuación ( 1 , 2 X ) A−C−3F=0

−2B−C−4 F=0

Multiplicamos la ecuación 2 por 1, luego a la ecuación 5 por -1 , pasando a sumar la ecuación 2 , 5 Y (1 , 2 X )

2B+C+4 F=0

Ecuación ( 2 ,5 (1 , 2 X) ) 4 D+3F=2

−A−2B−4D−4 F=−2

A−C−3F=0

Página 46


Multiplicamos la ecuación 2 por 1, luego a la ecuación 5 por -1 , pasando a sumar la ecuación 2 , 5 Y (1 , 2 X )

2B+C+4 F=0

Ecuación ( 2 ,5 ) C−A−4D=−2

−A−2B−4D−4 F=−2

REMPLAZANDO ( 1 , 2 X ), ( 2 ,5 ) en ( 2 ,5 (1 , 2 X) )

4 D+3F=2

𝐴+2𝐷=1 ECUACIÓN (XXX)

REMPLAZANDO ( 1 , 2 X ), ( XXX) en ( 2 ,5 (1 , 2 X) )

4 D+3F=2

2D−C=1 ( YYY )

REMPLAZANDO , ( XXX) en (4,5)

A+2D=1 A+B−4C=−1

4C−B+2D=2¿PPP)

REMPLAZANDO (1, 2 , 4 , 5)), ( Y Y Y ) en (PPP)

10B+15C=4 2D−C=1 EN 4C−B+2D=2

4C−(4−15C)10

+(1+C )=2

40C−4+15C+10+10C=20

C=1465

,D= 79130

, A=−1465

, F=−28195

,B= 113

Página 47


∫ (4 X2+3 X+2 ) dx

( X+2 )2 ( X2+1 )2=−1465

∫ dx

( X+2 )2+ 113

∫ dxX+2

+∫( 1465 X+ 79

130 )dx

( X 2+1 )2− 28195

∫ dx

X2+1

∫ (4 X2+3 X+2 ) dx

( X+2 )2 ( X2+1 )2= 1465 ( X+2 )

+ 113ln|X+2|+ 1

130∫ 28 X+79

( X2+1 )2− 28195

arctan x

s¿∫ (3 X4+2 X2+10 ) dx

( X2+4 )2 ( X 2+2 )3

(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3

Cumple conla propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver

(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3

= AX+B

( X2+4 )2+CX +D

X2+4+ EX+F

( X2+2 )3+ GX+ H

( X2+2 )2+ IX+J

X2+2

(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3

=( AX+B ) ( X2+2 )3+(CX +D ) ( X2+2 )3 ( X 2+4 )+ ( EX+F )

❑

( X2+4 )2+(GX +H ) ( X2+4 )2 ( X2+2 )+( IX+J ) ( X2+2 )2 ( X2+4 )2

( X2+4 )2 ( X2+2 )3X❑

3 X 4+2 X2+10=A X7+B X6+6 A X5+6B X 4+12 A X3+12B X2+8 AX+8B+¿

CX 9+D X8+10CX7+10D X6+36CX 5+36D X4+56CX 3+56D X2+32CX+32D+¿

EX5+F X 4+8 EX3+8F X2+16 EX+16 F+GX 7+H X6+10GX 5+¿

10H X4+32GX 3+32H X2+32GX+32H+ IX9+J X8+12 IX7+12J X6+52 IX 5+52J X 4+¿

96 IX 3+96J X2+64 IX+64 J

¿ X 9 (C+ I )+ X8 ( D+J )+ X7 ( A+10C+G+12 I )+ X6 (B+10D+H+12J )

+X 5 (6 A+36C+E+10G+52 I )+ X4 (6B+36D+F+10H+52J )

+X 3 (12 A+56C+8E+32G+96 I )+X2 (12B+56D+8 F+32H+96J )

Página 48


+X (8 A+32C+16E+32G+64 I )+(8 B+32D+16F+32H+64 J )

Sistema de ecuaciones:

C+ I =0

D+J=0

A+10C+G+12 I=0

B+10D+H+12J=0

6 A+36C+E+10G+52 I =0

(6 B+36D+F+10H+52 J )=3

12 A+56C+8E+32G+96 I=0

12B+56D+8F+32H+96J=2

8 A+32C+16E+32G+64 I=0

8 B+32D+16F+32H+64 J=10

t ¿∫ dx

( X2+16 )5

dx

( X2+16 )5Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver

Página 49


1

( X2+16 )5= AX+B

( X 2+16 )5+ CX +D

( X 2+16 )4+ EX+F

( X2+16 )3+ GX +H

( X2+16 )2+ IX +J

( X2+16 )1

1

( X2+16 )5=

( AX+B )+ (CX +D ) ( X2+16 )+( EX+F ) ( X2+16 )2+ (GX+H )

( X2+16 )5

( X2+16 )3+ (IX +J ) ( X2+16 )4

❑

1= ( AX+B )+(CX+D ) ( X2+16 )+( EX+F ) ( X2+16 )2+(GX+ H ) ( X2+16 )3

+( IX+J ) ( X2+16 )4

1=AX+B+C X3+D X2+16CX +16D+E X5+F X4+16 E X3+16 F X2+162EX+162F

G X7+H X6+(3 ) x (16 )G X5+(3 ) x (16 ) H X 4+(3 ) . (16 )2G X3+(3 ) . (16 )2 HX2+(16 )3GX

+163H+I X9+J X8+(4 ) . (16 ) I X7+(4 ) . (16 ) JX6+(6 ) . (16 )2 I X5+(6 ) . (16 )2 J X4+¿

(4 ) . (16 )3 I X3+(4 ) . (16 )3 JX2+(16 )4 IX+ (16 )4 J

1=(B+16D+162F+163 H+(16 )4 J )+ X ( A+16C+162 E+(16 )3G+(16 )4 I )

+X 2 (D+16 F+(3 ) . (16 )2H )+(4 ) . (16 )3 J ¿+X3 (C+16E+ (3 ) . (16 )2G+(4 ) . (16 )3 I )+¿

X 4 ( F+(3 ) x (16 ) H + (6 ) . (16 )2 J )+ X5 ( E+(3 ) x (16 )G+(6 ) . (16 )2 I )+X6 ( H+(4 ) . (16 ) J )+¿

X7 (G+(4 ) . (16 ) I )+J X 8+ I X9

Sistema de ecuaciones:

B+16D+162 F+163H+(16 )4 J=1

A+16C+162 E+(16 )3G+(16 )4 I=0

(D+16 F+(3 ) . (16 )2H )+ (4 ) . (16 )3 J=0

C+16E+ (3 ) . (16 )2G+(4 ) . (16 )3 I=0

F+ (3 ) x (16 ) H +(6 ) . (16 )2 J=0

E+(3 ) x (16 )G+ (6 ) . (16 )2 I=0

H +(4 ) . (16 ) J=0

Página 50


G+(4 ) . (16 ) I=0

J=0

I=0 , G=0 , H=0 , E=0 , F=0 , C=0 , A=0D=0 , B=1

∫ dx

( X 2+16 )5= AX+B

( X2+16 )5+ CX+D

( X2+16 )4+ EX+F

( X2+16 )3+ GX+H

( X2+16 )2+ IX+J

( X2+16 )1

∫ dx

( X 2+16 )5=∫ dx

( X2+16 )5

u¿∫ (2 X3+4 X+8 ) dx

X3 ( X4−9 )2 ( X4−25 )3

(2 X3+4 X+8 )X3 ( X4−9 )2 ( X 4−25 )3

con la propiedad de fracción propia , entonces pasamosaresolver

(2 X3+4 X+8 )X3 ( X+√3 )2 ( X−√3 )2 ( X 2+3 )2 ( X+√5 )3 ( X−√5 )3 ( X2+5 )3

= AX3 +

A1

X2+A2

X+¿

B

( X+√3 )2+

B1X+√3

+ C

( X+√3 )2+

C2

X+√3+ MX+N

( X2+3 )2+

M1 X+N1

X 2+3+ D

( X+√5 )3+¿

D1

( X+√5 )2+

D3

X+√5+ E

( X−√5 )3+

E1( X−√5 )2

+E2

X−√5+ PX+Q

( X2+5 )3+

P1 X+Q1

( X2+5 )2+¿

P2X+Q 2

X2+5

2 X3+4 X+8=¿

u¿∫ ( X 3+ X−4 ) dx

(2X 2+3 X+3 )3

Página 51


( X3+ X−4 )(2 X2+3 X+3 )3

con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver

( X3+ X−4 )(2 X2+3 X+3 )3

= AX+B

(2 X2+3 X+3 )3+ CX+ D

(2 X2+3 X+3 )2+ EX+F2 X2+3 X+3

X3+ X−4= ( AX+B )+(CX+ D ) (2X 2+3 X+3 )+( EX+F ) (2 X2+3 X+3 )2

X3+ X−4= ( AX+B )+(2C X3+ X2 (2D+3C )+ X (3D+3C )+3D )+4 EX5+¿

X 4 (4 F+12E )+ X3 (12 F+21E )+ X2 (21F+18E )+X (18F+9 E )+9F

X3+ X−4=4 EX5+X 4 (4 F+12E )+ X3 (12 F+21E+2C )+ X2 (21F+18E+2D+3C )+¿

X (18 F+9E+3D+3C+A )+9 F+3D+B

E=0

F=0

C=12

D=−34

A=−74

B=74

∫ ( X3+X−4 ) dx

(2 X2+3 X+3 )3=−74∫ ( X−1 )dx

(2 X 2+3 X+3 )3+ 14∫ (2 X−3 ) dx

(2 X2+3 X+3 )2

Página 52


5. MÉTODO DE LOS BINOMIOS DIFERENCIALES

a¿∫ dx

X2 (3+X2 )32

∫ ( X2+3 )−32 . X−2dx

A=1, B=3 , N=2 , P=−32

, M=-2

II ¿b¿ M +1N

+P⊂Z

Remplazando

U X2=X2+3

X2 (U−1 )=3

X=( 3U −1 )

12

derivando

dx=312×−

12

(U−1 )−32 du

∫( 3U−1

+3)−32 × .( 3

U−1 )−1

×312×

−12

(U−1 )−32 du

∫ du

U32 . (U−1 )

∫ . (U −1 )−1× U−32 du

I ¿b¿ P<0U=T K

U=T2

DERIVANDO

Página 53


du=2Tdt

∫ (T 2−1 )−1 . (T )−3.2 (T )dt

∫ (T 2−1 )−1 (T )−22dt

∫ 2dt

(T 2−1 ) T2

Hallamos utilizando el método de fracciones parciales

2

(T2−1 )T 2= A

T−1+ B

T+1+ C

T 2+ D

T

2= (T +1 ) T2 A+B (T−1 )T 2+C (T 2−1 )+D (T 2−1 )T

2=T 3 ( A+B+D )+T 2 ( A−B+C )+T (−D )−C

A+B+D=0

A−B+C=0

D=0

C=−2

A=1 ,B=−1

∫ 2dt

(T 2−1 ) T2=2∫ dt

t−1−∫ dx

T+1−2∫ dt

T2

∫ dx

X2 (3+X 2)32

=2 ln|T−1|−ln|T +1|+ 2T

+C

b¿∫ dx

X (5+X2 )13

∫ ( X2+5 )−13 ( X )−1dx

A=1, B=5, N=2 , P=−13

, M=−1

Página 54


II ¿a¿ M +1N

⊂Z

Remplazando

U=X2+5

(U−5 )12=X

derivando

dx=12

(U −5 )−12 du

Remplazando

∫ (U )−13 (U−5 )

−12 12

(U −5 )−12 du

12∫

du

(U )13 (U −5 )

Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales

12∫ (U−5 )−1 (U )

−13 du

A=1, B=−5, N=1 , P=−1 , M=−13

I ¿ P<0U=T K

U=T3

DERIVANDO

du=3T2dt

∫ (T 3−5 )−1 . (T )−1 .3T 2dt

∫ (T 3−5 )−1 (T )13dt

∫ (T ) dt

(T 3−5 )

Página 55



T

(T 3−( 3√5 )3)= A

T− 3√5+ BT+C

T2+T3√5+( 3√5 )2

T=A (T 2+T 3√5+( 3√5 )2)+( BX+C ) (T−3√5 )

T=T 2 ( A+B )+T ( A 3√5+C−B3√5 )+ A ( 3√5 )2−C

3√5

A+B=0

A 3√5+C−B 3√5=1

A ( 3√5 )2−C3√5 A=0 ,

A=−B

C=A 3√5

A= 1

3 3√5

B= −13 3√5

C=13

∫ Tdt

(T 3−( 3√5 )3 )=

1

33√5∫

dt

T− 3√5+∫

( −13 3√5

T +13 )dt

(T 2+T 3√5+ ( 3√5 )2 )

∫ Tdt

(T 3−( 3√5 )3 )= 1

3 3√5ln|T−3√5|− 1

3 3√5∫Tdt

(T 2+T 3√5+( 3√5 )2 )+ 13∫

dt

T 2+T3√5+ ( 3√5 )2



2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1


2au+b+√b2−4 ac |Página 56


b2>4ac

∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b


∫ Tdt

(T 3−( 3√5 )3 )=3 1

3 3√5ln|T−3√5|− 3

6 3√5ln|T2+T 3√5+( 3√5 )2|+¿

12

1

(√ ( 3√5 )2−4 ( 3√5 )2)arctg( 2T + 3√5

√ ( 3√5 )2−4 ( 3√5 )2 )+C

C ¿∫ dx

X (2+4 X2 )23

∫ (4 X 2+2 )−23 ( X )−1dx

A=4, B=2, N=2 , P=−23

, M=−1

II ¿a¿ M +1N

⊂Z

Remplazando

U=4 X2+2

12

(U−2 )12=X

derivando

dx=14

(U−2 )−12 du

Remplazando

∫ (4 X 2+2 )−23 ( X )−1dx

∫ (U )−23 (12 (U−2 )

12 )

−114

(U−2 )−12 du

12∫ (U )

−23 (U−2 )−1du

Página 57


12∫

du

(U )23 (U −2 )


12∫ (U−2 )−1 (U )

−23 du

A=1, B=−2, N=1 , P=−1 , M=−23

I ¿ P<0U=T K

U=T3

DERIVANDO

du=3T2dt

∫ (T 3−2 )−1 . (T )−2 .3T 2dt

∫ (T 3−2 )−13dt

∫ 3dt

(T 3−2 )


3

(T 3−( 3√2 )3 )= A

T− 3√2+ BT+C

T 2+T3√2+( 3√2 )2

T=A (T 2+T 3√2+( 3√2 )2 )+(BT +C ) (T− 3√2 )

T=T 2 ( A+B )+T ( A 3√2+C−B3√2 )+ A ( 3√2 )2−C

3√2

A+B=0

A 3√2+C−B 3√2=0

A ( 3√5 )2−C3√2=3 ,

A=−B

Página 58


C=−2 A 3√2

A=( 3√2 )2

B=−( 3√2 )2

C=−2 ( 3√2 )3

∫ 3dt

(T 3−( 3√2 )3 )=( 3√2 )2∫ dt

T− 3√2+∫ (−( 3√2 )2T−2 ( 3√2 )3 )dt

(T 2+T3√2+( 3√2 )2 )

∫ 3dt

(T 3−( 3√2 )3 )

¿ ( 3√2 )2 ln|T−3√2|−( 3√2 )2∫ Tdt

(T2+T 3√2+( 3√2 )2)−2 ( 3√2 )3∫ dt

T 2+T3√2+( 3√2 )2



2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1



∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b


∫ 3dt

(T 3−( 3√2 )3 )=( 3√2 )2ln|T− 3√5|−( 3√2 )

2

2

ln|T 2+T 3√5+( 3√5 )2|

−3 1

(√ ( 3√2 )2−4 ( 3√2 )2)arctg( 2T + 3√2

√ ( 3√2 )2−4 ( 3√2 )2 )+C

d ¿∫ dx

(1+ X3 )13

∫ ( X3+1 )−13 ( X )0dx

Página 59


A=1, B=1, N=3 , P=−13

, M=0

II ¿b¿ M +1N

+ p⊂ Z

Remplazando

U X3=X3+1

(U−1 )−13 =X

derivando

dx=−13

(U−1 )−43 du

Remplazando

∫ ( X3+1 )−13 ( X )0dx

−13 ∫( 1

(U−1 )+1)

−13 (U −1 )

−43 du

−13 ∫ (U )

−13 (U−1 )

13 (U−1 )

−43 du

❑

−13 ∫ (U )

−13 (U−1 )−1du

−13 ∫ du

(U )13 (U−1 )


−13 ∫ (U−1 )−1 (U )

−13 du

A=1, B=−1, N=1 , P=−1 , M=−13

I ¿ P<0U=T K

U=T3

Página 60


DERIVANDO

du=3T2dt

Remplazando

−13 ∫ (T 3−1 )−1T−13T 2dt

−∫ (T 3−1 )−1. (T )1dt

−∫ (T ) dt

(T3−1 )


−∫ (T ) dt

(T3−1 )

T

(T 3−(1 )3 )= A

T−1+ BT+C

T2+T +1

T=A (T 2+T+1 )+( BT+C ) (T−1 )

T=T 2 ( A+B )+T ( A+C−B )+ A−C

A+B=0

A+C−B=1

A−C=0 ,

A=−B

C=A

A=13

Página 61


B=−13

C=13

−∫ Tdt

(T 3−(1 )3 )=13∫ dt

T−1+∫

(−13 T +13 )dt

(T 2+T +1 )

∫ Tdt

(T 3−(1 )3 )

¿−13ln|T−1|+¿ 1

3∫Tdt

(T 2+T +1 )−13∫

dt

T2+T +1¿



2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1



∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b


−∫ Tdt

(T 3−(1 )3 )=−13ln|T−1|+ 1

6ln|T 2+T +1|−1

21

(√−3 )arctg( 2T+1

√−3 )+C

e ¿∫ dx

3√ X (4− 3√X )12

∫ (−X13+4 )

−12

( X )−13 dx

A=−1, B=4, N=13

, P=−12

, M=−13

II ¿a¿ M +1N

⊂Z

Remplazando

Página 62


U=−X13+4

(−U +4 )3=X

derivando

dx=3 (−U +4 )2du

Remplazando

∫ (−X13+4 )

−12

( X )−13 dx

∫ (U )−12 (−U +4 )−13 (−U +4 )2du

3∫ (U )−12 (−U +4 )1du

3∫ (−U +4 ) du

(U )12


3∫ (−U +4 )1 (U )−12 du

P=1

I ¿ a¿ P>0

∫ dx

3√ X (4− 3√X )12

=3∫ (−U12+4U

−12 )du

∫ dx

3√ X (4− 3√X )12

=−3( 23U32+8U

12 )+C

f ¿∫ dx

X5 (6−X4 )12

Página 63


∫ (−X4+6 )−12 ( X )−5dx

A=−1, B=6, N=4 , P=−12

, M=−5

II ¿a¿ M +1N

⊂Z

Remplazando

U=−X4+6

(−U +6 )14=X

derivando

dx=14

(−U+6 )−34 du

Remplazando

∫ (−X4+6 )−12 ( X )−5dx

∫ (U )−12 (−U +6 )

−54 14

(−U +6 )−34 du

14∫ (U )

−12 (−U +6 )−2du


14∫ (−U +6 )−2 (U )

−12 du

A=−1, B=6, N=1 , P=−2 , M=−12

I ¿b¿ P<0U=T K

U=T2

DERIVANDO

du=2T1dt

Remplazando

Página 64


14∫ (−T 2+6 )−2 (T )−12 (T 1) dt

12∫ (−T 2+6 )−2dt

12∫

dT

( T2−6 )2

Aplicando el método de fracciones parciales:

1

(T2−6 )2esuna fraccion parcial :

1

(T2−6 )2= A

(T−√6 )2+ B

T−√6+ C

(T +√6 )2+ D

T +√6

1

(T2−6 )2=A (T+√6 )2+B (T +√6 )2 (T−√6 )+C (T−√6 )2+D (T−√6 )2 (T +√6 )

1

(T2−6 )2=A T 2+2√6 AT+6 A+B T 3+√6B T 2−6TB−6 √6 B+CT 2−2√6CT +6C

+D T 3−√6DT 2−6TD+6√6D

1

(T2−6 )2=T 3 ( B+D )+T 2 ( A+√6 B+C−√6D )+T (2√6 A−6B−2√6C−6D )+¿

(6 A−6√6B+6C+6 √6D )

SISTEMA DE ECUACIONES

B+D=0

A+√6 B+C−√6D=0----------------1

2√6 A−6 B−2√6C−6D=0----------------2

6 A−6√6B+6C+6√6D=1---------------3

REMPLAZANDO

B−¿ D--------1

A+2√6B+C=0----------------2

2√6 A−2√6C=0----------------3

Página 65


6 A−12√6 B+6C=1---------------4

Remplazando la ecuación 2 en la ecuación 4

−24 √6 B=1

B= −124√6

, D= 1

24 √6

Multiplicamos la ecuación 2 por −2√6, luego a la ecuación 3 por 1 , pasando a sumar la ecuación 2 Y 3:

−2√6 A−24 B−2√6C=0

−24 B=4√6C=0

C= 124

2√6 A−2√6C=0

Remplazando la ecuación 2 Y 3 en la ecuación 3

C= 124

2√6 A−2√6C=0

A= 124

∫ dt

(T 2−6 )2= 124∫

dt

(T−√6 )2− 124 √6∫

dtT−√6

+ 124∫

dt

(T +√6 )2+ 124√6∫

dtT +√6

∫ dt

(T 2−6 )2=12 { −124 (T−√6 )

−1

24√6ln|T−√6|− 1

24 (T−√6 )+

124√6

ln|T+√6|}+C

g¿∫ dx

X4 (3+X2 )12

Página 66


∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx

A=1, B=3, N=2 , P=−12

, M=−4

II ¿b¿ M +1N

+P⊂Z

Remplazando

U X2=X2+3

( 3U−1 )

12=X

derivando

dx=−(3 )

12

2(U −1 )

−32 du

Remplazando

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx

∫ (U )−12 (U −1 )

12 (U −1 )2 (3 )

−12 (3 )

12 (3 )−2

−2(U−1 )

−32 du

1−18∫

(U−1 ) du

U12

1−18∫ (U −1 )U

−12 du


1−18∫ (U −1 )U

−12 du

I ¿ a¿ P>0

Página 67


P=1

1−18∫ (U

12−U

−12 ) du

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx= 1

−18 ( 23 U32−12

U12)+C

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx¿=−1

27U32+ 136

U12+C

h¿∫ (X 12+2)

13

X−1dx

A=1, B=2, N=12

, , P=13

, M=−1

II ¿a¿ M +1N

⊂Z

Remplazando

U =X12+2

(U−2 )2=X

derivando

dx=2 (U −2 )1du

Remplazando

∫ ( X12+2)

13

( X )−1dx

∫ (U )13 (U −2 )−22 (U−2 )1du

2∫ (U−2 )−1 (U )13 du


A=1, B=2, N=1 , , P=−1 , M=13

I ¿b¿ P<0U=T K U =T3

Página 68


dU =3T2dt

Remplazando:

2∫ (U−2 )−1 (U )13 du=6∫ (T3−2 )−1 (T )3dt

¿6∫ T 3dt

(T3−2 )1yaque no cumplecon ser fraccion parcial , pasamos aresolverlaecuacion

comvertimos la ecuaciona praccion propia de lasiguiente forma :

dividimos la ecuacionT 3

(T 3−2 )1=1+ 2

T3−2

∫ ( X12+2)

13X−1dx=6∫ dt+12∫ dt

T3−2=6+12∫ dt

T 3−2

1

T3−2= A

(T− 3√2 )+ BT +C

(T 2+ 3√2T+ ( 3√2 )2 )

1=A (T 2+ 3√2T+( 3√2 )2)+( BT+C ) ( T−3√2 )

1=T 2 ( A+B )+T ( 3√2 A−3√2B+C )+( 3√2 )2 A−3√2C

A+B=0 A=−B

3√2 A−3√2B+C=0−C=2 3√2 A= −23 3√2

( 3√2 )2 A− 3√2C=1 A= 1

3 ( 3√2 )2B= −1

3 ( 3√2 )2

Página 69


∫ ( X12+2)

13X−1dx

¿6T+ 4

3 ( 3√2 )2∫ dt

(T−3√2 )− 4

( 3√2 )2Tdt

(T 2+ 3√2T +( 3√2 )2 )− 8

3√2dt

(T 2+ 3√2T +( 3√2 )2 )



2a∫dx

au2+bu+c


au2+bu+c=

1



∫ du

au2+bu+c= 1

√b2−4 acarctg

2au+b

√b2−4ac+cb2<4 a

∫ ( X12+2)

13X−1dx

¿6T+ 4

3 ( 3√2 )2ln|T−3√2|− 4

( 3√2 )2ln|T 2+ 3√2T +( 3√2 )2|−¿¿

( 3√2 )2−1623√2

1

√−3 ( 3√2 )2arctg( 2T + 3√2

√−3 ( 3√2 )2 )+C

i ¿∫ X2dx

(a+b X5 )185

∫ ( b X5+a )−185 X 2dx

A=b, B=a, N=5 , P=−185

, M=2

II ¿b¿ M +1N

+P⊂Z

Remplazando

U bX5=bX5+a

Página 70


( aU−b )

15=X

derivando

dx=−( a )

15

5(U−b )

−65 du

Remplazando

∫ ( b X5+a )−185 X 2dx

−15a3

∫ (U −b )2 (U )−185 dx

−15a3 (−53 U

−35 + 5b

4U

−85 −5b2

13U

−135 )+C

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx

∫ (U )−12 (U−1 )

12 (U−1 )2 (3 )

−12 (3 )

12 (3 )−2

−2(U−1 )

−32 du

1−18∫

(U−1 ) du

U12

1−18∫ (U −1 )U

−12 du


1−18∫ (U −1 )U

−12 du

I ¿ a¿ P>0

Página 71


P=1

1−18∫ (U

12−U

−12 ) du

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx= 1

−18 ( 23 U32−12

U12)+C

∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx¿=−1

27U32+ 136

U12+C

j ¿∫ ( X 4+3 )−12 X−11 dx

A=1, B=3, N

Página 72


Página 73


Página 74


¿4 , , P=−12

, M=−11

II ¿b¿ M +1N

+P=X

⊂Z

Remplazando

U X 4=X 4+3

derivando

dx=2 (U −2 )1du

Remplazando

∫ ( X12+2)

13

( X )−1dx

∫ (U )13 (U −2 )−22 (U−2 )1du

2∫ (U−2 )−1 (U )13 du


A=1, B=2, N=1 , , P=−1 , M=13

I ¿b¿ P<0U=T K U =T3

dU =3T2dt

Remplazando:

2∫ (U−2 )−1 (U )13 du=6∫ (T3−2 )−1 (T )3dt

¿6∫ T 3dt

(T3−2 )1yaque no cumplecon ser fraccion parcial , pasamos aresolverlaecuacion

comvertimos la ecuaciona praccion propia de lasiguiente forma :

Página 75


dividimos la ecuacionT 3

(T 3−2 )1=1+ 2

T3−2

∫ ( X12+2)

13X−1dx=6∫ dt+12∫ dt

T3−2=6+12∫ dt

T 3−2

METODO DE HERMITE

a. ∫ x3+2 x+8(x−1)2(x2+4)3

dx es una fracción propia

Solución:

∫ x3+2 x+8(x−1)2(x2+4)3

dx= A x 4+B x3+C x2+ Dx+E(x−1)(x2+4)2

+∫ Fx2+Gx+H(x−1)(x2+4)

x3+2x+8(x−1)2(x2+4)3

=(x−1 ) ( x2+4 )2 d ( A x4+B x3+C x2+Dx+ E )

dx−(A x4+B x3+C x2+Dx+E)

d ((x−1)(x2+4)2)dx

((x−1)(x2+4)2)2+ Fx2+Gx+H

(x−1)( x2+4)

(x¿¿3+2 x+8) ( x2+4 )=[ (x−1 ) ( x4+8 x2+16 ) (4 A x3+3B x2+2Cx+D ) ]−[ ( A x4+B x3+C x2+Dx+E ) (( x2+4 )+2 ( x2+4 ) (2 x ) )]+[ ( Fx2+Gx+H ) ( x−1 ) ( x2+4 )3 ]¿x5+4 x3+2 x3+8x+8 x2+32=[ ( x5+8 x3+16 x−x4−8x2−16 )(4 A x3+3 B x2+2Cx+D)]− [ ( A x4+B x3+C x2+Dx+E )(4 x3+x2+16 x+4)]+[ ( Fx3+G x2+Hx−Fx2−Gx−H )( x6+12 x4+48x2+64) ]x5+6 x3+8x2+8 x+32=[ 4 A x8+3B x7+2C x6+D x5+32 A x6+24 B x5+16C x 4+8D x3+64 A x4+48B x3+32C x2+16Dx−4 A x7−3B x6−2C x5−D x4−32 A x5−24 B x4−16C x3−8D x2−64 A x3−48B x2−32Cx−16D ]−[4 A x7−A x6−16 A x5−4 A x4−4 B x6−Bx5−16B x4−4 B x3−4Cx5−Cx4−16C x3−4C x2−4D x4−Dx3−16D x2−4Dx−4 Ex3−Ex2−16 Ex−4 E ]+[ F x9+12Fx7+48 Fx5+64 F x3+G x8+12G x6+48G x4+64G x2+H x7+12H x5+48H x3+64Hx−F x8−12 F x6−48F x4−64 F x2−G x7−12Gx5−48G x3−64Gx−Hx6−12H x 4−48H x2−64H ]x5+6 x3+8x2+8 x+32=x9 (F )+x8 (4 A+G−F )+x7 (3B−8 A+12 F+H−G )+x6 (2C+31 A−7B+12G−12F−H )+x5 (D+23B−6C−48 A+48F+12H−12G )+x4 (15C+60 A−5D−40 B+48G−48 F−12H )+x3 (7D+44 B−32C−64 A−4E+64 F+48H−48G )+x2 (28C−24 D−48B−E+64G−64 F−48H )+x (12D−32C−16E+64H−64G )−16D−4E-64HIgualando ambos miembros tenemos:F=04 A−F+G=0−8 A+3 B+12F−G+H=031 A−7 B+2C−12F+12G−H=0−48 A+23B−6C+D+48 F−12G+12H=160 A−40 B+15C−5D−48 F+48G−12H=0−64 A+44 B−32C+7D−4E+64F−48G+48H=6−48B+28C−24D−E−64 F+64G−48H =8−32C+12D−16E-64G+64H=8−16D−4E-64H=32

b. ∫ x3−27(x2−1)2(x2−16)3

dx es una fracción propia

Solución:

∫ x3−27(x2−1)2(x2−16)3

dx= A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F(x2−1)(x2−16)2

+∫ G x3+H x2+ Ix+J(x2−1)(x2−16)

dx

x3−27(x2−1)2(x2−16)3

=( x2−1)(x2−16)2

d ( A x5+B x4+C x3+D x2+ Ex+F )dx

−( A x5+B x 4+C x3+D x2+Ex+F )d (( x2−1)(x2−16)2)

dx((x2−1)(x2−16)2)2

+G x3+ H x2+ Ix+J(x2−1)(x2−16)

(x¿¿3−27) ( x2−16 )=( x2−1 ) ( x4−32x2+256 ) ( A x4+B x3+C x2+D x1+ E )−( A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F ) [2 x ( x2−16 )2+4 x ( x2−16 ) ]+(G x3+ H x2+ Ix+J )(x2−1) ( x2−16 )3¿

Página 76


( x5−16 x3−27 x2+432 )=( x6−33 x4+288 x2−256 ) ( A x4+B x3+C x2+ D x1+E )−[ ( A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F )(2 x5−60 x3+448 x)]+(G x3+H x2+ Ix+J ) ( x2−1 )(x6−48 x4+768 x2−4096)x5−16 x3−27 x2+432=( A x10+B x9+C x8+D x7+E x6−33 A x8−33B x7−33C x6−33D x5−33 E x4+288 A x6+288B x5+288C x4+288D x3+288 E x2−256 A x4−256B x3−256C x2−256D x1−256 E )−(2 A x10+2B x9+2C x8+2D x7+2E x6+2 F x5−60 A x8−60 B x7−60C x6−60D x5−60 E x4−60 F x3+448 A x6+448 B x5+448C x4+448D x3+448 E x2+488 Fx )+( G x3+H x2+ Ix+J ) (x8−49 x6+816 x4−4864 x2+4096)x5−16 x3−27 x2+432=A x10+B x9+C x8+D x7+E x6−33 A x8−33B x7−33C x6−33D x5−33 E x4+288 A x6+288B x5+288C x4+288D x3+288 E x2−256 A x4−256 B x3−256C x2−256Dx−256E-2 A x10−2 B x9−2C x8−2D x7−2 E x6−2 F x5+60 A x8+60 B x7+60C x6+60D x5+60E x 4+60F x3−448 A x6−448B x5−448C x4−448D x3−448E x2−488 Fx+G x11+H x10+ I x9+J x8−49G x9−49H x8−49 I x7−J x6+816G x7+816H x6+816 I x5+816 J x4−4864G x5−4864H x4−4864 I x3−4864 J x2+4096G x3+4096H x2+4096 Ix+4096 Jx5−16 x3−27 x2+432=x11 (G )+x10 (−A+H )+x9 (−B+ I−49G )+x8 (−C+27 A+J−49H )+ x7 (−D+27 B−49 I+816G )+x6 (−160 A−E+27C−J +816H )+x5 (−160 B−2F+27D+816 I−4864G )+ x4 (−256 A+27E-160C+816J−4864 H )+ x3 (−256 B+60 F−160D−4864 I+4096G )+x2 (−256C−160E-4864 J+4096H )+x (−256D−488 F+4096 I )−256E+4096 JIgualando ambos miembros tenemos:G=0−A+H=0−B+ I−49G=0−C+27 A+J−49H=0−D+27 B−49 I +816G=0−160 A−E+27C−J +816H=0−160B−2 F+27D+816 I −4864G=1−256 A+27E-160C+816 J−4864H=0−256 B+60 F−160D−4864 I+4096G=−16−256C−160E-4864 J+4096H=−27−256D−488 F+4096 I=0−256E+4096 J=432

c. ∫ x3+81 xx (x2+3)2(x2−25)4

dx=∫ x2+81(x2+3)2(x2−25)4

dx

∫ x2+81(x2+3)2(x2−25)4

dx= A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H(x2+3)(x2−25)3

+∫ I x3+J x2+Kx+ L(x2+3)(x2−25)

dx

x2+81(x2+3)2( x2−25)4

=(x2+3)(x2−25)3

d ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+ H )dx

−( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H )d (( x2+3)(x2−25)3)

dx((x2+3)(x2−25)3)2

+ I x3+J x2+Kx+L( x2+3)(x2−25)

( x2+81 )(x2−25)2=( x2+3 ) (x6−75 x4+1875 x2−15625) (7 A x6+6B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−[ ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H )(2x ( x2−25 )3+(x2+3)3(x2−25)22 x)]+ ( x2+3 ) ( x2−25 )5( I x3+J x2+Kx+ L)( x2+81 ) ( x4−50 x2+625 )=( x8−72 x6+1650 x4−1000 x2−46875 ) (7 A x6+6 B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−¿

d. ∫ (x+2)3 x3

x (x2+√2)2(x2+25)2dx

e. ∫ (x−3)5(x+2)3

x (x2−√2)3(x3−27)2dx

f. ∫ x(x+4)3(x−1)2

x2(x−√2)4 (x3+81)3dx

g. ∫ x( x2−9)3( x+3)3

x3(x+1)5(x3−81 x)4dx=∫ x( x2−9)3(x+3)3

x3(x+1)5(x3−81 x)4dx

∫ x( x2−9)3( x+3)3

x3(x+1)5(x3−81 x)4dx=

A x15+ A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16

x3(x+1)5(x3−81x )4+∫ I x3+J x2+Kx+L

x3(x+1)5(x3−81 x)4dx

Página 77


x (x2−9)3(x+3)3

x3(x+1)5(x3−81 x)4=

x3(x+1)5(x3−81 x)4d ( A x15+ A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16)

dx−( A x15+A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16)

d (x3(x+1)5(x3−81 x)4)dx

(x3(x+1)5(x3−81x )4)2+

I x3+J x2+Kx+L

x3(x+1)5(x3−81 x)4

x (x2−9)3(x+3)3=(x6−75x4+1875 x2−15625) (7 A x6+6B x5+5C x4+4 D x3+3 E x2+2 Fx+G )−[ ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+ F x2+Gx+H )(2 x ( x2−25 )3+(x2+3)3 (x2−25)22 x)]+( x2+3 ) ( x2−25 )5(I x3+J x2+Kx+L)

( x2+81 ) ( x4−50 x2+625 )=( x8−72 x6+1650 x4−1000 x2−46875 ) (7 A x6+6 B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−¿

h. ∫ x (x2−2)2(x−2)4

x2(x−4 )4(x3−125 x)5dx

i. ∫ (x2−16)3(x+5)5

x (x−5)3(x3+125 x )4dx

j. ∫ sen2(x)−cos2(x )tan2 (x )+sec

3(x)dx

k. ∫ sen3 (2 x )+cos2(2 x)tan2 (3 x )−sec2(3 x)

dx

l. ∫ sen2(x)cos (x )−cot2(x )tan 3 ( x )−sen(x )cos3(x )

dx

j ¿∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 (x )

dx

considerando la ecuacion: tan( x2 )=t

→ si :2 cos2( x2 )=1+cos ( x );2 sen2( x

2 )=1−cos ( x )

dvidiendo ambas ecuaciones tenemosque :

cos (x )=1−t2

1+t 2; sen ( x )= 2t

1+ t2

→ x=2arctan (t );dx= 2dt

1+t 2

→∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 ( x )

dx=∫( 2t1+t 2

)2

−(1−t2

1+ t2)2

(

2 t

1+t 2

1−t 2

1+t 2

)

2

+( 11−t 2

1+t 2

)3

2dt1+t 2

→∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 ( x )

dx=∫2 (6 t¿¿2−1−t 4)¿¿¿¿

Página 78


j ¿∫ sen3 (2x )+cos2 (2 x )tan2 (3x )−sec2 (3 x )

dx=¿

Página 79

Date post:	25-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	ryus-silvestre
View:	5 times
Download:	0 times

Universidad Nacional de Huancavelica

Documents