Universidad Técnica Federico Santa María
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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
ILI-280
Capítulo 5:Capítulo 5:Variables AleatoriasVariables Aleatorias
DistribucionesDistribucionesEstadística ComputacionalEstadística Computacional
I Semestre 2006I Semestre 2006
Profesor : Héctor Allende
Profesor : Carlos Valle
2
Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real
Ejemplo N°1:
Ω =falla , no falla
X( no falla ) = 0
X( falla ) = 1
ℜ→Ω:X
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
3
fallano falla
ΩΩΩΩEspacio Muestral
X(falla) = 1X(no falla) = 0
0 1∞∞∞∞−−−− ∞∞∞∞++++
ConjuntoNúmeros
Reales
IR
X : ΩΩΩΩ Rx ∈
X-1(]-∞, x]) ∈∈∈∈ ℑ Familia de eventos elementales
IR
A cada s ∈ Ωle corresponde
exactamente un valor X(s)
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
4
a b
RX
Ω X(s) = b; s ∈ Ω
X(s) = a
si
A
sk
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• En cierto sentido podemos considerar RX como otro espacio muestral.
• El espacio muestral original “induce” un espacio muestra RX asociado a la
Variable Aleatoria X.
• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX.
Ω
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
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( a < x < b )
( a < x ≤ b ]
[ a ≤ x < b )
[ a ≤ x ≤ b ]
Nótese que para cada
par de
números reales a y b
existen los
siguientes conjuntos
a b
RX
X(s) = b; s ∈ Ω
X(s) = a
si
sk
A
( x > a ∞
( x ≥ a ∞
x < b ) - ∞x ≤ b ]- ∞
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
6
El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral Ω se puede aplicar a eventos en RX.
RX
X: Ω RX
Ω
X(s) = x
1
0
f : R [0, 1]
f(x)0 ≤ P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1
s
Función de ProbabilidadFunción de Probabilidad
7
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
Variable AleatoriaVariable Aleatoria
ℑ∈∞−
ℜ→Ω− ]),(]
:
1 xX
X
X
cf
cf
NIicCf:C
CC
i
i
i
acion transformla Usando
1)( ii)
0)( i)
:
contable Soporte )(con Sea
Ii
=
≥
⊆∈=ℜ→
Ω⊆ℑ∈
∑∈
8
Sea X una variable aleatoria
Si el número de valores de X (esto es su Recorrido).
Es finito (contable) o.
Es contablemente infinito (denumerable).
Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.
Esto es, los valores de X (w) pueden ser enumerados.
x1, x2, x3, …, xn, …
En el caso contable la lista es finita.
En el caso denumerable la lista es infinita contable
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
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Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
Sea , conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C ⊆ Ω
es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i ∈ I ⊆ N , tal que:
Sea A el evento tal los eventos elementales ci∈C pertnezcan también a A, esto es ci ∈ C ∩ A. Usando la transformación X:
ℑ∈C
ℜ→CX :
∑ ∑∩∈∈
===
=
:
)()()(
)(
ACcij i
ij
ii
i
xXPcfAP
xcx
0)()( ≥= ii cPcp
10
Función de Probabilidad v.a discretaFunción de Probabilidad v.a discreta
A cada resultado posible xi se asocia un número
llamado la probabilidad de xi
Los f(xi) deben satisfacer:
El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantía.
))(()( ii xsXPxf ==
x
P (X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa”Función de Frecuencia
x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn
f(xi)
∑ =
≤≤
i
i
i
xf
xf
1)(
1)(0
11
Propiedades función de cuantía:
Función de Distribución
Función de Cuantía de una v.a. discretaFunción de Cuantía de una v.a. discreta
∑ ∑∩∈∈
===
=
:
)()()(
)(
ACcij i
ij
ii
i
xXPcfAP
xcx
1)(
0)(
==
≥=
∑i
i
i
xXP
xXP
∑∑≤≤
===xx
i
xx
i
ii
xfxXPxF )()()(
12
[ ] ∑ ==i
ii xXPxXE )(
[ ] [ ]∑ =−=i
ii xXPXExXV )()( 2
Esperanza y Varianza de una v.a. discretaEsperanza y Varianza de una v.a. discreta
Esperanza de una v.a.d. X
Varianza de una v.a.d X
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Consideremos un solo experimento ε
sea A un evento asociado con tal experimento.
supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p
P(X = 1) = p
P(X = 0) = 1 – p
f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x
X = 0, 1
0 < p < 1
Entonces su función de
cuantía es
0
0 1
p = 0,7
x
f(x)
Sea la v.a. X(A ) = 1
X(Ac) = 0
Distribución Distribución BernoulliBernoulli
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Distribución Distribución BernoulliBernoulli
Variable aleatoria discreta Bernoulli:
donde se tienen sólo 2 eventos posibles:
Esperanza: E [X] = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p Varianza: V [X] = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p
= p ( 1 - p )
ℜ→Ω:X
pwXP
pwXP
==
−==
)1)((
1)0)((
15
Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”.X: N° de piezas defectuosas en las n
extracciones
Entonces
Distribución Distribución BinomialBinomial
nkppk
nkXP knk ,...,1,0 )1()( =−
== −
16
x
n
• Sean n repeticiones independientes del experimento.
• Ω consiste de todos los posibles secuencias a1, a2, a3, .., an, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac.
• Existen 2n de tales secuencias.
Sea la variable aleatoria X := número de veces que
ocurre el evento A
sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n
f(x) = P(X = x) = px (1 –p)n-x
x = 0, 1, 2,......,n0 < p < 1
0,000
0,100
0,200
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 16p = 0,2
x
f(x)
Distribución Distribución BinomialBinomial
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Distribución Distribución BinomialBinomial
Esperanza: E [X] = npVarianza : V [X] = np (1-p)
Notación:
Características:Se utiliza en el muestreo de una población finita
con reemplazo. También cuando la población es muy grande, con
o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.
),(~ pnBiX
18
Distribución Distribución BinomialBinomial
19
Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica
Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos (con defectos: D ; sin defectos: N - D).
Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo.
X: N° de artículos defectuosos en la muestra
20
−
−
==
n
N
kn
DN
k
D
kXP )(
k =0,1,2,.....,min n , D
Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra (N ≤ 10 n).
[ ]N
DnXE = [ ]
)1(
))((2 −
−−=
NN
nNDNDnXV
Distribución Distribución BinomialBinomial
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21
Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra.
Sea λ = np.Entonces
,....2,1,0 !
)( ===−
kk
ekXP
k λλ
Distribución de Distribución de PoissonPoisson
22
Distribución de Distribución de PoissonPoisson
23
Esperanza: E [X] = λVarianza: V [X] = λ
Caso límite: X ∼ B( n , p )
con
nkInnk
nkXP
knk
,,....2,1,0
)(1)(
−
−
==
λλ
)(0!
)( kN
k
Iek
kXP λλ −==
Distribución de Distribución de PoissonPoisson
0y ≈∞→ pn
24
Construcción de un Modelo Construcción de un Modelo ProbabilísticoProbabilístico
Ejemplo: Las piezas a la salida de una línea de producción se
clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N).
Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El Ω para este experimento es:
Ω = NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD
La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo
Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen.
Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))
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Ω = NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD
x
f(x)
0
(1-p)3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
2
3(1-p) p2
3
p3
1
X(NND)= 1
X(NDN)= 1
X(DNN)= 1
3(1-p)2p
3 P(N) P(N) P(D)
Creando un modelo Creando un modelo probabilísticoprobabilístico
26
x
1
0
F(x)
x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn
P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa”Función de Frecuencia
F(x) = 0 x < x1
= Σ f( xi ) x1 ≤ x < x2
1
i = 1
= Σ f( xi ) x2 ≤ x < x3
2
i = 1
= Σ f( xi ) x3 ≤ x < x4
3
i = 1
= Σ f( xi ) x4 ≤ x < x5
4
i = 1
Función de distribución v.a. discretaFunción de distribución v.a. discreta
27
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
Cuando el experimento ε se realiza sobre un espacio muestral Ω que está relacionado con escalas intevalares.
tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura, etc.
Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimovalor de X = xi; En tales casos se habla de Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial:
ℜ→ℜ:f
0)(
lim)(0
>+<<
=→ h
hxXxPxf
h
28
f(x)
xf(x) > 0;
Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface:
∀ x ∈ Rx ∈ −∞, +∞
∫ f(x) dx = 1
Rx
a b
∫=
b
a
dxxP(A) = P(a < x < b) )(f
A: un evento
A: x| a < x ≤ b)
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
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Están definidas por una densidad de v. a. X
se dice densidad de probabilidad
Propiedades:
∫∞
∞
=-
f(x)dx 1
Distribuciones de Probabilidad ContinuasDistribuciones de Probabilidad Continuas
ℜ→ℜ:f
0≥f(x)
30
∫∞−
=≤=x
dttxXPxF )(f)()(
1.
2.
3. F (-∞∞∞∞) = 0 ; F (∞∞∞∞) = 1
4. Fx es no decreciente
5.
6.
∫=≤≤b
a
dxxbxaP )(f)(
[ ] ∫=R|
)(f dxxxXE
[ ] [ ]∫ −=R
dxxfXExXV )()( 2
a b
∫=b
a
dxxfA )(f(x)
x
Propiedades y DefinicionesPropiedades y Definiciones
31
Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:
Función de distribución acumuladaFunción de distribución acumulada
)()( xXPxF ≤=
Si X es una v.a. Discreta
Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satisfacen xi ≤ x
Si X es una v.a. Discreta
∑≤∃∀
=xxi
i
i
xfxF
)()(
Si X es una v.a. Continua
Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t ≤ x
Si X es una v.a. Continua
∫∞−
=x
dttfxF )()(
32
Construcción de Modelos de ProbabilidadConstrucción de Modelos de Probabilidad
Sea es una función de distribución, entonces: F es no decreciente
F es continua por la derecha
Luego P(]]]] -∞∞∞∞ , x ]]]]) = F(x) define una Probabilidad Además:
P( ]a,b] ) = F(b) - F(a)
P( [a,b] ) = F(b) - F(a-)
P( ]a,b[ ) = F(b-) - F(a)
P( [a,b[ ) = F(b-) - F(a-)
ℜ→ℜ:F
1)(limy 0)(lim ==∞→−∞→
xfxfxx
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33
abxf
−=
1)( a ≤ x ≤ b
min máx
0,0
0,1
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b
f(x)
x
Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar
cualquier valor entre a ≤ x ≤ b; cuya pdf es:
Sea a = 3; b = 12
A: el evento 4 < x < 7
Entonces:
∫=
7
4
dxP(A) = P(4 < x < 7)9
1
P(A) = 1
3
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
34
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza Varianza
Notación:
bxaab
xf <<−
=1
)(
≥
<<−
−
≤
=
bx
bxaab
ax
ax
xF
1
0
)(
Distribución UniformeDistribución Uniforme
[ ]2
baXE
+= [ ]
12
)( 2abXV
−=
),(~ baUX
35
Distribución UniformeDistribución Uniforme
36
Función de densidad
La función de Distribución no tiene expresión analítica. (Usar tablas o calculadoras)
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución Normal o Distribución Normal o GaussianaGaussiana
Rxexf
x
∈=
−−
,)(
2
2
1
2
1 σ
µ
σπ
[ ] µ=XE
[ ] 2σ=XV
),(~ 2σµNX
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Distribución NormalDistribución Normal
38
EstandarizaciónEstandarización
Haciendo
∼∼∼∼ N( 0 , 1 )
se tiene que:
y FZ(z) se obtiene de tablas !
σ
µ−=X
Z
Rzezfz
z ∈=−
,)(2
2
1
2
1
π
Distribución Normal o Distribución Normal o GaussianaGaussiana
39
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
)exp(~ λX
0 ,01
)( >≥=−
λλ
λ xsiexfx
X
01)( ≥−=−
xexFx
Xλ
[ ] λ=XE
[ ] 2λ=XV
40
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
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41
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución de Distribución de RayleighRayleigh
)(~ αRX
0)(2
2
22
≥=−
xsiex
xf
x
Xα
α
01)(2
2
2 ≥−=−
xexF
x
Xα
[ ]2
2πα=XE
[ ] 2)2
2( απ
−=XV
42
Distribución de Distribución de RayleighRayleigh
43
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución de Distribución de WeibullWeibull
),(~ baWeibullX
0,0,0)( 1 >>≥= −− baxsieabxxfbaxb
X
[ ]
+Γ= −
baXE b 1
1/1
[ ]
+Γ−
+Γ= −
bbaXV b 1
12
12/2
01)( ≥−= − xexFbax
X
44
Distribución de Distribución de WeibullWeibull
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45
Función de densidad
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución tDistribución t--studentstudent
νtX ~
[ ] 1 0 >= νXE
[ ] 2 2
>−
= νν
νXV
2
12
1
11
2
2
1
)(+
+
Γ
+Γ
=ν
ν
νπν
ν
x
xf X
46
Distribución tDistribución t--studentstudent
47
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución GammaDistribución Gamma
),(),(~ βαβα Γ=GammaX
)()(
),,(1
xIex
xfR
x
X +Γ
=
−−
α
βα
βαβα
∫∞−
=≤=x
X dttfxXPxF ),,()()( βα
[ ] αβ=XE
[ ] 2αβ=XV∫∞
−− >=Γ0
1 0ndyeyn yn)(
48
Distribución GammaDistribución Gamma
),(~ βαΓX
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49
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza
Varianza
Notación:
Distribución ChiDistribución Chi--CuadradoCuadrado
)2,2/()(~ 2 nnX Γ=χ
∫∞−
=≤=x
X dtntfxXPxF ),()()(
( ) (x)In
Γ
exx,nf
Rn
xn
X +
=
−−
2
21
2
22
[ ] nXE =
[ ] nXV 2=
50
Distribución ChiDistribución Chi--CuadradoCuadrado
51
Función de densidad
Función de Distribución es
Esperanza Varianza
Notación:
Distribución BetaDistribución Beta
),(),(~ srsrBetaX β=
∫∞−
=≤=x
X dusrufxXPxF ),,()()(
[ ]sr
rXE
+=
[ ])()( 1
2 +++=
srsr
rsXV
[ ])()(
)()(
usrr
ursrXE
++ΓΓ
+Γ+Γ=µ
[ ] )()()()(
)(),,(
,xIxx
sr
srsrxf sr
X 10
11 1 −− −ΓΓ
+Γ=
∫−− −=
1
0
111 dxxxsr
sr)(),(β
52
Distribución BetaDistribución Beta