vectores

Conceptos generales

Magnitudes vectorialesEjes de coordenadasDibujo de un vectorModulo direccin y sentidoComponentes de un vectorCosenos directoresVectores unitariosExpresiones de un vector

Trminos que se emplean y significado matemticoOrtogonalIndependencia lineal

ParaleloPerpendicular

PerpendicularNo se pueden obtener unos de otrosForma 0 Forma 90

subndicesx = parte x de algoy = parte y de algoz = parte z de algo0 = inicial lo del principiof = final, cuando acabai = inicialA = situacin inicial o de partidaB = situacin final

smbolos incremento (es una diferencia) suma ( se usa un subndice para decir cuantos elementos tiene) ngulo ngulo con el eje x ngulo con el eje y ngulo con el eje z

Trminos que se emplean y significado vectorialParaleloPerpendicularProyeccinDesplazamientoDistanciaAnguloTrianguloparalelogramoDiagonal mayor del ParalelogramoDiagonal menor del paralelogramorea del paralelogramoSuperficie del triangulo

Producto vectorialProducto escalarProducto escalarDiferencia de vectoresModulo de la diferenciaProducto escalarDiferencia de vectoresSuma de vectoresSuma de vectores Diferencia de vectoresModulo del producto vectorialModulo del producto vectorial/2

Magnitudes vectorialesVector de posicin rVelocidad vAceleracin aCampo gravitatorio gCampo elctrico ECampo magntico BSuperficie SVector propagacin

FUERZASPesoNormalTensinFuerza de rozamientoFuerza elsticaFuerza gravitatoriaFuerza elctricaFuerza magnticaFuerza nuclear

lgebra y calculo vectoriallgebra vectorialSumaDescomposicinDiferenciaProducto por un escalarProducto escalarProducto vectorial

Calculo vectorialDerivacinIntegracin vectorial

Escritura de un vector

Mediante letras maysculas o minsculas.En negritaCon una flecha encima

definiciones

coordenadasNmeros que se dan para localizar un punto en el que se encuentra un cuerpo

Coordenadas cartesianas x, y, zCoordenadas polares: r y

Ejes de coordenadas cartesianasSon los ejes x y z

Smbolos de los ngulosEntre segmentos Con el eje x : Con los ejes x, y, z , ,

Teorema de Pitgoras y del coseno (a y b son mdulos de vectores)

Formula elemental de trigonometrasen 2 + cos2 = 1

moduloValor absoluto del vectorCoincide con la distancia del segmento

Vector unitarioEs el que tiene de modulo la unidadEl smbolo usado para designarlo es u- con un subndice que indica su direccin u r direccin radialu x direccin x tambin iu y direccin y tambin ju z direccin z tambin k

Vectores unitarios ortogonalesForman 90 entre s i j k

Cosenos directoresCosenos de los ngulos que el vector forma con el eje x y z

direccinLnea que contiene al vectorSe expresa por su vector unitario

Vector de posicinEs un vector cuyo origen es el punto 0,0,0 y su extremo el punto consideradoSe representa con la letra r

Vector desplazamientoEs el vector cuyo origen es el punto de salida de un mvil y cuyo extremo es el punto de llegadaSe representa como r

Expresiones de un vectorMediante tres nmeros entre parntesisMediante el modulo y su vector unitarioMediante tres vectores unitarios ortogonalesMediante su modulo y los cosenos directores

Suma de vectoresEs el vector obtenido trasladando los vectores y colocando e extremo de uno en el origen del otro y uniendo origen con extremoTambin se obtiene por la regla del paralelogramo

Cmo se hace la suma?Teorema del cosenoSumando las componentes

Qu significado tiene la suma?Es la diagonal mayor del paralelogramo formado por los dos vectores

Componentes de un vectorSon las proyecciones sobre los ejes x y z

Descomposicin de un vectorEs la operacin contraria a la sumaTeniendo el vector obtener las componentes

Como se hace la descomposicin de un vector?Mediante las formulas del seno y el coseno

Razn de la descomposicin de vectoresSi tenemos una magnitud vectorial, podemos hacer las operaciones en las que interviene mediante el vector o mediante las componentes.Descomponemos el vectorOperamos escalarmente las componentes que es mas fcilVolvemos a componer el vector

diferenciaEs otro vector obtenido por la regla del triangulo

Cmo se hace la diferencia?Mediante la regla del cosenoOperando las componentes

Qu significa la diferencia?Es la distancia entre los extremos de los vectores

Multiplicacin por un escalar kEs el producto del vector por un numero

Cmo se hace la multiplicacin por un escalar?Se multiplica cada una de su componentes

Qu significado tiene la multiplicacin por un escalar?Es como si agrandramos o disminuyramos el vector k veces

Producto escalarEs un escalar que se obtiene multiplicando dos vectores.

Cmo se hace el producto escalarMultiplicando las componentesSe organiza ordenando los vectores uno debajo del otro y coincidiendo las componentes.Mediante la ecuacin A B =A B cos

Aplicaciones del producto escalarConocer el ngulo entre dos vectoresSaber si son perpendiculares

Producto vectorialEs el producto de dos vectores obtenindose un vector que tiene por mdulo A B sen y direccin y sentido perpendicular al plano formado por los vectores

Cmo se hace el producto vectorial?Su modulo se obtiene mediante la ecuacinA B = A B sen Su direccin mediante la regla del tornilloTambin se llama regla del la mano derecha, del sacacorchos.Mediante un determinante

Aplicaciones del producto vectorialHallar el ngulo entre los vectoresHallar el rea del tringulo formado por ellosHallar un vector perpendicular al plano formado por ellos

Derivada de un vectorSe deriva cada una de sus componentes

Derivadas elementales que se podrn tener en las pruebasDe una constante = 0De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por el exponenteDe una raz: se convierte en potenciaDe un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del segundo por el primeroDe un cociente: derivada del numerador por el denominador- derivada del denominador por el numerador.Del seno: el cosenoDel coseno: - el seno

Integracin vectorialSe integra cada una de sus componentes

Integrales elementales que se podrn tener en las pruebasDe d x es x + CLas constantes salen fuera de la integralDe una potencia se suma 1 al exponente y se divide por el numero obtenido.De una suma o diferencia: suma o diferencia de integrales Del seno = - cosenoDel coseno = seno

NotacinEscribir espacio inicialEscribir posicin inicial Escribir tiempo finalEscribir velocidad en un tiempo t 1Escribir aceleracin en un tiempo t2Escribir campo elctrico E en un punto

Desarrollar x entre dos puntos t entre el comienzo y el final t entre dos tiempos cualquiera e entre la salida y la llegada v entre el comienzo y el final

Usando el teorema de pitgoras, el seno y coseno, y un dibujo demostrar

Usando el producto por un escalar y los vectores unitarios ortogonales i, j, k y las razones trigonometricas, demostrar.

problemasLos problemas que a continuacin aparecen no son para practicar sino problemas tipo donde se concreta la teora y que hay que aprender.

Dado el vector A=(3,4,0)

Expresarlo en funcin de los vectores unitarios ortogonales.Hallar su mdulo Hallar su vector unitarioExpresarlo en funcin de su mdulo y vector unitarioIndicar sus componentesHallar los cosenos directoresExpresarlo en funcin de su mdulo y cosenos directores

OPERACIONES CON VECTORESSUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DESCOMPOSICION, DERIVADA INTEGRAL.

DESCOMPOSICIN: Dado un vector A en el plano de modulo 10 formando 30 con el eje xHallar la proyeccin sobre el eje xHallar la proyeccin sobre el eje yIndicar los cosenos directoresIndicar como se escribe la proyeccin sobre el eje xIndicar como se escribe la proyeccin sobre el eje yIndicar qu relacin existe entre ambas proyecciones.

Dados los vectores (2,12,3) y (3,-1,2)Hallar su sumaHallar su diferenciaHallar el producto escalarHallar el producto del primero por el escalar 2Hallar el producto vectorial

Dados dos vectores A y B de mdulos 6 y 8 formando 60 Hallar su sumaHallar su diferenciaHallar su producto escalarHallar el mdulo de su producto vectorial

Dado el vector r = (t 3 , t 2, t)Expresarlo en funcin de los vectores unitarios ortogonalesHallar su derivadaHallar su integral en funcin de t

aplicacionesDemostrar que los vectores (sen, cos ) y ( cos , sen ) son ortogonalesRealizar todos los productos escalares y vectoriales posibles de i, j, kHallar la derivada del vector (sen cos ).

Hallar el ngulo que forman los vectores (3,4,0) (4,3,0)Hallar a para que los vectores siguientes sean perpendiculares (2,3,1) y (1,-a,3)Demostrar que los vectores (3,-2,1) (2,1,-4) (1,-3,5) forman un tringulo rectngulo.

Desde un acantilado se dispara un can que forma un ngulo de 60 con la horizontal. La bala sale a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala. Sobre un pndulo actan dos fuerzas, el peso hacia el centro de la tierra y la tensin en la direccin de la cuerda y hacia el techo. Elegir un sistema de referencia para descomponer las fuerzas que actan sobre un pndulo y descomponerlas

Hallar la proyeccin de (-1,2,1)sobre (1,-1,2).Hallar los ngulos del vector (4,-1,3) con los ejes cartesianos.Hallar el ngulo que deben formar dos vector de mdulos 3 y 4 para que su suma sea 5Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el rea del triangulo que forman

El mdulo de un vector es y forma 90 con el vector . (2,12,3). Hallar el mdulo de su sumaLos vectores de posicin de dos puntos son 2, 1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresin vectorial de los tres lados del tringulo que forman al unir sus extremos Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1 el mdulo del vector de posicin de su extremo es 9. Los cosenos directores son 2/3 1/3 2/3. Hallar el vector desplazamiento

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 10t y = 5t2 z = 4 A) Hallar el vector velocidad y aceleracin en t = 1 sB) Hallar la direccin de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilinbeo o curvilneo.

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 2sent y =2 cos t z = 0A) Hallar el vector velocidad y aceleracin en t = sB) Hallar la direccin de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilneo o curvilneo.C) Demostrar que el vector de posicin y la aceleracin tienen la misma direccinD) Demostrar que la velocidad y la aceleracin son perpendiculares.

Una fuerza tiene la expresin F = 2x i. Hallar el trabajo desde x = 1 a x = 5W= 12 F dr

Una fuerza tiene la expresin F = 2 i + 3xj + z kHallal el trabajo desde el punto (0,0,0) al (1,1,1)

Dada la fuerza F = senx i + cos x j. Hallar el trabajo desde el punto 3,4 al 4,3

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