VECTORES EN EL PLANODefinicin de vector:

Un vector fijoes unsegmento orientadoque va del punto A (origen) al punto B (extremo).Mdulo del vector:Es lalongitud del segmento AB, se representa porDireccin y sentido del vector:Direccin de un vector:Es ladireccinde larectaque contiene alvectoro de cualquierrecta paralelaa ella.Sentido del vector:El que va del origen A al extremo B.Vectores opuestos:Dos puntos A y B determinan dos vectores fijosy, con sentido distinto, que se llamanvectores opuestos.Vector nulo:Un vector fijo esnulocuandoel origen y su extremo coinciden.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NMEROElproducto de un nmero kpor unvectores otrovector:1Deigual direccinque el vector.2Delmismo sentidoque el vectorsi k es positivo.3Desentido contrariodel vectorsi k es negativo.4Demdulo

Propiedades del producto de un nmero por un vector1Asociativak (k' ) = (k k') 2Distributiva respecto a la suma de vectoresk (+) = k + k 3Distributiva respecto a los escalares(k + k') = k + k' 4Elemento neutro 1 =

Suma de vectores

Parasumardosvectores libresyse escogen como representantes dos vectores tales que elextremode uno coincida con elorigen del otro vector.

Regla del paralelogramoSe toman como representantes dosvectorescon elorigen en comn, se trazanrectas paralelasa losvectoresobtenindose unparalelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.Propiedades de la suma de vectores1Asociativa+ (+) = (+) +2Conmutativa+=+3Elemento neutro +=4Elemento opuesto+ () =Vectores equipolentes

Dos vectores sonequipolentescuando tienen igualmdulo, direccin y sentido.

Siysonvectores equipolentes, el cuadriltero ABCD es unparalelogramo.Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llamavector libre. Cadavector fijoes un representante delvector libre.Vector de posicin de un punto en el plano de coordenadas

El vectorque une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vectorson las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplo: Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

Un vectortiene de componentes (5, 2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, 3).

Mdulo de un vectorEl mdulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo tiene mdulo cero.1Clculo del mdulo conociendo sus componentes

Ejemplo:

2Clculo del mdulo conociendo las coordenadas de los puntos

Ejemplo:Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es igual al mdulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Ejemplo:OPERACIONES CON VECTORES POR MEDIO DE SUS COMPONENTESPRODUCTO: Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Ejemplo:

SUMA DE VECTORES: Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

RESTA DE VECTORES: Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

VECTORES EQUIPOLENTES DADOS POR COMPONENTESSiysonvectores equipolentes, el cuadriltero ABCD es unparalelogramo.Ejemplo: Calcula las coordenadas de C para que el cuadriltero de vrtices: A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.

Vectores unitarios:Losvectores untarioStienen demdulo, launidad.Para obtener un vector unitario, de lamisma direccinysentidoque elvectordado sedivideste por sumdulo.

Combinacin lineal de vectoresDadosdos vectores:y, ydos nmeros:ayb, elvectorse dice que es unacombinacin linealdeyUnacombinacin linealde dos o ms vectores es elvectorque se obtiene alsumaresosvectoresmultiplicadospor sendosescalares.

Cualquiervectorse puede poner comocombinacin linealde otros dos que tengandistinta direccin.Esta combinacin lineal es nica.Dados los vectores, hallar elvector combinacin lineal

El vector, se puede expresar comocombinacin linealde los vectores?

Vectores linealmente dependientes e independientesVectores linealmente dependientes :Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinacin lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

Propiedades1Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los dems.

Tambin se cumple el reciproco: si unvectorescombinacin linealde otros, entonces todos losvectoressonlinealmente dependientes.2Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y slo si, son paralelos.3Dosvectores libresdel plano= (u1, u2) y= (v1, v2) sonlinealmente dependientessi sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes: Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinacin lineal de los restantes.

a1= a2= = an= 0Losvectores linealmente independientestienendistinta direcciny suscomponentesno sonproporcionalesEjemplo:Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:= (3, 1) y= (2, 3)

Linealmente independientesBASE

Dos vectoresycon distinta direccin forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinacin lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Ejemplo:

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.Ejemplos:Qu pares de los siguientes vectores forman una base:

Clasificacin de bases1Base ortogonal

2Base ortonormal

Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s, y adems tienen mdulo 1.

Esta base formada por los vectoresyse denominabase cannica.Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se est trabajando en esa base.

SISTEMA DE REFERENCIA

En el plano, un sistema de referencia est constituido por un punto O del plano y una base (,).El punto O del sistema de referencia se llama origen.Los vectores,no paralelos forman la base.1OrtogonalLos vectores base son perpendiculares y tienen distinto mdulo.2OrtonormalLos vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir, de mdulo 1.Se representan por las letras.

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESEl producto escalar de dos vectores es un nmero real que resulta al multiplicar el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman.

Ejemplo:

1Expresin analtica del producto escalar

Ejemplo:

2Expresin analtica del mdulo de un vector

Ejemplo:

3Expresin analtica del ngulo de dos vectores

Ejemplo:

4Condicin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:

No son perpendicularesInterpretacion geomtrica del producto escalarEl producto de dos vectores no nulos es igual al mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.

Ejemplo:Hallar la proyeccin del vector= (2, 1) sobre el vector= (3, 4).

Propiedades del producto escalar1Conmutativa

2Asociativa

3Distributiva

4El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.

APLICACIONES

Coordenadas del punto medio de un segmentoLas coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

Condicin para qu tres puntos estn alineadosLos puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) estn alineados siempre que los vectorestengan la misma direccin. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Simtrico de un punto respecto de otroSi A' es el simtrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificar igualdad:

Coordenadas del baricentroBaricentro o centro de gravedad de un tringulo es el punto de interseccin de sus medianas.Las coordenadas del baricentro son:

Divisin de un segmento en una relacin dadaDividir un segmento AB en una relacin dadares determinar un puntoPde la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, estn en la relacin r: