VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO

Nivel 4º E.S.O.Nivel 4º E.S.O.

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

PQ

R SP Q

S

R

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

PQ

Vectores de la misma magnitud

RSPQ

Un vector es un segmento orientado

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido

SRRS

Vectores de la misma

dirección

S

R Q

P

S

R

S

R

Vectores en direcciones

distintas

P

Q

Vectores Equivalentes

Q

P

RSPQ

Tienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos

equivalentes

OEje x

Eje y

Representante del vector por el origen de coordenadas

(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

u

a

b

A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:

P(a,b))b,a(OPu

Eje Y

OEje X

10c10cmm

6cm6cm

31º31º

15c15cmm ¿b?¿b?

11º11º

¿a?¿a?

Magnitud o módulo de un

vector u

El vector nulo (0,0) no tiene

dirección

Dirección de u

Angulo positivo que forma con el eje X

22 bau a

btag

u

a

b(a,b)

Eje Y

OEje X

Un vector de módulo uno se llama unitario

Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X

Eje Y

O Eje X

22 bau a

btag

Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X

Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los

ejes coordenados

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los

vectores i,j

Eje Y

O Eje X

u

x

y

i

j xi

yj

Halla el módulo del vector u(1,1) = i + j y el ángulo θ que forma con el eje X

Eje Y

O Eje X

22 bau a

btag

Halla el módulo del vector u(1,3) = i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i +3 j y el ángulo θ que forma con el eje X

Operaciones con vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (x+a, y+b)

producto por un escalar u como

u=(x, y).

Operaciones con vectores

Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo

Eje Y

OEje X

u+ v u

v

Operaciones con vectores

Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo

Eje Y

OEje X

u- v u

v u- v

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del

paralelogramo

Eje Y

OEje X

u+ v u

v

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), u=(x, y)

Eje Y

OEje X

u

u

>0

u <0

0<<1

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=│u││v│cos

: Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Nueva definición de Producto escalar:

ybxav.u

j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u

bjaiv

yjxiu

Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=ax+by

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

/2

Propiedades del producto escalar

u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.

Interpretación geométrica:

Teorema:

Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:

cosvuv.u

v

u

ucos

cos/. vuvu

Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.