VECTORES

Docente:Yovana Medina Vásquez

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Despejando fórmulas

En las siguientes ecuaciones despejar “x” o “y” o “z” según

corresponda:

A) 4x = 8 x = B) xT2 = a x =

C) xm + n = m x = D) x + b/2 = m x =

E) y2 b = a y = F) z2 a + b = a z =

2

bm

a

b

2aT2

1n

m

Algunos triángulos rectángulos notables

37º y 53º 45º 30º y 60º

16º y 74º 15º y 75º 21º y 69º

Trigonométrica Elemental

Razones trigonométricas Con respecto a

Con respecto a

Sen = a/h Sen = b/h

Cos = b/h Cos = a/h

Tg = a/b Tg = b/a

Ctg = b/a Ctg = a/b

Sec = h/b Sec = h/a

Csc = h/a Csc = h/b

Ejemplos:

Sen 30º = Cos 60º = 1/2 Sen 37º = Cos 53º = 3/5 Cos 120º = -1/2

Cos 30º = Sen 60º = Cos 37º = Sen 53º = 4/5 Cos 16º = 24/25

Sen 16º = Cos 74º = 7/25 Sen 45º = Cos 45º = Sen 74º = 24/25

3 2

2 2

• Es un segmento de recta orientado que sirve pararepresentar las magnitudes vectoriales

• .

ORIGEN

VECTOR

OP

5

A

A

A

Elementos de un Vector

• Modulo, intensidad o magnitud.

• Dirección.

• Sentido.

22 yxr

VECTOR UNITARIO

• Es un vector colineal con el vector original

• Tiene un módulo igual a la unidad

• Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir

ˆA

Ae

A

ˆAA A e

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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES

• A cada uno de los ejes coordenado se le asignavectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulosiguales a la unidad y direcciones perpendicularesentre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k

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VECTOR POSICIÓN

El vector de posición es el que une el origen de coordenadas O con un punto

final P, se representa con la letra r.

(x,y)

V posición en 1 D

V posición en 2 D

22 yxr

Modulo se calcula por Pitágoras

jyixr ˆˆ

8

VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

9

Ejemplos

Vector posición en 1D:

0 X=5

Vector posición en 2D:

0

r=(4;7)

Vector posición en 3D:

0

r=(4;6;3)

Nota: el Vector posición siempre nace del origen de coordenadas.x=4

y=7

x=4

y=6

z=3

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitascomponentes. El único requisito es que La suma de estacomponentes nos de el vector original. La descomposiciónpude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

AsenA

AA

y

x

;cos

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2

x yA A A

y

x

A

Atg

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

2.En el espacio. Cualquier vector puededescomponerse en tres componentes

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2

x y zA A A A

cos xA

A

cos yA

A

cos AzA

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Vector desplazamientoEs el vector cuyo origen es el punto de salida de un móvil y cuyo extremo es el punto de llegada. Se representa como of rrr

• El desplazamiento es la línea negra continua de A a B

• El desplazamiento es independiente del camino que

tomemos entre ambos puntos.

•El desplazamiento es un VECTOR

r

El recorrido de una partícula viaja de A a Brepresentado por la línea roja discontinua es la distancia y es un ESCALAR

PQ rrrlazamientoVectorDesp

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Algebra vectorial

Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir:

1.Vectores iguales: . Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos

2.Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

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OPERACIONES BASICAS ENTRE VECTORES

kAjAiAA zyXˆˆˆ

kBAjBAiBAR zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

Dados los vectores

kBjBiBB zyXˆˆˆ y

La suma se define como :

Gráficamente

kRjRiRR zyx

zyx RRRR222

cosabbaR 222

)ˆˆˆ)ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

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|A| = 6 m/s

|B| = 6 m/s2

Suma vectorial : El método de componentes

AC

B

• Dibuje cada vector a partir de los ejes imaginarios x e y.

• Encuentre los componentes x e y de cada vector.

• Halle la componente x de la resultante sumando las componentes x de todos los vectores.

• Halle la componente y de la resultante sumando las componentes y de todos los vectores.

• Determine la magnitud y dirección de la resultante.

Cy

By

Ay

Ax

Cx

Bx

R A B Cx x x x

R A B Cy y y y

R R Rx y 2 2 tan R

R

y

x 18

Resta o sustracción de vectores

Al cambiar el signo de un vector cambia su dirección.

B -B

A -A

Para encontrar la diferencia entre dos vectores, sume un vector al negativo del otro.

kBAjBAiBABABA zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)()(

Dados los vectores BA

, ; se define B

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B = 5 u

A = 3 u

30º50º

Ax

Ay

Bx

By

Ax = A Cos 30º

Ay = A Sen 30º

Bx = -B Cos 50º

By = B Sen 50º

= (3 u)(0.86) = 2.58 u

= (3 u)(0.5) = 1.5 u

= (5 u)(0.64) = - 3.21 u

= (5 u)(0.76) = 3.83 u

∑ Vx = Ax + Bx

∑ Vy = Ay + By

∑ Vx = (2.58 u)+ (-3.21 u)

∑ Vy = (1.5 u) + (3.83 u)

R2 = (∑ Vx)2 + (∑ Vy)

2

R2 = (-0.63)2 + (5.33)2

∑ Vx = - 0.63

∑ Vy = 5.33 u

R2 = 0.39 + 28.4

R = 5.36

R2 = 28.79

SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES RECTANGULARES

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Ley de cosenos Ley de senos

2 2

x a b 2ab cos

a b c

sen sen sen 2 2

x a b 2ab cos

a b c

sen sen sen

Plano cartesiano ángulos y signos de las X y Y en los 4 cuadrantes.

X Abcisas

Y Ordenadas

I cuadrante(X , Y)(+, +)

II cuadrante(X, Y)(-, +)

III cuadrante(X, Y)(-, -)

IV cuadrante(X, Y)(+, -)

0° (360°)

90°

180°

270°

N

O

S

E

Puntos cardinales

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PRODUCTO ESCALARDados dos vectores

se define el producto escalar o producto se define por

- Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

- Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes :

y

Si los vectores forman un ángulo se define por :

. 0A B A B 23

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es untercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por losdos vectores y cuya magnitud es igual al producto de susmagnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos.

El producto vectorial se calcula resolviendo el siguientedeterminante:

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ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j k

AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

La magnitud del producto vectorial es igual al área delparalelogramo que tiene a los vectores A y B

Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores sonparalelos.

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

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Gracias ….