Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de

libertad

F. Javier Cara

ETSII-UPM

Curso 2012-2013

1


Contenido

Señales y sistemas

Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguadorCálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencialCálculo de la respuesta mediante la integral de convoluciónCálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias

2


Señales y sistemas

Representación de los sistemas◮ Un sistema es un modelo matemático de un proceso físico que

relaciona la señal de entrada (o excitación) con la señal de salida (orespuesta).

◮ Sea x(t) la señal de entrada e y(t) la señal de salida de un sistemadado. El sistema puede verse como una transformación de x(t) eny(t). Esta transformacion se representa matematicamente como

y(t) = Tx(t)

◮ T es un operador que representa las reglas de la transformación dex(t) en y(t).

◮ Gráficamente, un sistema con una señal de entrada y una señal desalida se suele representar como

3


Señales y sistemas

Clasificación de los sistemas.Los sistemas se pueden clasificar atendiendo a sus propiedades. Nosotrosvamos a considerar fundamentalmente:

* Sistemas lineales. Si el operador T cumple

T(αx1(t) + βx2(t)) = αTx1(t) + βTx2(t) = αy1(t) + βy2(t)

entonces T es un operador lineal y el sistema representado por T sedenomina sistema lineal.

* Sistemas invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en eltiempo si las propiedades de T no dependen del tiempo, es decir,T 6= T(t). Por tanto se cumple que

Tx(t − τ) = y(t − τ)

* Sistemas causales. Un sistema es causal si la salida en un instantedependede sólo de la entrada en ese instante y de las entradas eninstantes pasados.

* Sistemas estables. Un sistema es estable si para una señal de entradaacotada genera una señal de salida acotada

|x(t)| ≤ k1 ⇒ |y(t)| ≤ k24


Señales y sistemas

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.Dado un sistema T lineal e invariante en el tiempo y una señal de entradax(t), la señal de salida y(t) se puede calcular mediante:

1. Ecuación diferencial.

N∑

k=0

ak

dky(t)

dtk=

M∑

m=0

bm

dmx(t)

dtm

donde ak y bm son coeficientes reales y constantes.

2. Integral de convolucion.

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτ

donde h(t) es la respuesta del sistema a un impulso unitario o deltade Dirac:

h(t) = Tδ(t)

5


Señales y sistemas

3. Transformada de Laplace - Transformada de Fourier.La transformada de Laplace de la integral de convolución es:

L (y(t)) = L

(∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτ

)

⇒ Y (s) = H(s)X (s)

dónde◮ Y (s) es la transformada de Laplace de la salida, Y (s) = L (y(t)).◮ X (s) es la transformada de Laplace de la entrada, X (s) = L (x(t)).◮ H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional,

H(s) = L (h(t)). Se conoce como función de transferencia.

Para determinados sistemas, como los sistemas mecánicos, espreferible utilizar la T. Fourier en lugar de la T. Laplace. Ésto sedebe a que la variable independiente de la T. Fourier es la frecuencia.

F (y(t)) = F

(∫ ∞

−∞

x(τ)h(t − τ)dτ

)

⇒ Y (ω) = H(ω)X (ω)

◮ Y (ω) es la transformada de Fourier de la salida, Y (ω) = F (y(t)).◮ X (ω) es la transformada de Fourier de la entrada, X (ω) = F (x(t)).◮ H(ω) es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional,

H(ω) = F (h(t)). Es la función de respuesta en frecuencia.6


Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador


Figura: (a), (b) Modelos dinámicos para un edificio; (c) Modelo general paraun sistema de un grado de libertad.

7



Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial

Cálculo de las respuesta mediante la ecuación diferencial

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, lafuerza my (t) tiene sentido opuesto al movimiento)

∑

F (t) = my(t) ⇒ F (t)− Fc(t)− Fk(t) = my (t)

Sustituyendo cada fuerza por su valor

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t)

La ecuación diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es

my (t) + cy(t) + ky(t) = F (t) (1a)

y(0) = y0, y (0) = y0 (1b) 8




Solución para fuerza constanteSólo para determinadas situaciones la ecuación anterior se puede resolverde manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada alsistema es constante:

my(t) + cy(t) + ky(t) = F0 (2a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (2b)

Como es bien conocido, la solución de esta ecuación es la suma de lasolución de la parte homogénea más una solución particular

y(t) = yh(t) + yp(t)

Solución de la ecuación homogéneaLa ecuación homogénea correspondiente a (2) es

myh(t) + cyh(t) + kyh(t) = 0

La solución de esta ecuación es de la forma

yh(t) = Aest

9




Sustituyendoms2Aest + csAest + kAest = 0

Para est 6= 0, esto es, para yh(t) 6= 0 se tiene

ms2 + cs + k = 0

cuya solución es

s1 =−c +

√c2 − 4mk

2m, s2 =

−c −√

c2 − 4mk

2m

y la solución homogénea queda

yh(t) = A1es1t + A1e

s2t = A1e−c+

√c2

−4mk

2mt + A2e

−c−√

c2−4mk

2mt

En dinámica de estructuras es usual definir los siguientes términos

ωndef=

√

k

m[rad/s]

ζdef=

c

2√

mk(0 ≤ ζ ≤ 1)

dónde ωn es la frecuencia natural de vibración y ζ es la razón deamortiguamiento. 10




Podemos expresar la solución de la ecuación homogénea teniendo encuenta estas variables

yh(t) = A1e

(

−ζωn+iωn

√1−ζ2

)

t+ A2e

(

−ζωn−iωn

√1−ζ2

)

t

donde se ha considerado que c2 − 4mk < 0. En caso contrario el sistemano es estable.Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada

ωddef= ωn

√

1 − ζ2 [rad/s]

por lo queyh(t) = A1e

(−ζωn+iωd )t + A2e(−ζωn−iωd )t

Solución particularUna solución particular de (2) es

yp(t) =F0

k

Solución finalFinalmente

y(t) = yh(t) + yp(t) = A1e(−ζωn+iωd )t + A2e

(−ζωn−iωd )t +F0

k 11




la velocidad se obtiene derivando

y (t) = A1 (−ζωn + iωd) e(−ζωn+iωd )t + A2 (−ζωn − iωd ) e(−ζωn−iωd )t

Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y(0) = y0, y(0) = y0

y(0) = A1 + A2 +F0

k= y0

y (0) = A1 (−ζωn + iωd) + A2 (−ζωn − iωd ) = y0

La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es

A1 =ωd

(

y0 − F0k

)

− i(

ζωn

(

y0 − F0k

)

+ y0

)

2ωd

A2 =ωd

(

y0 − F0k

)

+ i(

ζωn

(

y0 − F0k

)

+ y0

)

2ωd

12




Sustituyendo

y(t) =

(

y0 −F0

k

)

e−ζωnt cosωdt+

(

ζωn

(

y0 − F0k

)

+ y0

ωd

)

e−ζωnt senωdt+F0

k

(3)

y (t) = y0e−ζωnt cosωdt −

(

ωn

(

y0 − F0k

)

+ ζy0√

1 − ζ2

)

e−ζωnt senωdt (4)

y la aceleración se obtiene sustituyendo en (2)

y (t) =1m(F0 − cy(t)− ky(t)) (5)

13




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a vibración libre.

Un sistema está sometido a vibración libre cuando la fuerza externa esnula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)

my(t) + cy(t) + ky(t) = 0 (6a)

y(0) = y0, y(0) = y0 (6b)

y la solución se obtiene fácilmente de las ecuaciones (3) y (4)

y(t) = e−ζωnt

[

y0 cosωdt +

(

ζωny0 + y0

ωd

)

senωd t

]

(7)

y(t) = e−ζωnt

[

y0 cosωd t −(

ωny0 + ζy0√

1 − ζ2

)

senωd t

]

(8)

y(t) = − 1m(cy(t) + ky(t)) (9)

14




0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

t (s)

y (m

)

0 5 10 15−10

−5

0

5

10

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 15−40

−20

0

20

40

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibración libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad/s,ζ = 0,025, y0 = 1 m, y0 = 0 m/s.

15




Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de ungrado de libertad sometido a una fuerza escalon.

Figura: Fuerza escalon

16




La respuesta se divide en:◮ t0 ≤ t ≤ t1 Vibración forzada con F (t) = F0. Por lo tanto:

y(t) =

(

y0 −F0

k

)

e−ζωnt cosωdt+

(

ζωn

(

y0 − F0k

)

+ y0

ωd

)

e−ζωnt senωdt+F0

k

y (t) = y0e−ζωnt cosωdt −

(

ωn

(

y0 − F0k

)

+ ζy0√

1 − ζ2

)

e−ζωnt senωdt

y (t) =1m(F0 − cy(t)− ky(t))

en t1 la posicion y la velocidad y seran y(t1) y y (t1).◮ t ≥ t1 Vibración libre con condiciones iniciales y(t1) y y (t1).

y(t) = e−ζωn(t−t1)

[

y(t1) cosωd(t − t1) +

(

ζωny(t1) + y(t1)

ωd

)

senωd(t − t1)

]

y(t) = e−ζωn(t−t1)

[

y (t1) cosωd (t − t1)−(

ωny(t1) + ζy (t1)√

1 − ζ2

)

senωd (t − t1)

]

y(t) = − 1m(cy(t) + ky(t))

17




0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

t (s)

F(t

) (N

)

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

t (s)

y (m

)

F0/k

0 5 10 15 20 25 30−2

0

2

t (s)

v (m

/s)

0 5 10 15 20 25 30−10

0

10

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad/s,ζ = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, F0 = 10 N.

18




Solución para una fuerza cualquiera. Método incremental.Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerzacualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuación diferencial (3)utilizando tecnicas numericas.

◮ Métodos de integración de escuaciones diferenciales:Newton-Raphson, diferencias finitas, ...

◮ Métodos específicos para dinámica de estructuras: método deNewmark, método de Wilson,...

Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el método incremental. Paraello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:

19




Para ti ≤ t ≤ ti+1

F (t) =

{

F (ti ) ti ≤ t ≤ ti+1

0 resto

Además tenemos las condiciones iniciales yti , yti y yti . Por tanto

y(t) =

(

y(ti )−F (ti )

k

)

e−ζωn(t−ti ) cosωd (t − ti )

+

ζωn

(

y(ti )− F (ti )k

)

+ y (ti)

ωd

e−ζωn(t−ti ) senωd(t − ti) +F (ti )

k

y (t) = y(ti )e−ζωn(t−ti ) cosωd (t − ti)

−

ωn

(

y(ti)− F (ti )k

)

+ ζy (ti)√

1 − ζ2

e−ζωn(t−ti ) senωd(t − ti)

y(t) =1m(F (ti )− cy(t)− ky(t))

Con esas expresiones calculamos yti+1 , yti+1 y yti+1 y repetimos el proceso.20




0 1 2 3 4 5 6 7 8−200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−50

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn = 2π rad/s,ζ = 0,025, y0 = 0 m, y0 = 0 m/s, N = 128 puntos.

21



Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución

Cálculo de la respuesta a un impulsoSea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1

Suponiendo que y(ti ) = 0, y(ti ) = 0, entonces se tiene que en ti+1

y(ti+1) =F0

k

(

1 − e−ζωn∆t cosωd∆t −(

ζωn

ωd

)

e−ζωn∆t senωd∆t

)

y (ti+1) =F0

k

[(

ωn√

1 − ζ2

)


]

22




Vamos a calcular la respuesta cuando ∆t → 0

lim∆t→0

y(ti+1) =1k

lim∆t→0

1 − e−ζωn∆t cosωd∆t −(

ζωn

ωd

)


∆t

L′Hopital=

1k

lim∆t→0

(

ω2n

ωd

)


1

= 0

lim∆t→0

y(ti+1) =ωn

k√

1 − ζ2lim

∆t→0

[


∆t

]

L′Hopital=

ωn

k√

1 − ζ2lim

∆t→0

[−ζωne−ζωn∆t senωd∆t + ωde−ζωn∆t cosωd∆t

1

]

=ωn

k√

1 − ζ2(0 + ωd ) =

1m

23




Es decir, cuando ti+1 → ti

y(ti+1) = 0, y(ti+1) =1m

Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y(ti+1),y(ti+1), es decir

y(t) =

(

1mωd

)

e−ζωn(t−ti+1) senωd(t − ti+1)

y(t) =

(

1m

)

e−ζωn(t−ti+1)

[

cosωd(t − ti+1)−(

ζ√

1 − ζ2

)

senωd(t − ti+1)

]

Como hemos hecho ti+1 → ti

y(t) ≈(

1mωd

)

e−ζωn(t−ti ) senωd(t − ti)

y(t) ≈(

1m

)

e−ζωn(t−ti )

[

cosωd (t − ti)−(

ζ√

1 − ζ2

)

senωd(t − ti)

]

24




Estas ecuaciones representan la respuesta a una función impulso (delta deDirac) aplicada en ti (se suele representar como h(t − ti)), y la velocidaddebida a un impulso, h(t − ti). Para una delta aplicada en t=s

F (t) = δ(t − s) ⇒

y(t) = h(t − s) =

(

1mωd

)

e−ζωn(t−s) senωd(t − s)

y(t) = h(t−s) =

(

1m

)

e−ζωn(t−s)

[

cosωd (t − s)−(

ζ√

1 − ζ2

)

senωd (t − s)

]

Obviamente, ambas respuestas están definidas para t ≥ s. Es inmediatoque

F (t) = Aδ(t − s) ⇒y(t) = A · h(t − s) t ≥ s

y(t) = A · h(t − s) t ≥ s

25




Cálculo de la respuesta mediante la integral de convoluciónVamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador auna fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.

◮ La respuesta en t debido a F (t1)δ(t − t1) es y(t) = F (t1)h(t − t1).

◮ La respuesta en t debido a F (t2)δ(t − t2) es y(t) = F (t2)h(t − t2).◮ La respuesta en t debido a F (t1)δ(t − t1) y F (t2)δ(t − t2) es

y(t) = F (t1)h(t − t1) + F (t2)h(t − t2)

26




Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es

y(t) =

∫ s

0

F (s)h(t − s)ds

y(t) =

∫ s

0

F (s)h(t − s)ds

En definitiva, la respuesta del sistema es la covolución en el tiempo deF (t) y h(t − s). También se conoce como integral de Duhamel.Si sustituimos h(t − s) y h(t − s) por su valor

y(t) =

∫ t

0

(

F (s)

mωd

)

e−ζωn(t−s) senωd(t − s)ds

y(t) =

∫ t

0

(

F (s)

m

)

e−ζωn(t−s)

[

cosωd (t − s)−(

ζ√

1 − ζ2

)

senωd(t − s)

]

ds

27




0 5 10 15 20 25 30−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

t (s)

h(t)

(N

/m)

1/(m*wd)e(−w

n*z*t)

Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , ωn = 2π rad/s,ζ = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.

28




0 1 2 3 4 5 6 7 8−200

−100

0

100

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamel


29




0 1 2 3 4 5 6 7 8−200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−50

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Posición, velocidad y aceleración.

30



Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en

frecuenciaSi consideramos una fuerza armónica de frecuencia ω y con amplitud quepuede ser distinta para cada ω:

F (t) = F (ω)e iωt

la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de estetipo también es armónica de frecuencia ω:

y(t) = Y (ω)e iωt

⇒ y (t) = iωY (ω)e iωt

⇒ y(t) = −ω2Y (ω)e iωt

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio

⇒ −mω2Y (ω)e iωt + icωY (ω)e iωt + kY (ω)e iωt = F (ω)e iωt

⇒ Y (ω) =1

(k − mω2) + icωF (ω)

31




Se define entonces:

H(ω) =1

(k − mω2) + icω

Esta ecuación es la función de respuesta en frecuencia de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que

Y (ω) = H(ω)F (ω)

La velocidad se calcula de:

y (t) = iωY (ω)e iωt ⇒ y (t) = iωy(t)

⇒∫ ∞

−∞

y(t)e−iωtdt =

∫ ∞

−∞

iωy(t)e−iωtdt

⇒ Y (ω) = iωY (ω)

De igual manera se tiene que:

Y (ω) = −ω2Y (ω)

32




0 10 20−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

ω (rad/s)

Rea

l(H(ω

)) (

m/N

)

0 10 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

ω (rad/s)

|H(ω

)| (

m/N

)

0 10 20−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

ω (rad/s)

|H(ω

)| (

dB r

ef 1

m/N

)

0 10 20−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

ω (rad/s)

Imag

(H(ω

)) (

m/N

)

0 10 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ω (rad/s)

θ(H

(ω))

(ra

d)

Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , ωn = 2π rad/s, ζ = 0,025.

33




Relación entre h(t) y H(ω)Consideremos de nuevo una fuerza armónica del tipo

F (t) = F (ω)e iωt ⇒ y(t) = Y (ω)e iωt

Por la integral de convolución sabemos que

y(t) =

∫ ∞

−∞

F (s)h(t − s)ds =

∫ ∞

−∞

F (t − τ)h(τ)dτ

=

∫ ∞

−∞

F (ω)e iω(t−τ )h(τ)dτ = F (ω)e iωt

∫ ∞

−∞

e−iωτh(τ)dτ

⇒ Y (ω)e iωt = F (ω)e iωt

∫ ∞

−∞

e−iωτh(τ)dτ

Y según la función de respuesta en frecuencia

Y (ω) = H(ω)F (ω) ⇒ H(ω) =

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt

Luego H(ω) es la transformada de Fourier de h(t).34




En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como

H(ω) =12π

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt ⇒ H(ω) = 2πH(ω)

Luego la función de respuesta en frecuencia, H(ω), es 2π veces latransformada de Fourier de h(t), H(ω). En el caso discreto

H(ω) =

∫ ∞

−∞

h(t)e−iωtdt ⇒ H(ωn) =N−1∑

k=1

h(tk)e−iωntk∆t

H(ωn) =N−1∑

k=1

h(k∆t)e−i( 2πnN∆t )k∆t∆t = ∆t

N−1∑

k=1

h(k∆t)e−i2πnk/N

⇒ H(ωn) = ∆tHn

Es decir, si utilizamos matlat, la función de respuesta en frecuenciadiscreta sería H(ωn) = ∆tHmatlab

n

35




Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistemamasa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la función derespuesta en frecuencia es:

◮ Calcular la TF de la fuerza, F (ω).

◮ Calcular la función de respuesta en frecuencia, H(ω).◮ Multiplicarlas y calcular Y (ω) = H(ω)F (ω).

◮ Calcular la velocidad y la aceleración en frecuencias,V (ω) = iωY (ω), A(ω) = −ω2Y (ω).

◮ Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.

Hay que tener cuidado con la construcción de la H(ω) discreta, H(ωn).Hay dos opociones:

1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk).

2. Construir H(ωn) a partir de la fórmula de H(ω). Hay que tenercuidado con esta opción como se observa en la figura siguiente(recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformadade Fourier discreta tiene que cumplir H(N

2 +r) = H∗

(N2 −r)

)

36




0 2 4 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

t (s)

h(t k)

(N/m

)

0 20 40 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

ω (rad/s)

T.F

ourie

r h(

t k) (m

/N)

fnq

Parte real

0 20 40 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

ω (rad/s)

T.F

ourie

r h(

t) (

m/N

)

fnq

Parte imaginaria

0 20 40 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

ω (rad/s)

H(ω

=ωn)

(m/N

)

0 20 40 60−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

ω (rad/s)

H(ω

) (m

/N)

Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:m = 1 kg , ωn = 2π rad/s, ζ = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y apartir de la fórmula teórica.

37




0 1 2 3 4 5 6 7 8−200

−100

0

100

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t (s)

y (m

)

incrementalduhamelFRF


38




0 1 2 3 4 5 6 7 8−200

0

200

t (s)

F(t

) (N

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

0

10

t (s)

y (m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−50

0

50

t (s)

v (m

/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8−500

0

500

t (s)

a (m

/s2 )

Figura: Posición, velocidad y aceleración.

39




Distintas funciones de respuesta en frecuencia

Se tiene que

H(ω) =1

(k − mω2) + icω

Eliminando los complejos del denominador queda:

H(ω) =(k − mω2)− icω

(k − mω2)2 + (cω)2

Se define la función de ganancia como el módulo de la función derespuesta en frecuencia:

|H(ω)| =√

H(ω)H∗(ω) =√

(Re H)2 + (Im H)2

|H(ω)| = 1√

(k − mω2)2 + (cω)2

40




Existen otras relaciones, como por ejemplo

◮ Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:

Y (ω) = H1(ω)F (ω)

H1(ω) =iω

(k − mω2) + icω

|H1(ω)| =ω

√

(k − mω2)2 + (cω)2= ω|H(ω)|

◮ Relacion entre la aceleración y la fuerza excitadora:

Y (ω) = H2(ω)F (ω)

H2(ω) =−ω2

(k − mω2) + icω

|H2(ω)| =ω2

√

(k − mω2)2 + (cω)2= ω2|H(ω)|

41




◮ Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora:

FB(ω) = HFB(ω)F (ω)

Como

FB(t) = ky(t) + cy(t)T .F .=⇒ FB(ω) = kY (ω) + cY (ω)

HFB(ω) =k + icω

(k − mω2) + icω

|HFB(ω)| =√

k2 + (cω)2√

(k − mω2)2 + (cω)2

42



Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a

movimientos de la baseVamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuandoestá sometido a un movimiento de la base:

Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en elamortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:

y(t) = ym(t)− yB(t)43



Sustituyendo en la ecuación de equilibrio

Figura: Equilibrio de fuerzas.

Aplicando la 2a Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, lafuerza mym(t) tiene sentido opuesto al movimiento)

∑

F (t) = mym(t) ⇒ Fc(t) + Fk(t) = −mym(t)

Sustituyendo cada fuerza por su valor

cy(t) + ky(t) = mym(t) = −m(y (t) + yB(t))

my (t) + cy(t) + ky(t) = −myB(t)

44



En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones:◮ Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleración de la base:

F (t) = −myB(t)T .F .=⇒ F (ω) = −mYB(ω)

Y (ω) = H(ω)F (ω) = H1(ω)YB(ω)

H1(ω) =−m

(k − mω2) + icω

|H1(ω)| =m

√

(k − mω2)2 + (cω)2= m|H(ω)|

◮ Relacion entre la aceleración relativa y la aceleración de la base:

Y (ω) = −ω2Y (ω)

Y (ω) = H2(ω)YB (ω)

H2(ω) =mω2

(k − mω2) + icω

|H2(ω)| =mω2

√

(k − mω2)2 + (cω)2

45



Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas

aleatorias

En este apartado vamos a calcular la respuesta de un sistemamasa-muelle-amortiguador cuando la carga que excita el sistema es unproceso estocástico (carga aleatoria).Partimos de la respuesta del sistema ante cualquier carga:

y(t) =

∫ t

−∞

F (s)h(t − s)ds

Otra forma de expresar la integral de convolucion se obtiene haciendoθ = t − s

y(t) =

∫ t

−∞

F (t − θ)h(θ)dθ

Esta formula es el punto de partida de para los resultados obtenidos eneste apartado.

46



Media de la respuestaSi la carga que excita el sistema es un proceso estocástico (cargaaleatoria), se calcula la media de la respuesta como

µY (t) = E (y(t))

= E

[∫ t

−∞

F (t − θ)h(θ)dθ

]

=

∫ t

−∞

E [F (t − θ)] h(θ)dθ

=

∫ t

−∞

h(θ)µF dθ = µF

∫ t

−∞

h(θ)dθ

A medida que t aumenta, µY (t) se aproxima a un valor límite. De hecho

µY = limt→∞

µF

∫ t

−∞

h(θ)dθ = µF

∫ ∞

−∞

h(θ)dθ = µFH(0) =µF

k

ya que

H(ω) =

∫ ∞

−∞

h(t)e iωtdt =1

(k − mω2) + icω

47



Función de autocorrelación de la respuesta

RY (t, s) = E [Y (t)Y (s)] = E

[∫ t

−∞

h(u)F (t − u)du

∫ s

−∞

h(v)F (s − v)dv

]

= E

[∫ t

−∞

∫ s

−∞

h(u)h(v)F (t − u)F (s − v)dudv

]

=

∫ t

−∞

∫ s

−∞

h(u)h(v)E [F (t − u)F (s − v)] dudv

=

∫ t

−∞

∫ s

−∞

h(u)h(v)RF (t − u, s − v)dudv

Cuando la fuerza es un proceso estacionario

RY (t, s) = RY (s − t) =

∫ t

−∞

∫ s

−∞

h(u)h(v)RF (s − t − (v − u))dudv

Y a medida que t, s → ∞, siendo τ = s − t:

RY (τ) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

h(u)h(v)RF (τ + u − v))dudv48



Funcion de densidad espectral de la respuestaLa función de densidad espectral de la respuesta es la transformada deFourier de la función de autocorrelación

SY (ω) =12π

∫ ∞

−∞

RY (τ)e−iωτdτ

=12π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

h(u)h(v)RF (τ + u − v))dudv

]

e−iωτdτ

= H(−ω)H(ω)SF (ω)

Como h(t) es real, se cumple que:

H(ω) = H(−ω)∗

y por lo tanto

SY (ω) = |H(ω)|2SF (ω)

Esta ecuacion es muy importante. Nos dice que la funcion de densidadespectral de la respuesta del sistema es igual a la funcion de densidadespectral de la fuerza multiplicada por el modulo de la funcion derespuesta en frecuencia. 49



◮ Fijaos que para calcular la función de autocorrelación hay quecalcular una integral doble; sin embargo, para calcular SY (ω) nohace falta ninguna integral. Por tanto, es mas comodo obtenerRY (τ) como la transformada de Fourier inversa de SY (ω).

◮ La varianza de la respuesta se calcula como el área bajo la funciónde densidad espectral

σ2

Y =

∫ ∞

−∞

SY (ω)dω =

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2SF (ω)dω

50



0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

|H(ω

)|

Ft = W

t + W

t−1

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

Ft = 0.75F

t−1 − 0.50F

t−2 + W

t

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

GF(ω

)

0 2 4 6 8 100

2

4

6x 10

−3

Gy(ω

)

ω (rad/s)

0 2 4 6 8 100

10

20

0 2 4 6 8 100

0.01

0.02

ω (rad/s)

Figura: Funcion de densidad espectral de la respuesta de un sistema de 1 gdl(m = 1 kg , ωn = 2π rad/s, ζ = 0,10).

Interpretación de la RESONANCIA! 51



Respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a ruido

blancoSi consideramos que la fuerza es ruido blanco, se puede poner

SF (ω) = S0, −∞ < ω < ∞

GF (f ) = G0 = 4πS0, 0 < f < ∞y la funcion de autocorrelacion es la transformada de Fourier inversa deSF (ω)

RF (τ) = 2πS0δ(τ)

Claramente, un proceso de ruido blanco asi definido es imposible ya queimplica que

σ2

F =

∫ ∞

−∞

SF (ω)dω =

∫ ∞

−∞

S0dω → ∞

El proceso estocástico de ruido blanco es una idealización, pero es útil enanálisis dinámicos.

52



Para ciertos sistemas, la respuesta a un ruido blanco es finita.Consideremos por ejemplo un sistema masa-muelle-amortiguador. Si lafuerza es ruido blanco

SY (ω) = |H(ω)|2SF (ω) =S0

√

(k − mω2)2 + (cω)2

Por lo tanto, la funcion de densidad espectral de la respuesta, SY (ω),tiene la misma forma que |H(ω)|2, y esta escalada por S0. La varianza dela respuesta es

σ2

Y =

∫ ∞

−∞

SY (ω)dω = S0

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2dω

En determinados casos, esa integral se puede calcular de manera exacta:

53



Para sistemas estables con funcion de transferencia de la forma

Hn(ω) =B0 + (iω)B1 + (iω)2B2 + · · ·+ (iω)n−1Bn−1

A0 + (iω)A1 + (iω)2A2 + · · ·+ (iω)nAn

la integral del módulo de Hn(ω)

In =

∫ ∞

−∞

|Hn(ω)|2dω

está dada por

n = 1 ⇒ I1 = πB2

0

A0A1

n = 2 ⇒ I2 = πA0B

21+ A2B

20

A0A1A2

n = 3 ⇒ I3 = πA0A3(2B0B2 − B2

1 )− A0A1B22 − A2A3B

20

A0A3(A0A3 − A1A2)

54



Por tanto, ya podemos calcular la integral que buscábamos

σ2

Y =

∫ ∞

−∞

SY (ω)dω = S0

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2dω

Sabemos que

H(ω) =1

(k − mω2) + icω=

B0 + (iω)B1

A0 + (iω)A1 − ω2A2

y por tanto

B0 = 1, B1 = 0, A0 = k , A1 = c , A2 = m.

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2dω = πA0B

21+ A2B

20

A0A1A2

=π

kc

Finalmente

σ2

Y = S0(rad/s)π

kc=

G0(Hz)

4kc

55



Aproximación de una fuerza estocástica por ruido blanco

Sea un sistema masa-muelle-amortiguador sometido a una fuerza F (t)estocástica, de media cero y función de densidad espectral unilateralGF (f ). La varianza de la respuesta es (varianza exacta)

σ2

Y =

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2GF (f )df

Si se cumple que

1. GF (f ) es suave en el entorno de fn.

2. El amortiguamiento es pequeño (ζ ≤ 0,20).

Entonces podemos aproximar GF (f ) por ruido blanco de valor igual aGF (fn), por lo que

σ2

Y ≈ GF (fn)

4kc

56



Esta aproximación se entiende mejor en la siguiente figura

57



Ejemplo

El sistema mostrado en la figura está sometido en su base a unaaceleración aleatoria con función de densidad espectral igual a la indicada.Se sabe que la frecuencia natural del sistema es 8 Hz, y además, paradeterminar el amortiguamiento se realizó un experimento de vibraciónlibre, observando que la amplitud máxima de oscilación disminuyó de0.80 cm a 0.40 cm en 5 ciclos. Determinar la varianza del desplazamientodel sistema (desplazamiento relativo de la masa y del suelo).

58



La ecuación que gobierna el movimiento relativo de la masa con respectoal suelo es

my (t) + cy(t) + ky(t) = −myB(t)

y la varianza de y(t) se calcula como el área bajo la densidad espectralde y(t):

σ2

Y =

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2SF (ω)dω

Por otro lado sabemos que la función de respuesta en frecuencia entre laaceleración de la base y el movimiento relativo es:

H(ω) =−m

(k − mω2) + icω=

−m

(k − mω2) + i2ζmωnω

=−m

k

(1 − mkω2) + i2ζ m

kωnω

=−1

ω2n

((

1 − ω2

ω2n

)

+ i2ζ ωωn

)

⇒ |H(ω)|2 =1

ω4n

(

(

1 − ω2

ω2n

)2

+(

2ζ ωωn

)2)

59



Necesitamos conocer el amortiguamiento. Para ello sabemos que se hahecho un ensayo de vibración libre y se mide el desplazamiento pico. Envibración libre tenemos que

y(t) = e−ζωnt

[

y0 cosωdt +

(

ζωny0 + y0

ωd

)

senωd t

]

Supongamos que el primer pico se produce en t = t1. Entonces

y(t1) = Ae−ζωnt1 , A = max

[

y0 cosωdt +

(

ζωny0 + y0

ωd

)

senωd t

]

El segundo pico se producirá en t = t1 + T , donde T es el periodoωd = 2π

T(consideramos los picos con el mismo signo)

y(t2) = Ae−ζωn(t1+T )

y el pico n-ésimo (n ciclos)

y(tn) = Ae−ζωn(t1+nT ) = Ae−ζωnt1e−ζ2πn

ωnω

d = y(t1)e−2πn

ζ√1−ζ2

⇒ ζ =ln y(t1)− ln y(tn)

2πn=

ln 0,8 − ln 0,42π5

= 0,0221

donde se ha utilizado que√

1 − ζ2 ≈ 1 ya que ζ ≪. 60



Ahora podemos calcular la función de densidad espectral del movimientorelativo y por tanto, la función de densidad espectral de la respuesta

GY (ω) = |H(ω)|2GF (ω) ⇒ σ2

Y =

∫ ∞

0

|H(ω)|2GF (ω)dω

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

f (Hz)

GF

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5x 10

−4

f (Hz)

|H(f

)|2

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5x 10

−4

f (Hz)

Gy

El área se puede calcular fácilmente utilizando integración numérica (porejemplo, el método del trapecio). El resultado es

σ2

Y =

∫ ∞

0

Gy (f )df =

N−1∑

n=0

Gy (fn+1) + Gy (fn)

2∆f ≈ 6,6056 · 10−5 m2

61



También se puede resolver teniendo en cuenta que la función de densidadespectral de la entrada es constante en el entorno de ωn, luego podemosaproximar la entrada por ruido blanco:

σ2

Y ≈∫ ∞

−∞

|H(ω)|2SF (ωn)dω = SF (ωn)

∫ ∞

−∞

|H(ω)|2dω

Sabemos que

H(ω) =−m

(k − mω2) + icω=

B0 + (iω)B1

A0 + (iω)A1 − ω2A2

y por tanto

B0 = −m, B1 = 0, A0 = k , A1 = c , A2 = m.∫ ∞

−∞

|H(ω)|2dω = πA0B

21 + A2B

20

A0A1A2

=πm2

kc

Finalmente

σ2

Y =SF (ωn)πm2

kc=

GF (fn)πm2

4πk2ζmωn

=GF (fn)

1984ζf 3n

= 6,6817 · 10−5 m2.

donde fn = 8 Hz, y G(8) = 1,5 m2/s2/Hz.62

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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

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