Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 1.-
a) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x y 0, y 3z 2 0}.
b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:
1: x y 0
2: y 3z 2 0
Solución:
a) Vector dirección de la recta: (1, 1, 0) (0, 1, 3) (3, 3, 1)
Este vector es perpendicular a . Por tanto:
i: 3(x 1) 3(y 2) z 0 3x 3y z 9 0
Así:.3,1,0n es a normal vector el y 0,1,1n es a normal vector Elb) 2211
7722,0
201
91·011
010
nn
n n
21
21
·cos
·
Ejercicio nº 2.-
Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, 1, 0) y el plano : x y 2z 1 0, calcula:
a) La distancia entre P y Q. b) La distancia de P a .
Solución:
45,262112,a) 222 QPdist
63,16
4
211
12·201,b)
222
Pdist
Ejercicio nº 3.-
Calcula la distancia del punto P(1, 1, 2) a la recta siguiente:
zyx
r2
:
Solución:
Plano que pasa por P y es perpendicular a r :
Soluciones Geometría. Página 1 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
.211 por Pasa .11,2n :recta la de dirección vector el es normal vector Su ,,P,
Su ecuación es:
: 2 · (x 1) (y 1) (z 2) 0 : 2x y z 1 0
Intersección de y r.
Sustituimos las coordenadas de r en :
61,
61,
62'
61
61
62
61016012·2 P
z
y
x
Distancia pedida:
42,26210
612
611
621',,
222
PPdistrPdist
Ejercicio nº 4.-
Calcula la distancia entre las rectas r y s:
10
22
zyzx
szxyx
r ::
Solución:
.1,1,1'd es de el y 1,1,1d es de dirección vector El
sr
Hallemos el plano que contiene a r y es paralelo a s.
. a larperpendicu es 0,2,21,1,11,1,1 tanto, Por
//1,1,1//1,1,1
sr
El punto (2, 4, 0) es de r y, por tanto, de .
Ecuación de :
2(x 2) 2(y 4) 0 2x 2y 4 0
Soluciones Geometría. Página 2 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
71,082
44
42,0,1,0,,
distsdistrsdist
Ejercicio nº 5.-
Considera el plano 2x y z 4 0.
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas.
b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos.
Solución:
a) Si y 0, z 0 x 2 A(2, 0, 0)
Si x 0, z 0 y 4 B(0, 4, 0)
Si x 0, y 0 z 4 C(0, 0, 4)
0,4,2b) AB
40,2AC
2u8,92
3842
8,8,162
Área
ACAB
ABC
Ejercicio nº 6.-
Considera los puntos P(2, 1, 1) y Q(4, 5, 3).
a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio de y es perpendicular aPQ este.
b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por los ejes de coordenadas y el plano .
Solución:
2,3,3 de medio punto el Hallamosa) MPQ
así: ,2,4,2 es plano al normal vector El PQ
: 2(x 3) 4(y 3) 2(z 2) 0 : 2x 4y 2z 22 0
Soluciones Geometría. Página 3 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
: x 2y z 11 0
b) Puntos de corte con los ejes:
Si y 0, z 0 x 11 A(11, 0, 0)
0,
211,0
2110,0Si Byzx
Si x 0, y 0 z 11 C(0, 0, 11)
D(0, 0, 0)
11,0,00,211,00,0,11 DCDBDA
23311·
61
1100
02110
0011
·61,,
61 de Volumen DCDBDAABCD
3u92,11012
1331
Ejercicio nº 7.-
Determina el punto simétrico de A(2, 1, 3) respecto de la recta r :
22
1
zyx
r :
Solución:
Hallamos el plano que contiene al punto A y es perpendicular a r :
Soluciones Geometría. Página 4 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
0,2,1dn r
x 2 2(y 1) 0 x 2y 4 0
Buscamos el punto de corte de r y :
M(0, 2, 2)
El punto A' es el simétrico de A respecto de M:
1,3,2'1,3,22,2,02
3,2
1,2
2 Azyxzyx
Ejercicio nº 8.-
Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la
.:21
12
2 recta zyxr
Solución:
:que cuenta en teniendo ,,,'d, de director vector el Buscamos cbas
0220'dd'dd cba
·
0220110
2122 ,'d ,dcortan se y
cbacba
PRransr
: recta la de vectores los son022022
:sistema del soluciones Las scbacba
,2,2'd
1,2,2'd1 Para
Así:
1222
:zyx
s
Ejercicio nº 9.-
Soluciones Geometría. Página 5 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos
: 2x 3y z 1 0 y : 3 x y 2z 5 0
Solución:
Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que:
dist (P, ) dist (P, )
Es decir:
14
523
14
132
zyxzyx
523132 zyxzyx
0425523132
0634523132
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por y . Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que y .
Ejercicio nº 10.-
Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, di su centro y su radio:
3x2 3y2 3z2 24x 12y 12z 36 0
Solución:
Dividimos la ecuación entre 3:
x2 y2 z2 8x 4y 4z 12 0
2,2,424,
24,
28
Centro
636124416 Radio
Es una esfera de centro (4, 2, 2) y radio 6.
Soluciones Geometría. Página 6 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 11.-
Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, 1, 3) y P2(4, 2, 1) y es perpendicular al plano:
: 2x y z 3 0
Solución:
1 2 1 2Los vectores y n (vector normal del plano ) y uno de los puntos o determinanPP P P
el plano que buscamos:
02841030143111
222
zyx
zyx
Ejercicio nº 12.-
Halla la disancia de P(5, 3, 4) al plano : x 3y z 5 0.
Solución:
93,611
23
131
543·35,
222
Pdist
Ejercicio nº 13.-
Calcula la distancia de P(1, 0, 1) a la recta r : (2, 1 , ).
Solución:
Plano que pasa por P y es perpendicular a r :
. por Pasa .112n :recta la de dirección vector el es normal vector Su P,,
Su ecuación es:
: 2 · (x 1) y 1 · (z 1) 0 : 2x y z 3 0
Soluciones Geometría. Página 7 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Intersección de y r :
Sustituimos las coordenadas de r en :
32
31
34
320460312·2
z
y
x
32,
31,
34'P
Distancia pedida:
58,033
321
31
341',,
222
PPdistrPdist
Ejercicio nº 14.-
Calcula la distancia entre:
zyx
szyx
r 24
y5
22
::
dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Solución:
'd ,d por definido amoparalelogr del Área
'd ,d , por definido pedoparalelepí del Volumen plano,,
RSRPQSdistsrdist
Soluciones Geometría. Página 8 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
'd d
'd ,d ,
RS
1111021522
'd ,d ,
RS
1,1,2'd d
6114'd d
41,061, srdist
Ejercicio nº 15.-
Considera el plano 2x y z 4 0.
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas.
b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos.
Solución:
a) Si y 0, z 0 x 2 A(2, 0, 0)
Si x 0, z 0 y 4 B(0, 4, 0)
Si x 0, y 0 z 4 C(0, 0, 4)
0,4,2b) AB
40,2AC
2u8,92
3842
8,8,162
Área
ACAB
ABC
Ejercicio nº 16.-
Calcula el volumen de un cubo que tiene uno de sus lados sobre la recta
.::22
24
1 recta la sobre otro y112
2
zyxszyxr
Soluciones Geometría. Página 9 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Solución:
paralelas. son rectas dos las tanto Por .2,2,4d//1,1,2d sr
El lado del cuadrado es la distancia entre r y s.
cubo del arista5
24120
4416
10,2,4
d
d
BaseÁrea,,
s
sRSsRdistsrdist
33u555 Volumentanto, Por
Ejercicio nº 17.-
Halla el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto del plano : x y 2z 1.
Solución:
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano .
2,1,1nd
r
Soluciones Geometría. Página 10 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
23
1:
zyx
r
Obtenemos el punto, M, de corte de r y :
1 2(3 2) 1 6 6 1 M(0, 1, 1)
El punto que buscamos, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M.
:tenemos ,PP' de medio punto el es Como M
1,2,1'1,2,11,1,02
3,2
,2
1
Pzyxzyx
Ejercicio nº 18.-
Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la
.:21
12
2 recta zyxr
Solución:
:que cuenta en teniendo ,,,'d, de director vector el Buscamos cbas
0220'dd'dd cba
·
0220110
2122 ,'d ,dcortan se y
cbacba
PRransr
: recta la de vectores los son022022
:sistema del soluciones Las scbacba
,2,2'd
1,2,2'd1 Para
Así:
1222
:zyx
s
Soluciones Geometría. Página 11 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 19.-
Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(2, 0, 0) y B(2, 0, 0) es 106. Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:
106,, 22 BPdistAPdist
Es decir:
(x 2)2 y2 z2 (x 2) 2 y2 z2 106
x2 4x 4 y2 z2 x2 4x 4 y2 z2 106
2x2 2y2 2z2 98
x2 y2 z2 49
Obtenemos una esfera de centro (0, 0, 0) y radio 7.
Ejercicio nº 20.-
Averigua si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, halla su centro y su radio:
2x2 2y2 2z2 4x 8y 2 0
Solución:
2x2 2y2 2z2 4x 8y 2 0. Dividimos entre 2:
x2 y2 z2 2x 4y 1 0
0,2,10,24,
22
Centro
24141 Radio
Es una esfera de centro (1, 2, 0) y radio 2.
Ejercicio nº 21.-
Soluciones Geometría. Página 12 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
a) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x y 0, y 3z 2 0}.
b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:
1: x y 0 2: y 3z 2 0
Solución:
a) Vector dirección de la recta: (1, 1, 0) (0, 1, 3) (3, 3, 1)
Este vector es perpendicular a . Por tanto:
i: 3(x 1) 3(y 2) z 0 3x 3y z 9 0
Así:.3,1,0n es a normal vector el y 0,1,1n es a normal vector Elb) 2211
7722,0
201
91·011
010
nn
n n
21
21
·cos
·
Ejercicio nº 22.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
: x 3y z 10 0 ': 2x 6y 2z 3 0
Solución:
Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
P(1, 0, 9) es un punto del plano .
Por tanto:
47,344
234364
39·21·2',',
Pdistdist
Ejercicio nº 23.-
Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2, , 1 ).
Solución:
Soluciones Geometría. Página 13 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
1ª forma:
Plano que pasa por P y es perpendicular a r :
.201 por Pasa .112 n :recta la de dirección vector el es normal vector Su ,,P,,
Su ecuación es:
: 2(x 1) y (z 2) 0 : 2x y z 4 0
Intersección de y r:
Sustituimos las coordenadas de r en :
23,
21,1'
23
21
1
210360412·2 P
z
y
x
Distancia pedida:
71,022
232
2111',,
222
PPdistrPdist
2ª forma:
6114d
3111d
1,1,1d
d
d
BaseÁrea,
RP
RP
RPrPdist
71,063, rPdist
Ejercicio nº 24.-
Soluciones Geometría. Página 14 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Considera las rectas r y s:
02
12
3
zyzx
szyx
r ::
Calcula la distancia entre ellas dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Solución:
'd ,d por definido amoparalelogr del Área
'd ,d , por definido pedoparalelepí del Volumen plano,,
RSRPQSdistrsdist
'd d
'd ,d ,
RS
0,2,1d :dirección vector Un
1,0,3 :punto Un
Rr
1,1,1'd :dirección vector Un
0,0,2 :punto Un
Ss
1111021101
'd ,d ,
RS
1,1,2'd d
6114'd d
41,061, srdist
Soluciones Geometría. Página 15 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 25.-
siendo segmento del medio punto el por pasa que plano del ecuación la Obténa) PQP(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.
b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcula el área del triángulo ABC.
Solución:
: de medio punto el Calculamosa) PQ
M (1, 2, 2)
:es plano el tanto, por ,4,2,2 vector el es a normal vector El PQ
2(x 1) 2(y 2) 4(z 2) 0
2x 2y 4z 10 0
2x 2y 4z 10 0
b) Calculamos los puntos A, B y C :
Si z 0, y 0 x 5 A(5, 0, 0)
Si x 0, z 0 y 5 B(0, 5, 0)
25,0,0
250 ,0 Si Czyx
2u3,1547503
2
25,225,
225
2 Área
ACAB
ABC
Ejercicio nº 26.-
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, 1, 1) y es perpendicular a .,, 111v
b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano anterior.
Solución:
a) La ecuación del plano es:
Soluciones Geometría. Página 16 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
1 · (x 3) 1 · (y 1) 1 · (z 1) 0, es decir:
x y z 1 0
b) Obtenemos los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas:
Con el eje X y z 0 x 1 Punto A(1, 0, 0).
Con el eje Y x z 0 y 1 Punto B(0, 1, 0).
Con el eje Z x y 0 z 1 Punto C(0, 0, 1).
El cuarto vértice del tetraedro es el origen D(0, 0, 0).
1,0,00,1,00,0,1 DCDBDA
3u611·
61Volumen1
100010001
,, DCDBDA
Ejercicio nº 27.-
Determina el punto simétrico de A(2, 1, 4) respecto de la recta:
11
231
zyxr :
Solución:
Hallamos el plano que contiene al punto A y es perpendicular a r :
1,2,3dn r
3 · (x 2) 2(y 1) (z 4) 0 3x 2y z 4 0
Buscamos el punto de corte de r y :
M(1, 0, 1)
Soluciones Geometría. Página 17 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
El punto A' es el simétrico de A respecto de M:
6,1,0'6,1,01,0,12
4,2
1,2
2
Azyxzyx
Ejercicio nº 28.-
En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta CD con la recta que une D y el punto medio de AB.
Solución:
Consideremos que el cubo es de lado 1 y está centrado en el origen.
Así A(1, 0, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 0) y D(0, 1, 1)
21,0,1M
1,0,0,21,1,1
DCDM
31
2321
1·49
21
DC·DM
DCDMcos
·
Soluciones Geometría. Página 18 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
70,53
Ejercicio nº 29.-
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos
: 2x 3y z 1 0 y : 3 x y 2z 5 0
Solución:
Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que:
dist (P, ) dist (P, )
Es decir:
14
523
14
132
zyxzyx
523132 zyxzyx
0425523132
0634523132
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por y . Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que y .
Ejercicio nº 30.-
Halla la ecuación de la esfera de centro (2, 1, 4) y que tiene el mismo radio que:
x2 y2 z2 16 0
Solución:
Hallamos el radio:
41616222 Radiozyx
Ecuación de la esfera:
(x 2)2 (y 1) 2 (z 4) 2 16
x2 y2 z2 4x 2y 8z 5 0
Soluciones Geometría. Página 19 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 31.-
a) Halla el ángulo que forman las rectas:
12
121y
22
1
zyxszyx
r ::
b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Solución:
Así:.1,1,2d es de el y ,0,2,1d es de dirección vector Ela) sr sr
4373,0304
114·414
dd
dd
sr
sr
·cos
·
.dd es normal vector su y 20,1, por pasa buscado plano Elb) sr
3,1,2ddn sr
Así:
2(x 1) 1 · y 3(z 2) 0 2x y 3z 4 0
Ejercicio nº 32.-
Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, 1, 0) y el plano : x y 2z 1 0, calcula:
a) La distancia entre P y Q.
b) La distancia de P a .
Solución:
45,262112,a) 222 QPdist
63,16
4
211
12·201,b)
222
Pdist
Soluciones Geometría. Página 20 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
Ejercicio nº 33.-
Calcula la distancia de P(2, 1, 1) a la recta r : (4, 1 , ).
Solución:
1ª forma:
Plano que pasa por P y es perpendicular a r :
. por Pasa .114 n :recta la de dirección vector el es normal vector Su P),, (
Su ecuación es:
: 4 · (x 2) 1 · (y 1) (z 1) 0 : 4x y z 6 0
Intersección de y r :
Sustituimos las coordenadas de r en :
187071807160614·4
187,
1811,
914'
187
1811
914
P
z
y
x
Distancia pedida:
5,118738
1871
18111
9142',,
222
PPdistrPdist
2ª forma:
Soluciones Geometría. Página 21 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
181116d
414361d
2,6,1d
d
d
BaseÁrea,
RP
RP
RPrPdist
5,11841, rPdist
Ejercicio nº 34.-
Dadas las rectas:
11
232y
22
1
zyxszyx
r ::
Halla:
a) La distancia entre las rectas.
b) La recta perpendicular a r y s.
Solución:
a) R y S son los extremos del segmento perpendicular a ambas rectas.
Un punto genérico de r es R(1 , 2, 2) y un punto genérico de s es S(2 3, 2, 1 ).
Un vector genérico que tenga su origen en r y su extremo en S es:
3,22,31RS
dos las a larperpendicu sea que aquel buscamos , vectores posibles los todos De RSrectas:
Soluciones Geometría. Página 22 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
01476
0751
034439301,2,3
0443100,2,1
·
·
RS
RS
2123,
34 :es solución La
Sustituyendo en r y s obtenemos los puntos R y S.
18,2211002
2140
2110
2120,,
212,
2146,
79
2,38,
31
222
SRdistsrdist
S
R
b) La recta perpendicular a r y s, es la recta que pasa por R y S.
2140,
2110,
2120RS
21402
2110
38
2120
31
:es buscada recta La
z
y
x
Ejercicio nº 35.-
Los puntos P(0, 2, 0) y Q(2, 1, 1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S,
la a larperpendicu es a y a contiene que recta La 3
2 recta la a pertenece SP
zyx
r
:
recta r.
a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo PQS.
Solución:
Soluciones Geometría. Página 23 de 33
Soluciones ejercicios de geometría
0dda) rr PSPS
·
(2 , 2, 3) · (1, 1, 0) 0
2 2 0
2 S (0, 2, 3)
3,0,0b) PS
1,1,2 PQ
2u35,3245
20,6,3
2 Área
PQPSPQS
Ejercicio nº 36.-
Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano:
2x y z 4 0
Solución:
Buscamos los puntos de corte con los ejes:
Si y 0, z 0 x 2 A(2, 0, 0)
Si x 0, z 0 y 4 B(0, 4, 0)
Si x 0, y 0 z 4 C(0, 0, 4)
El cuarto vértice del tetraedro es el punto D(0, 0, 0).
0,0,2DA
0,4,0 DB
4,0,0DC
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Soluciones ejercicios de geometría
3u3
1632·61
400040002
·61,,
61 de Volumen DCDBDAABCD
Ejercicio nº 37.-
Halla el punto simétrico de P(2, 1, 0) respecto del plano : 2x y z 2.
Solución:
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a .
1,1,2nd
r
01
22:
zyx
r
Calculamos el punto, M, de corte de r y :
61,
67,
35
611621222 M
El punto buscado, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M. Como M es el puntomedio de , se tiene:PP'
31,
34,
34'
31,
68,
34
61,
67,
35
2,
21,
22 Pzyxzyx
Ejercicio nº 38.-
12
121 recta la de , ortogonal, proyección la de ecuación la Halla
zyxrr :'
sobre el plano : x y z 2 0.
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Soluciones ejercicios de geometría
Solución:
La proyección ortogonal de r sobre es la recta de intersección del plano con otro plano , perpendicular a y que contiene a r.
1,1,1n,1,1,2d,2,0,1 r
R
1,10,nd
r
La ecuación de es:
1 · (y) 1 · (z 2) 0 y z 2 0
: y z 2 0
La proyección ortogonal de r sobre es:
0202
:'zyzyx
r
Ejercicio nº 39.-
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos:
: 3x 4y 2z 3 0 y : 2x 3y 4z 1 0
Solución:
Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe tenerse que:
dist (P, ) dist (P, ); es decir:
3 4 2 3 2 3 4 1
29 29
x y z x y z
3 4 2 3 2 3 4 1x y z x y z
3 4 2 3 2 3 4 1 7 6 4 03 4 2 3 2 3 4 1 5 2 2 0
x y z x y z x y zx y z x y z x y z
Obtenemos los planos bisectores de los ángulos diedros formados por y . Los planos obtenidos son perpendiculares entre sí y se cortan en la misma recta que y .
Ejercicio nº 40.-
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Soluciones ejercicios de geometría
Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, di su centro y su radio:
3x2 3y2 3z2 24x 12y 12z 36 0
Solución:
Dividimos la ecuación entre 3:
x2 y2 z2 8x 4y 4z 12 0
2,2,424,
24,
28
Centro
636124416 Radio
Es una esfera de centro (4, 2, 2) y radio 6.
Ejercicio nº41.-
Halla el ángulo que forma la recta
032013
zyxzyx
r :
y el plano : 2x y 4z 2 0.
Solución::v , de dirección vector un osDeterminam
r
k7j8i5321113
kjiv
7,8,5v
Por otro lado, el vector normal al plano es:
4,1,2n
Por tanto:
5573,0138·21
30138·21
28810
nv
n v90
·cos
·
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Soluciones ejercicios de geometría
90 arccos (0,5573) 56 34
Ejercicio nº 42.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
: y 3z 0 ': 2y 6z 5 0
Solución:
Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
P(0, 3, 1) es un punto del plano .
Por tanto:
79,0
405
364
51·66',',
Pdistdist
Ejercicio nº 43.-
Calcula razonadamente la distancia del punto P(3, 1, 5) a la recta siguiente:
23
2
zyx
r :
Solución:
Plano que pasa por P y es perpendicular a r :
.5,1,3 por Pasa .2,1,1n :recta la de dirección vector el es normal, vector Su P
Su ecuación es:
1 · (x 3) 1 · (y 1) 2 · (z 5) 0
Simplificando:
: x y 2z 8 0 o también : x y 2z 8 0.
Intersección de y r :
Sustituimos las coordenadas de r en .
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313
32
34
32046082322
z
y
x
3
13,32,
34'P
Distancia pedida:
83,1330
3135
321
343',,
222
PPdistrPdist
Ejercicio nº 44.-
Dadas las rectas:
13
31
21
41
23
32
21
zyxrzyxr :,:
Halla:
a) La ecuación del plano que pasa por la segunda y es paralelo a la primera.
b) La distancia entre ambas rectas.
Solución:
a) Hallamos el plano, , que contiene a r2 y es paralelo a r
1.
. a larperpendicu es 5,5,101,3,242,3,tanto, Por//1,3,2
//4,2,3
2
1
r
r
El punto (1, 1, 3) es de r2 y, por tanto, de .
Ecuación de :
10(x 1) 5(y 1) 5(z 3) 0 : 2x y z 0
45,26
6114
134,1,3,2,,b) 121
distrdistrrdist
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Ejercicio nº 45.-
Considera los puntos A(3, 0, 2), B(4, 1, 3) y C(2, 2, 1).
a) Prueba que son los vértices de un triángulo.
b) Calcula el área de dicho triángulo.
Solución:
a) Hay que probar que A, B y C no están alineados.
1,2,11,1,1
ACAB
Sus coordenadas no son proporcionales, luego los puntos no están alineados y son los vértices de un triángulo.
2u71,022
21,0,1
2 Áreab)
ACABABC
Ejercicio nº 46.-
A(0, 1, 2), B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice, D, está sobre la recta:
11
112
zyxr :
Halla las coordenadas de D para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades cúbicas.
Solución:
D es un punto de r D(2 , , 1 )
ADACABVABCD ,,·61
1,1,0AB
3,1,0AC
1,1,2 AD
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8124241224
12242112
310110
·61
Hay dos soluciones:
D(6, 4, 3) y D(6, 8, 9).
Ejercicio nº 47.-
Determina el punto simétrico de A(2, 1, 3) respecto de la recta r :
22
1
zyx
r :
Solución:
Hallamos el plano que contiene al punto A y es perpendicular a r :
0,2,1dn r
x 2 2(y 1) 0 x 2y 4 0
Buscamos el punto de corte de r y :
M(0, 2, 2)
El punto A' es el simétrico de A respecto de M:
1,3,2'1,3,22,2,02
3,2
1,2
2 Azyxzyx
Ejercicio nº 48.-
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Determina la ecuación de un plano paralelo al plano de ecuación 2x y z 4 0 y que dista 10 unidades del punto P(2, 0, 1).
Solución:
Un plano paralelo a 2x y z 4 0 es de la forma:
: 2x y z k 0
Tenemos que hallar k para que la distancia a P sea 10 u:
10114
12·2,
kPdist
61056105
561061056105
kk
kkk
Hay dos planos:
056102 zyx
056102 zyx
Ejercicio nº 49.-
Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del espacio tales que su distancia al punto Q(1, 0, 0) es 3. Identifica la figura resultante.
Solución:
Si P(x, y, z) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:
dist (P, Q) 3; es decir:
2 22 2 2 21 3 1 9x y z x y z
Es una esfera de centro (1, 0, 0) y radio 3.
Ejercicio nº 50.-
Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que
x2 y2 z2 2x 2y 2z 61 0
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y es tangente al plano x y z 6 0.
Solución:
Hallamos el centro: Centro (1, 1, 1)
El radio es la distancia del centro al plano tangente:
33
3111
6111
R
Ecuación de la esfera:
(x 1)2 (y 1) 2 (z 1) 2 3
x2 y2 z2 2x 2y 2z 0
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