Date post: | 15-Dec-2018 |
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Sec. 2.6 Límites en Infinito; Asíntotas Horizontales
Considere la función ( )2 1
2
xf x
x
+=
− e investigue el comportamiento de esta
cuando x es cada vez más grande.
Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces
( )limx
f x L→∞
=
significa que los valores de ( )f x pueden ser arbitrariamente cerca de L
tomando a x suficientemente grande.
Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a−∞ . Entonces
( )limx
f x L→−∞
=
significa que los valores de ( )f x pueden ser arbitrariamente cerca de L
tomando a x suficientemente grande, negativo.
Definición La línea y L= es una asíntota horizontal de la curva ( )y f x=
si
( )limx
f x L→∞
= ó ( )limx
f x L→−∞
=
Ejemplo
3(pág. 140)
Para la función f cuya gráfica es dada, halle:
1. ( )limx
f x→∞
2. ( )limx
f x→−∞
3. ( )1
limxf x
→
4. ( )3
limxf x
→
5.Las ecuaciones de las
asíntotas
Ejemplo
Encuentre 3
limx x→∞ y
3limx x→−∞
Teorema Si 0r > es un número racional, entonces
1lim 0
rx x→∞=
Si 0r > es un número racional tal que rx está bien definido para toda x,
entonces
1lim 0
rx x→−∞=
Ejemplo
Encuentra el límite o demuestra que no existe.
1. 3 2
lim2 1x
x
x→∞
−
+
2. 3 2
3
4 6 2lim
2 4 5x
x x
x x→−∞
+ −
− +
3. 2
4lim
1x
x
x→∞ +
4. 2
4lim
1x
x
x→−∞ +
8. Halle las asíntotas verticales y horizontales de la función
( )2
2
1
2 3 2
xf x
x x
+=
− −
Limites Infinitos en Infinito
La notación
( )limx
f x→∞
= ∞
Es usada para indicar que los valores de ( )f x son bien grandes cuando x
crece.
De manera similar
( )limx
f x→−∞
= ∞
Es usada para indicar que los valores de ( )f x son bien grandes cuando
decrece.
Ejemplo
Encuentra el límite.
1. ( )4 5limx
x x→−∞
+
2.
6
4
1lim
1x
x
x→−∞
+
+
Ejemplo
Halla los límites cuando x→∞ y x→−∞ . Usa la información y los
interceptos para hacer un bosquejo de la gráfica de ( ) ( )23
2 1y x x x= + −
Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces
( )limx
f x L→∞
=
Significa que para todo 0ε > existe un número correspondiente N tal que
si x N> entonces ( )f x L ε− <
Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a−∞ . Entonces
( )limx
f x L→−∞
=
Significa que para todo 0ε > existe un número correspondiente N tal que
si x N< entonces ( )f x L ε− <
Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces
( )limx
f x→∞
= ∞
Significa que para todo número positivo M existe un número
correspondiente positivo N tal que
si x N> entonces ( )f x M>
Ejemplo
Use la definición para demostrar que 3limxx
→∞= ∞