XVII. CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E
IMPULSO
Así como en el estudio de la partícula los métodos del trabajo y la
energía y del impulso y la cantidad de movimiento nos permitieron abordar
ciertos problemas de un modo más eficiente, también esos conceptos nos
ayudarán en la resolución de un gran número de problemas del cuerpo rígi-
do. Comenzaremos ampliando para el cuerpo rígido los conceptos sobre
trabajo y energía, conforme al tipo de movimiento de que esté dotado. La
última parte la dedicaremos al impulso y el moméntum.
Trabajo y energía
En los capítulos correspondientes, quedaron definidos los conceptos de
trabajo, energía cinética, energía potencial gravitacional y energía poten-
cial elástica, que ahora volveremos a utilizar, tal como los conocemos. Asi-
mismo, emplearemos sin cambios las fórmulas del trabajo y la energía ci-
nética y la general del trabajo y la energía:
Hemos escrito la fórmula general como la conocíamos. Aunque el
último término no se aplica a los cuerpos rígidos, dada su imposibilidad de
deformarse, sí se requiere en aquellos sistemas en los que interviene algún
𝑈 = ∆𝑇
𝑈′ = ∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
410
cuerpo elástico. Estas fórmulas sirven para resolver problemas en los que
hay que relacionar rapideces lineales con desplazamientos, o rapideces
angulares con desviaciones angulares.
Traslación pura
Cuando un cuerpo rígido se mueve con traslación pura, es decir, que
todas sus rectas conservan su dirección original durante el movimiento, su
estudio se reduce al de una cualquiera de sus partículas. Por tanto, las
expresiones
∆𝑇 =1
2𝑚(𝑣2
2 − 𝑣12)
∆𝑉𝑔 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1)
∆𝑉𝑒 =1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12)
se emplean como si se tratara del caso de una partícula. Para el incremento
de la energía potencial gravitacional, la diferencia de alturas se refiere par-
ticularmente a la correspondiente al centro de gravedad, lo cual hay que
tener en cuenta también en los casos de la rotación pura no baricéntrica y
del movimiento plano general.
Rotación pura
Ya hemos visto que para que se produzca la rotación baricéntrica de un
cuerpo se requiere un sistema de fuerzas cuya resultante sea un par. Convie-
ne, por tanto, que calculemos el trabajo de un par.
Trabajo de un par de fuerzas Consideremos un cuerpo rígido sujeto a la acción de dos fuerzas paralelas
de magnitud F cuyas líneas de acción estén separadas una distancia d, como
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
411
se muestra en la figura: se trata de un par
de magnitud M = F d. Si tomamos el
punto O como punto base, el trabajo del
par de fuerzas que desvié el menhir un
ángulo dϴ será igual a
𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑠
pero ds es igual a d dθ. Por tanto
𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑑𝜃
Hemos deducido que el trabajo de un par de fuerzas es igual al producto
de la magnitud del par por la desviación angular del cuerpo.
Energía cinética
La energía cinética de un cuerpo es igual a la suma de las energías ciné-
ticas de todas las partículas que lo conforman. Y la de cada partícula es fun-
ción de su rapidez v, que puede expresarse como el producto de la rapidez
angular del cuerpo, ω, por la distancia r de la partícula al centro de rotación.
Podemos escribir, por tanto:
𝑇 = ∫1
2𝑣2𝑑𝑚 =
1
2∫(𝜔𝑟)2𝑑𝑚 =
1
2𝜔2 ∫ 𝑟2𝑑𝑚
Como es lógico, si la rotación es baricéntrica, el momento de inercia
de la masa debe ser el centroidal, como en el siguiente ejemplo.
𝑈 = ∫ 𝑀 𝑑𝜃
𝑇 =1
2𝐼0𝜔2
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
412
Puesto que el trabajo de frenado lo efectúa exclusivamente el par que
ejerce el eje sobre el volante, el trabajo del par es igual a la pérdida de
energía cinética:
𝑈 = ∆𝑇
∫ 𝑀𝑑𝜃 =1
2𝐼(̅𝜔2
2 − 𝜔12)
Como el par es constante y realiza un trabajo en sentido contrario de
la velocidad angular:
−𝑀(∆𝜃) =1
2𝐼(̅0 − 𝜔1
2)
En donde
∆𝜃 = 520rev = 520(2𝜋)rad
𝐼 ̅ = �̅�2𝑚 = 0.62(240)
𝜔1 = 360 (2𝜋
60) rad s⁄ = 12𝜋 rad s⁄
Por tanto
−520(2𝜋)𝑀 =1
2(0.62)240(−12𝜋)
𝑀 =0.18(240)(12𝜋)2
1040𝜋=
0.18(240)144𝜋2
1040𝜋
Resolveremos ahora un problema de rotación pura no baricéntrica, en
el que se produce un cambio tanto de la energía cinética como de la
potencial gravitacional.
Ejemplo. Un volante de inercia se des-
conecta de la máquina cuando gira a 360
rpm. Se observa que da 520 revoluciones
completas hasta detenerse. Determine la
magnitud del par que el rodamiento ejerce
sobre el volante. La masa del volante es
de 240 kg y su radio de giro cantroidal, de
0.6 m.
𝑀 = 18.79 N ∙ m
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
413
Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra en cualquier instante del
movimiento en estudio, sin el peso, que es una fuerza conservativa, y la
reacción de la articulación, que no trabaja, pues no se desplaza. Podemos
emplear, por tanto, la siguiente reducción de la fórmula general:
∆𝑇 + ∆𝑔 = 0
Tomando como posición 1 donde ϴ = 0 y como posición 2 donde ϴ =
90°, tenemos: 1
2𝐼0(𝜔2
2 − 𝜔12) + 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1) = 0
1
2[1
3(0.5)32] (𝜔2
2 − 82) + 16.1(−1.5) = 0
0.75(𝜔22 − 64) = 24.15
𝜔22 − 64 =
24.15
0.75
Se puede ver fácilmente que el movimiento de la barra desde ϴ = 0
hasta ϴ = 180° no implica ningún cambio en la energía potencial gravi-
tacional, por lo que la energía cinética tiene que conservar su valor y, por
tanto,
Ejemplo. Una barra homogénea de 16.1
lb de peso y 3 ft de largo, que se mueve
por la sola acción de su peso, tiene una
rapidez angular de 8 rad/s en sentido
antihorario cuando ϴ = 0°. Sabiendo que
toda resistencia al movimiento es despre-
ciable, calcule la rapidez angular que ten-
drá: a) cuando ϴ = 90°; b) cuando ϴ =
180°.
𝜔2 = 9.81 rad s⁄
𝜔 = 8 rad s⁄
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
414
Movimiento plano general
Para estudiar el movimiento plano general, partiremos de la considera-
ción de que se trata de la realización simultánea de una traslación y una
rotación baricéntrica.
La energía cinética correspondiente a la traslación es la del centro de
masa, que hará las veces de centro de rotación, y la que corresponde a la
rotación, deberá ser la baricéntrica. Para un instante cualquiera la enercía
cinética del cuerpo rígido será
en donde 𝑣𝐺 es la rapidez del centro de masa.
Como ninguna fuerza externa no conservativa interviene en el movi-
miento del conjunto, podemos emplear la fórmula general del trabajo y la
energía igualada a cero:
∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒 = 0 … (1)
Dado que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto entre
el carrete y la superficie horizontal, la relación entre las distancias a la
cuerda y al centro del carrete es la misma que la del desplazamiento del
cuerpo B y el del resorte: 0.3
0.5=
𝑆𝐵
𝑥2; 𝑠𝑖 𝑆𝐵 = 1.5, 𝑥2 = 2.5
𝑇 =1
2𝑚𝑣𝐺
2 +1
2𝐼�̅�2
Ejemplo. El carrete A de la figura pesa
40 kg y su masa tiene un radio de giro
centroidal de 0.4 m. Está unido a un
resorte indeformado cuya constante de
rigidez es k = 8 kg/m. El cuerpo B pesa 20
kg. La cuerda para por una clavija lisa y
es ideal. Si el conjunto se suelta del
reposo, ¿qué velocidad angular tendrá el
carrete cuando B haya descendido 1.5 m?
El carrete rueda sin deslizar.
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
415
esa es la misma proporción que guardan la velocidad del centro del cuerpo
B y el centro de masa del carrete: vB = 0.6 v (testada). Además la velocidad
del centro de masa del carrete será v (testada)= ω r = 0.5 ω. Podemos
escribir, por tanto:
∆𝑇 = ∆𝑇𝐴 + ∆𝑇𝐵 =1
2𝑚𝐴�̅�2
2 +1
2𝐼�̅�2
2 +1
2𝑚𝐵𝑣𝐵2
2
∆𝑇 =1
2(
40
9.81) (0.5𝑣2)2 +
1
2[0.42 (
40
9.81)] 𝜔2
2 +1
2(
20
9.81) (0.3𝜔2)2
∆𝑇 =5 + 3.2 + 0.3
9.81𝜔2
2 =8.5
9.81𝜔2
2 = 0.9665𝜔22
∆𝑉𝑔 = −20(1.5) = −30
∆𝑉𝑒 =1
2𝑘(𝑥2
2 − 𝑥12) =
1
2(8)2.52 = 25
Estos valores en (1)
0.9665𝜔22 − 30 + 25 = 0
𝜔22 =
5
0.8665
Impulso y moméntum
Así como los conceptos de impulso y moméntum resultaron útiles en
la resolución de problemas de la partícula en que las fuerzas eran función
del tiempo, o las acciones mutuas de dos de ellos ocurría en un breve lapso,
también en el estudio del cuerpo rígido servirá en casos semejantes.
𝜔2 = 2.4 rad/s ↻
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
416
Cantidad de movimiento lineal y angular
La cantidad de movimiento lineal de una partícula es el producto de la
masa por la velocidad. El de un cuerpo rígido será igual a la suma vectorial
de las cantidades de movimiento de sus partículas.
Consideremos un cuerpo rígido que
tenga una rapidez angular ω y tomemos
un punto base arbitrario O. La rapidez de
una partícula cualquiera se puede expre-
sar como v = ω r, y su cantidad de movi-
miento lineal como ω r dm. Si integra-
mos, obtendremos el producto de la rapi-
dez angular por el momento estático de la
masa del cuerpo, respecto a un eje per-
pendicular que pasa por el punto base; a
su vez, ese momento estático puede ex-
presarse como el producto de la masa por
la distancia del eje al centro de masa:
∫ 𝜔𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔𝐵0𝑚 = 𝜔�̅�𝑚 = 𝑚𝑣𝐺
y, como se ve, la cantidad de movimiento lineal del cuerpo resulta ser igual
al producto de su masa por la velocidad de su centro de masa. Se trata de
una cantidad vectorial.
Sabiendo que el impulso es igual al incremento de la cantidad de
movimiento, podemos escribir:
La cantidad de movimiento angular o moméntum angular de un cuerpo
será la suma de las cantidades de movimiento angular de sus partículas.
De la figura anterior, observamos que la cantidad de movimiento
angular de una partícula será igual a ω r2 dm y, al integrar, obtendremos
∫ ∑ �̅� 𝑑𝑡 = 𝑚(�̅�𝐺2 − �̅�𝐺1)
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
417
que es igual al producto de la rapidez angular del cuerpo por el momento
de inercia de su masa respecto al eje que pasa por O:
∫ 𝜔𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔𝐼0
Y, puesto que el impulso angular es igual al incremento de la cantidad
de movimiento angular, podemos escribir:
Cuando dos cuerpos aislados se ejercen fuerzas entre sí, se pueden
emplear las expresiones de la conservación tanto del moméntum lineal
como del moméntum angular:
Cuando se trata de un solo cuerpo cuya configuración se ve alterada por
fuerzas internas, la segunda expresión se reduce a
∫ ∑ 𝑀0𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼0(𝜔2 − 𝜔1)
𝑚𝐴�̅�𝐺𝐴1 + 𝑚𝐵�̅�𝐺𝐵1 = 𝑚𝐴�̅�𝐺𝐴2 + 𝑚𝐵�̅�𝐺𝐵2
𝐼0𝐴𝜔𝐴1 + 𝐼0𝐵𝜔𝐵1 = 𝐼0𝐴𝜔𝐴2 + 𝐼0𝐵𝜔𝐵2
𝐼01𝜔1 = 𝐼02𝜔2
Ejemplo. Una esfera maciza de 4 kg de
peso y 0.12 m de radio, se lanza con una
rapidez de 8 m/s, sin velocidad angular,
sobre una superficie horizontal, cuyo coe-
ficiente de fricción cinética es 0.2. De-
termine el tiempo que se requiere para
que la esfera comience a rodar sin desli-
zar, y cuál será entonces su velocidad an-
gular.
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
418
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera mientras se desliza
sobre la superficie horizontal. Como se trata de un problema en el que se
desea investigar un tiempo, las fórmulas del impulso y el aumento de la
cantidad de movimiento resultan apropiadas. La esfera recibe un impulso
lineal en sentido contrario de la velocidad, y un impulso angular en sentido
horario. Igualaremos las ecuaciones, sabiendo que la esfera deja de resbalar
cuando la velocidad de su centro de masa es igual al producto de la veloci-
dad angular por el radio, ya que en ese instante, el centro de rotación es el
punto de contacto entre la esfera y la superficie.
∫ ∑ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝑡 − 𝑣0)𝑡
0
−0.8𝑡 =4
𝑔(𝑣𝑡 − 8)
𝑡 = −5
𝑔𝑣𝑡 +
40
𝑔… (1)
∫ ∑ 𝑀𝐺𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼(̅𝜔𝑡 − 0)
0.8(0.2)𝑡 =2
5(
4
𝑔) 0.122𝜔𝑡𝑡 … (2)
Igualando (1) y (2)
0.24
𝑔𝜔𝑡𝑡 = −
5
𝑔𝑣𝑡 +
40
𝑔
Multiplicando por 𝑔 y sustituyendo 𝑣𝑡 por 0.12 𝜔𝑡
0.24𝜔𝑡 = −5(0.12)𝜔𝑡 + 40
(0.24 + 0.6)𝜔𝑡 = 40
𝜔𝑡 = 47.6 rad/s ↻
𝑡 = 1.165 s
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
419
Se trata de un problema de conservación de la cantidad de movimiento
angular. Calcularemos los momentos de inercia de las dos configuraciones
del mecanismo, multiplicando la masa de las esferas por el cuadrado de su
distancia al eje de rotación.
𝐼1̅𝜔1 = 𝐼2̅𝜔2
4(12)2(45) = 4(0.12)2𝜔2
45 = 0.01𝜔2
Ejemplo. Un dispositivo experimen-
tal consiste en una cruceta de masa des-
preciable en cuyos extremos opuestos se
pueden colocar sendas esferas de 4 lb. El
conjunto gira alrededor de un eje hori-
zontal que pasa por su centro de masa.
Cuando las esferas están colocadas en los
extremos del vástago largo, el mecanismo
gira con rapidez angula constante de 45
rpm. Diga cuál será la rapidez angular del
mecanismo si las esferas se colocan en el
vástago menor, y si el procedimiento para
que adquiera su velocidad es el mismo
que se empleó en el caso anterior.
𝜔2 = 4500 rpm
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
420
Serie de ejercicios de Dinámica
CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO
1. Una columna de sección cuadrada de 40
por 40 cm, tiene una altura de 2.4 m y pesa 920
kg. Diga qué trabajo se requiere para levantarla,
si originalmente reposa sobre uno de sus costa-
dos. (Sol. 920 kg ∙ m )
2. Para probar la potencia de un motor, so-
bre el volante A de la figura se coloca una ban-
da. En uno de los extremos se coloca un dina-
mómetro y en el otro, una carga de 1 kg de peso.
El volante gira con velocidad constante de 120
rpm y tiene un diámetro de 0.6 m. Determine el
trabajo que el motor realiza en un segundo, si el
dinamómetro marca 4 kg.
(Sol. 15 kg ∙ m )
3. Una pequeña esfera de 3.22 lb de peso y
una pulgada de diámetro se suelta desde el pun-
to A de la superficie de la figura. Calcule la rapi-
dez angular con que pasa por el punto B, el más
alto del bucle, sabiendo que la esfera rueda sin
deslizar. ¿Cuál es la reacción de la superficie
sobre la esfera en ese punto?
(Sol. 4.7 lb ↓ )
4. Las dos poleas de la figura son iguales.
A gira en sentido horario, B en sentido contra-
rio. Sus centros están separados 40 cm. Sobre
ellas se coloca una barra homogénea de 10 kg,
de modo que su centro de gravedad quede a 6
cm del eje de simetría de las poleas. Sabiendo
que el coeficiente de fricción cinética entre las
poleas y la barra es 0.2, diga con qué rapidez
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
421
pasará el centro de gravedad de la barra por el
eje de simetría de las poleas. La barra se coloca
sin velocidad inicial.
(Sol. 1.766 cm/s )
5. La polea de la figura es un cilindro ma-
cizo de 16.1 lb de peso y 2 ft de radio. El cuerpo
A pasa 64.4 lb, y el B, 32.2. En cierto instante,
la rapidez de A es de 5 ft/s; ¿cuál será, cuando
se haya desplazado un pie más?
(Sol. 6.69 ft/s )
6. Una barra delgada y homogénea de un
slug de masa tiene una longitud de 5 ft y está
articulada a un pie de uno de sus extremos. Si la
barra está originalmente en reposo en la posi-
ción mostrada, ¿cuál será la máxima rapidez an-
gular que alcanzará?
(Sol. 3.83 rad/s ↻)
7. El volante de la figura tiene una masa de
100 kg y un radio de giro de 0.4 m respecto a su
eje de rotación. A dicho eje se le aplica un par
de magnitud M = 5 t, donde si t se da en s, M
resulta en kg•m. Si el volante originalmente es-
tá en reposo, ¿qué velocidad angular tendrá a
los tres segundos de haber aplicado el par?
(Sol. 1.369 rad/s ↺ )
8. Sobre una superficie inclinada 15° se co-
loca, sin velocidad inicial, un tubo de pared del-
gada de 1.5 ft de radio. Sabiendo que el tubo
rueda sin desliza, diga cuál será la velocidad de
su centro de masa, cuando se haya desplazado
5 ft. (Sol. 6.44 ft/s 15° )
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
422
9. Las barras AB y BC son homogéneas e
iguales; están contenidas en el plano vertical y
articuladas. Miden 0.8 m y pesan 12 kg. Calcule
la rapidez máxima de la articulación B, si el
conjunto se suelta del reposo en la posición
mostrada. (Sol. 1.617 m/s )
10. El cuerpo A de la figura pesa 20 kg; la polea
B es un cilindro macizo de 10 kg de peso y 0.3
m de radio; y el cuerpo C es un carrete que pesa
50 kg, tiene un radio exterior de 0.4 m y su
núcleo, de 0.2 m, y su radio de giro centroidal
es de 0.25 m. Sabiendo que los cuerpos están
originalmente en reposo y que el carrete rueda
sin deslizar, determine la velocidad angular del
carrete C cuando A haya descendido 1 m.
(Sol. 7.88 rad/s ↺ )
11. El péndulo cónico de la figura describe
una circunferencia horizontal de radio r, y da 80
vueltas completas en un minuto. Paulatina-
mente se comienza a reducir la longitud de la
cuerda, hasta que el radio de la trayectoria del
péndulo se reduce a la mitad. ¿Cuántas vueltas
completas dará en un minuto?
(Sol. 160 vueltas)
12. La figura representa la puerta de una
cochera de 300 lb de peso y que tiene 8 ft de
altura. En cada lado de la puerta hay un resorte,
que no está deformado cuando la puerta está
abierta, y que es la posición mostrada. Se desea
que, soltando del reposo la puerta abierta,
llegue a su posición final sin velocidad: ¿cuál
debe ser la constante de rigidez k de cada
resorte? (Sol. 42.2 lb/ft)
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
423
13. A un cilindro macizo de 800 kg de peso
y 0.5 m de radio, originalmente en reposo, se le
aplica una fuerza horizontal de 20 kg durante 10
s. a) ¿Cuál será la velocidad angular del
cilindro? b) ¿Qué velocidad lineal tendrá su
centro de masa? El cilindro rueda sin deslizar.
(Sol. 3.62 rad/s ↻, 1.808 m/s →)
14. La polea de la figura pesa 32.2 lb, su
radio exterior es de 6 in y tiene un radio de giro
centroidal de 3 in. El cuerpo que pende de la
cuerda pesa 8.05 lb. Inicialmente, la rapidez an-
gular de la polea es de 3 rad/s; diga qué rapidez
alcanzará dos segundo después.
(Sol. 𝜔2 = 134.8 rad/s ↺ )
15. El carrete de la figura está originalmen-
te en reposo y se le aplica una fuerza constante
de 20 kg mediante una cuerda enrollada en su
núcleo. Sabiendo que el radio de giro centroidal
de la masa del carrete es de 0.25 m y que rueda
sin deslizar, ¿cuál será su velocidad angular a
los tres segundos?
(Sol. 26.7 rad/s ↺ )
16. Una barra delgada y homogénea de
16.1 lb de peso y 4 ft de largo está articulada en
uno de sus extremos y en reposo. Diga cuál será
su rapidez angular inmediatamente después de
que una bala de 2 oz, que lleva una velocidad
horizontal de 900 ft/s, se incrusta en ella a 3 ft
de la articulación.
(Sol. 8.9 rad/s ↺ )
17. El volante de la figura está rígidamente
unido a la polea B. Las poleas A y B están uni-
Cuerpo rígido. Trabajo e impulso
424
das por una banda ideal, de masa despreciable.
El sistema está originalmente en reposo cuando
se le aplica un par constante de 2 kg•m a la po-
lea A. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el
volante alcance una rapidez angular de 240
rpm? La masa del conjunto volante-polea B es
de 360 kg y su radio de giro centroidal, de 0.8m;
la polea A tiene una masa de 12 kg y un radio
de giro centroidal de 0.1 m.
(Sol. 𝑡 = 116.7 s )