Date post: | 08-Mar-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | ana-blanco |
View: | 271 times |
Download: | 10 times |
Zenbait zenbaki berezi
- 1 -
AURKIBIDEA
0 zenbakia
1 zenbakia
e zenbakia
i zenbakia
zenbakia
ф urrezko zenbakiak
Zenbait zenbaki berezi
- 2 -
SARRERA
Lan honen asmoa izan zen zenbaki berezi batzuei buruzko hainbat kuriositate biltzea.
Hasieran aukeratu genuen 0 zenbakia, 1 zenbakia, e zenbakia, zenbakia, i zenbakia,
zenbakia eta ф urrezko zenbakiak aztertzea, baina azkenean ezin izan dugu denak
landu, zenbaki horiei buruz aurkitu dugun informazioa uste baino askoz zabalagoa
izan baita.
Sortutako materiala DBHko eta Batxillergoko ikasleentzat da egokia. Irakurketa
moduan erabil daiteke kutsoan zehar behar den momentuan.
Ezin dugu ahaztu Matematikak zerikusi handia daukala hainbat kontzepturekin
(edertasunarekin, artelanekin, naturarekin,...) eta aspektu hau lana egitean kontuan
hartu izan dugu.
Zenbait zenbaki berezi
- 3 -
0 zenbakia
Zero zenbakia oso berezia da. Imajina ezazu Polonian euskarako irakaslea zarela, eta
gaur ikasleei irakatsi behar diezula zenbakiak euskaraz esaten. Ziur nago honelako
zerbait esaten edota idazten hasiko zinatekeela:
Polonierazko hitz bat ere esan barik zure ikasleek ulertuko lukete azaldu nahi diezuna.
Hori zenbakien ikurrak internazionalak direlako gertatzen da. Mundu osoan ezagutzen
da 1, 2, 3 edo 4 ikurren esanahia.
Baina burutazio hori oso garrantzitsua bada ere, ez da adibide horren xedea. Zein
zenbakitatik hasi zara? Zergatik ez duzu idatzi zero zenbakia? Ez al da zenbaki bat?
Txikitan zenbakiak esaten ikasi zenuenean, zerotik hasi zinen? Seguru aski, ez.
Badakizu zergatik? Beharbada, umeek zeroren beharrik ez daukatelako.
Matematikaren historian antzeko zerbait gertatu da.
Zero zenbakia uste duzun baino askoz gazteagoa da, orain dela 1.300ren bat urte
asmatu baitzen. Ordura arte, erronka ikaragarria zen kopuru handiak nolabait
adieraztea. Baina hala eta guztiz ere, matematikariek hainbat gauza garrantzitsu
asmatzeko gai izan ziren; adibidez, Pitagorasen teorema.
Zero zenbakiaren asmatzea
Gizakiok, matematika arloan, aztertu genituen lehenengo problemak errealak ziren.
Egunoroko bizitzan agertzen ziren arazoak ziren; adibidez, tratuak egitean sortutakoak.
Jakiteko zenbat ardi eman behar ziren zaldi baten truke, ez ziren, beharrezkoak ez
1 – Bat
2 – Bi
3 – Hiru
4 – Lau
5 - Bost
Zenbait zenbaki berezi
- 4 -
zero zenbakia, ezta zenbaki negatiboak ere. Horrelako egoerak ebatz daitezke zero
asmatu barik. Eta, jakina! Beharra ez zegoenez, ez zen asmatu! Zenbakiak kantitateak
adierazteko asmatu ziren, eta, ezer ez dagoenean, ez dugu zenbakien beharrik.
Bi gauza desberdin adierazteko erabiltzen dugu zero zenbakia. Lehena: zenbat
galderari erantzuteko, ezer ez dagoenean. Bigarrena: zenbakietan posizio hutsak
adierazteko. Lehenengo galderari zero zenbakia erabili barik erantzun dakiokeenez,
bigarrena aztertu behar dugu zero zergatik asmatu zuten ulertzeko.
Seguru aski entzunda daukazu gure zenbaki-sistema posizionala eta hamartarra dela.
Baina ulertzen duzu zer esan nahi duen horrek? Saiatuko gara hori azaltzen.
Demagun dendariak garela eta pinturak saltzen ditugula. Pinturak kutxatan sartuta
daude, eta kutxa bakoitzean 10 pintura daude. Kutxak maletatan sartuta daude, eta
maleta bakoitzean 10 kutxa daude.
Norbaitek 324 pintura eskatzen badigu, hona hemen zer eman behar diogun:
3 2 4
Eta 234 pintura eskatuz gero:
2 3 4
= 4 pintura
= 2 kutxa
= 3 maleta
= 4 pintura
= 3 kutxa
= 2 maleta
Zenbait zenbaki berezi
- 5 -
Lehenengo kasuan 2 zenbakiak 2 kutxa adierazten du, eta bigarren kasuan, berriz, 2
maleta. Zergatik? Erabiltzen dugun zenbaki-sistema posizionala delako. 324
zenbakian, 2a hamarrekoaren lekuan dago; beraz, 20 pintura edo 2 kutxa adierazten
du. 234 zenbakian, berriz, ehunekoaren lekuan dago; beraz, 200 pintura edo 2 maleta
adierazten du.
Sistema posizional batean arazoak sortzen dira posizio hutsak adierazteko. Adibidez,
0 zenbaki barik nola bereizten ditugu 230, 203 edo 23? Arazo hori konpontzeko
asmatu zen zero zenbakia.
Babilonian ere, K. a. 1700. urtean, zenbakiak adierazteko sistema posizional bat
erabiltzen zuten, baina hura ez zen hamartarra, hirurogeitarra baizik. Haiek 230, 203
eta 23 zenbakiak era berean idazten zituzten, baina testuinguruari esker bereizten
zuten zein zen zenbakia. K.a. 400. urtean hasi ziren ´´ ikurra erabiltzen posizio hutsak
adierazteko. Beraz, 203 idazteko honelako zerbait idazten zuten: 2´´3.
Erroman eta Grezian ez ziren erabiltzen sistema posizionalak; beraz, ez zuten zero
asmatzeko beharrik. Zortziaren edo bostaren kontzeptua bazeukaten, baina kontzeptu
hori adierazteko oso sistema desberdina erabiltzen zuten. Txikitan, eskolan denok ikasi
genituen erromatarren zenbakiak. Nola egiten zituzten erromatarrek eragiketak? Argi
dago ez zela sistema erosoa kantitateak azaltzeko, eta, batez ere, eragiketak egiteko.
Horregatik, sistema hori baztertu egin zen.
Erabiltzen dugun zenbaki-sistema (posizionala eta hamartarra) Indiatik datorkigu,
arabiarrek ekarrita. Beraz, Indian asmatu ziren guk erabiltzen ditugun zenbakiak, baita
zero zenbakia ere. Dirudienez, 0 ikurra hartu zuten etenik gabeko zirkuluaz eternitatea
eta izaterik eza adierazten zutelako. Lehenengo aldiz, 876. urteko idazki batean agertu
zen. Pasartea oso bitxia zen, benetako problema bat zen: jakin nahi zuten zenbat
landare jarri behar ziren lorategi batean, egunero tenplura 50 lore sorta eramateko.
Zeroren ikurra Indiatik dator, baina zero izena arabieratik: sifr hitzetik.
Zenbait zenbaki berezi
- 6 -
e zenbakia
Harrigarria badirudi ere, matematikari batentzat e ikurra letra bat izateaz gain,
zenbaki bat ere bada. Izan ere, zenbaki batzuk letra baten bidez adierazten dira.
Famatuena zenbakia da. Kasu horretan aukeratutako letra grekoa da.
Matematikan e zenbakia oso erabilia izan arren, zenbaki honen garrrantzia eta
jatorria ez dira oso ezagunak.
Hasteko, hona hemen gehienok zer dakigun zenbaki honi buruz:
Biaren eta hiruaren arteko zenbaki bat da. Beraz,
bere balioa idatzi nahi izanez gero, badakigu
lehenengo zifra 2a izango litzatekeela, eta
lehenengo zifra horren atzean koma bat jarri beharko
genuke. Hona hemen komaren atzean zenbaki horri
dagozkion hamartarrak: 718281... Hasi bai, hasiko
ginateke hamartarrak jartzen, baina bukatu? Ez
genuke sekula bukatuko. Izan ere, e zenbakiak
hamartar kopuru amaigabea du; gainera hamartar
horiek ez dute periodikotasunik, hau da, ez dira
errepikatzen. Horregatik, ez dugu zenbaki bidez
adierazten, baizik eta ikur baten bidez. Aukeratu den ikurra e letra da.
e zenbakiarekin topo egiteko modu bat
Historian zehar matematikariek hainbat arlotako problemak ebaztean e zenbakiarekin
egin dute topo. Guk interes konposatuaren adibidea aukeratu dugu e zenbakia
aurkezteko.
Demagun, bankura euro bat (hasierako kapitala) eramaten dugula, eta bankukoek
esaten digutela urtebete barru %100eko interesa
irabaziko dugula. Horrek esan nahi du epe hori
pasatu ondoren hasierako kapitala gehi interesak
edukiko dugula (beraz, 2€). Demagun, beste banku
batek interes berbera eskaintzen digula, baina
interesak bitan ordainduko dizkigutela; beraz, aldi
bakoitzean interesa %50 izango da. Orduan, 6
hilabete pasa ondoren 0,5€ irabaziko dugu eta
Zenbait zenbaki berezi
- 7 -
demagun diru hori hasierako kapitalari gehituko zaiola. Beraz, bigarren eperako
hasierako kapitala 1+0,5€ izango da, eta ondorioz, bigarren epeko etekina (1+0,5)0,5
izango da. Orduan, urtea pasa ondoren edukiko dugun dirua honako hau izango da:
2
2
2
115.01)5,01(5.015.05.015.015.05.015.01
Etekinak 4 aldiz (hiruhilabetean) ordainduz gero (%25 bakoitzean), diru hau lortuko
dugu: 4
4
4
1125,01
.
Ostera, 12 aldiz (hilero) ordainduz gero
12
12
11
Eta 360 aldiz (egunero) ordainduz gero
360
360
11
...
Argi dago hau ez dela benetako adibide bat, sinpleagoa izan da. Normalean interesak
ez dira %100 izaten eta hasierako kapitala ez da euro batekoa izaten. Baina, edozein
baldintzatan, interes konposatuaren problemak ebaztea
n
nn
a
11 segidan datza.
Kalkula ditzagun segida horren elementu batzuk:
1
11
11
a = 2
2
22
11
a =2,25
3
33
11
a =2,37037037
4
44
11
a =2,44140625
Hasierako kapitala
Lehenengo epearen etekina
Bigarren epearen etekina
Zenbait zenbaki berezi
- 8 -
5
55
11
a =2,48832
6
66
11
a =2,521626
Argi ikusten da segidaren terminoak gero eta handiagoak direla, baina ez du ematen
asko handitu direnik; beraz, ezin dugu espero segidaren limitea infinuta izatea. Ez du
ematen terminoak 3ra ere hurbilduko liratekeenik. Ziurrago egoteko, kalkula ditzagun
segidaren termino aurreratuagoak:
20
2020
11
a = 2,653297705144…
30
3030
11
a = 2,674318775870…
50
5050
11
a = 2,691588029073605…
Ematen du segidaren limitea 2aren eta 3aren arteko zenbaki bat izango dela. Terminu
gehiago kalkulatuko ditugu, eta emaitzak aztertuko ditugu
100
a 2,7048138294215…
000.1
a 2,716923932235…
000.10
a 2,718145926821…
000.100
a 2,7182682371…
000.000.1
a 2,71828046931…
000.000.10
a 2,718281692544…
000.000.100
a 2,7182818148673621…
Emaitzetan hamartarrak finkatzen doaz. Horri esker, 000.000.000.1
a zenbat balio duen ez
badakigu ere, ziur gaude lehenengo hamartarrak 718281 izango direla. Termino
altuagoak kalkulatuz gero, segidaren limitearen hamartar gehiago ezagut dezakegu.
Zenbait zenbaki berezi
- 9 -
Leonhard Euler (1707-1783)
Esan dugunez,
n
nn
a
11 segida funtsezkoa gertatu zen interes konposatuari
buruzko problemak ebazteko; horregatik, segida horren limitea oso zenbaki
garrantzitsua zen. Hamartarren kopurua amaigabea zenez, zaila zen zenbaki horretako
erreferientzia argiak egitea. Leonhard Euler matematikariak erabaki zuen e izena
jartzea.
Ez dago oso argi zergatik aukeratu ote
zuen e letra. Hainbat azalpen posible dago
Batek dio e zenbakiaren eta
esponentzialaren arteko lotura handiaren
ondorioz eman ziola (e letra esponentzial
hitzaren lehenengo letra baita). Beste
azalpen baten arabera, Eulerrek e letra
aukeratu zuen haren abizenaren lehenengo
letra zelako (egia esan, ideia hori nahiko
baztertuta dago gaur egun). Azkenik,
azalpen arruntagorik ere aurki dezakegu:
matematikan erabiltzen ez zen alfabetoko
lehenengo letra zelako (a, b, c eta d letrak
oso maiz agertzen ziren formula matematikoetan). Arrazoia edozein izanda ere, e
izena eman zion, eta harrezkero horixe erabili da zenbaki hori adierazteko.
e zenbakiarekin historia
XVII. mendean matematikariek e zenbakia lortu zuten emaitzatzat hainbat kalkulo
desberdin egitean, baina ez ziren ohartu emaitza horiek guztiak zenbaki bera zirela.
1618an John Napierrek erabili zuen e zenbakia lehenengo aldiz (izen hori ez zuen
erabili, jakina). Astronomian behar ziren kalkuluak errazteko asmoz logaritmoak
asmatu zituen, logaritmo neperianoak hain zuzen ere. Logaritmo neperianoen
definizioan konstante bat agertzen da. Nieperrek ez zuen argitu konstante horren
balioa, baina e zenbakia da.
1661ean Christian Huygensek. xy = 1 kurba aztertzeari ekin zion. Jakin nahi izan zuen
1 zenbakiaren eta beste zein zenbakiren artean hartzen duen kurba horrek 1 balioko
Zenbait zenbaki berezi
- 10 -
azalera bere azpian (irudian berdedun aldea). Zenbaki horri izena jarri zion, baina,
esan dugunez, e zenbakia da.
Jacob Bernoullik, interes konposatuaren problemak ebazteko
n
nn
a
11 segidaren
limitea aztertu zuen. Hori egitean zenbaki berezi bat aurkitu zuen eta b izena jarri zion.
1727an Leonhard Eulerr hasi zen e ikurra erabiltzen eta Mechanica lanean agertu zen
lehen aldiz publikatuta. Hala eta guztiz ere, hurrengo urteetan matematikari batzuek c
letra ere erabiltzen zuten, baina gehienek e letra erabiltzen zutenez, ikur hori hedatu
zen.
e zenbakia edozein lekutan
Interes konposatuaren problemaz gain, beste zenbait arlotan behar-beharrezkoa da e
zenbakia. Esate baterako, esponentzialki gehitzen edo gutxitzen den zerbait
aztertzean. Auzitegi-medikuek, e zenbakiari esker, jakin dezakete pertsona bat noiz hil
zen. Pertsona bat bizirik dagoenean, haren metabolismoak gorputzaren tenperatura
konstante mantentzen du, 36 ºC inguruan. Hiltzen den unean, gorputzak beroa
ekoizteari uzten dio, eta gorpua tenperatura galtzen hasten da. Lehenengo minutuetan
oso azkar jaisten da tenperatura, baina hoztu ahala, gero eta mantsoago galtzen da
beroa. Hori da jaitsiera esponentzialaren berezitasuna. Jaitsiera bezalakoa da
hazkunde esponentziala ere: balioa txikia denean, hazkundea ere txikia da, eta handitu
ahala, hazkundea ere handitu egiten da; eta asko handitu, gainera! Adibidez, feto
baten zelulen kopurua esponentzialki handitzen da.
Horretan guztian, non dago e zenbakia? Bada, e zenbakia hazkunde-erritmo berezi
horren oinarria da. Zerbaitek hazkunde esponentziala baldin badu, matematikoki
Zenbait zenbaki berezi
- 11 -
adierazteko e zenbakia erabili behar da, eta ez beste zenbakirik. Beraz, ezinbestekoa
da hazkunde esponentziala dituen aldagaien estimazioak edo aurreikuspenak egiteko.
Horregatik da hain garrantzitsua.
Nonahi agertzen da hazkunde esponentzialak. Esate baterako, konposatu kimiko
erradioaktiboak desagertzean (paleontologoek erabiltzen dute arrasto fosilak
datatzeko) edo bizidunen populazioen hazkundea aztertzean.
Amaitzeko beste adibide bat. Demagun kate edo kable bat bi zutoinen artean
zintzilikatzen dugula, alegia, katenaria bat dugula (trenentzako hari eroalea edo
argindarraren linea elektrikoa zintzilikatzen dutenean bezala). Bi zutoinen artean
dagoen kate-zati bakoitzaren kurba e zenbakiak definitzen du. Kurbaren formula
2
xx eey
da. Beraz, horrelako egiturak diseinatzen dabiltzan ingeniarientzat, e
zenbakia funtsezkoa da. Haien lanak ere e zenbakiaren menpe daude.
Laburbilduz:
e zenbaki baten ikurra edo izena da
e zenbaki hamartar kopuru amaigabea du
e = 2,7182…
n
ne
11lim
Zenbait zenbaki berezi
- 12 -
Infinitu zenbakia
Infinitua definitzea oso zaila da. Hiztegi arrunt batera jotzen badugu, hau aurkitzen
dugu: “amaierarik ez duena”. Definizioa xehea da eta zentzuzkoa dirudi. Intuizioak ere
hortik jotzen du, baina, orain, gure galdera hau da: ba al dago mugarik ez duen ezer?
Mugarik gabeko ezer ez balego, ez genuke ezer definituko. Beraz, mugarik ez duen
zerbait bilatu behar da. Hurrengo istorioak asmo hori dauka.
Istorioa oso paradoxa ospetsuan datza. Paradoxa hori Hilbertek aurkeztu zuen
lehenengo aldiz, gero bertiso ugari agertu dira. Honetan Hilbert bera agertzan da
protagonista.
Hilbert Hotela
Orain dela urte asko, Hilbert maisuak hotel bat zabaldu zuen. Ez zen hotel makala!
Jabea kontuan hartuta, ez da harritzekoa. Ez zen
munduko hotelik handiena. Cantor maisuak, ordurako,
hotel handiagoak irekita baitzituen, baina garestiagoak
ziren. Hilberten hotelak zenbaki arruntak beste logela
zituen; denak zenbatuta: 1, 2, 3, 4…,100, 321.456…
Batzuetan Hilbertek uste zuen hotela handikeria hutsa
izan zela, eta ez zuela inoiz beteko.
Egun batean alaba hurbildu zitzaion esanez:
-Aita, aita, gaur goizean hotela hutsik zegoen,
baina zenbaki arrazional talde bat etorri da eta hotela bete egin da.
- Hori da berri ona, hori! Zeintzu etorri dira?
- 4
1,
3
1,
2
1,
1
1… eta kopuru amaitezina izan arren, errez lortu dugu zenbaki
bakoitza logela banatan sartzea: 1
1 zenbakia 1. logelan dago,
2
1 2. logelan,
3
1 3.
logelan eta horrela egin dugu talde osoarekin.
-Primeran! Dirutza irabaziko dugu.
Zenbait zenbaki berezi
- 13 -
Hurrengo egunean 100 zenbaki famatuak heldu ziren hotelera. Hilberten adiskide
zaharrak ziren guztiak. Horien artean 0, 2 , e , , sen7, log12… zeuden. Hilbertek,
pena handiz, esan zien:
-Barkatu, baina hotela gainezka dago. Logela bat ere ez daukagu hutsik. Beste
hotel batera joan behar izango duzue.
e zenbakia haserretzear zegoen, baina Hilberten alabak esan zuen:
-Ez kezkatu. Hotela beteta badago ere, infinitu logela du eta, beraz, badago
lekurik denontzako. Hauxe egingo dugu. 1. logelako bezeroa 101. logelara joango da,
2. logelako bezeroa 102. logelara, 3 .logelako bezeroa 103. logelara eta horrela egingo
dute bezero guztiek.
-Oso ondo laztana! Hori eginez gero, lehenengo 100 logelak hutsik geratuko
dira, eta etorriberriak logela horietan sartuko dira. Baina, nola antolatuko dugu
hainbeste aldaketa? Infinitu aldaketa egin behar dira.
-Aita, oso erreza da.
Eta mikrofonoa eskuan hartuta esan zuen:
-Entzun arretaz mesedez. Bezero guztiek aldatu beharko duzue logela. Orain
daukazun logelaren zenbakiari 100 gehitu behar duzu, hori izango da zure logela
berria.
Zenbakiek oso arin egin zuten aldaketa
eta bezero berriak lehenengo 100
logelatara sartu ziren, bakoitza logela
batean. Baina, nora joan ziren azken
logeletako bezeroak? Bada, ez zen
arazorik egon. Hotelak infinitu logelak
zituenez, ez zegoen azken logelarik!
Hilbert zur eta lur geratu zen alabaren
gaitasuna ikusita. Aitatara eman zuela
pentsatu zuen.
Biharamunean zenbakia etorri zen
senide batzuekin. Familia osoa etorri
ez bazen ere, lerro amaezina zegoen
hotelaren aurrean. ...7,5,3
zenbakiak, zintzo-zintzo zeuden han, bata bestearen atzean.
Zenbait zenbaki berezi
- 14 -
Hilbertek ez zuen tutik esan. Uste zuen bere alaba ere ez zela arazo hori konpontzeko
gai. Oso neskato argia zen, baina, han infinitu zenbaki zegoen logelaren zain eta
hotela beteta zegoen. Alabari deitu zion eta neskatoak irribarrez esan zion:
-Lortuko ez dugu, ba! Berriro bezero guztiek aldatu behar izango dute logela.
Bezero bakoitzak oraingo logelaren zenbakia bider 2 egin behar dute.
Aita pentsakor geratu zen eta marmarka hasi zen:
-Beraz 1. logelakoa 2. logelara joango da, 2. logelakoa 4. logelara, 3. logelakoa
6.logelara, 4.logelakoa…
-Bai aita. Ulertu duzu. Hori eginez gero 1.a, 3.a, 5.a, hutsik geratuko dira, hots,
zenbaki bakoitiak dituzten logelak hutsik geratu dira.
-Eta zenbakia 1.logelan sartuko da, 3 zenbakia 3.era …
Eta horrela lortu zuten bezero berri guztei ostatu eman.
Infinutu zenbakia irreala da
Zenbat logela zituen Hilberten hotelak? Bada, Infinitu.
Baina, infinitu horrek zer adierzten du? Zenbakia da? Hiztegi arrunt batera joan
beharrean, Elhuyar Hiztegi Entziklopediara jotzen badugu, hau arkitzen dugu: “Adieraz
daitekeen edozein balio baino handiagokoa edo zehaz daitekeen edozein mugatik
haranzkoa den edonon izan daitekeen aldagaia”. Hori irakurrita pentsa dezakegu
infinitua zenbakirik handiena dela. Erreal zenbakien multzoan ezin dugu horrelako
zenbakirik aurkitu, beraz, infinitu zenbakia irreala izan behar du.
Infinutu zenbakiaren ikurra
Zenbaki guztiak ikur baten bidez idazten ditugu, adibidez, hiru zenbakien ikurra 3 da.
1655an John Wallisek erabili zuen lehengo aldiz ikurra infinitu zenbakia adierazteko
eta geroztik denok erabiltzen dugu ikur hori.
Zenbait zenbaki berezi
- 15 -
Eragiketak egin ditzakegu infinitu zenbakiarekin?
Jakina! Hilbert hotelaren istorioa erabiliko dugu adibide batzuk ikusteko.
100 zenbaki arrazionalak heldu zirenean bezero guztiek aldatu zuten logela:
Orain hotelean 100+ bezero daude; hotelean logela daude; bezeroak logelala
banatan daude. Beraz logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar
dira, ondorioz.
100
100 bezero berriak etorri beharrean 35 etorri balira, antzeko moduan ondorioztatuko
genukeen 35
Eta horrela jarraituz:
4 , 154 , 1300 …
Orain zenbakia eta bere infinitu senideak heltzen direnean gertatukoa aztertuko
dugu. Hotelean bezero zeuden, eta bezero berriak heldu ziren, beraz hotelean
bezero zeuden. Hotelean logela zeudenez eta bezeroak logelala banatan
zeudenez, logelaren kopurua eta bezeroen kopurua berdinak izan behar ziren,
ondorioz.
Hoteletik 5 edo 43 bezero joaten direla asmatuz gero, 5 edo 43
ondoriaztuko genuke.
Baina eragitarekin arazo larri bat sortzen da. Matematikan eragiketa bat egitean
beti emaitza berdina eman behar du. Baina kasu honetan ez da horrela gertatzen.
3.logela 2.logela 1.logela
1
1
2
1
3
1
4.logela
4
1
...
3.logela 2.logela 1.logela
...
103.logela 102.logela 101.logela
1
1
2
1
3
1
...
100 bezero berriak bezero
Zenbait zenbaki berezi
- 16 -
Lehen ondoriaztatu dugu 100 . Berdinketa honetatik atera
dezakegu: 100 .
Modu berean 35 kontuan hartuta, ondoriazten dugu 35 , edo
4 , eta abar.
Matematikan eragiketa batekin horrelako zerbait gertatzen denean esaten dugu eragite
hori indeterminazioa dela. Kalkulu prozesu batean indeterminazio den eragiketa bat
sortuz gero, pentsatu behar dugu irteera gabeko bidean sartu garela eta atzera egin
behar dugula beste bide desberdin bat aurkitzeko.
Infinitu zenbakiarekin eragiketa gehiago egin dezakegu. Aipatutakoak adibide bat baino
ez dira izan.
Laburbilduz:
Infinitua zenbakirik handiena da.
Infinitu zenbakia ikurraz adierezten dugu.
Zenbaki irreala da.
Eragiketak egin ditzakegu zenbakiaz.
Zenbait zenbaki berezi
- 17 -
URREZKO ZENBAKIA
Urrezko zenbakia oso zenbaki ezaguna eta erabilia izan da aspalditik. Naturan eta
gure gorputzaren proportzioetan agertzen da, eta artelanetan ere bai. Hala ere,
gehienontzat guztiz ezezaguna da. Lan honen asmoa da urrezko zenbakiaren berri
ematea.
Zenbaki honek –Φ(fi), alfabeto grekoko seigarren letrarekin idazten da–, hainbat
propietate interesgarri ditu. Horiek ikusi baino lehen, eman ditzagun zenbait datu:
Φ-ren balioa: Φ ...49896180339887.12
51
Beraz, Φ zenbaki irrazional bat da; hau da, infinitu zifra hamartar ditu,
periodorik gabe. (Beste modu batean esanda, ez da zenbaki arrazionala: ezin
da adierazi bi zenbaki osoren zatiketa eran).
Zenbaki honen berri greziarrek jakin zuten arren, fi izena XX. mendearen
hasieran eman zitzaion, Fidias eskultore greziarraren omenez, hark bere
lanetan erabili baitzuen.
Φ zenbakiari perfekzioaren zenbakia edo urrezko proportzioa ere esaten
zaio.
Zenbait zenbaki berezi
- 18 -
Φ-ren definizoa
Ikus dezagun modu bat Φ zenbakia lortzeko.
Segmentu bat hartu, eta moztu segmentu hori bi zati desberdinetan (a eta b):
a eta b urrezko proportzioan egoteko, berdinketa hau bete behar dute:
txikiazati
handiazati
handiazati
osoasegmento
b
a
a
ba
Formula hori garatuz gero, hau lortzen dugu:
2abba
22 abab
022 aabb
Berdinketa hori bigarren mailako ekuazio bat da, a ezezagun hartuta. Ekuazio hori
ebatziz:
2
242 bbba
2
5 2bba
2
5bba
Zenbait zenbaki berezi
- 19 -
2
51
ba
Orduan: 2
51
b
a
Eta a eta b zatiek urrezko proportzioa betetzen dutela kontuan hartuta
b
a,
honako hau ondorioztatzen da:
2
51
Urrezko laukizuzenak
Laukizuzen baten aldeek (a eta b) urrezko proportzioa betetzen badute, urrezko laukizuzena da.
Zein da urrezko laukizuzena?
Hori jakiteko, ikus dezagun ea haien aldeek urrezko proportzioa betetzen duten.
A
Beraz, A ez da urrezko laukizuzen bat.
B laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.
a=4.8 cm
cm
b=2.5 cm
92.15.2
8.4
b
a
a=4.8 cm
b=2.96 cm
96.2
8.4
b
a
B
Zenbait zenbaki berezi
- 20 -
Nola marraztu daiteke urrezko laukizuzena
Karratu bat marraztuta, aldeetako batean erdiko M puntua adieraziko dugu.
Zirkunferentzia bat marraztuko dugu, M zentro hartuta eta MD segmentua erradio. Zirkunferentzia horrek AB zuzena C puntuan mozten du.
AC segmentua oinarritzat eta BD segmentua altueratzat duen laukizuzena urrezko laukizuzen bat da.
Adibidez, hasierako laukiaren aldea 2 cm-koa bada,
laukizuzen horren aldeen proportzioa hau da: 2
51
= Φ
D
A B M
A M B C
D
Urrezko
laukizuzena
Urrezko
laukizuzena
Zenbait zenbaki berezi
- 21 -
Urrezko laukizuzenen propietatea
Urrezko laukizuzen bat marraztuta, kontuan hartuko dugu lortzen den karratu handiena (1). Geratzen den laukizuzena (2) urrezko laukizuzen bat da.
Gauza bera egiten badugu urrezko laukizuzen horretan (2), irudian agertzen diren karratua (3) eta laukizuzena (4) lortzen ditugu. Aurrekoan bezala, laukizuzen hori ere urrezko laukizuzena da.
Behin eta berriro prozesu berbera egin ondoren: irudian agertzen diren laukizuzen guztiak proportzionalak dira eta urrezko laukizuzenak dira.
Propietate hori askotan erabili da artean. Hona hemen adibide bat:
Urrezko
laukizuzena 1 22 1 2
1 22
3
4
Zenbait zenbaki berezi
- 22 -
URREZKO ZENBAKIA ARTEAN
KEOPSEN PIRAMIDEAN
Urrezko zenbakiaren jatorria zaharra da. Ezin da jakin noiztik ezagutzen duen gizakiak. Egiptoarrek jada erabiltzen zuten; izan ere, Keopsen piramidean (K.a. 2600. urtea), zenbait neurritan ageri da.
Nola sortzen da Φ Keopsen piramidean?
Keopsen piramidearen oinarria lauki bat da. Lauki horren aldea 230 m-koa da, eta piramidearen altuera, 146,28 m-koa.
Beraz: AC = 2
m 230
= 115m eta AB=146,28m
Hala, hurrengo zatiketan: AC
AB
=
m 115
m 28,146
1,272m≈ AC
AB
=
...618,1azalera Alboko
azalera Guztirako
...618,1
2L
a
Zenbait zenbaki berezi
- 23 -
PARTENOIAN
Partenoian (K.a. 432. urtea) ere agertzen da. Fidias eskultore grekoak eraiki zuen Atena jainkosaren omenez.
Irudian frogatu ahal da:
CD
AB
.
Proportzio gehiagotan ere agertzen da
urrezko zenbakia:
AD
AC
eta
CA
CD
ESKOLA PITAGORATARRA (K.A. VI.MENDEA)
Pitagorasek Crotonan (Italia) eratu zuen eskolak filosofia, matematika eta natur zientziak zituen aztergai.
Eskolaren ikurra izardun pentagonoa zen, eta askotan agertzen da urrezko zenbakia.
Pitagoratarrak bizitza zenbakien bidez azaltzen saiatzen ziren, eta eskola haren leloa hau zen: Dena da zenbaki hutsa. Izardun pentagonoa aztertuz, edozein pentagonorentzat balio duen erlazio hau aurkitu zuten:
Zenbait zenbaki berezi
- 24 -
...618,1Aldea
Diagonala
Egiaztapena
AOB hiruki isoszelean, AOB angelua pentagono
erregular baten angelu zentrala da. Beraz: AOB = 360º : 5 = 72º Hiruki batean hiru angeluen batuketa 180º denez: OAB + OBA +AOB= 180º Hiruki isoszeles izateagatik: OAB=OBA Orduan: 2 OAB+AOB=180º
2 OAB+72º=180º 2 OAB=180º-72º 2 OAB=108º OAB=54º ABM hiruki laukizuzenean betetzen da:
...809.0º54AB
AMABM ABAMsenABAMsenABMABAMsen
Baina: AD=2*AM
Zenbait zenbaki berezi
- 25 -
Beraz:
...618,1...809,02...809,022
AB
AB
AB
AM
AB
AD
Aldea
Diagonala
Urrezko zenbakia aurkitu zuten, baina Φ ez zen haiek ezagutzen zituzten zenbakiak bezalakoa: ez zen zenbaki arrazionala. Nola azaldu ez zekitenez, erabaki zuten horren berri inori ez ematea. Zenbaki ez arrazionalak aurkitu zituzten.
Zenbait zenbaki berezi
- 26 -
”Vitrubioko gizona” (1492)
Φ zenbakia perfekzioaren zenbakia zela jotzen zuten , eta horrela irudikatu zuen Leonardo Da Vincik bere marrazki batean: Vitrubioko gizona.
Giza gorputzaren proportzioak ikertu zituen, eta, hala, lan honetan gizon bat agertzen da, karratu eta zirkunferentzia baten sartuta.
Nola agertzen da Φ?:
a
b
erradioan Zirkuluare
aldean Karratuare
Zure gorputzaren neurriekin lor dezakezu Φ, eragiketa hau egiten baduzu,:
inozilborreraoinetatik altura Zure
osoa altuera Zure
Luca Paciolik De divina proportione liburuan (Leonardo Da Vincik irudiz apainduta) urrezko zenbakia sakonki azaldu zuen.
Zenbait zenbaki berezi
- 27 -
URREZKO PROPORTZIOA NATURAN FIBONACCI-REN SEGIDA
Urrezko proportzioa ez da solik gizakiaren burutazio bat edertasunaren kontzeptua irudikatzeko, natura aztertzen ere agertzen da.
Fibonacci,-(1170-1250)-, matematikari buruzko lan ugari egin zituen arren, oso
ezaguna da hurrengo segida lortzeagatik untxien ugalketa aztertzen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Segida horrek oso propietate interesgarriak ditu:
1. Segidaren edozein gai lortzen da bi aurrekoak batuz
1 = 0+1 2 = 1+1 3 = 1+2 5 = 2+3 8 = 3+5 13 = 5+8 21 = 8 +15 34= 13+21...
2. Segidaren bi gai ondoz ondoren zatiketa gero eta hurbilago dago Φ-tik:
1,618...55
891,617...
34
551,619...
21
341,615..
13
211,625
8
131,6
5
81,66..
3
51,5
2
32
1
21
1
1
Beraz:
Grafikoki:
Hau da:
1n
n
a
a
2
51lim
1n
n
a
a
Zenbait zenbaki berezi
- 28 -
Adibide batzuk ikusi baino lehenago, urrezko kiribila eta urrezko angelua zer diren azalduko dugu:
Urrezko kiribila
Irudiko kiribila zirkunferentzien koadranteak gainezarriz lortzen da, zeinen erradioak urrezko proportzioan hazten baitira.
Harrigarriena da horretan ere urrezko zenbakia agertzea, zeren eta Fibonacciren segida lortzen da:
Zenbait zenbaki berezi
- 29 -
Zenbait adibide naturan
Nautilusen maskorrean.
Bitxiloreen haziek 21 eta 34 kiribil dituzte.
Pinaburuen kiribil kopurua 8 eta 13 da, edo 5 eta 8.
Ekilore baten haziek 21 kiribil osatzen dtuzte ezkerrerantz, eta 34 eskuinerantz.
Zenbait zenbaki berezi
- 30 -
Oiloen arrautzaren geometrian ere agertzen da urrezko proportzioa.
Urrezko proportzioak planeten arteko distantzietan agertzen dira.
Karbono-atomoak ere, hots, diamanteak eta izaki bizidunen oinarrizko konposatuak urrezko egitura daukate.
Zenbait zenbaki berezi
- 31 -
Urrezko angelua
Landare baten orriak ez dira hazten zurtoinean zehar hala nola; izan ere, zenbat eta eguzkiaren argi gehiago lortzen duten, hobeto hedatzen dira.
Urrezko angeluari jarraituz sortzen dira.
Irudian ikus dezakegu zein ordenatan eta zein angelutan hazten diren orriak.
b=137.51º
a=222,49º
b
a
Zenbait zenbaki berezi
- 32 -
Surrealismoan
Hainbat argazkitan Hainbat eraikinetan
Zenbait zenbaki berezi
- 33 -
Poesian
A LA DIVINA PROPORCIÓN
A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
Urrezko zenbakia eguneroko objetuetan
Zenbait zenbaki berezi
- 34 -
Bibliografia
http://eu.wikipedia.org/wiki/E_(zenbakia)
http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=13312 (Zientzia.net e zenbakiaren
bila Lakar iraizor, Oihane)
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3472
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnad
o/ayuda.html
http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/monica/o
ro.htm
http://blogs.vandal.net/71189/vm/012222442008
http://www.zientzia.net/artikulua.asp?Artik_kod=6964