24. Estudia la continuidad de la siguiente función:
2x si13x
2x si4x
1
f(x)
.especie segunda de idaddiscontinu una Presenta
01x3limf(x)lim
.definida estáNof(x)lim
3
1f
:3
1x
.especie segunda de idaddiscontinu una Presenta
.definida estáNof(x)lim
2
1
4x
1limf(x)lim
2
12)f(
:2x
.infinito salto de especie primera de asintótica idaddiscontinu una Presenta
0
1
4x
1limf(x)lim
0
1
4x
1limf(x)lim
4)f(
:4x
.3
1xy2x4,xenidadesdiscontinu Presenta
,3
124,4,f(x)Dom
3
1x01x3
4x04x
:Dominio
31x
3
1x
3
1x
2x
2x2x
4x4x
4x4x
25. A partir de la función
0x si
2x
1
0x si1ax
f(x)
2
, obtén el valor de a que
verifique que la función en x = 0 sea: a. Continua.
2
1a
2
11a
2
1
2x
1limf(x)lim
1a1axlimf(x)lim
1a)0(f
:0x
0x0x
2
0x0x
b. Discontinua evitable. No existe ningún valor de a que haga que la discontinuidad sea evitable. c. Discontinua inevitable.
.2
1a donde ,a
26. Estudia la continuidad de la función
0x si1x
1x
0x si1x
62x
f(x)
2
2
2
y halla los
extremos relativos, si los tiene.
61x
6x2limf(x)lim
1f(0)
:0x
f(x)Dom
2
0x0x
11x
1xlimf(x)lim
2
2
0x0x
mínimo,10,N1f(0)mínimo,0(1)
04(0)''f
máximo,41,M41)f(máximo,01)1(
161)(''f
0x si1)(x
x124
0x si1)(x
16
(x)''f
0x0x401)(x
x4
1x
0,3x06x4x20
1)(x
6x4x2
0(x)'f
0x si1)(x
x4
0x si1)(x
6x4x2
(x)'f
:Extremos
{0}.en contínuaes función la que lo por 0,x en finito salto de idaddiscontinu una Hay
3
3
32
2
3
22
2
2
2
22
2
2
27. Considera la función
1x six
1x six)(2f(x)
2
3
y justifica si es continua y
derivable en todo ℝ.
}.1{enderivable Es
.derivable esNo2x2lim(x)'flim
3x)3(2lim(x)'flim
:1x
1x six2
1x six)3(2(x)'f
.encontinua Es
1xlimf(x)lim
1x)(2limf(x)lim
1f(1)
:1x
f(x)Dom
1x1x
2
1x1x
2
2
1x1x
3
1x1x
28. Sea la función:
1x si1x
2x
1x six
13xx
f(x)
2
a. Estudia el dominio y la continuidad de f (x).
{0}.encontinua Es
.asintótica dadiscontinuiD
0
1
x
1x3xlimf(x)lim
0
1
x
1x3xlimf(x)lim
f(0)
:0x
.continua Es
1x
1x3xlimf(x)lim
11x
x2limf(x)lim
11)f(
:1x
{0}.f(x)Dom0x
1),(1x01x
:Dominio
2
0x0x
2
0x0x
2
1x1x
1x1x
b. Identifica y clasifica las discontinuidades de la función. Discontinuidad asintótica de primera especie de salto infinito cuando x = 0. c. Halla los extremos relativos.
mínimo,51,N5f(1)mínimo,0(1)
2(1)''f
1x si1)(x
4
1x six
2
(x)''f
01)(x
2
1x01x0x
1x
0(x)'f
1x si1)(x
2
1x six
1x
(x)'f
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
29. Dada la función de expresión:
2
3
2
3
x si2x112
7
x si4
x1
f(x)2
2
a. Estudia la continuidad y derivabilidad de f (x).
.2
3enderivable Es
.derivable esNo
12
72)(x
6
7lim(x)'flim
4
3
2
xlim(x)'flim
:2
3x
2
3x si2)(x
6
7
2
3x si
2
x
(x)'f
:dadDerivabili
.encontinua Es
.continua Es
16
72)(x1
12
7limf(x)lim
16
7
4
x1limf(x)lim
16
7
2
3f
:2
3x
:dContinuida
2
3x
2
3x
2
3x
2
3x
2
2
3x
2
3x
2
2
3x
2
3x
b. Halla los máximos y mínimos locales de f (x).
2x0)2x(6
7
0x02
x
0)x('f
.16
7,
2
3enlocalmínimounHay
máximo,12
72,B
12
7f(2)máximo,0
6
7(2)''f
máximo,10,A1f(0)máximo,02
1(0)''f
2
3x si
6
7
2
3x si
2
1
(x)''f
SOLUCIONES PÁG. 092 30. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
2x si2x
2x si2)x(xf(x)
3
.2enderivable Es
.derivable esNo
2)(x3
1lim(x)'flim
22x2lim(x)'flim
:2x
2x si2)(x3
1
2x si2x2
(x)'f
:dadDerivabili
.encontinua Es
.continua Es
02xlimf(x)lim
02)x(xlimf(x)lim
02f
:2x
:dContinuida
f(x)Dom
3 22x2x
2x2x
3 2
3
2x2x
2x2x
31. Considera la función
0x si1e
0x sixxf(x)
x
2
y contesta razonadamente a las
siguientes preguntas: a. ¿Es continua en el punto x = 0?
.continua Es
0xxlimf(x)lim
01elimf(x)lim
00f
:0x
2
0x0x
x
0x0x
b. ¿Es derivable en el punto x = 0?
.derivable esNo
11)x(2lim(x)'flim
1elim(x)'flim
:0x
0x sie
0x si1x2(x)'f
0x0x
x
0x0x
x
c. ¿Alcanza algún extremo?
.mínimounes0)N(0,tanto,Por0.xcuandomínimountiene
0,xpuntoelencontinuaesfunciónlaComo.edecrecientes1eycrecienteesxx x2
32. Sea la función: 4
63
x1
xxf(x)
a. Encuentra su dominio y los posibles puntos de discontinuidad.
}11,{f(x)Dom1x0)x)(1x(10x1 224
b. Determina si alguna de las discontinuidades es evitable.
)x1)(x1(
)x1(x
x1
xx)x(f
22
33
4
63
– 1 0 0 1
1 – 1 – 1 – 1
– 1 – 1 – 1 0
)x1)(x1(
)1xx(x
)x1)(x1)(x1(
)1xx)(1x(x
)x1)(x1(
)x1(x)x(f
2
23
2
23
22
33
En x = 1, la discontinuidad es evitable.
33. Halla el dominio de la función 23xx
xxf(x)
2
2
y estudia su continuidad.
2}1,{f(x)Dom1x
2x
2
893x02x3x 2
.infinito
saltodecieeespprimerade
asintóticaidaddiscontinu
0
2
2x
xlim
2x3x
xxlimf(x)lim
0
2
2x
xlim
2x3x
xxlimf(x)lim
2f
:2x
.evitableidaddiscontinu
2
1
2x
xlim
2x3x
xxlimf(x)lim
2
1
2x
xlim
2x3x
xxlimf(x)lim
2
11f
:1x
2x
x
2)1)(x(x
1)x(x
2x3x
xxf(x)
:dContinuida
2x2
2
2x2x
2x2
2
2x2x
1x2
2
1x1x
1x2
2
1x1x
2
2
34. Dada la función f (x) = x2 – 5x + 6, indica las variaciones en la continuidad y derivabilidad que presentan las funciones f (x) y |f (x)|.
3,2enDerivable
.derivableesNo15x2lim)x('flim
15x2lim)x('flim
:3x
.derivableesNo15x2lim)x('flim
15x2lim)x('flim
:2x
3x,5x2
3x2,5x2
2x,5x2
)x('f
:dadDerivabili
enContinua
.continuaEs
06x5xlim)x(flim
06x5xlim)x(flim
0)3(f
:3x
.continuaEs
06x5xlim)x(flim
06x5xlim)x(flim
0)2(f
:2x
3x,6x5x
3x2,6x5x
2x,6x5x
)x(f
:dContinuida
3x
2x06x5x,6x5x)x(f
.iomindosutodoenderivable,)x(fDom,6x5x)x(f
3x3x
3x3x
2x2x
2x2x
2
3x3x
2
3x3x
2
2x2x
2
2x2x
2
2
2
22
2
35. Calcula el valor de a para que f (x) sea continua en todo ℝ, teniendo en cuenta que f (x) corresponde a la siguiente función:
1x si1)ln(2x
1x si3axf(x)
2
3a03a
01ln)1x2ln(limf(x)lim
3a)3ax(limf(x)lim
3a1f
:1x
1x1x
2
1x1x
36. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua:
0x sixx
0x sik
0x sie
f(x)2
x
1
0k
0)xx(limf(x)lim
0eeelimf(x)lim
k0f
:0x
2
0x0x
0
1
x
1
0x0x
37. Determina para qué valores de a la siguiente función es continua en x = 0:
0x si1
0x si2x
ax)(1e
f(x) 2
ax
2a4a14
a
f(x)lim4
a
4
aelimaHôpitalL'ación,indetermin,
0
0
x4
1elima
x4
aaelimHôpitalL'ación,indetermin,
0
0
x2
ax)(1elimf(x)lim
10f
:0x
22
0x
2ax
0x
ax
0x
ax
0x2
ax
0x0x
38. A partir de la función
0x sikx
0x si2
xlnx
f(x) x halla el valor de k para que
f (x) sea continua en ℝ.
0k
010
0
2x2ln2
x2lim
x2
12x2ln2
1lim
x
x2
12x2ln2
x
1
limHôpitalL'ación,indetermin,
x
2
xlnlimaciónindetermin,
1
0
2
xlnxlimf(x)lim
kk)(xlimf(x)lim
k0f
:0x
x1x0xxx0x
xx0x
x0x
x0x0x
0x0x
39. Determina los valores de a y b para que la función f (x) sea continua en x = 2 y tenga un mínimo en x = 1:
2x sia2x
2x si1bxxf(x)
2
3b21a2bb20(1)'f
2x si2
2x sibx2(x)'f
:1xenmínimounHay
b21aa4b25
a4a)x(2limf(x)lim
b251)bx(xlimf(x)lim
b252f
:2x
2x2x
2
2x2x
40. Considera la función:
3x six10x4
3x sia3xf(x)
2
a. Halla el valor de a para que f (x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor?
.derivable esNo4x)2(10lim(x)'flim
3(x)'flim
:3x
3x,x210
3x,3(x)'f
3x,xx104
3x,8x3f(x)
8a17a9
17)xx104(limf(x)lim
a9a)x(3limf(x)lim
a93f
:3x
3x3x
3x
2
2
3x3x
3x3x
b. Determina los puntos en los que f' (x) = 0.
5xx2100)x('f
c. Calcula el máximo y el mínimo absolutos de f (x) en el intervalo [4, 8].
128,N intervalo, elenabsolutomínimo12f(8)20,f(4)
215,M21f(5)máximo,02(5)''f
3x,2
3x,0(x)''f
ervalointalpertenece5x84,x
41. Se tiene una función, f (x), que no es derivable en x = a. a. ¿Puede presentar en dicho punto un extremo relativo? Sí. b. Si la respuesta del apartado anterior es positiva, ¿cómo se realiza el cálculo de dicho extremo si no pueden usarse los procedimientos de derivación? En este caso ha de estudiarse el signo de la derivada a izquierda y derecha del punto x = a. También puede aplicarse la definición de extremo relativo.
42. Dada la siguiente función:
0x sie
0x sia
0x si1x
3x2x
f(x)
2
x
1
a. Determina el valor de a para que f (x) sea continua en x = 0.
0a
0eelimf(x)lim
01x
x3x2limf(x)lim
a0f
:0x
x
1
0x0x
2
0x0x
b. Para ese valor estudia la derivabilidad de f (x) en x = 0.
.derivable esNo0)0('f31)(x
3x4x2lim(x)'flim
:0x
0x siex
1
0x si0
0x si1)(x
3x4x2
(x)'f
0x sie
0x si0
0x si1x
x3x2
f(x)0a
2
2
0x0x
x
1
2
2
2
x
1
2
43. Sea la función:
0x siex
0x six)ln(1af(x)
x2
a. Calcula f(x)limx
y f(x)limx
.
0e
2limHôpitalL'ación,indetermin,
e
x2lim
HôpitalL'ación,indetermin,e
xlimexlimf(x)lim
xxxx
x
2
x
x2
xx
)1ln(a)x1ln(alimf(x)limxx
b. Halla el valor de a para que f (x) sea continua en todo ℝ.
0a
0exlimf(x)lim
a)x1ln(alimf(x)lim
00f
:0x
x2
0x0x
0x0x
c. Estudia la derivabilidad de f (x) y calcula f' (x) donde sea posible. Es continua en x = 0 si a = 0. Es derivable en ℝ – {0}.
0x sixx2e
0x si1x
1
(x)'f2x
44. A partir de la función:
0x si3xe
0x sia
0x si1x
1xx
f(x)x
2
2
a. Determina, si existe, el valor de a para que f (x) sea continua en x = 0.
33xelimf(x)lim
11x
1xxlimf(x)lim
a0f
:0x
x
0x0x
2
2
0x0x
No existe ningún valor de a para que f(x) sea continua, pues los límites laterales no coinciden. b. Comprueba si la función es derivable en x = 0 para algún valor de a.
0)0('f1)1x(elim(x)'flim
0x si)1x(e
0x si0
0x si)1(x
x1
(x)'f
x
0x0x
x
22
2
No existe ningún valor de a para el que la función sea derivable en x = 0.
SOLUCIONES PÁG. 093 45. Sea la función:
3x si158xx
3x1 si32axx
1x si2x1
f(x)2
2
2
a. Calcula el valor de a para que f (x) sea continua en x = 1.
2
5a1a24
a243ax2xlimf(x)lim
1x21limf(x)lim
11f
:1x
2
1x1x
2
1x1x
b. Para a = 2 estudia la continuidad y la derivabilidad de f (x).
3,1enderivabley3,1encontinuaEs
.continuaesNo
0)15x8x(lim)x(flim
24)3x4x(lim)x(flim
24)3(f
:3x
.continuaesNo2
52a:1x
3x si15x8x
3x1 si3x4x
1x six21
f(x)
2a
2
3x3x
2
3x3x
2
2
2
46. Dada la función
1x sixbx
1x si32bxxf(x)
2
2
, donde b ∈ ℝ:
a. Calcula el valor de b para que f (x) sea continua en x = 1.
3
1b1bb22
1bxbxlimf(x)lim
b223bx2xlimf(x)lim
b221f
:1x
2
1x1x
2
1x1x
b. Para b = 1 determina los extremos relativos de la función.
máximo,41,M41)f(máximo,021)(''f
1x si2
1x si2(x)''f
1,2
1x0x21
1x02x2
0(x)'f
1x six21
1x si2x2(x)'f
1x sixx
1x si3x2xf(x)1b
2
2
c. ¿Es derivable en x = 1?
.derivable esNo
3x)2(1lim(x)'flim
42x2lim(x)'flim
:1x
1x1x
1x1x
47. Considera la función 4x
eef(x)
3x3x , con b ∈ ℝ:
a. Indica de forma razonada en qué valor de x la función no está definida. No está definida en x = 0, ya que este valor de x anula el denominador.
b. Calcula el valor del parámetro b ∈ ℝ para que la función
ax sib
ax sif(x)g(x)
sea continua, siendo a el valor anteriormente obtenido.
2
3bbg(a)
2
3
4
6
4
e3e3lim
HôpitalL'ación,indetermin,0
0
x4
eelim
x4
eelimf(x)limg(x)lim
x3x3
0x
x3x3
0x
x3x3
axaxax
48. Determina los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en x = 1.
1x si12abxx
1x siaxf(x)
2
2
1a4b2b2b2)bx2(lim)x(flim
2)x2(lim)x('flim
:1x
1x,bx2
1x,x2)x('f
:dadDerivabili
3ba2ba21a
2ba2)1a2bxx(lim)x(flim
1a)ax(lim)x(flim
1a)1(f
:1x
:dContinuida
)x(fDom
1x1x
1x1x
2
1x1x
2
1x1x