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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
En esta clase se analizarán algunos casos prácticos que no ayudarana entender mecanismo de transferencia de calor por conducción.
El objetivo será hallar:
• La distribución de temperaturas en el sólido
• Una expresión general para la transferencia de calor (coeficiente globalde transferencia de calor, U)
Se analizarán cinco casos:
1. Una pared plana, con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluidoy la otra superficie mantenida a una temperatura fija.
2. Dos corrientes de fluidos, 1 y 2, con temperaturas diferentes separadas poruna pared plana.
3. Una pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija.
4. Un cilindro hueco en el cual se mantienen su superficie interna y externa a unatemperatura fija.
5. Un cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exterior seencuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
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2
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Simplificaciones que se asumen para laresolución:
•Estado estacionario.
•En cuanto a las dimensiones del sólido seestablecerá que e
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4
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Concepto de resistencia térmica: si se toma un diferencial de área, se pueden plantear las siguientes expresiones para reflejar el flujo de calortransferido.
Transmisión de calor entre la corriente de fluido y la superficie de la pared en x=e: e x T hq
Transferencia de calor por conducción enun sólido:
e x T T e
k q
0
Como se puede ver, el problema se puede tratar como un sistema detransmisión de calor en serie.
El calor transferido es el mismo en cada paso o etapa, y en cada unade éstas, el calor transferido queda expresado en función de ladiferencia de temperaturas entre sus límites.
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5
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Concepto de resistencia térmica:
h
qT xe
xe qk
eT T
0
A partir de estas expresiones, se puede pensar en una analogía con
los circuitos eléctricos donde se usa el concepto de resistenciaeléctrica:
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6
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Concepto de resistencia térmica:
Resistencia térmica para la conducción enel sólido:
k
e R
int
Resistencia térmica para la convección:
h
Rext 1
En este tipo de sistemas en serie, la etapaque opone una mayor resistencia a latransferencia de calor controla el proceso
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7
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Concepto de resistencia térmica:
En un caso de flujo finito de calor, es de esperar que donde seencuentre esta resistencia “controlante”, la diferencia detemperaturas sea más pronunciada que en el resto de las etapas
xq RT T 21
Por esto, surge la necesidad de comparar las resistencias térmicasque componen un sistema en serie de transmisión de calor
k
he
R
R Bi
h
k e
ext
1
intNúmero de Biot
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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8
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
El número de Biot:
•El número de Biot relaciona la resistencia a la conducción en unsólido con la resistencia a la convección superficial.
•Representa la razón entre las resistencias térmicas interna y externa,
y sirve para estimar el peso relativo de cada una de las resistencias.•Permite tener una idea aproximada de las magnitudes de los perfilesde temperatura que se observarán en el sólido y el fluido.
k
he Bi
Número de Biot
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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9
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
El número de Biot:
int0 R R Bi
ext
ext R R Bi int
En el caso extremo que el Biot se hace muy chico:
ee T T T 0
En el caso opuesto, en que el Biot se hace muy grande:
ee T T T 0
Entonces, el número de Biot no sólo indicala magnitud de las resistencias sino quetambién indica la magnitud de losgradientes de temperatura.
e
e
T
T T Bi
0
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10
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
vv P qvU U t
:ˆˆ·
0qComo se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada x, la ecuación de energía queda:
0dxdq x
Reemplazando por la Ley de Fourier
para un sólido isotrópico:
02
2
dx
T d k
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Resolviendo la ecuación, se obtiene que el perfil de temperaturadentro del sólido será lineal:
21 C xC T x Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste problema.
Existen tres tipos de condiciones de contorno que normalmente se plantean para este tipo de problemas de transmisión de calor:
1. Temperatura superficial constanteCteSUP T T
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2. Flujo de calor constante cte
INT
q
dx
dT k
•Flujo finito de calor:
0 INT dx
dT k
•Superficie aislada:
3. Convección en la superficie INT INT
T h
dx
dT k
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Para el sistema en estudio, las condiciones de contorno queaplicamos serán las de temperatura superficial constante en x = 0 yconvección en la superficie x = e:
00 T T 0 x
e x ee
T hdxdT k
Condiciones de contorno:
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Aplicando ambas condiciones de contorno, se obtiene:
02 T C
211
C eC k hC
k
eh
T k
h
C
1
0
1
2° cuatrimestre de 2015
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
La disposición del eje de coordenadas simplificó el tratamiento parala obtención de la constante C 2
Si se trabaja un poco más con la constante C 1 , se la puede expresar en
función del número de Biot:
e Bi
T Bi
e
e
k eh
T k
h
C 1
11
0
0
1
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Entonces, el perfil de temperaturas dentro del sólido queda:
00
1 T e
x
Bi
T Bi
T x
•El perfil de temperaturas en el sólido queda representado por una recta
•Para estudiar como es afectada esta recta por el número de Biot, vamos a
analizar que valores toma la temperatura superficial en x = e frente a doscasos límite Bi 0 y Bi
La temperatura superficial en x = e es:
0
0
1T
Bi
T BiT e
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Influencia del número de Biot:Temperatura superficial en x = e:
0
0
1
T
Bi
T BiT e
00 T T Bi e
eT Bi
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Influencia del número de Biot:
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Cálculo del calor transferido por la pared:
Para el cálculo del calor transferido por la pared se emplea la Ley deFourier:
dx
dT k q x
Para el caso en estudio, no es necesario definir en que posición x seva a evaluar la derivada, ya que es constante:
1C k q x
Bi
T
e
Bik q x
1
0
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20
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Cálculo del calor transferido por la pared:
Si se reemplaza la definición del número de Biot en esta expresión, seobtiene:
k
e
h
T q x
1
0
int
0
R R
T AQ
ext
x
A
Qq x x
2° cuatrimestre de 2015
int
0
R R
T
ext
Dra. Larrondo - Ing. Grosso
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Expresión general para la transferencia de calor:
Se llegó a una expresión para el calor transferido en función de:
•La diferencia de temperaturas global o total del sistema.
•La suma de las resistencias en serie.
•La superficie total de transferencia de calor. int
0
R RT AQext
x
Para este tipo de sistemas compuestos se suele usar la siguiente
ecuación para representar la transferencia de calor:
T AU Q U: Coeficiente Global deTransferencia de Calor
Ecuación cinética de transferencia de calor
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija
Expresión general para la transferencia de calor:
Entonces, comparando ambas expresiones se obtiene:
0T T
En general, para cualquier otro sistema en serie se podrá expresar elcoeficiente global de transferencia de calor en función de la suma detodas las resistencias presentes:
int R R
A AU
ext
R
A AU
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Simplificaciones que se asumen parala resolución:
•Estado estacionario.
•En cuanto a las dimensiones del sólido seestablecerá que e
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
En este caso, las simplificaciones o consideraciones que se asumen para la
resolución de este sistema permiten emplear una simetría plana:
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Resistencias térmicas del sistema:
Transmisión de calor entre la corriente de fluido 1 y la superficie de la pared en x=0:
011 T hq x
Transferencia de calor por conducción en el sólido:
e x T T e
k q
0
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Transmisión de calor entre la corriente de fluido 2 y la superficie de la pared en x=e:
22 e x T hq
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Resistencias térmicas del sistema:
Si se despeja la diferencia de temperaturas de cada una de las etapas,se obtiene:
xqhT 1011
xe qk
eT T
0
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
xe qh
T 2
2
1
Nuevamente, se puede pensar en una analogíacon los circuitos eléctricos
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Resistencias térmicas del sistema:
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
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Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
vv P qvU U t
:ˆˆ·
0
q
Como este sistema de transferencia de calor también esunidimensional en la coordenada x, la ecuación de energía queda:
0dxdq x
Reemplazando por la Ley de Fourier para un sólido isotrópico:
02
2
dx
T d k
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Resolviendo la ecuación, se obtiene el mismo perfil de temperaturalineal dentro del sólido:
21 C xC T x
Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste nuevo problema:
Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
0 x
e x 22 e
e
T hdx
dT k
Condiciones de contorno:
0110
T hdx
dT k
2° cuatrimestre de 2015
Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Aplicando ambas condiciones de contorno, se obtiene:
2111
C hC k
22121
C eC hC k
21
1
1 C
k
hC
k
ehhhh
k
ehhhh
C ··
···
··
21
21
1
21
2211
2
Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Reacomodando y expresando estas constantes en función de losnúmeros de Biot definidos, se obtiene:
2121
2121
1··
··
Bi Bi Bi Bie
Bi Bi
C
2121
1212211
2
·
····
Bi Bi Bi Bi
Bi Bi Bi BiC
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
El perfil de temperaturas queda:
2121
221211
2121
2121
·
····
·
··
Bi Bi Bi Bi
Bi Bi Bi Bi
e
x
Bi Bi Bi Bi
Bi BiT x
Reacomodando un poco la expresión del perfil de temperaturas, finalmente se llega a la ecuación que se empleará para realizar elanálisis de cómo se modifica este perfil frente a una variación en losnúmeros de Biot 1 y 2:
211
21211
211
211
1
··
1
·
Bi Bi Bi
Bi Bi Bi
e
x
Bi Bi Bi
BiT x
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
Ó Ó
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
•El perfil de temperaturas en el sólido queda representado por una recta.
• Al expresar el perfil de temperaturas en el sólido en función de losadimensionales Bi 1 y Bi 2 , se podrá inferir como será la magnitud de los perfiles de temperatura en las corrientes de fluido 1 y 2.
•
Ahora, para estudiar como es afectada esta recta por los números de Biot,vamos a analizar que valores toma la temperatura superficial en x=0 y x=e frente a los casos límite Bi 0 y Bi (Bi 1 y Bi 2 )
La temperatura superficial en x = 0 es:
211
21211
0
1
·
Bi Bi Bi
Bi Bi BiT
La temperatura superficial en x = e es:
211
21121
1
·1·
Bi Bi Bi
Bi Bi BiT e
Ó Ó
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35
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Debe recordarse que se consideró θ 1 > θ 2 , por lo que se espera queT (0) sea mayor que T (e). Entonces, el perfil de temperaturas tendrá lasiguiente forma:
Influencia de los números de Biot 1 y 2:
Ó Ó
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36
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Influencia de los números de Biot 1 y 2:
Ahora, vamos a ver de qué manera se afecta este perfil frente a unavariación de las distintas resistencias térmicas (Bi 1 y Bi 2 ).
Por el momento, no se va a estudiar la forma de los perfiles detemperatura en ambos fluidos, sólo su magnitud.
Se analizarán 3 casos, variando los Biot por separado y viendo comose modifican los perfiles de temperatura. Los casos de estudio que se proponen son:
•Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 0.
•
Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 intermedio.•Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 .
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
CO CC Ó C O SÓ OS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Influencia de los números de Biot 1 y 2:
Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2 0
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Influencia de los números de Biot 1 y 2:
Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2 intermedio
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Influencia de los números de Biot 1 y 2:
Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Expresión general para la transferencia de calor:
Luego de haber obtenido la expresión del perfil de temperatura en elsólido y de ver como influyen en éste los números de Biot, estamos encondiciones de obtener una expresión general para la transferenciade calor:Como ya se vio, para el cálculo del calor transferido en la pared se
emplea la Ley de Fourier:
dx
dT k q x
Al igual que para el caso anterior, no es necesario definir en que posición x se va a evaluar la derivada, ya que es constante:
1C k q x
21212121
··
···
Bi Bi Bi Bie
Bi Bik q x
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Expresión general para la transferencia de calor:
Si se reemplaza por la definición de los números de Biot en la últimaexpresión y se la reordena un poco, se obtiene:
k e
hh
q x
21
21
11
k
e
hh
AQ x
21
21
11
AQq x x
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Expresión general para la transferencia de calor:
Como era de esperar, se llegó a una expresión para el calortransferido en función de:
•La diferencia de temperaturas global o total del sistema.
•La suma de las resistencias en serie.
int21
21
R R R AQ
ext ext
x
Comparando esta expresión con la ecuación cinética de transferenciade calor, podemos llegar a las mismas conclusiones que para el casoanterior.
T AU Q 2° cuatrimestre de 2015
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana
Expresión general para la transferencia de calor:
En este caso, se llega a:
21
T
Estos resultados comprueban lo hallado anteriormente para sistema
en serie. El coeficiente global de transferencia de calor de un sistemaen serie podrá expresarse en función de la suma de todas lasresistencias presentes:
int21
R R R A AU ext ext
R
A AU
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Simplificaciones que se asumen parala resolución:
•Estado estacionario.
•En cuanto a las dimensiones del sólido se
establecerá que e
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para laresolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
vv P qvU U t
:ˆˆ·
0qComo se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada x, la ecuación de energía queda:
0dxdq x
Reemplazando por la Ley de Fourier para un sólido isotrópico:
0
dx
dT k
dx
d
Pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Cteq x
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:En este caso, la conductividad térmica no puede salir fuera de la primer integral, por lo tanto, la ecuación diferencial a resolver es:
1C dx
dT
k
Pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Ahora, se debe proponer una expresión para la conductividad térmicaque represente su variación con la temperatura.
Como resultado de esto, el perfil de temperaturas dentro del sólidono será lineal.
Cteq x
Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Para la conductividad térmica se propone la siguiente funcionalidad conla temperatura:
T bak
Pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
En general, para gases y aislantes laconductividad aumenta con latemperatura
0b
Mientras que para sólidos cristalinos ylíquidos (excepto H2O) la conductividaddisminuye con la temperatura
0b
Modelo propuesto para la conductividad térmica del sólido:
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:Reemplazando la expresión propuesta para la conductividad térmicadel sólido en la ecuación de energía, se obtiene:
Pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
1C
dx
dT T ba
Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil de temperatura dentrodel sólido, el cual, como ya se dijo, no será lineal:
212
2
C xC T b
T a x x
Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste nuevo problema:
0 x
e x
ee T T
Condiciones de contorno: 00 T T
CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Aplicando ambas condiciones de contorno, se obtiene:
2
002
2T
bT aC
2
21
2 ee T
bT aC eC
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2
2
0
2
01 T T ebT T
eaC ee
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
El perfil de temperaturas queda expresado en función de latemperatura al cuadrado, por lo tanto, se deberá trabajar un pocomás para obtener una función de la posición.
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2
00
2
0
2
0
2
2
222
T T b
a
b xT T
ebT T
eaT
baT ee x x
Esto se hace completando cuadrados
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Para completar cuadrados se suma (a/b)2 a ambos lados de laigualdad anterior:
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2
2
00
2
0
2
0
2
2
2
22
b
aT T
b
a
e
xT T T T
b
a
b
aT
b
aT ee x x
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Entonces, se puede decir lo siguiente:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2
2
00
2
0
2
0
2
2
2
b
aT T
b
a
e
xT T T T
b
a
b
aT ee x
22
2
2
b
aT
b
aT
b
aT x x x
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Además, también se cumple la siguiente igualdad:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
2
0
2
0
2
0
2
2
b
aT
e
xT T T T
b
a
b
aT ee x
2
0
2
0
2
0 2
b
aT
b
aT
b
aT
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Finalmente, se obtiene el perfil de temperatura dentro del sólido:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
b
a
b
aT
e
xT T T T
b
aT ee x
21
2
0
2
0
2
02
Sólo se consideró la solución positiva de la cuadrática, ya que es la únicaque cumple con las condiciones de contorno en x = 0 y x = e:
0 x
e x
0
2
00
21
T b
a
b
a
T T
eee T
b
a
b
aT T
21
2
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija
Perfil de temperatura dentro del sólido:
La concavidad del perfil detemperatura dentro del
sólido dependerá del signoque tome el parámetro b
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
Simplificaciones que se asumen para laresolución:
•Estado estacionario.
•En cuanto a las dimensiones del cilindro se
establecerá que R1
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Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para la
resolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
Si bien la simetría es cilíndrica,el perfil de temperatura se puede graficar de esta forma,ya que sólo depende de la posición r.
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Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
vv P qvU U t
:ˆˆ·
0q
Como se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada radial, la ecuación de energía queda:
01
r
rqdr
d
r
Reemplazando por la Ley de Fourier para un sólido isotrópico:
01
dr
dT r
dr
d
r k
Cteqr r
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil de temperatura radialdentro del sólido:
21 ln C r C T r
Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste nuevo problema:
1 Rr
2
Rr Condiciones de contorno:
11
T T R
22
T T R
Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
r
C
dr
dT 1
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Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Aplicando ambas condiciones de contorno, se obtiene:
2111
ln C RC T
2212
ln C RC T
Restando ambas ecuaciones, se despeja el valor de la constante C 1:
1
2
12
1
ln R R
T T C
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
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Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:
Luego, la constante C 2 queda:
Finalmente, el perfil de temperatura dentro del cilindro queda:
1
1
2
12
12 ln
ln
R
R
R
T T T C
1
1
2
12
1 ln
ln R
r
R
R
T T T T r
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Perfil de temperatura dentro del sólido:
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Expresión general para la transferencia de calor:
Luego de haber obtenido la expresión del perfil de temperatura en elsólido, estamos en condiciones de obtener una expresión general para la transferencia de calor:
Como ya se vio en todos los ejemplos anteriores, para el cálculo delcalor transferido en la pared se emplea la Ley de Fourier:
dr
dT k qr
En este caso, se debe definir en que posición r se va a evaluar la
derivada, ya que, debido a la simetría, el calor transferido por unidadde área no es constante:
r
C k q
r r 1
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Expresión general para la transferencia de calor:
Entonces, la expresión para el calor transferido en el cilindro queda:
r
R
R
T T k q
r r
1
ln
1
2
21
Sin embargo, el calor transferido por unidad de tiempo si esconstante, ya que no depende del radio:
r r r r r qrLq AQ 2
r
C k rLQr
12
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Expresión general para la transferencia de calor:
Entonces, la expresión para el calor transferido en el cilindro queda:
1
2
21
ln
2
R
R
T T Lk Qr
A partir de esta expresión, nuevamente se puede pensar en unaanalogía con los circuitos eléctricos:
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La resistencia térmica por conducción en el sólido para simetríacilíndrica queda:
Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Concepto de resistencia térmica:
Al igual que para todos los casos anteriores, se llegó a una expresión para el calor transferido en función de:
•La diferencia de temperaturas global o total del sistema.
•La resistencias a la transferencia de calor, que en este caso se debe sólo a
la conducción en el sólido.
1
2
int ln2
1
R
R
Lk R
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
Simplificaciones que se asumen para laresolución:
•Estado estacionario.
•En cuanto a las dimensiones del cilindro se
establecerá que R1
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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS
Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para laresolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
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Resistencias térmicas del sistema:
Transmisión de calor entre la corriente de fluido 1 y la superficieinterna del cilindro (r = R1 ):
111 Rr T AhQ
Transferencia de calor por conducción dentro del cilindro:
Transmisión de calor entre la superficie externa del cilindro (r = R2 ) yel fluido 2:
22 2 Rr T AhQ
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
11112 Rr T Lh RQ
12
ln
2
1
21
R R Lk
T T Q
R R
r
222 22 Rr T Lh RQ
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CO UCC Ó C O SÓ OS
El problema se puede tratar como un sistema de transmisión de caloren serie.
El calor transferido es el mismo en cada paso o etapa, y en cada unade éstas, el calor transferido queda expresado en función de la
diferencia de temperaturas entre sus límites.Se puede despejar esta diferencia de temperaturas en cada etapa a partir de las expresiones anteriores para llegar a una expresión deltipo:
Resistencias térmicas del sistema:
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
R
T Q
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Para hacer esto, se despeja la diferencia de temperaturas de cadaetapa y se suman todas las ecuaciones:
Resistencias térmicas del sistema:
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
r R Q Lh R
T 11
1
2
1
1
r R R Q R R Lk
T T 12
ln2
1
21
r R Q Lh RT 222
2
1
2
r Q Lh R
R R
Lk Lh R
22
12
11
21
2
1ln
2
1
2
1
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Finalmente, el calor transferido queda expresado como:Resistencias térmicas del sistema:
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
22
12
11
21
2
1
ln2
1
2
1
Lh R R R Lk Lh R
Qr
Resistencia térmica porconducción en el sólido
Resistencia térmica por
convección del fluidointerior
Resistencia térmica por
convección del fluidoexterior
Comparando esta expresión con la ecuación cinética de transferenciade calor:
21
AU Q73
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El coeficiente global de transferencia de calor queda:Resistencias térmicas del sistema:
Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.
22
12
11
1ln
11
2
11
h R R R
k h R L AU
74
Por lo general, para esta geometría el coeficiente global se loreferencia a una superficie determinada. Por ejemplo, para el áreaexterna:
L R A2
2
2
12
2
11
2
2
1ln
2
11
h R R
k
R
h R
R
L R AU
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Bibliografía recomendada
• Capítulos 2 y 3 de “Fundamentos de Transferencia de Calor”, CuartaEdición, Incropera F.P. & De Witt D.P.
•Capítulo 17 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y
Masa”, Segunda Edición, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.
•Capítulo 2 de “Transferencia de Calor”, Octava Edición, Holman J.P.
•Capítulos 9 y 10 de “Fenómenos de Transporte”, Segunda Edición, Bird
R.B., Stewart W.E. & Lightfoot E.N.