1
Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas
2
MÓDULO DE GEOMETRIA
Material Didáctico para el Estudio de
Geometría
CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
MEDELLÍN
2013-02
3
INTRODUCCION
Geometría (del griego geo, “tierra” y metrein , “medir”), rama de las
matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.
A la pregunta ¿para qué sirve la Geometría? Podemos dar un gran número de
respuestas, que dependen, principalmente, de las actividades del que la estudia
y de los propósitos de quien la imparte, como ciencia aplicada, podemos decir
que la Geometría es indispensable en el arte, la industria, la topografía, etc.
Esto no significa que un mecánico o un topógrafo aplique los teoremas
estudiados en Geometría de una manera directa, sino que las reglas y métodos
que usa en su trabajo se deducen de las proposiciones geométricas. Si se trata
de un estudiante que desea alcanzar un título profesional, podremos decirle
que dicha ciencia desarrolla las competencias básicas en la interpretación de
situaciones problema, la competencia propositiva en la búsqueda de
alternativas de solución y la argumentación de la validez de dichas propuestas.
El primero que investigó sistemáticamente los principios sobre los que se basa
la Geometría, y que aplicó los métodos de la lógica a su desarrollo sistemático,
fue Pitágoras (569-500 a. de J.C. ), vivio durante varios años en Egipto y
posteriormente se estableció en una colonia griega en el sur de Italia
dedicándose a la enseñanza de la Geometría, Filosofía, y Religión, intentando
basar estas dos últimas sobre principios matemáticos. Su escuela llegó a ser
una especie de hermandad y, finalmente, tuvo carácter de sociedad secreta. El
emblema de la sociedad era la estrella de cinco puntas dibujadas sin levantar la
pluma del papel. En el estudio de las propiedades de esta figura, los pitagóricos
descubrieron también muchas propiedades de los triángulos y de los
pentágonos. De Euclides se sabe muy poco aparte de los hechos de que nació
hacia el año 330 a. de J.C. y murió hacia 275 a. de J.C., que pasó la mayor parte
de su vida en Alejandría y que durante muchos años enseño matemáticas en
aquella Universidad y a discípulos particulares. Se le atribuye la frase de que
"no hay ningún camino real que conduzca al saber". Aunque se sepa tan poco de
la vida de Euclides su obra llena una gran parte en la Historia de las
Matemáticas. Muchos de sus discípulos se hicieron famosos y han dejado
descripciones de sus enseñanzas, de sus descubrimientos y de sus escritos,
habiendo llegado hasta nosotros la mayoría de estos últimos. Escribió libros
sobre muchos temas científicos, pero sus obras más famosas son las de
Aritmética, Álgebra y Geometría, siendo esta última la que sirve
principalmente de fundamento a su celebridad.
Euclides escribió los Elementos en los últimos años de su vida y fueron el
primer libro completo de esa materia. Sistematizaba toda la materia
4
meticulosamente, enunciaba con gran precisión sus fundamentos, simplificaba
muchos de los enunciados y demostraciones de las proposiciones, y clasificaba,
ordenaba y numeraba todos los principios fundamentales, las definiciones y las
proporciones. También contienen muchas proposiciones originales del mismo
Euclides. Se adoptó inmediatamente como libro de texto, y más tarde se
extendió por todo el mundo. Ha sido traducido a muchos idiomas y ha llegado a
nosotros tal y como Euclides lo dejó, siendo utilizado durante mucho tiempo
como libro de texto, y también como modelo y base de todos los otros libros de
la llamada Geometría Elemental.
En el presente modulo nos dedicaremos especialmente a la solución de
problemas de geometría, no entraremos a trabajar el aspecto teórico, ya que
este se encuentra muy bien contemplado en las notas de clase de nuestro
compañero Carlos Vargas, los ejercicios aquí resueltos hacen parte de los
ejercicios propuestos en dichas notas. Con este trabajo pretendemos dar a
nuestros alumnos una mayor cantidad de ejemplos de la aplicación de los temas
desarrollados en el programa de Geometría.
Agradezco la colaboración de mis compañeros en la realización y revisión de
este trabajo especialmente al docente Carlos Rios.
5
TABLA DE CONTENIDO
PAGINA
1. NOCIONES BASICAS : LINEA RECTA, SEGMENTOS Y ANGULOS 6
2. TRANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA 14
3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 23
4. CUADRILATEROS 34
5. CIRCUNFERENCIA 44
6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 58
7. AREAS 67
6
UNIDAD 1 Y 2
ELEMENTOS BASICOS DE GEOMETRIA, SEGMENTOS Y ANGULOS
1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?
GRAFICA 1
Puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a
un plano asumiendo la existencia del espacio o de la
existencia de otro plano paralelo al primero.
2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.
GRAFICA 2
Podemos garantizar la existencia de mínimo cuatro
puntos no coplanares, al garantizar la existencia de
otro plano en el espacio.
3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.
GRAFICA 3
Dos puntos A, B siempre serán colineales porque
podemos garantizar la existencia de una línea que los
une.
4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 4
No podemos garantizar que tres puntos en el
plano siempre sean colineales, en este caso a y
7
5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.
GRAFICA 5
Por un punto pasan infinitas rectas, una recta está
contenida en infinitos planos; por lo tanto podemos
asegurar que por un punto pasan infinitos planos.
6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.
GRAFICA 6
Por tres puntos colineales pasa una sola línea recta;
pero dicha recta está contenida en infinitos.
7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.
GRAFICA 7
Dos planos , serán coincidentes si tienen tres
puntos comunes. En este caso los puntos A, B, C
pertenecen a los dos planos.
8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto que no
pertenezca al plano? ¿Por qué?
GRAFICA 8
Observemos la gráfica la recta L y el plano tienen
dos puntos comunes A , B por lo tanto todos los
puntos de la recta son comunes al plano
8
9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 9
Dos rectas coplanares no necesariamente tienen que
ser paralelas, pueden tener un punto común y estar en
el mismo plano
10. ¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada una
contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 10
Si tenemos cuatro puntos A , B, C, D no colineales y no
necesariamente coplanares entonces tendremos como
caso extremo tres puntos coplanares A , B, C y D
externo al plano , desde D podemos trazar tres
líneas dirigidas hacia A, B, C y en el plano podemos
construir otras tres líneas entre A, B, C en total 6
rectas
11. ¿Dados cuatro puntos no coplanares, alguna tripleta de ellos serán colineales?. Explique.
Como podemos observar en la gráfica 10 A, B, C, D no son coplanares y las combinaciones ( )( ) ( ) ( ) están contenidas en diferentes planos y ninguna de las cuatro
posibilidades tiene que ser tres puntos colineales
12. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con ninguna cuarteta coplanares, cuántos planos pueden
trazarse tales que cada uno contenga tres de ellos?
Si tomamos con n = 4 con el caso de la gráfica 10 observamos cuatro planos, si tomamos otro punto E
por fuera de los cuatro planos se forma otra serie de planos tomando el punto E con dos puntos de los
anteriores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en total 36, si continuamos podemos
formar n +1 planos con cuartetas no coplanares.
13. Dados dos planos paralelos 1 y 2, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, tales que L1 1 y L2
2.
GRAFICA 11
En la gráfica podemos observar , planos
paralelos , donde además =
9
14. Dados dos planos 1 y 2 secantes en la recta L, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, distintas
de L, tales que L1 1 y L2 2 .
GRAFICA 12
en la gráfica 12 podemos observar que
donde y donde
15. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140,
(180n).
Recordemos que el suplemento de un ángulo es un ángulo cuya medida es por lo tanto
tenemos:
-
-
( )
( ) ( ) 90 +
16. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada
uno?
suplementarios
( ) 180°
2
2 180° - 30°
2
17. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la
medida de su suplemento.
Recordar:
- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
180
= 5veces
180
10
18. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo,
¿cuál es la medida del ángulo?.
Recordar:
- Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°
- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y
aplicando los métodos de sustitución o igualación
( ) ( )
( )
Si el resultado obtenido en ( ) lo remplazamos en ( ) obtenemos que
19. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y BOC=DOA.
Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.
GRAFICA 13
Recordar que dos semirectas opuestas forman un
ángulo de 180°
Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2
os
= 180
11
20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y BOC, tales que
BOCAOB=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con:
a. La semirrecta OB.
b. La bisectriz OK del AOC.
GRAFICA 14
bisectriz de
Bisectriz de BOC
Bisectriz de
Hallar
=
( )
= –
= ( )
= (
( ))
=
la solución del literal b. Se deja al estudiante
21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y
OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos,
cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los
ángulos extremos forman un ángulo de 100.
GRAFICA 15
1.
2.
} definición de directriz
3.
4.
}
5. 2 reemplazando ( )
6. 2
12
22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes
consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y
además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB.
GRAFICA 16
1. Bisectriz
2. Datos {
3. ⏟ +
4.
5. (
)
( )
( )
23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7
=?
1.
4 =3 Por propiedad de las igualdades
4 - 3 = 0
2.
} Resta de segmentos
3. 4( ) -3 ( )= 0 Reemplazando ( ) en ( )
4.
}
Propiedad de las igualdades
13
24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:
OB = (n OA+ m OC)/(n + m)
Al igual que el ejercicio anterior ejercicio
partamos de
( ) ( )
( ) ( )
Nuevamente
( ) ( )
( ) – ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
14
UNIDAD 3
TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA
1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se
toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.
GRÁFICA 17
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ´ ( ) ( )
4
5
6
7 ( )
2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las
cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.
GRAFICA 18
=* +
AFIRMACION RAZON
1
15
2 = = = =
( )
3 = = = ( )
4 ( )
3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y
CA los puntos E y D con AE=AD:
Probar que DAB=EAC.
GRAFICA 19
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y
se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.
GRAFICA 20
* +
AFIRMACION RAZON
1
2
3 = ( ) ( )
4
16
5 =
6 =
7
8 ( ) ( ) ( )
9 ( )
10 ( ) ( ) ( )
5. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F
tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que
EHA=FHA y EFH=FEH.
GRAFICA 21
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( )
5
6
7 ( )
8 ( ) ( ) , ( )
9 ( )
10
11 ( ), ( ) ( )
12 ( )
13 ( )
14 ( )
15 ( )
17
6. En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar
que DB > DA.
GRAFICA 22
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( )
6 ( ) ( ) ( )
7 ( )
8 ( )
7. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean
las medidas de los lados de un triángulo isósceles?.
GRAFICA 23
Determina la hipótesis y la tesis, argumenta
cada una de las afirmaciones.
18
AFIRMACION RAZON
1 Si los lados iguales miden a
a a + b
2 Si los lados iguales miden b
a + b
8. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella,
encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada.
GRAFICA 24
Determina la hipótesis y la tesis
Para resolverlo busquemos en el semiplano
opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la
distancia más corta entre ellos es AB’ que corta
a la recta en el punto E, podemos demostrar
fácilmente que EB’=EB luego la distancia más
corta para llegar de A hasta B será:
AE+EB’=AE+EB
Realízalo por afirmación- razón
9. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos
dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas.
GRAFICA 25
Determina la hipótesis y la tesis, argumenta
cada una de las afirmaciones.
19
AFIRMACION RAZON
1
2
3
10. En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos
XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB.
GRAFICA 26
Determina la hipótesis y la tesis.
AFIRMACION RAZON
1 Tracemos desde R
2
3
4 = ( ) ( )
5
11. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen
A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.
GRAFICA 27
:
20
AFIRMACION RAZON
1
2 =
3
4
5 ( )
6 ( )
12. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas
AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes.
GRAFICA 28
AFIRMACION RAZON
1 , BC = B'C'
2
3
4 ( )
5 ( ) ( )
13. Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas
respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes.
GRAFICA 29
,
21
AFIRMACION RAZON
1
2
3
( )
4 ( ) , ,
5 ( )
6 ( ) y
7 ( )
14. Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y
OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD.
Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC.
GRAFICA 30
AFIRMACION RAZON
1
2 -
3 ( )
4
5
6 ( )
7 ( )
22
15. En un ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que
ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que:
a. DE = DC y AE = AC.
b. AD es la mediatriz de EC.
GRAFICA 31
( ) ( )
AFIRMACION RAZON
1
2
3 AD = AD
4
5 ( )
6 ( )
7
23
UNIDAD 4
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
1. En un XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a
, que corta a en B. Probar que el AOB es isósceles.
GRAFICA 32
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( ) ( )
4 ( )
2. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se
traza , D sobre y E sobre . Probar que:
a. DBI y ECI son isósceles.
b. Perímetro ADE = AB + AC.
GRAFICA 33
D-I-E
( )
( )
OZ OX
OY OZ
DE ll BC AB AC
24
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( ) ( )
6 ( ) ( )
7 ( )
8 ( )
9 ( )
10 ( )
11
12 ( )
13 ⏟ + ⏟ ( ) ( )
14
3. En un ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que
.
GRAFICA 34
B'C'
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
BA CA
B'C'll BC
25
4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus bisectrices son perpendiculares.
GRAFICA 35
AFIRMACION RAZON
1
2 AOP
3
4
5
6
7 ( )
8
9 ( ) ( ) ( )
10 ( )
11
12 ( ) ( )
13
14
5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares,
entonces sus bisectrices son paralelas.
GRAFICA 36
26
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 Tracemos
5
6
7 ( ) ( )
( ) ( )
8
9 90 ( ) ( ) ( ) en ( )
10 2 ( )
11
12 ( )
13 ( ) ( )
14 ( )
15
16
6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a
la base.
GRAFICA 37
AFIRMACION RAZON
1
2 =90
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8
9 ( )
27
10 ( )
11
12 de ( ) ( )
13 =180
14 ( ) ( )
15 ( ) ( )
16 ( )
17
7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los
otros dos ángulos son paralelas.
GRAFICA 38
Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha
unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)
8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos
medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre
. Demostrar que EPF = A.
GRAFICA 39
AFIRMACION RAZON
1
2
3
BC BC
BP PC ME BC NF BC AB
AC
28
4 ( )
5 ( )
6 6. ( )
7 ( )
8
9 ( ) ( ) ( )
10
11 ( ) ( )
12
9. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la mediana relativas a la hipotenusa forman un ángulo de
20°, hallar sus ángulos agudos.
GRAFICA 40
AFIRMACION RAZON
1
2 20
3 ( )
4
5
6
7
8 ( )
9
10 ( )
11 ( )
12
13
14
29
10. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30° entonces la mediana y la altura relativas a la
hipotenusa, dividen al ángulo recto en tres ángulos iguales.
GRAFICA 41
Si tenemos presente lo visto al solucionar el ejercicio 9 tenemos que el ADC Isosceles con
ahora si realizamos la suma de los angulos
interiores en el obtenemos que , por lo tanto si realizamos la suma de los
angulos interiores en el obtenemos que y como el recto en A
entonces CAB=90 , con los datos de CAD , obtenemos que necesariamente
DEA=30 Con la explicación anterior realiza la demostración utilizando afirmación-razon.
11. Probar que en todo triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo
formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa. Construir un triángulo rectángulo
dadas las longitudes de la altura y la bisectriz que parten del vértice del ángulo recto.
Recordemos que la línea más corta desde un punto a una recta es un segmento perpendicular por lo
tanto
GRAFICA 42
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5
6 ( ) ( )
7 ( ) ( )
8 ( ) ( )
9 ( )
30
12. Demostrar que las tres alturas de un triángulo dividen a sus ángulos en ángulos iguales dos a dos.
GRAFICA 43
Podemos observar fácilmente que al trazar las alturas sobre el ortocentro se forman tres
pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice y sobre el pie de cada altura
se forman ángulos congruentes de medida de 90 , al realizar la suma de los angulos
interiores igual a 180 podemos obtener la congruencia de los ángulos pedidos (realízalo con
afirmación razón).
13. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los ángulos que forman:
a. Las alturas de dos en dos.
b. Las bisectrices de dos en dos.
GRAFICA 44
El siguiente ejercicio es fácil de determinar si tomamos los triángulos formados por cada
altura y los ángulos conocidos, aplicando el teorema fundamental de la suma de los ángulos
interiores por ejemplo en el
g=
31
14. En un ABD se tiene que B=2D. Se traza la altura y se prolonga hasta E con
BE=BH. Se traza la recta que corta a en F. Demostrar que: FHD=FDH y
FAH=AHF.
GRAFICA 45
con
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5 2
6
7 ( )
8
9 ( )
10
11 ( )
12 ( ) ( )
AH AB
EH AD
32
15. En un ABC, isósceles de base , se prolonga tal que CD=AB y se prolonga tal que
BE=BC/2. Se traza la recta , con H punto medio de y F sobre . Probar que:
a. ADB= 1/2 ABC
b. EA=HD
c. FA=FD=FH
d. Si BAC=58°, calcular el valor del AFH y del ADB.
GRAFICA 46
B-C-D ,
a.
b.
c.
d. si
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
( ) ( ) ( )
7
( ) ( ) ( )
8 ( ) ( )
9
10
11
12 ( ) ( )
13
14
15
16
17 si
BC BC AB
EHF BC AD
33
18
16. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga en una longitud igual a AD. Por D se traza
con H sobre y cortando a la recta en I. Probar que .
GRAFICA 47
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
17. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir que las bisectrices de los ángulos iguales sean
perpendiculares? ¿Por qué?
GRAFICA 48
Determina la hipótesis, la tesis y realízalo por
medio de la afirmación – razón
Si las bisectrices de los ángulos de la base son al mismo tiempo alturas entonces
necesariamente podemos demostrar que son medianas y nos lleva a que también sean
mediatrices; por lo tanto el triángulo isósceles tiene que ser equilátero.
CA
DH BC BC AB CG DB
34
UNIDAD 5
CUADRILATEROS
1. En un ABC se prolongan Hasta M y N tal que y Se traza
probar que M B y que N
GRAFICA 49
1.
2.
3.
4.
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 y ACB
2. En un se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en “O” .Demostrar que
OAB
GRAFICA 50
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
35
3. Sobre los lados de un XOY dado, se toman los puntos A sobre
( )y se construye
El gr OACB ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del
GRAFICA 51
:
1.
2. ( )
por lo tanto
entonces
asi EOD es un
– n
4. Probar que en un isosceles la diferencia de las distancias desde un punto p sobre
la prolongación de la base a los lados iguales es constante. usa esta propiedad para
hallar el L.G de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos rectas
secantes dadas sea igual a una medida constante dada
GRAFICA 52
36
AFIRMACION RAZON
1 s
2 CG
3
4
5
6
7
8
9 ( )
10
11 ( ) ( )
12
5. Demostrar que La mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la
semidiferencia de los lados trazados desde el mismo vértice.
GRAFICA 53
| |
AFIRMACION RAZON
1
2 | |
3
37
6. En un cuadrado ABCD se unen los puntos M,N,P,Q puntos medios de los lados
consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.
GRAFICA 54
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
7. Dado un recto en A, sobre los lados AB y AC se construyen los cuadrados ABDE
y ACFG luego se trazan Y s a BC probar que:
a. DD +FF'= BC
b. D-A-F
c. DE y FG concurre en la prolongación de la altura AH
GRAFICA 55
1.
3.
4.
a.
b.
c.
38
AFIRMACION RAZON
1
2 ( ) '
3
4 ( ) ( )
5
6 ( )
7
8
9 ( )
10 ,
11 ( )
12
13
14 ( )( )
15 de ( )
8. Demostrar que si dos s son cortadas por una transversal las bisectrices de los ángulos
interiores forman un rectángulo.
GRAFICA 56
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 o ( ) ( )
39
9. Demostrar que las bisectrices de un gr forman un rectángulo
GRAFICA 57
1.
2.
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6 de ( ) ( )
10. Dado un rombo ABCD desde los vértices B y D se trazan las s BM,BN,DP y DQ a los
lados opuestos que se cortan en E y F demostrar que BFDF es un rombo y que sus s
son iguales a los de ABCD.
GRAFICA 58
1.
2. DP
1.
2.
Para realizar este ejercicio hay muchas variaciones, podemos aprovechar el teorema AAL
para demostrar que los triángulos BMA, ∆DPA,∆DQC,∆BNC son congruentes lo que nos
llevaría a demostrar la congruencia entre los segmentos DM,PB,QB Y ND para permitirnos
llegar a que los triángulos DME, ∆BPE,∆DNF Y ∆BQF también son congruentes
nuevamente por AAL y por lo tanto DEBF es Rombo.
Realízalo utilizando afirmación – razón y demuestra la segunda parte.
40
11. En un ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados , y . se
traza la altura y los segmentos , y . Demostrar que MNPH es un
trapecio isósceles.
GRAFICA 59
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
4
5 ( ) ( )
6
7 ( ) ( ) ( )
12. Por el punto medio M del lado de un ABC, se traza una recta cualquiera que
corta a en N. Se toma P tal que P–M–N con PM=MN. Demostrar que .
GRAFICA 60
1.
2.
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5
6
AB AC BC
AH MN NP MH
AB XY
AC PB AC
41
13. En un ABC se traza la mediana relativa al lado . Se traza la recta con E punto
medio de y F sobre . Probar que AF=AC/3.
GRAFICA 61
:
1.
2.
3.
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
4 ( ) ( )
5 ( )
14. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y
respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales
GRAFICA 62
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( ) ( )
4 ( )
5
6
7 ( ) ( )
AD BC BEF
AD AC
AD BC
AC
42
15. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se trazan las diagonales y , las bisectrices de los
ángulos DAB y DBA que se cortan en F y las bisectrices de los ángulos CBA y CAB que se cortan
en G. Demostrar que ABFG // .
GRAFICA 63
1.
2.
3.
4.
AFIRMACION RAZON
1
2 ( )
3
( )
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8 ( )
16. Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta que se corten en E. Se unen los
puntos medios M y N de y , y los puntos medios P y Q de las diagonales y .
Demostrar que MNPQ es un trapecio.
GRAFICA 64
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
AC BD
AE BE AC BD
43
5
6
7 ( ) ( ) s
8 ( ) ( )
44
UNIDAD 6
CIRCUNFERENCIA
1. En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga
a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y
que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.
GRAFICA 65
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( )
5
6
7
8 ( )
9 =
10
11 = ( )
12
13 ( )
14 ) ( ) ( ) ( )
AB OC AB AB
CE
CD
45
2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa
por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta
que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que
une el punto medio con el punto medio de .
GRAFICA 66
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( )
6
7 ( )
8 ( ) ( ) ( )
9
DB DC
AB DC
AC DB
46
3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una
cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .
GRAFICA 67
( ) ( )
AFIRMACION RAZON
1 1.
2 ( )
3 ( )
4
5
6 ( )
7 ( )
8
9
10
11 ( )
12 +2 ( ) ( )
13 ( ) ( )
14
15 ( )
16
AM AN AM OM O'N
47
4. Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'
simétrico de B con respecto a y se traza con el punto N sobre . Probar
que es tangente a la circunferencia de diámetro .
GRAFICA 68
,
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( ) ( )
6 ( )
7
8
9 ( )
10
11 ( )
5. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la
mayor en C y D. Demostrar que = y = .
GRAFICA 69
( ) ( )
AB XY
XY B'N OB' XY
NB AB
AC BD AD BC
48
AFIRMACION RAZON
1 ( )
2 ( )
3 ( )
4 ( )
5
6 ( )
7 ( )
8 ( )
9 ( ) ( ) ( )
10 ( )
11
12 ( )
6. En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz
del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.
GRAFICA 70
( )
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( ) ( )
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8 ( )
9
10 ( ) ( )
11 ( )
OA OB MN
MN OA OB
49
7. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de
y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.
Demostrar que AB=AC.
GRAFICA 71
Determina la hipótesis y la tesis
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
7
8
8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es
perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
GRAFICA 72
Determina la hipótesis y la tesis
OO'
AM
50
Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dicho
punto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemos
trazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decir
que la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario
sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro y
recíprocamente. Por lo tanto
Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.
9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con
respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son
perpendiculares.
GRAFICA 73
Determina la hipótesis y la tesis
Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto
es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos y ,
sabemos que radios y además luego tenemos dos triángulos
congruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que
lo que implica que con donde
⋀ por ser ángulos centrales; por lo tanto:
( )
(( ) ) por resta de arcos
( ) Operaciones entre reales
( ( ) ( ) Propiedad asociativa
( )
( )
Por lo tanto
OA OB
51
10. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
GRAFICA 74
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( ) ( )
6 ( )
11. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan
y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al
diámetro .
GRAFICA 75
AFIRMACION RAZON
1 CC'
2 CC'D'D es trapecio
3 base media
CC' DD' AB
CD C'D' CD C'D'
AB
52
4
5
6
7 ( ) ( )
8 ( )
12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de
diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.
GRAFICA 76
determina la tesis
Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos los
puntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lo
tanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia ya
que .
Realiza la segunda parte
13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna
posición.
GRAFICA 77
determina la hipótesis y la tesis
AD BE
AB
53
Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia con
diámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferencia
AI B=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal que
AI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anterior
el lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB
14. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y
. Probar que .
GRAFICA 78
( ) ( )
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( ) ( )
5
6
7
8
9 ( ) ( ) ( )
10
11
12 ( ) ( ) ( )
13
14
BAC
B'AC' BB' CC'
54
15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es
el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,
I y C.
GRAFICA 79
1. Determina la hipótesis y la tesis
2. Argumenta las afirmaciones
Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de la
circunferencia ( ) tendría que medir 90 CIB=180 -( ) donde (2 ) ∆ABC
( ) inscrito
16. Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo
B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la
cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y
FH=HD.
GRAFICA 80
( )
( )
BC
AB AC
BC
55
AFIRMACION RAZON
1
inscrito
2
3 ( ) ( )
4
5
6 ( ) ( )
7
8
9
10
11 ( ) ( )
12 ( )
13 ( )
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
17. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los
lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.
GRAFICA 81
AC
AB AD BD
56
AFIRMACION RAZON
1 ( )
2 ( )
3 ( )
4
5
6
7
8
9
10
11
( )
12
( )
18. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito
ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.
Demostrar que AD+BC=DC+AB.
GRAFICA 82
Determina la hipótesis y la tesis
Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes es
decir :
por suma de segmentos tenemos:
( ) ( )
si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:
=
57
Si agrupamos.
+ ( ) ( )
Obtenemos
58
1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.
Demostrar que: IA.IJ = IC.IH
GRAFICA 83
( ) ( ) ( )( )
AFIRMACION RAZON
1 °
2
3
4
5
6 ( )( ) ( )( )
2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-
B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que
corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC
GRAFICA 84
UNIDAD 7
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
59
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )( ) ( )( )
3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores
y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.
GRAFICA 85
Determina los elementos de la hipótesis y la
tesis
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
7
8
9 ( ) ( )
10
11
12
13
14
15
16
17
60
18
( )
19
20
21
igualación ( ) ( )
22
23
4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E
sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:
AC . DE = DC . BE
GRAFICA 86
( )
AFIRMACION RAZON
1 AxB
2
3
4
5 ( )( ) ( )( )
61
5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.
Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca
con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?
GRAFICA 87
Podemos observar que AD=DC y representa
la altura de la persona, mientras que OC
equivale al radio, de donde aplicando el
Teorema de Pitágoras obtenemos:
( )
6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del
triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se
prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL
BL
BH
AH
AE
CE
GRAFICA 88
1. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
2. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
3. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado
62
obtenemos
(
) (
)(
)
7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de
los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.
GRAFICA 89
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia
entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia
GRAFICA 90
En este ejercicio podemos trazar el
segmento MN que pase por el centro de la
circunferencia y sea perpendicular a ambos
segmentos.
Por lo tanto con los dos triángulos isósceles
formados podemos aplicar el teorema de
Pitágoras
Y sabiendo que
Resuélvelo siguiendo el análisis
63
9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar
que AB2 + AC2 + BC2 = BD2 + 2AD2 + 5CD2
GRAFICA 91
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,
AC 2 . Demuestre que abac 2
GRAFICA 92
Determina la hipótesis y la tesis del
ejercicio
Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)
Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que
donde por propiedades de
las proporciones
También podemos concluir que (¿Por qué?) lo que nos lleva a
Retomando
si sustituimos n obtenemos que √
64
11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es el
punto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallar
AO, HO, AE y AD en función de a, b y c.
GRAFICA 93
Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,
también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.
1. Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función del
semiperimetro p
√ ( )( )( )
2. Hallemos AO mediana en función de a, b y c
( )
3. Tomando el recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH son
conocidos.
4. Con todo lo anterior podemos tomar el rectángulo en H con AH conocido y
HE=OE-OH, aplicando el teorema de Pitágoras. Con todo lo anterior halla AD
65
12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde
un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmento
secante y su parte exterior.
GRAFICA 94
El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,
primero veamos que (¿Por qué?)
Lo que nos lleva a que (¿Por qué?)
De donde
( ) ( )( )
realízalo argumentando cada paso
13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), se
traza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrar
que AB2 = AE . AD
GRAFICA 95
Para demostrar este ejercicio tracemos BE y
BC, sabemos que y podemos
observar también que
(¿Por qué?).
Lo anterior nos lleva a que (¿Por
qué?).
De donde podemos concluir que ( ) ( )( )
realízalo argumentando cada paso
14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la
hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es media
proporcional entre AD y EB.
GRAFICA 96
otro ejercicio fácil de realizar estableciendo
que
Luego establecemos las proporciones
correspondientes teniendo presente que
realízalo argumentando cada paso
66
15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de la
cuerda de la mayor que es tangente a la menor.
GRAFICA 97
Observa que (¿Por qué?).
Luego aplicando el teorema de Pitágoras
podemos hallar AP=PB
realízalo argumentando cada paso
16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que
la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?
GRAFICA 98
Para resolver este ejercicio recuerda:
Si desde un punto P exterior a una
circunferencia se trazan una tangente , y una
secante , entonces el segmento tangente es
media proporcional entre la secante completa y
su segmento externo, es decir:
PT
PAB
2PA x PB PT
67
UNIDAD 8
AREAS SOMBREADAS
1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r
tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que se
encuentra adentro del triángulo y fuera de las circunferencias, en función de R.
GRAFICA 99
El triángulo ABC es equilátero por lo tanto
A= B= C =60 , el OPA=90 ya que
es tangente a la circunferencia.
Teniendo presente lo anterior
lo cual nos lleva a determinar que el
triángulo AOP es de 30 de
donde obtenemos 2 r
( ) =
4
√
√
√
√
=
–
= (√
)
(√
)
= .
=
=
68
2. Para cada caso calcular el área sombreada en función de R
GRAFICA 100
Si el triángulo BCD es equilátero
Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triangulo o el teorema
obtenemos que:
√
√
√
ya que
si aplicamos el teorema del baricentro
al triangulo que contiene a la circunferencia menor; por lo tanto
√
( √
)
69
3. Calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 101
AB=BC=CD=DA=
Comencemos por hallar en el triangulo rectangulo donde
√
Aplicando el teorema de Pitágoras
√
podemos demostrar facilmente que los triangulos BCG y el triangulo BPC
son semejantes, lo que implica:
√
√
Ahora conociendo y aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar
el segmento ¯PC
√
√
Ahora tenemos que los triangulos
(√
√
)
70
5. Calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 102
El segmento AB=2r ,
Aplicando el teorema de Pitágoras en el
(2r)² = (
) (
)
√
√
si tenemos
√
( √ )
Con estos datos hallemos el área sombreada
AS = A cuadrado-2A circunferencia- 4 A triangulo DEC
AS = -2 (√
) -2X²
AS = -
-2
( √ )
AS = (
(
√
) )
71
5. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 103
Si tomamos el triángulo ABC equilátero,
podemos observar que todos los triángulos
interiores son congruentes y equiláteros de
lado por lo tanto el área sombreada
será igual a seis veces el área del triangulo
BDE
Por teorema
h= √
(
)
√
AS = 6 A
AS = ( )(
√
)
AS = √
AS = 0.29
6. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 104
Si tomamos los cuadriláteros ABHI , BCED
,ACFG como cuadrados donde el es
equilátero, entonces el área formada por los
tres triángulos isósceles congruentes
equivale al área sombreada, por lo tanto el
FCE será igual a:
Si tomamos el triángulo FCE tendremos
X = √
A (√ )(
)
A √
AS = 3 A
AS = √
72
7. en la figura el ángulo XOY es recto el arco AO tiene radio “a” y el arco MN radio “a”, con
centro en “M” y ”O”. Halle el área de la región circular MPA.
GRAFICA 105
Podemos observar fácilmente que el triángulo
OMP es equilátero
H=√
por lo cual el área del triángulo equivale a:
A √
si tomamos el área entre los arcos OP y PM
con sus respectivas cuerdas tendremos
A₁=A₂= A sector circular – A
A₁=A₂=
√
( √ )
AS=
AS=
[
√
√
+
AS=
( √ )
AS= ( √ )
73
8. calcular el área sombreada en función de I
GRAFICA 106
Si analizamos la gráfica podemos determinar que
el polígono regular en cada uno de sus vértices
forma ángulos de 120 , es decir que cada sector
equivale a un tercio de la circunferencia.
Por lo tanto el área sombreada equivale a la
diferencia entre el área del hexágono y dos
veces la circunferencia de radio R= √
, por lo
tanto:
AS = A hexágono – 2A circunferencia
AS =( )(√ ₂)
-2 (
)
AS = √
AS =
( √ )
AS = 1.02
9. Demostrar que T = N+M, si AB es perpendicular a BC
GRAFICA 107
Tenemos que el área T = A
N + M =
(
)
(
)
(
)
N + M =
(
)
(
)
(
)
(
)
N + M =
( )
( )
( )
N + M =
(( ) ( ) ( ) ) ⏟
N + M =T
74
10. hallar el área sombreada en función de D
GRAFICA 108
Podemos observar fácilmente que el área
sombreada equivale al doble de la diferencia
entre la semicircunferencia de radio
equivalente a la tercera parte del diámetro y
la semicircunferencia de radio equivalente a
la sexta parte del diámetro es decir:
AS = 2*
(
)
(
) +
AS = (
)
AS = (
)
AS =
AS = 0.26 D
11. demuestre que P₁ = P₂
GRAFICA 109
Asumimos que ABCD es un paralelogramo por lo
tanto ,
Asumimos que E-O-G, F-O-H son colineales y donde
EG
Por lo tanto EODH y FBGO son paralelogramos.
Con los datos anteriores podemos demostrar
fácilmente que
y
Por lo tanto dichas áreas son iguales
A
A ₂
( ) ( ) ₂
0 + 0 + P₁ = P₂
P₁ = P₂
75
12. AB = a, AC perpendicular a BC. Demuestre que el área sombreado sobre la hipotenusa es
igual a la suma de las áreas sobre los catetos.
GRAFICA 110
A₁ =
(
)
( )
A₂ =
(
)
( )
A³ =
(
)
( )
A₁ =
*( )
( )
+
A₁ =
( )
( )
A₁ = A₂ + A³