Capítulo 10
PSEUDOS INVERSAS 10.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta el concepto de las Pseudos Inversas, el cual permite disponer de una matriz que tiene propiedades muy similares a la de la matriz inversa pero en el caso de una matriz cuadrada que no es invertible o de una matriz rectangular. Se exponen las 3 pseudos inversas; Inversa Generalizada, Inversa Condicional y Inversa Mínimo Cuadrática, así como también sus aplicaciones para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Consistentes. 10.2. INVERSA GENERALIZADA. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.1. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa generalizada de A si:
1. AB es simétrica. 2. BA es simétrica. 3. ABA = A. 4. BAB = B.
Es claro que si m = n y A es no singular entonces A-1 es inversa generalizada de A. Teorema 10.1. Sean A∈Mmxn(ℜ). Siempre existe una inversa generalizada de A y además es única. Se denota por Ag. Demostración Supongamos que Rango(A) = r. Por el teorema 1.30.:
∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
PAQ = R(A) = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrI
⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
354
A = 1
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxr1 QI
P −
−−−
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
A = [ ] 1)rn(rxr
xr)rm(
r1 QII
P −−
−
− θ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): A = BC, siendo:
B∈Mmxr(ℜ) y Q∈Mrxn(ℜ) definidas por:
[ ] 1)rn(rxr
xr)rm(
r1 QIC y I
PB −−
−
− θ=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
=
Por el teorema 1.28., Rango(B)= Rango(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ −
−
xr)rm(
r1 IP )= Rango(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rm(
rI)= r
y [ ] )QI(Rango 1)rn(rxr
−−θ = [ ]) I(Rango )rn(rxr −θ = r. Por lo tanto, por el
teorema 8.10., las matrices BtB y CCt son definidas positivas y no singulares. Sea Ag definida de la siguiente manera:
Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt
Veamos que Ag es inversa generalizada de A:
1. AAg = BCCt(CCt)-1(BtB)-1Bt = B(BtB)-1Bt. Luego, AAg es una matriz de proyección, la cual es simétrica.
2. AgA = Ct(CCt)-1(BtB)-1BtBC = Ct(CCt)-1C = D(DtD)-1Dt, con D = Ct. Luego, AgA es una matriz de proyección, la cual es simétrica.
3. AAgA = B(BtB)-1BtBC = BC = A. 4. AgAAg = Ct(CCt)-1CCt(CCt)-1(BtB)-1Bt = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = Ag.
En consecuencia, Ag es inversa generalizada de A. Veamos ahora que es única. Supongamos que B∈Mnxm(ℜ) es también inversa generalizada de A. Luego, AB y BA son simétricas, ABA = A y BAB = B. Por lo tanto,
1. AAg = ABAAg = (AB)t(AAg)t = (AAgAB)t = (AB)t = AB. 2. AgA = AgABA = (AgA)t(BA)t = (BAAgA)t = (BA)t = BA. 3. Ag = AgAAg = BAAg = BAB = B.
Por consiguiente, la inversa generalizada Ag de A es única. Ejemplo 10.1. Para la matriz A del ejemplo 1.37., se obtuvo que:
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
355
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
624511233201
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
010000100001
)A(R ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
21 12
1 4
5 241
12 0 P ,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
10002
71004
190104001
Q
Se puede verificar que:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
245123201
P 1 ,
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=−
1 0 0 02
7 1 0 04
19 0 1 040 0 1
Q 1
Asimismo,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −
245123201
100010001
PB 1 ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −
27100
419010
4001Q
010000100001
C 1
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
91015102026152635
BBt ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
453 8
133 148
133 16377 19
141917 CCt
Se puede verificar que:
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=−
23 2
5 25
25 8
45 421
25
4215
BB1t ,
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=−
829633 829
266829
224829
266829
468 829304
829224 829
304 829573
CC1t
Por lo tanto,
Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
356
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 27
4194
100 010 001
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
829633 829
266829
224829
266829
468 829304
829224 829
304 829573
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
23 2
5 25
25 8
45 421
25
4215
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
212420531
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
829187 829
336829
9 829
240829
347 829
383 829
148 82962
829250
82981
829314
82936
Teorema 10.2. Sea A∈Mmxn(ℜ).
1. (At)g = (Ag)t. 2. (Ag)g = A. 3. Rango(A) = Rango(Ag) = Rango(AAg) = Rango(AgA). 4. (AtA)g = Ag(At)g. 5. Si m = n y A es simétrica entonces Ag es simétrica. 6. Si m = n y A es simétrica entonces AAg = AgA. 7. Si m = n y A es simétrica e idempotente entonces Ag = A. 8. AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son simétricas e idempotentes. 9. Si Rango(A) = r entonces Rango(Im – AAg) = m – r y
Rango(In – AgA) = n – r. 10. (AAg)g = AAg. 11. (AgA)g = AgA. 12. Si P∈Mmxm(ℜ) y Q∈Mnxn(ℜ) son ortogonales entonces
(PAQ)g = QtAgPt. 13. Si Rango(A) = n entonces Ag = (AtA)-1At. 14. Si Rango(A) = m entonces Ag = At(AAt)-1. 15. Si B∈Mmxr(ℜ) y C∈Mrxn(ℜ), con Rango(B) = Rango(C) = r
entonces (BC)g = CgBg. Demostración
1. Sean B = At y Bg = (Ag)t. Verifiquemos que Bg cumple las 4 propiedades:
1.1. BBg = At(Ag)t = (AgA)t = AgA. Como AgA es simétrica
entonces BBg es simétrica. 1.2. BgB = (Ag)tAt = (AAg)t = AAg. Como AAg es simétrica
entonces BgB es simétrica. 1.3. BBgB = AgAAt = (AgA)tAt = (AAgA)t = At = B. 1.4. BgBBg = AAg(Ag)t = (AAg)t(Ag)t = (AgAAg)t = (Ag)t =
Bg. Por lo tanto, (Ag)t es la inversa generalizada de At.
2. Sean B = Ag y Bg = A. Verifiquemos que Bg cumple las 4
propiedades:
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
357
2.1. BBg = AgA. Como AgA es simétrica entonces BBg es simétrica.
2.2. BgB = AAg. Como AAg es simétrica entonces BgB es simétrica.
2.3. BBgB = AgAAg = Ag = B. 2.4. BgBBg = AAgA = A = Bg. Por consiguiente, A es la inversa generalizada de Ag.
3. AAgA = A y AgAAg = Ag. Luego:
3.1. Rango(A) = Rango(AAgA) ≤ Rango(AAg) ≤ Rango(A).
Luego, Rango(AAg) = Rango(A). 3.2. Rango(A) = Rango(AAgA) ≤ Rango(AgA) ≤ Rango(A).
Luego, Rango(AgA) = Rango(A). 3.3. Rango(Ag)=Rango(AgAAg) ≤ Rango(AAg) ≤ Rango(Ag).
Luego, Rango(AAg) = Rango(Ag). 3.4. Rango(Ag)=Rango(AgAAg) ≤ Rango(AgA) ≤ Rango(Ag).
Luego, Rango(AgA) = Rango(Ag). Por lo tanto, Rango(A) = Rango(Ag) = Rango(AAg) = Rango(AgA).
4. Sean B = AtA y Bg = Ag(At)g. Verifiquemos que Bg cumple las 4 propiedades:
4.1. BBg = (AtA)(Ag(At)g) = At(AAg)(At)g = At(AAg)t(At)g.
Por la propiedad 1, (At)g = (Ag)t. Luego, BBg = At(AAg)t(Ag)t = (AAgA)t(Ag)t = At(Ag)t = (AgA)t = AgA. Como AgA es simétrica entonces BBg es simétrica.
4.2. BgB = (Ag(At)g)(AtA). Por la propiedad 1, (At)g = (Ag)t. Luego, BgB = (Ag(Ag)t)(AtA) = Ag(Ag)tAtA = Ag(AAg)tA = AgAAgA = AgA. Como AgA es simétrica entonces BgB es simétrica.
4.3. BBgB = AgA(AtA) = (AgA)tAtA = (AAgA)tA = AtA = B. 4.4. BgBBg = (AgA)(Ag(At)g) = AgAAg(At)g = Ag(At)g = Bg. Por consiguiente, Ag(At)g es la inversa generalizada de AtA.
5. Por la propiedad 1, se tiene que (Ag)t = (At)g. Como A es
simétrica entonces (Ag)t = Ag, es decir, Ag es simétrica. 6. AAg = (AAg)t = (Ag)tAt. Por la propiedad 1, se tiene que
AAg = (At)gAt y como A es simétrica entonces AAg = AgA.
7. Como A es simétrica, entonces por la propiedad 6 se tiene que AAg = AgA. Luego,
(A)(AAg) = (A)(AgA) y (AgA)(AAg) = (AgA)(AgA)
⇒ AAAg = AAgA y AgAAAg = AgAAgA ⇒ A2Ag = A y AgA2Ag = AgA
Como A es idempotente, entonces:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
358
AAg = A y AgAAg = AgA ⇒ AAg = A y Ag = AgA
Como AAg = AgA entonces Ag = A.
8. Es evidente que AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son simétricas.
Veamos ahora que son idempotentes.
8.1. (AAg)2 = AAgAAg = (AAgA)Ag = AAg. 8.2. (AgA)2 = AgAAgA = (AgAAg)A = AgA. 8.3. (Im – AAg)2 = (Im – AAg)(Im – AAg) = Im – AAg – AAg +
(AAg)2. Como AAg es idempotente entonces (Im – AAg)2 = Im – 2AAg + (AAg) = Im – AAg.
8.4. (In – AgA)2 = (In – AgA)(In – AgA) = In – AgA – AgA + (AgA)2. Como AgA es idempotente entonces (In – AgA)2 = In – 2AgA + (AgA) = In – AgA.
En consecuencia, AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son idempotentes.
9. Por la propiedad 8, AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son
simétricas e idempotentes. Luego, por el teorema 7.18., Rango(Im – AAg) = Traza(Im – AAg), Rango(In – AgA) = Traza(In – AgA), Rango(AgA) = Traza(AgA) y Rango(AAg) = Traza(AAg). En consecuencia:
1. Rango(Im – AAg) = Traza(Im – AAg)
⇒ Rango(Im – AAg) = Traza(Im) – Traza(AAg) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – Rango(AAg) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – Rango(A) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – r
2. Rango(In – AgA) = Traza(In – AgA)
⇒ Rango(In – AgA) = Traza(In) – Traza(AgA) ⇒ Rango(In – AgA) = n – Rango(AgA) ⇒ Rango(In – AgA) = n – Rango(A) ⇒ Rango(In – AgA) = n – r
10. Es claro que (AAg)∈Mmxm(ℜ). Por la propiedad 8, se tiene que
AAg es simétrica e idempotente. Luego, por la propiedad 7, (AAg)g = AAg.
11. Es claro que (AgA)∈Mnxn(ℜ). Por la propiedad 8, se tiene que
AgA es simétrica e idempotente. Luego, por la propiedad 7, (AgA)g = AgA.
12. Sean B = PAQ y Bg = QtAgPt. Verifiquemos que Bg cumple las 4
propiedades:
12.1. BBg = (PAQ)(QtAgPt) = PAQQtAgPt = PAAgPt. Luego, (BBg)t = (PAAgPt)t = (Pt)t(AAg)tPt = PAAgPt = BBg. Por lo tanto, BBg es simétrica.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
359
12.2. BgB = (QtAgPt)(PAQ) = QtAgPtPAQ = QtAgAQ. Luego, (BgB)t = (QtAgAQ)t = Qt(AgA)t(Qt)t = QtAgAQ = BgB. Por lo tanto, BgB es simétrica.
12.3. BBgB = (PAAgPt)(PAQ) = PAAgPtPAQ = PAAgAQ = PAQ = B.
12.4. BgBBg = (QtAgAQ)(QtAgPt) = QtAgAQQtAgPt = QtAgAAgPt = QtAgPt = Bg.
Por consiguiente, QtAgPt es la inversa generalizada de PAQ.
13. Por el teorema 1.30.:
∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
PAQ = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrI
Como Rango(A) = r = n entonces no es necesario aplicar operaciones elementales de columnas sobre A para obtener su matriz normal R(A), es decir, Q = In. Además,
R(A) = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xn)nm(
nI
Por consiguiente,
A = P-1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xn)nm(
nI
Es decir, A = BC, siendo B = A y C = In. En consecuencia,
Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = (In)t(In(In)t)-1(AtA)-1At = (AtA)-1At
14. Por el teorema 1.30.:
∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
PAQ = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrI
Como Rango(A) = r = m entonces no es necesario aplicar operaciones elementales de filas sobre A para obtener su matriz normal R(A), es decir, P = Im. Además,
R(A) = [ )mn(mxmI −θ ]
Por consiguiente,
A = [ )mn(mxmI −θ ]Q-1
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
360
Es decir, A = BC, siendo B = Im y C = A. En consecuencia,
Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = At(AAt)-1((Im)tIm)-1(Im)t = At(AAt)-1 15. Se sabe que la matriz A se puede expresar de la forma A = BC,
con B∈Mmxr(ℜ), C∈Mrxn(ℜ) y Rango(B) = Rango(C) = r. Por lo tanto,
Ag = (BC)g = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt
Como B∈Mmxr(ℜ) y Rango(B) = r entonces por la propiedad 13 se tiene que Bg = (BtB)-1Bt. Asimismo, como C∈Mrxn(ℜ) y Rango(C) = r entonces por la propiedad 14 se tiene que Cg = Ct(CCt)-1. En consecuencia,
(BC)g = CgBg Observaciones:
1. Toda matriz de proyección H = X(XtX)-1Xt puede ser escrita de la forma H = XXg, ya que X es de rango columna completo.
2. =YPn
poyPr HY = XXgY.
10.3. INVERSA CONDICIONAL. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.2. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa condicional de A si ABA = A. Es claro que Ag es también inversa condicional de A. Esto garantiza que siempre existe al menos una inversa condicional de A. Teorema 10.3. Sea A∈Mmxn(ℜ). No siempre existe una única inversa condicional de A. Demostración Supongamos que Rango(A) = r. Por el teorema 1.31.:
∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):
PAQ = Δ(A) = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrD
Siendo Dr∈Mrxr(ℜ) una matriz diagonal y no singular.
⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): A = P-1Δ(A)Q-1
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
361
Es claro que Rango(Δ(A)) = r. Además:
[ ] [ ])rn(rxrrxr)rm(
r)rn(rxr
xr)rm(
r
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxr IDI
DID
)A( −−
−−−−−
− θ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
=θ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
=Δ
Luego,
Δ(A) = BC, siendo B∈Mmxr(ℜ), C∈Mrxn(ℜ) definidas por B = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rm(
rI y
C = Dr[ )rn(rxrI −θ ] con Rango(B) = Rango(C) = r. En consecuencia,
(Δ(A))g = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt
Ahora bien, CCt = Dr[ )rn(rxrI −θ ](Dr[ )rn(rxrI −θ ])t
= Dr[ )rn(rxrI −θ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rn(
rI(Dr)t = DrIrDr = (Dr)2
BtB = [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
θ−
−)rm(rx
rxr)rm(r
II = Ir.
Por consiguiente,
(Δ(A))g = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rn(
rI(Dr)t((Dr)2)-1(Ir)-1[ xr)rm(rI −θ ]
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rn(
rIDr(DrDr)-1[ xr)rm(rI −θ ]
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − xr)rn(
rIDr(Dr)-1(Dr)-1[ xr)rm(rI −θ ]
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ − r)rn(
rI(Dr)-1[ xr)rm(rI −θ ]
= ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ −
−
xr)rn(
1rD
[ xr)rm(rI −θ ]
= ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ −
−
xr)rn(
1rD
[ xr)rm(rI −θ ]
= ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θθθ
−−−
−−
)rm(x)rn(xr)rn(
)rm(rx1
rD
Ahora bien,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
362
Δ(A)(Δ(A))gΔ(A) = Δ(A) Sea B = Q(Δ(A))gP Es claro que A = P-1Δ(A)Q-1. En consecuencia,
ABA = (P-1Δ(A)Q-1)(Q(Δ(A))gP)(P-1Δ(A)Q-1) ⇒ ABA = P-1Δ(A)Q-1Q(Δ(A))gPP-1Δ(A)Q-1
⇒ ABA = P-1Δ(A)(Δ(A))gΔ(A)Q-1 ⇒ ABA = P-1Δ(A)Q-1
⇒ ABA = A Por lo tanto, B = Q(Δ(A))gP es inversa condicional de A. Como las matrices P y Q no son únicas para generar a Δ(A) entonces la inversa condicional no es única. Observación: El cálculo de una inversa condicional de A depende de la matriz Δ(A) que se elija. Sin embargo, un algoritmo sencillo para el cálculo de una inversa condicional de A es el siguiente:
1. Calcular Rango(A) = r. 2. Elegir una submatriz M de A de orden rxr. 3. Hallar (M-1)t. 4. Reemplazar en A la submatriz M por (M-1)t y los restantes
elementos por ceros. Denotar esta matriz por N. 5. Nt es una inversa condicional de A.
Ejemplo 10.2. En relación a la matriz A del ejemplo 10.1.:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
624511233201
A
1. Rango(A) = 3
2. Sea M = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
245123201
.
3. Se puede verificar que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=−
21 12
1 4
5 241
12 0 M 1 . Por lo tanto,
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=−
21 4
5 1122 2
1 41 0
Mt1 .
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
363
4.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
0 0 0
21 4
5 1122 2
1 41 0
N .
5. Una inversa condicional de A es B = Nt =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
0 0 0 2
1 121
45 24
112 0
.
Teorema 10.4. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Si B es inversa condicional de A entonces:
Rango(A) = Rango(AB) = Rango(BA) ≤ Rango(B). Demostración Por hipótesis, ABA = A. Luego:
1. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(AB) ≤ Rango(A). Luego, Rango(AB) = Rango(A).
2. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(BA) ≤ Rango(A). Luego, Rango(BA) = Rango(A).
3. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(BA) ≤ Rango(B). Luego, Rango(BA) ≤ Rango(B).
Por lo tanto, Rango(A) = Rango(AB) = Rango(BA) ≤ Rango(B). 10.4. INVERSA MÍNIMO CUADRÁTICA. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.3. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa mínimo cuadrática de A si:
1. ABA = A. 2. AB es simétrica.
Es claro que Ag es también inversa mínimo cuadrática de A y que toda inversa mínimo cuadrática es también inversa condicional. Esto garantiza que siempre existe al menos una inversa mínimo cuadrática de A. Teorema 10.5. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Si (AtA)c es una inversa condicional de AtA entonces la matriz B definida por:
B = (AtA)cAt
Es inversa mínimo cuadrática de A.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
364
Demostración Sea (AtA)c una inversa condicional de AtA. Por lo tanto:
(AtA)(AtA)c(AtA) = AtA Premultiplicando a ambos lados de la igualdad anterior por (Ag)t se tiene que:
(Ag)t(AtA)(AtA)c(AtA) = (Ag)tAtA ⇒ (Ag)tAtA(AtA)cAtA = (Ag)tAtA ⇒ (AAg)tA(AtA)cAtA = (AAg)tA ⇒ AAgA(AtA)cAtA = AAgA
⇒ A(AtA)cAtA = A (ABA = A) Postmultiplicando a ambos lados de la igualdad anterior por Ag se tiene que:
A(AtA)cAtAAg = AAg ⇒ A(AtA)cAt(AAg)t = AAg ⇒ A(AtA)c(AAgA)t = AAg
⇒ A(AtA)cAt = AAg (AB = AAg) Como AAg es simétrica entonces AB es simétrica. Luego, como ABA = A y AB es simétrica entonces B es inversa mínimo cuadrática de A. Observación: Por el teorema anterior, como toda inversa mínimo cuadrática depende de una inversa condicional de AtA entonces la inversa mínimo cuadrática no siempre es única. Ejemplo 10.3. En relación a la matriz A del ejemplo 10.1.:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
624511233201
A
Se puede verificar que:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4619263619910152610202636152635
AAt
Seguimos los pasos para hallar una inversa condicional de AtA:
1. Rango(A) = 3 ⇒ Rango(AtA) = 3.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
365
2. Sea ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
46192619910261020
M .
3. Se puede verificar que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=−
25680 256
120256
44256
120256
244 25634
25644
25634 256
53
M 1 y
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=−
25680 256
120256
44256
120256
244 25634
25644
25634 256
53
Mt1 .
4.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−=
25680 256
120256
440256
120256
244 25634 0
25644
25634 256
53 00000
N .
5. Una inversa condicional de AtA es
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−=
25680 256
120256
440256
120256
244 25634 0
25644
25634 256
53 00000
AAct .
Luego, una inversa mínimo cuadrática de A es la siguiente matriz B:
B = (AtA)cAt =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
25680 256
120256
440256
120256
244 25634 0
25644
25634 256
53 00000
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
613212420531
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
41 2
10 8
34
3 21
161 8
3 41
0 0 0
Teorema 10.6. Sea A∈Mmxn(ℜ). Si Rango(A) = n entonces existe una única inversa mínimo cuadrática de A. Demostración Por el teorema 10.5., si (AtA)c es una inversa condicional de AtA entonces la siguiente matriz:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
366
Amc = (AtA)cAt
Es inversa mínimo cuadrática de A. Es claro que (AtA)∈Mnxn(ℜ). Como Rango(A) = n entonces Rango(AtA) = n. Por consiguiente, AtA es invertible y en consecuencia Amc = (AtA)-1At. Como (AtA)-1 es única entonces Amc es única. Teorema 10.7. Sean A∈Mmxn(ℜ) y Ac, Amc∈Mnxm(ℜ) tales que Ac y Amc son una inversa condicional y una inversa mínimo cuadrática de A, respectivamente.
1. AcA = In si y sólo si AgA = In. 2. AmcA = In si y sólo si AgA = In. 3. AcA = In si y sólo si AmcA = In.
Demostración
1. CN (⇒): Si AcA = In entonces AgA = In. Por definición de inversa generalizada:
AAgA = A ⇒ Ac(AAgA) = Ac(A) ⇒ (AcA)(AgA) = AcA ⇒ (In)(AgA) = In ⇒ AgA = In
CS (⇒): Si AgA = In entonces AcA = In. Por definición de inversa condicional:
AAcA = A ⇒ Ag(AAcA) = Ag(A) ⇒ (AgA)(AcA) = AgA
⇒ (In)(AcA) = In ⇒ AcA = In
2. La demostración es análoga a la demostración del apartado 1.
3. La demostración es análoga a la demostración del apartado 1.
Teorema 10.8. Sean A∈Mmxn(ℜ), B, C, D∈Mnxm(ℜ) e Y∈ℜm. La expresión:
ABY = Y
Es invariante para cualquier inversa condicional B de A.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
367
Demostración Sean C, D∈Mnxm(ℜ) inversas condicionales de A tales que ACY = Y. Luego, ACA = A y ADA = A. Por lo tanto,
ACY = Y ⇒ AD(ACY) = (AD)Y ⇒ (ADA)CY = ADY ⇒ ACY = ADY ⇒ ADY = ACY ⇒ ADY = Y
Es decir, la expresión ABY = Y es invariante para cualquier inversa condicional B de A. Observación: Como la inversa generalizada de A (Ag) y cualquier inversa mínimo cuadrática de A, digamos Amc son inversas condicionales de A entonces la expresión ABY = Y es invariante para cualquier pseudo inversa B (generalizada, condicional o mínimo cuadrática) de A. 10.5. APLICACIONES SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Teorema 10.9. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y. Demostración CN(⇒): Si el SEL AX = Y es consistente entonces existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y. Por hipótesis, el SEL AX = Y es consistente, es decir:
∃ X0∈ℜ: AX0 = Y
Sea Ac∈Mnxm(ℜ) tal que Ac es una inversa condicional de A. Luego,
AAcY = AAcAX0 = AX0 = Y CS(⇐): Si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y entonces el SEL AX = Y es consistente. Si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y entonces existe X0∈ℜn con X0 = AcY tal que AX0 = Y. Luego, el SEL AX = Y es consistente. Observación: Por el teorema 10.8., como la expresión ABY = Y es invariante para cualquier inversa condicional B de A entonces:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
368
1. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si existe una inversa mínimo cuadrática Amc de A tal que AAmcY = Y.
2. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si AAgY = Y. Teorema 10.10. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Si Rango(A) = m entonces el SEL AX = Y es consistente. Demostración Como Rango(A) = m entonces por el teorema 10.2., apartado 12 se tiene que Ag = At(AAt)-1. Luego, AAgY = A(At(AAt)-1)Y = AAt(AAt)-1Y = ImY = Y. Por el teorema anterior, el SEL AX = Y es consistente. Teorema 10.11. (Solución General de un SEL) Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Si el SEL AX = Y es consistente entonces su solución general denotada por Xsg es:
Xsg = AcY + (In – AcA)Z Siendo Ac una inversa condicional de A y Z∈ℜn. Demostración Para demostrar que el vector Xsg es la solución general del SEL AX = Y debemos probar que es solución del SEL AX = Y y que toda solución de dicho sistema tiene la forma de Xsg. 1. AXsg = A(AcY + (In – AcA)Z) = AAcY + AZ – AAcAZ = Y + AZ – AZ =
Y. Por lo tanto, Xsg es solución del SEL AX = Y 2. Si X0 es solución del SEL AX = Y entonces:
AX0 = Y
⇒ AcAX0 = AcY ⇒ θnx1 = AcY – AcAX0
⇒ X0 + θnx1 = AcY – AcAX0 + X0 ⇒ X0 = AcY + (In – AcA)X0
⇒ X0 = AcY + (In – AcA)Z; Z = X0 ⇒ X0 = Xsg
Por consiguiente, X0 es de la misma forma que Xsg. Observación: Como cualquier inversa mínimo cuadrática y la inversa generalizada de A son también inversas condicionales de A entonces la solución general también se puede escribir de la forma Xsg = AmcY + (In – AmcA)Z o de la forma Xsg = AgY + (In – AgA)Z, siendo Amc una inversa mínimo cuadrática de A. Además, si Z = θnx1 entonces AgY es solución del SEL AX = Y y existen una inversa condicional Ac y una inversa mínimo cuadrática Amc de A tales que AcY y AmcY son soluciones del SEL AX = Y.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
369
Teorema 10.12. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es consistente. El vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y si y sólo si AgA = In. Demostración CN(⇒): Si el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y entonces AgA = In. Por el teorema 10.11., la solución general del SEL AX = Y es:
Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Si X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y entonces X0 = Xsg. Luego,
AgY = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. ⇒ AgY – AgY = (In – AgA)Z; Z∈ℜn.
⇒ (In – AgA)Z = θnx1; Z∈ℜn. ⇒ In – AgA = θnx1
⇒ AgA = In
CS(⇒): Si AgA = In entonces el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y Por el teorema 10.11., la solución general del SEL AX = Y es:
Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Si AgA = In entonces Xsg = AgY + (In – In)Z = AgY. Luego, el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y. Observaciones: 1. Por el teorema 10.2., apartado 3, Rango(A) = Rango(AgA). Si AgA = In
entonces Rango(A) = Rango(In) = n. Luego, por el teorema anterior el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y si y sólo si Rango(A) = n.
2. Si Rango(A) = n entonces el SEL AX = Y tiene una única solución X0 = AgY = (AtA)-1AtY. Si además m = n entonces la única solución es X0 = (AtA)-1AtY = (A)-1(At)-1AtY = A-1InY = A-1Y.
Teorema 10.13. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm–{θmx1} y tales que el SEL AX = Y es consistente. Si Rango(A) = r entonces el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I. Demostración Por hipótesis, el SEL AX = Y es consistente. Luego, por el teorema 10.11., la solución general de dicho SEL es:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
370
Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Sea B∈Mnxn(ℜ) la matriz definida por B = In – AgA. La matriz B se puede expresar particionada por columnas 1xn de la siguiente forma:
B = [B1 B2 … Bn]
Luego, para Z0 = θnx1, Z1 = e1, Z2 = e2, …, Zn = en se obtienen n + 1 soluciones del SEL AX = Y: X0 = AgY + [B1 B2 … Bn]θnx1 = AgY
X1 = AgY + [B1 B2 … Bn]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
01
M = AgY + B1.
X2 = AgY + [B1 B2 … Bn]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
10
M = AgY + B2.
Xn = AgY + [B1 B2 … Bn]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
00
M = AgY + Bn.
Sea X∈Mnx(n+1)(ℜ) la matriz definida por X = [X0 X1 X2 … Xn]. Luego,
X = [AgY AgY + B1 AgY + B2 … AgY + Bn]
= [AgY B1 B2 … Bn]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000
010000101111
L
MMMM
L
L
L
= [AgY B] ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ nnxn
tn
I1 1
= [AgY In – AgA] ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ nnxn
tn
I1 1
Es claro que ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ nnxn
tn
I1 1 es no singular. Luego, por el teorema 1.28.,
Rango(X) = Rango([AgY In – AgA]). Ahora bien, por el teorema 10.2., apartado 14, Rango(B) = Rango(In – AgA) = n – r.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
371
Demostremos que Rango(X) = n – r + 1. Utilicemos reducción al absurdo, es decir, supongamos que Rango(X) ≠ n – r + 1. Específicamente, supongamos que Rango(X) = n – r. Como Rango(B) = n – r entonces los vectores AgY, B1, B2, …, Bn son L.D., luego por el teorema 4.9., AgY∈[B1, B2, …, Bn]. Por lo tanto, existen escalares c1, c2, …, cn tales que:
∑=
=n
1i
jj
g BcYA
Luego,
∑=
=n
1i
jj
g BcYA = [B1 B2 … Bn]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
c
cc
M = (In – AgA)C; C =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
n
2
1
c
cc
M
En consecuencia,
Xsg = AgY + (In – AgA)Z = (In – AgA)C + (In – AgA)Z; C, Z∈ℜn. ⇒ Xsg = (In – AgA)(C + Z)
Por lo tanto,
AXsg = A(In – AgA)(C + Z) ⇒ AXsg = (A – AAgA)(C + Z) ⇒ AXsg = (A – A)(C + Z) ⇒ AXsg = (θmxn)(C + Z)
⇒ AXsg = θmx1
Lo cual es una contradicción ya que Y ≠ θmx1. En consecuencia, Rango(X) = n – r + 1 y como X es una matriz de soluciones del SEL AX = Y entonces el SEL AX = Y tiene n – r + 1 soluciones L.I. Para demostrar que el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I., supongamos que t es el número máximo de soluciones L.I. del SEL AX = Y. Luego, existen H1, H2, …, Ht∈ℜn tales que:
Xj = AgY + (In – AgA)Hj es solución del SEL AX = Y. Luego,
W = [X1 X2 … Xt] = [AgY In – AgA] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡t21 HHH
111L
L
Como X1, X2, …, Xt son L.I., entonces Rango(W) = t. Por el teorema 1.32., Rango(W) es igual a:
Rango([AgY In – AgA] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡t21 HHH
111L
L) ≤ Rango([AgY In – AgA])
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
372
Luego,
t ≤ n – r + 1 En consecuencia, el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I. Observaciones: 1. El vector X = θnx1 no es solución del SEL AX = Y, ya que Y ≠ θmx1. En
consecuencia, el conjunto de soluciones del SEL AX = Y no es un subespacio de ℜn.
2. Si Y = θmx1 entonces el SEL AX = θmx1 tiene exactamente n – r
soluciones distintas de la trivial y además dicho conjunto de soluciones que coincide con el espacio nulo de A NA, forma un subespacio de ℜn.
Ejemplo 10.4. Consideremos el SEL del ejemplo 3.6.:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=++
2X2X4X22X3XX21XX2X
321
321
321
En este caso:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
24 231212 1
A , Y = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
221
Se puede verificar que Rango(A) = 2. Igualmente, se puede verificar que una inversa condicional de A es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=0 0 00 5
15
20 5
2 51
Ac
También se puede verificar que AAcY = Y. Luego, por el teorema 10.9., el SEL es consistente. Determinemos ahora su solución general:
Xsg = AcY + (In – AcA)Z; Z∈ℜn
AcY =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−0 0 00 5
15
20 5
2 51
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
221
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
373
I3 – AcA = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
–
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−0 0 00 5
15
20 5
2 51
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
24 231212 1
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
1 005
1 005
700
Luego,
Xsg = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
1 005
1 005
700
Z; Z∈ℜ3
Como Rango(A) = 2 el SEL AX = Y tiene exactamente 3 – 2 + 1 = 2 soluciones L.I. Fijando Z1 = θ3x1 y Z2 = e3 se obtienen las 2 soluciones X1 y X2 L.I. de dicho SEL:
X1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
y X2 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
7
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
2
Esta operación equivale a desarrollar la solución general:
Xsg = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
1 005
1 005
700
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
ZZZ
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
3
3
3
Z Z5
1
Z57
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+ Z3
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
7
; Z3∈ℜ
Para luego fijar Z3 = 0 y Z3 = 1 y así obtener las 2 soluciones L.I. del SEL AX = Y:
X1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
y X2 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
001
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
7
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 5
1 5
2
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
374
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine la inversa generalizada de cada una de las siguientes
matrices:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
2 1 0 20 31 4 0 10 2
A ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
3 1 0 54 2 230 10 1
B ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
32 11 01
C ;
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
42 23 2 0 2 11
D ;
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
=
92 522 2 3 1 53 0 221 21
E ;
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
23 1 04 127 32 5 2 1
F
2. Sea A∈Mmxn(ℜ), B∈Mnxn(ℜ). Demuestre que si BtAtA + AtAB
= ((AB)tA)t entonces AB = θmxn. 3. Sea A∈Mmxn(ℜ), tal que Rango(A) = r, con 0 < r < m. Demuestre que
A(AtA)gAt es semidefinida positiva. 4. Sea A∈Mmxn(ℜ). Demuestre que Ag = At si y sólo si AtA es
idempotente. 5. Sea A∈Mmxm(ℜ). Demuestre que si A es simétrica entonces Ag es
diagonalizable. 6. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que BA = θ(m-n)xm con
Rango(A) = r y Rango(B) = m – r. Demuestre que la matriz AAg + BgB es no singular.
7. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que A es simétrica,
BA = θ(m-n)xm, Rango(A) = r y Rango(B) = m – r. Demuestre que la matriz A + BtB es no singular.
8. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que A es simétrica y
BA = θ(m-n)xm. Demuestre que: BtBAg = ABg(Bg)t = θmxm 9. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas, tales que Rango(A) = m,
Rango(B) = r y BA = θnxn, con 0 < m < n, 0 < r < n y m + r = n. Demuestre que si C y D son las inversas generalizadas de A y B, respectivamente, entonces A + B es no singular.
10. Determine una inversa condicional de cada una de las matrices del
ejercicio 1.
CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS
375
11. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) tales que Rango(A) = r < n, B es no singular y la matriz BA es idempotente. Demuestre que B es una inversa condicional de A.
12. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Demuestre que si B es una inversa
condicional de A entonces Rango(A) = Rango(BAB). 13. Sean G∈Mpxp(ℜ) y X∈Mnxp(ℜ) tal que Rango(X) = r con 0 < r < p.
Demuestre que si G es una inversa condicional de XtX entonces:
13.1. Gt es inversa condicional de XtX. 13.2. XGXtX = X. 13.3. XGXt es invariante respecto de cualquier inversa
condicional G de XtX. 13.4. XGXt es simétrica. 13.5. XGXt es semidefinida positiva. 13.6. Rango(In – XGXt) = n – r. 13.7. CtXGXtXB = UtB; ∀ B∈ℜp donde U = XtC y C∈ℜn.
14. Determine una inversa mínimo cuadrática para cada una de las
matrices dadas en el ejercicio 1. 15. Sean A∈Mmxn(ℜ) y Amc∈Mnxm(ℜ) tales que Amc es una inversa
mínimo cuadrática de A. Demuestre que AAg = Im si y sólo si AAmc = Im.
16. Sea A∈Mmxn(ℜ). Demuestre que si mc
1A y mc2A son inversas mínimo
cuadráticas de A entonces mxmmc2
mc1 )AA(A θ=− .
17. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Demuestre que si B es una inversa
condicional de AtA entonces BAt es una inversa mínimo cuadrática de A.
18. Demuestre que los siguientes SEL son consistentes y determine para
cada uno de ellos su solución general así como el conjunto de soluciones L.I.:
18.1. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+−=−+
−=−+−
6X3X6X3X33X2X5X
4X2X4X2X2
4321
431
4321
18.2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−−=+−
=++
2X5XX33X2XX
3XXX
321
321
321
18.3. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
=++
3X2X20X2X2
3X2X2X4
31
21
321
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
376
18.4. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+−=−+
0XX0XXX0XX3X
21
431
421
19. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Considere el SEL AX = Y. Sea Ac
una inversa condicional de A. Sean Hj∈ℜn; ∀ j = 1, 2, …, t y cj∈ℜ; ∀ j = 1, 2, …, t. Demuestre que si el SEL AX = Y es consistente
entonces el vector Z = AcY + ∑=
−t
1j
jcnj H)AAI(c es solución del SEL
AX = Y. 20. Sean A∈Mmxn(ℜ), B∈Mpxq(ℜ), C∈Mmxq(ℜ) y X∈Mnxp(ℜ). Demuestre
que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación AXB = C tenga una solución es que AAgCBgB = C y en tal caso su solución general es de la forma Xsg = AgCBg + Z – AgAZBBg; donde Z∈Mnxp(ℜ).
21. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Sea X0 = AgY una solución del
sistema de ecuaciones AX = Y. Demuestre que el vector Z = X0 + W es una solución del SEL AX = Y, ∀ W∈S⊥, siendo S = {(A1)t, (A2)t, …, (An)t}.