Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 1
DISEO MINEROEsfuerzos en roca
DIPLOMAGEO-MINERO-METALURGIA
Para Codelco
Dr. Ing. Javier VallejosOctubre 2011
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 2
En 3D es un concepto no familiar: es una cantidad tensorial que no se encuentra cotidianamente
Escalar: cantidad con solo magnitud independiente de una rotacin (ej: temperatura, tiempo, masa, energa)
Vector: cantidad con magnitud y direccin (ej: fuerza, velocidad)
Tensor: cantidad con magnitud y direccin, dependiente del plano de referencia utilizado (ej: esfuerzo, deformacin)
Concepto de esfuerzo
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 3
Concepto de esfuerzo
En su forma ms sencilla puede ser calculado en una dimensin, como la carga divido por el rea sobre la cual acta
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 4
Concepto de esfuerzo
Los esfuerzos actuando en un plano pueden tener dos componentes:
Normal (): perpendicular a la superficie compresin Corte (): paralelo a la superficie distorsin angular
Normal Corte
En un volumen producen: Normal (): compresin Corte (): distorsin angular
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 5
}}}
Consideremos un apilamiento de bloques de concreto de distintos tamaos que soportan un gran peso W
Cuando el cuerpo del slido considerado cambia, tambin lo hacen las fuerzas
Si se utiliza el esfuerzo (fuerza/rea) vemos que cada bloque est sometido al mismo esfuerzo, independiente del tamao del bloque
Por lo tanto, si el cuerpo slido se divide en elementos, el tamao de los elementos individuales no afecta a los valores de esfuerzos
Este bloque soporta WEl rea es 4ab
Estos bloques soportan W/2 cada unoEl rea de cada bloque es 2ab
Estos bloques presentan W/4 cada unoEl rea de cada bloque es ab
abW4
=
abW
abW
422 ==
abW
abW
44 ==
peso W
a a a ab
Concepto de esfuerzo
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 6
=
F
=n
FA
Cuando la componente de fuerza Fn es determinada en una direccin con respecto a F el valor es: FcosCuando la componente de esfuerzo normal es determinada en la misma direccin el valor es: cos2La razn de esto es que en el primer caso solo la fuerza debe ser proyectada, mientras que, en el segundo caso se proyectan la fuerza y el rea
Concepto de esfuerzoA
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 7
Esfuerzos como propiedad puntual
Un cuerpo en equilibrio esttico (velocidad nula) est sometido a tres condiciones de equilibrio:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 8
Esfuerzos como propiedad puntual
En cualquier rea A de la superficie, creada al cortar el cuerpo, el equilibrio interno es mantenido por la fuerza normal (N) y de corte (S)
Debido a que estas fuerzas varan de acuerdo a la ubicacin de A en la superficie, resulta ms til considerar el esfuerzo normal (N/A) y el esfuerzo de corte (S/A) considerando un rea pequea que eventualmente se aproxima a cero
AN
An = 0lim normal, esfuerzo A
SA
= 0lim corte, de esfuerzo
Si bien hay limitaciones prcticas en reducir el rea hasta cero, es importante entender que las componentes de esfuerzos se definen matemticamente de esta manera, con el resultado de que los esfuerzos son una propiedad puntual
Se desea estimar los esfuerzos al interior del cuerpo:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 9
Componentes de esfuerzos Se consideran las componentes de esfuerzos con referencia a un
sistema cartesiano x-y-z
[ ]
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Se tienen 9 componentes de esfuerzos (3 normales y 6 de corte)
zz : acta en un plano normal al eje z en la direccin z
zx : acta en un plano normal al eje z en la direccin x
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 10
xx : acta en un plano normal al eje x en la direccin x
xy : acta en un plano normal al eje x en la direccin y
[ ]
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Cara negativa: normal a la cara apunta en direccin negativa al eje Esfuerzos normales: compresin es positiva (contrario a la normal) Esfuerzos de corte: direccin positiva en caras negativas
El tensor es simtrico (3 normales y 3 de corte). Porque?
z (dedo medio)
y (ndice)
x (pulgar)
Componentes de esfuerzos
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 11
Es posible descomponer el tensor de esfuerzos en un tensor hidrosttico [m ] y uno deviatrico [d ]:
Componentes de esfuerzoEsfuerzos hidrosttico y deviatrico
+
=
mzzzyzx
yzmyyyx
xzxymxx
m
m
m
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
000000
( ) 13131 Izzyyxxm =++=
Deviatrico [d ]
Hidrosttico [m ]
Por qu hacer esta distincin? Esfuerzos hidrosttico producen cambios volumtricos Esfuerzos deviatricos producen distorsin
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 12
'x
x
y'y
''xx''yy
( )
2cos2sin21
sincos2cossin
sincos2sincos
''
22''
22''
xyyyxxyx
xyyyxxyy
xyyyxxxx
+=+=++=
''yx
invariante'''' =+=+ yyxxyyxx Notar:
Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 13
Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Aplicacin
Las ecuaciones se pueden utilizar para estimar los esfuerzos normales y de corte en una discontinuidad de manera de examinar su potencial a deslizamiento causado por una cambio en los esfuerzos debido a excavaciones
n
R
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 14
Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Aplicacin
Las ecuaciones se pueden utilizar para determinar los esfuerzos de borde que deben ser aplicados en modelos numricos
Seccin
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 15
Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Esfuerzos principales
Mismo estado de esfuerzos Orientaciones distintas del elemento
\
(MPa)
40101020
yyxy
xyxx
Ej:
\
Esfuerzos principales
1 'x'y
24131336
35=36
24
13
160044
'x'y
5,67=44
16
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 16
Totales Esto es lo que se mide. Suma de todas las fuentes posibles
1 y 2 Campo lejano (far-field) Lejos de las excavaciones, aplicado como condicin de borde a los modelos numricos
1 Tectnico Componente del campo lejano producido por el desplazamiento relativo de las placas tectnica
2 Gravitacional Componente del campo de esfuerzo totales debido al peso del macizo rocoso
1 y 2 In-situ El estado de esfuerzos que existe antes de actividades mineras
3 Inducido Componente resultante de las actividades mineras
3 Campo cercano (near-field) Cercano a las excavaciones
4 Residual (lock-in) Estado de esfuerzos que permanecen en el macizo rocoso aun cuando el mecanismo que lo origino ha cesado de operar
4 Trmico Estado de esfuerzos producidos por cambios de temperatura
Tipos de esfuerzos
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 17
Dos razones bsicas para medir/estimar los esfuerzos in-situ en el contexto de la ingeniera de mecnica de rocas:
Existe un estado de esfuerzos pre-existente en el terreno, que es necesario entender (magnitud y orientacin)
Es una de las condiciones de borde ms importantes para el anlisis y diseo de excavaciones subterrneas
En la mayora de los casos de ingeniera de rocas los esfuerzos no son aplicados directamente como tales, sino que, el estado de esfuerzos es alterado por las actividades ingenieriles. Esto se debe a que el material removido, que contiene un estado de esfuerzos previos, debe re-distribuir las cargas.
Esfuerzos in-situ
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 18
totalesEsfuerzosaResistenci=FS
Criterios de falla
Difciles de estimar
Esfuerzos in-situ
Envolvente de falla
Esfuerzos totales
Esfuerzos inducidos
Esfuerzos totales = esfuerzos in-situ + esfuerzos inducidos
Esfuerzos in-situ
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 19
Como primera aproximacin los esfuerzos principales in-situ pueden asumirse que actan vertical (una componente) y horizontal (dos componentes)
vzzp =
yypxxp
v =3En muchos lugares se cumple:
zp vzz 027,0==
Estimacin de esfuerzos in-situ vertical
Esfuerzo vertical, v (MPa)
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 20
Utilizando la teora de la elasticidad (Hooke)/material lineal- elstico- istropo dado por:
( )[ ]zzyyxxxx E += 1
Supuestos:
Deposito sedimentario no perturbado por procesos tectnicos
Los dos esfuerzos horizontales son iguales
No hay deformacin horizontal
( )[ ]zzxxyyyy E += 1 ( )[ ]zzyyzzzz E += 1
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal Ejercicio:
Desarrolle una expresin que le permita estimar el esfuerzo horizontal in-situ, k = h /v . Evale k para =0,25 y 0,5.
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 21
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal Ejercicio:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 22
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal Ejercicio:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 23
Serie1
Serie2
Serie4
( ) zzyyxx pppk 2+=
zk 15003.0 +=
3.0=k Elasticidad, v = 0,25Elasticidad, v = 0,5
Canadian Shield (Maloney and Kaiser, 2006)
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 24
World Stress Map Project: http://www.world-stress-map.org
Tipos de datos:
Mecanismo focal de terremotos (63%)
Fracturas en sondajes (23%)
Medicin de esfuerzos in-situ (overcoring, facturacin hidrulica) (9%)
Datos geolgicos jvenes (anlisis de deslizamiento de fallas) (5%)
Se ha recopilado informacin relativa a la orientacin del esfuerzo horizontal mximo
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 25
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal
World Stress Map Project: http://www.world-stress-map.org
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 26
Esfuerzos principales mayores esperados en Chile:
Horizontal, E-W
Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal
World Stress Map Project: http://www.world-stress-map.org
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 27
Una fuente importante de informacin de esfuerzos in-situ (aunque solo cualitativa) puede ser obtenida de observaciones de fracturas inducidas por esfuerzos (breakouts) alrededor de excavaciones (galeras, sondajes, piques)
La evidencia indica que los breakouts ocurren en la direccin paralela al esfuerzo in-situ principal menor (3 ) en el plano
Otros indicadores de esfuerzos in-situ - breakouts
L
j
u
n
g
g
r
e
n
e
t
a
l
.
(
2
0
0
3
)
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 28
Breakouts en un pique en una mina de oro en Sudfrica
Breakouts en el tnel URL en Canad
D = 1,75 m
Otros indicadores de esfuerzos in-situ - breakouts
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 29
Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos
Tectonismo: diferentes formas de actividad tectnica (por ejemplo zonas de subduccin) pueden producir esfuerzos horizontales altos
Z
o
b
a
c
k
e
t
a
l
.
(
1
9
8
9
)
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 30
Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos
Erosin: Si los esfuerzos horizontales son residuales (lock-in) entonces la erosin/remocin de capas superiores (disminucin de v ) puede resultar en un aumento de k
M
a
r
t
i
n
e
t
a
l
.
(
2
0
0
3
)
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 31
Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos
Ejercicio:
Utilizando el resultado del ejercicio anterior y suponiendo que la erosin ha removido una altura de material igual a H y que el esfuerzo horizontal inicial permanece lock-in, es decir, inalterado durante la erosin, calcule la nueva razn entre las tensiones horizontal y vertical k a la profundidad original H.
Una medicin de esfuerzos ha sido realizada en el sector a una profundidad de 500 m, determinado una razn de esfuerzos k=1,5. Utilizando la expresin derivada anteriormente calcule la cantidad de erosin que ha ocurrido.
Superficiedeterrenooriginal
Profundidadoriginal Nuevasuperficiedeterrenodespusdelaerosin
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 32
Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos
Ejercicio:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 33
Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos
Ejercicio:
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 34
Notar el cambio de direccin de 1 a travs de la zona fracturada
Esfuerzos in-situ y estructuras geolgicas
M
a
r
t
i
n
(
1
9
9
0
)
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 35
Esfuerzos in-situ y estructuras geolgicas
50 m
Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 36
Amadei, B. and Stephansson, O. (1997). Rock stress and its measurements. Chapman and Hall: London.
Zoback, M.L. and Zoback, M.D. (1989). Global patterns of tectonic stress. Nature, 341, 6240, 291-298.
Ljunggren, C., Chang, Y., Janson, T. and Christiansson, R. (2003). An overview of rock stress measurements methods. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 40, 975-989.
Martin, C.D., Kaiser, P.K. and Christiansson, R. (2003). Stress, instability and design of underground excavations.
Int. J. Rock Mech. Min. Sci., 40, 1027-1047.
Sheorey, P.R. (1994). A theory for in situ stresses in isotropic and transversely isotropic rock. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., 31, 1, 23-34.
Goodman, R.E. (1989). Introduction to rock mechanics. John Wiley and Sons.
Martin, C.D. (1990). Characterizing in situ stress domains at the AECL underground research laboratory. Can.
Geotech. J., 27, 631-646.
Referencias
Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36