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1
Respuesta temporal de sistemas
PALABRAS CLAVE Y TEMAS Anlisis de la respuesta transitoria y estacionaria Sistemas de primer orden Sistemas de segundo orden Sistemas de orden superior
Nociones de estailidad
!B"ET#V!S
Se$ales de pruea t%picas Polos y ceros en la respuesta de un sistema Tipos de respuestas Caracter%sticas de respuestas transitorias
2.2
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2
Introduccin
Conocido el modelo matemtico del sistema, se realiza el
anlisis de su comportamiento dinmico La respuesta del sistema depende del propio sistema y del
estmulo exterior aplicado En la prctica no se conoce preiamente la se!al de entrada a
un sistema de control ya "ue #sta es de naturaleza aleatoria $nalizaremos la respuesta real de los sistemas a unas se!ales
%estmulos& de prue'a "ue de al(una )orma nos an a permitir
conocer y clasi)icar el comportamiento de los mismos
&'s(
g't(
*%s&
x%t&
+%s&
y%t&
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-e!ales de prue'a tpicas
impulso escal)n
rampa
t/
/t
t/
/
t
f(t)
t//
t
f(t) f(t)
parola
t/
/
t
f(t)
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0
1( )
Transformada de Laplace
ss
=
#mpulso unitarioSEAL IMPULSO:Parasimular fallas de granintensidad y poca
duracin
t/
/t
(t)
0
0
, 0( )( )
0, 0
( ) ESCALON UNITARIO
Por definicin el rea es i!al a !no
( ) 1
infinito tdu tt
tdt
u t
t dt
+
==
=
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Escal)n o saltoPara simular falla repentina o sita
t/
/t
u(t)
" 0( )
0 " 0
Au t
=
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Rampa: Para simular falla gradual
t/
/
t
u(t)
" 0( )
0 " 0
Atu t
= lano s j
>olo de sistema
=0
>lano s j
>olo de sistema
=2
>lano s j
>olo de sistema
>lano s j
Cero de sistema
= /
>lano s j
>olo de entrada
Respuesta transitoria
%
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E9emplo
0-00.**-01$-01***-0)( $ += ttt eeety
Respuesta
estacionariaRespuesta transitoria
y%t&
A representamos (ra)icamente y%t&
yr%1&Gexp%p%1&Gt&Hr%2&Gexp%p%2&Gt&H... r%&Gexp%p%&Gt&Hr%0&Gones%1,len(t6%t&&D
plot%t,y,&D A en ne(ro
A representamos en la misma (ra)ica
A las respuestas transitoria y estacionaria
A "ue componen y%t& %en arios colores&
6old onD
A la respuesta transitoriayJtr%1&Gexp%p%1&Gt&Hr%2&Gexp%p%2&Gt&H...
r%&Gexp%p%&Gt&D
plot%t,yJt,'&D Aazul
A la respuesta estacionaria
yJsr%0&Gones%1,len(t6%t&&D
plot%t,yJs,r&D A ro9o
En @atla'4
%0
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E9emplo
;%s&1
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;tilizando -imulin
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1
>olos, ceros y respuesta de un
sistema
Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el
tiempo4 Los polos de la )uncin de entrada determinan la )orma de
la respuesta estacionaria
Los polos de la )uncin de trans)erencia determinan la)orma de la respuesta transitoria
Los ceros y los polos de la entrada o )uncin de trans)erencia
contri'uyen a las amplitudes de los componentes de la respuesta
temporal
Los polos so're el e9e real (eneran respuestas exponenciales
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1
In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria$l denominador de la 7F (lo'al del sistema se le denomina polinomiocaracterstico. Las races del polinomio caracterstico an a de)inir el
comportamiento de la respuesta transitoria.
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In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria
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18
In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria
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1?
In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria
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2/
In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria
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In)luencia del polinomio caracterstico
en la respuesta transitoria
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-istemas de primer orden
Ecuacin di)erencial de 1M orden4
)()(01 tbxtyadt
dya =+
y%t&salida
x%t&entrada
ttiempo
a/, a1, b param. ctesCondiciones iniciales
nulas
01)(
)(
asa
b
sX
sY
+=
1)(
)(
0
1
0
+=
s
a
a
a
b
sX
sY
N
1)(
)(
+
=
s
K
sX
sY
La )uncin de trans)erencia
de un sistema de 1M orden
en )orma estndar
%1
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-istemas de primer orden
*%s& +%s&
1+s
K
Los sistemas "ue tienen la misma )uncin de trans)erencia
presentarn la misma salida en respuesta a la misma entrada.
Caractersticas de la )orma estndar4
El se(undo t#rmino del denominador es 1N (anancia del sistema %el numerador&
constante de tiempo %el coe)iciente de s&El polo del sistema %la raz del denominador& es O1
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20
-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la
entrada
t/
)()()(
tKutydt
tdy=+
u%t&
$
-istema de primer orden
0)(#
)0(#0
==
==
yt
KAyt
La esta'ilidad iene
determinada por la posicin
del polo, no por el tipo deentrada
0
1
/
/1
/
1
)( ++
=+
=+
=
s
KAA
s
KA
s
KsY
;%s&$ +%s&
1+s
K
t
Resp.
Estac.Resp.Fransit
/
)( t
e
KA
ty
=
N$
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-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la
entrada%2
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nB/ 2D
dB1
impulse%n,d&
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23
-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escaln en la entrada
1/1
/
1
)(
+
+=
+
=
+
=s
KA
s
KA
s
A
s
K
s
A
s
KsY
;%s&$
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28
-istemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalon
1+s
K
U(s) 2(s))()(
)(tKuty
dt
tdy=+
)1()(
t
eKAty
=
"
3(")
4A5 0 cons"an"e de "ie'%o
Res%!es"a es"a6le, sin re"ardo
ni ca'6io de conca7idad 3so6rea'or"i!ada
8anancia & 4 & 4A/A
!(")
$
%2
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2?
Interpretacin en el plano s %P/&
)1()( t
eKAty
=Plano s
9
polo en la parte real
iz"uierda del plano s
s:1&0
%olo & ;1/
Si 5 0# Res%!es"a es"a6le, sinca'6io de conca7idad 3
so6rea'or"i!ada
1+s
K
U(s) 2(s)
t
y(t)
4A
u(t)
$
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/
Esta'ilidad entrada=salida %QIQK&
'ounded input
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1
Interpretacin en el plano s %/&
t
)1()( t
eKAty
=
s:1&0
%olo & ;1/
%osi"i7o
Si < 0# Res%!es"a ines"a6le
1+s
K
U(s) 2(s)
y(t)
Plano s
9
polo en la parte real
derec6a del plano s
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2
Fiempo de asentamiento o esta'lecimiento
t
y(t)
"=.
0-=.4A
Plano s
9
1
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Constante de tiempo %&
KAeKAy
eKAtyt
>*$-0)1()(
)1()(
1 ==
=
KAdt
tyd
eKA
dt
tyd
t
t
=
=
=
0
)(
)()(
7eriada en el ori(en4
1+sK
U(s)&A/s 2(s)
Cuando tel sistema 6a alcanzadoel ,2A de su alor )inal
La pendiente de la tan(ente en
t/ es N$
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0
Fiempo de su'ida Fr
Fiempo "ue tarda el sistema en ir del 1/A al ?/A del alor )inal
N$
/
1/A
t
y%t&
N$
$-$rT
?/A
rT
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Entrada rampa
11)(
$$
++=
+=
s
AK
s
AK
s
AK
s
A
s
KsY
+%s&
1+s
K
t/ t
/
/
)(
)(t
t
eKAtKA
eKAKAKAtty
+=+=
/ t
$)(
s
AsU =
Attu =)(
/)()( teKAtKAty +=
Respuesta
transitoria
====
)(#
0)0(#0
yt
yt
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E9emplo sistema de primer orden
Circuito RC
=
+=
t
c
t
diC
tv
diC
tRitv
0
0
)(1
)(
)(1
)()(
)(1
)(
)(1
)()(
sCs
s!
sCs
sRs!
c =
+=
)()( ssC!s c=
)(1
1)(
)()1()()1()(
s!RCs
s!
s!RCsssC!Cs
Rs!
c
cc
+=
+=+= ?!ncin de "ransferencia#
)(s! )(s!c
1+s
K
RC
K
=
=
1
%1
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3
E9emplo sistema de primer ordenCircuito RC
)(s! )(s!c
1
1
+s
t/ t
%t& cam'ia de repente en
t/ de / a 5oltios
%t&
RC=
La respuesta de vC%t&
ante entrada escaln
para arios alores de
Constante de tiempo del sistema
1
2
%2
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8
E9emplo sistema de primer ordenCircuito RC
)(s! )(s!c
1
1
+s
t/ t
cam'ia de repente en t/ de
/ a 5oltios y uele a 'a9ar
inmediatamente a / 5oltios
%t&
RC=
La respuesta de vC%t&
ante entrada impulso
para arios alores de
Constante de tiempo del sistema
12
%
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?
E9emplo sistema de primer ordenCircuito RC
)(s! )(s!c
1
1
+s
cam'ia en t/ (radualmente
con una pendiente i(ual a 1.
%t&t
RC=
La respuesta de vC%t&
ante entrada rampa para
arios alores de
Constante de tiempo del sistema
t/t
12
%0
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0/
-istema de primer orden
Entradas tpicas
;%s& +%s&
1+s
K
)()()(
tKutydt
tdy=+
u%t&$t
t
/
u%t&$
t
/
u%t&
t
/Rampa Escaln Impulso
$
dt
d
dt
d
)1()(
$ +=
ss
KAsY
)1()(
+=
ss
KAsY
)1()(
+=
s
KAsY
)()( / tetKAty += )1()( /teKAty =
/)( teKAty =
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01
-istemas de se(undo orden
$
$ $$n
n n
bs s
+ +
U(s) 2(s)
$$ $
$
( ) ( )$ ( ) ( )n n n
d y t dy t y t b u t
dt dt + + =
Respuesta a una entrada escaln en u%t&
"&0!&0
!(")&!
banancia
"?ac"or de de a'or"i!a'ien"odepende de las caractersticas fsicas
n frec!encia %ro%ia/na"!ral no
a'or"i!ada
Es la frecuencia con !ue oscila un sistema en
ausencia de cual!uier tipo de amorti"uamiento
-ituar los polos de la )uncin
de trans)erencia en el plano
comple9o
%1
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02
-istemas de se(undo orden
$ $ $ $ $ $ $
$
1,$
$ 0 ( 1)
0 ( 1) # %olos reales nea"i7os$
1$
0 ( 1) # %olos reales i!ales
n n n n n
n
n n
s s
s
+ + = = =
> >
= =
= =
1,$
$
1,$
0 ( 1) # %olos co'%le@os con@!ados
$ 1
$
n
nn n
s
js j
=
< n
%2
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0
Caso P1Respuesta a un escaln en u
$ $
$ $
1 1( ) 1
$ 1 $ 1
At #t At #ty t e e bu e e
+ = + + = +
( )( )
bA#
s A s #+ +U(s) 2(s) 1 1
1 1
b
s sA #
+ +
3(")
'u
Respuesta esta'le, sin
retardo con cam'io deconcaidad y
so'reamorti(uada
:anancia # bu
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00
Caso P1$nterpretacin en el plano s
Plano s
9
polos en la parte real
iz"uierda del plano s
9;A;B
( ) At #t
y t e e
= + +
El polo ms a la derec6a
domina en la desaparicindel transitorio
( )( )
bA#
s A s #+ +
U(s) 2(s)$
$
$ $ $ $
1
1
( ) ( 1)
n n
n n
n n n
A
#
A#
=
= +
= =
3(")
'u
"&0
!&0!(")&!
u
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45/123
0
$proximacin
3(")
"
La res%!es"a del sis"e'a de se!ndo
orden %!ede a%ro9i'arse %or la de!no de %ri'er orden 'as !n re"ardo
( )( )
bA#
s A s #+ +
1+
s
Ke ds
d
C 1%$ ti i t iti &
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0
Caso 1%$morti(uamiento critico&
Respuesta a un escaln en u
( ) ( )
$
$ $( )
bA uY s
s s s As A s A
= = + +
++ +
$
$( )
bA
s A+
U(s) 2(s)
nA =
( )
(1 )
(0) 0 ( )
At At
At At
n
y t e te
bu e te
y y bu
= + + =
= +
= =
3(")
6!
!&0!(")&!
uuncin montona
creciente
>olos realesi(uales
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03
Caso / 1%-u'amorti(uado&Respuesta a un escaln en u
[ ]
$
$ $
;1 $
$
$
( )$
1
( ) L ( ) 1 ( 1 )1
1
n
n
n n
t
n
b uY s
ss s
y t Y s bu e sen t
arct$
=+ +
= = +
=
U(s) 2(s)$$ $$
n
n n
b
s s
+ +
"
3(")
Si "n50Res%!es"a es"a6le,
sin re"ardo 3
s!6a'or"i!ada
>olos
comple9os
con9u(ados
%1
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08
%d& frecuencia natural amorti"uada (rad's)
Es la frecuencia con la !ue oscila
un sistema cuya relacin de
amorti"uamiento es distinta de cero
pero menor !ue la unidad
Caso /1Respuesta a un escaln en u
$
$
$
11( ) 1 ( )
1
( ) 1 (cos ( ))1
0 0
n
n
t
d
td d
c t bu e sen t arct$
c t bu e t sen t
c% & ' c% & bu
= +
= +
= =
U(s) C(s)$$ $$
n
n n
b
s s
+ +
"
3(")
'u
$ 1d n
( ( =
%2
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49/123
>armetros de respuesta de
sistemas de se(undo orden
'u
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1.=Fiempo de retardo, td
Es el tiempo re"uerido para "ue
la respuesta alcance la primera
ez la mitad del alor )inal.
2 Fi d i i t
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1
2.=Fiempo de crecimiento
o Leantamiento%tr&
Plano s9
Es el tiempo re"uerido
para "ue la respuesta
aumente de / al 1//A
n
$1n
U(s) C(s)$$ $$
n
n n
b
s s
+ +
T
9U
$
$
$ $
( ) 1 (cos ( ))1
(cos ( )) 01
1 11"an arc"an( )
cos
n r
n r
t
r d r d r
t
d r d r
d r r
d
r
d d
c t bu e t sen t bu
e t sen t
t t
t
= + =
+ =
= =
= =
=
n
d
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52/123
2
.=Fiempo de pico%tp&
tp
"
c(")
'u
$
$ $
( )0
cos ( ) ( )( ) 01 1
( ) 0C 0, , $ ,
(s)
d n
d p n d p d
d p d p
p
d
c t
t
t sen t
sen t t
t
=
+ + =
= =
=
tp Es el tiempo
re"uerido para
"ue la respuesta
alcance el primer
pico de impulso
0 =-o'repico maximo so'reimpulso
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0. -o'repico maximo, so'reimpulso
maximo%K5ER -VKF&%p&
$
$
1
( ) C en
( ) (cos ( )1
( )
D 100
n d
nd
p p p
d
d d
d d
p
p
) c t bu t
c t bu e sen
c t bu e
) e
= =
= +
=
=
tp
"
c(")
'u
p -o'repico mximoso'reimpulso maximo
@p
Fi d t i t
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0
.=Fiempo de asentamiento o
esta'lecimiento
"
c(")
'u
ts
D$
R#(imen
permanenteR#(imen
transitorio
$proximadamente4
C $D
*C D
s
n
s
n
t criterio del
t criterio del
=
=
Fiempo re"uerido para "ue el
transitorio decai(a a un alorpe"ue!o de modo "ue c%t& est# casi
en estado estacionario %dentro de
una 'anda de S 2A&
,$
1
$
( ) 1 (cos ( ))1
( ) 1 (cos ( ))1
1
n
n
t
d d
t
d d
n
c t bu e t sen t
c t bu e t sen t
T
= +
= +
=
W0X
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55/123
Caso /Respuesta a un escaln en u
[ ]
$
$ $
;1
( )
( ) L ( ) 1 ( )$
n
n
n
b uY s
s s
y t Y s bu sen t
=+
= = +
U(s) 2(s)$
$ $
n
n
b
s
+
"
3(")Como / la respuestano se amorti(ua nunca.
Respuesta en el lmite
de la esta'ilidad
6!
>olos
ima(inarios
puros
La respuesta transitoria no se extin(ue
Caso no amorti(uado
$ 1d n n( ( = =
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Caso /$nterpretacin en s
Plano s
9
9
nj+
[ ];1( ) L ( ) 1 ( )$
ny t Y s bu sen t
= = +
nn jss ==+ 0#%olos$$
nj
Polos so6re el e@ei'ainario# l'i"e
de es"a6ilidad
U(s) 2(s)$
$ $
n
n
b
s
+
"
3(")
6!
C /
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3
Caso /Respuesta a un escaln en u
"
3(")
9
9
n
$1n
>olos en el semiplano derec6o4 sistema inesta'le
0>n
1 0 < olos realesi(uales
9
1<
>olos realespositios
9
Kscilaciones crecientes 3(")
"@onotonicamente
inesta'le
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58/123
8
E9emplo sistema de se(undo orden
* *
-istema mecnico en el cual
una 'arra r(ida, sin masa, est
suspendida del tec6o a tra#s
de un resorte y un amorti(uador.
-upn(ase "ue en t/ una
persona salta y se su9eta a la'arra.
Considerando "ue esta persona
se "ueda col(ada de la 'arra
-cul es es mo.imiento!'t( dela arra/
xmm
%1
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59/123
?
E9emplo sistema de se(undo orden
( ) )()()()()()(
)(
$
$
s*sX+bsms
s+XsbsXs*sXms
+xxbtfxm
=++
== ?(s) F(s)
$
1( )G s
ms #s + =
+ +
La persona actYa como unaentrada escaln al sistema$
$ $$ $
$
$ $ $
1 1>0( )
1.0 0$
>0 >0
1
>0
$ * =
n
n n
n
n n
bmG s
# + s ss s s s
m m
b
s s s s
= = =+ +
+ + + +
=+ + + +
Considerando4
>0 4
1.0 N;s/'
0 N/'
m
#
+
=
=
=
$
* rad/s
0
1 $ > rad/s0 001.
n
d n
,
( ( ,b ,
==
= =
Respuesta su'amorti(uada
%2
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/
E9emplo sistema de se(undo orden
?(s) F(s)
"&0
+bsmssG
++=
$
1)(
ss
m$s*
..)( ==
$
* rad/s
0 1 $ > rad/s
0 001.
n
d n
,( ( ,
K ,
=
==
=
$ $
$
.. 1/ >0( ) C
* = * =
1-0..C 1-0.. *-$>>1-0.. 1-0.. *-$>>
( ) , -* =
( ) 1-0.. ----------------------------------
A #s CX s
s s s s s s
A # y Cs
X s resolviendo transf inversas s s
x t
+= = +
+ + + +
= = =
+= +
+ +
= +
%
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61/123
>ro(rama en @$FL$Q
>ro(rama
nB/ / ?.8
dB1 ?D
t/4/.4
step%n,d,t&D(rid
$
1 =-.
( )* =
con )ATLA#
X ss s s
=
+ +
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62/123
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64/123
0
E9emplo sistema de se(undo orden
x
@
m
Respuesta impulso
;n proyectil de masa m se dispara
contra la masa @ %donde @PPm&.
-e supone "ue cuando el proyectil pe(a
en la masa @, se incrusta en ella.
-Cul es la respuesta
'despla0amiento 1( de la masa M
despu2s de ser golpeada por el
proyectil/
/
/
1 /4 la elocidad inicial del proyectil
14 la elocidad del proyectil despu#s del (olpe
%la elocidad de la masa @&
/PP 1 Cam'io sY'ito en la
elocidad del proyectil
t/
%0
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E9emplo sistema de se(undo orden
Respuesta impulso
v
t
La )uerza de entrada tiene una duracin muy corta y un alor muy (rande
con lo "ue puede ser aproximada mediante una )uncin impulso4
v
t
t
Cam'io en aceleracin del proyectil cuando (olpea a la masa
=$
)()( ttAvmtf == )( 10 vvmtA = la ma(nitud de la entrada impulso
-e puede demostrar "ue 0vm)
)mf%t&
+
=
%
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66/123
E9emplo sistema de se(undo orden
x
@
m
/
Respuesta impulso
)+sm)
mv
+)s
)
m)
mv
s*+)ssX
s+Xs*sX)s
+xtfx)
/
1
)(1
)(
)()()(
)(
$
0
$
0
$
$
++
=
++=
+=
=
=
Caso sin amorti(uamiento %/&
recuencia de oscilacin4 )+nd /==
%
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67/123
3
E9emplo sistema de se(undo orden
?(s) F(s)
"&0
)+ssG
/
1)(
$ +=
'/s.00
N/'$00
G010
G0
0 =
=
=
=
v
+
,m
)Respuesta impulso
m)
mvs*
+
= 0)(
$
0 0
$ $
$
0 0
0
( )
( ) ( ) ( )
1 /( )
/ /
1-1*1$( )0
( )
0-0$$> ,-0,
)x f t +x
)s X s * s +X s
mv mv + )X s
) m s + ) ) m s + )
X ss
mv mv) + ) +x t sen t sen t
) m + ) ) + )
mv +sen t sen t
))+
=
=
= =
+ + + +
=
+
=
+
= =
&&
%3
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68/123
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69/123
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70/123
EZE@>LK
+eterminar los valores, la "anancia # y la constante #-
de manera !ue el sobre.impulso m/ximo en la respuesta
del escaln unitario sea i"ual al 012 y el tiempo pico
i"ual a 3se", adem/s determine el tiempo de
establecimiento y crecimiento
R%-& C%-&H
=( )1
K
S S +
1-
K S+
=
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71/123
-KL;CIK[%1&
-e tieneD
( )
( ) ( )
$1
$ $
$ $ $ $
$
$
$
$ $ $
D $0D
0-$0-)(>
0-$
1
1 C *-(*1 0-)(>
1 $
n
d
. .
p
p
. d
d
d n n
S n
- n nS
) ) e e
Ln ) Ln
Ln ) Ln
radt ss
rads
C K
R s K K s K s s
= = =
= = =
+ +
= = =
= = =
= =
+ + + + +
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72/123
-KL;CIK[%2&
( )
$ $
$
*-(*
$ 1
$ 1 $ 0-)(> *-(* 1
*-(*
0-1,.
1-0=0->(* -
) )$-). -
0-)(> *-(*
n
n -
n-
-
r
d d
S
n
K
K K
K K
K
t se$
t se$
= =
= +
= =
=
= = =
= = =
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EZE@>LK
Al si"uiente sistema se le aplica una
entrada escaln unitario
R%-& C%-&H
=( )1
K
S ST+
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75/123
( )
( ) ( )
( )
( )
$
$
$ $$
$
$
C
*
1-1)$* 1 0-)
1
1 $
1 $
1 11-0=)(
$ $H0-)H1-1)$
1-0=)(H1-1)$ 1-)$,(
. d
d
n
S
S
S n
n nS
n n
n
radt
s
rads
C K
R s sT K
KCT
KR s ss sT T
KT T
T
K
= =
= =
=
+ +
= =
+ ++ +
= =
= = =
= =
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3
E9emplo sistema de se(undo orden
)()()(
$
$
tvvdt
tdvRC
dt
tvdLC C
CC =++
Circuito RLC
1
1$ ++RCsLCs
I(s) IC(s)
%8
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33
E)ecto de moer los polos4istema subamorti"uado
%1olos con lamisma parte real
djs =$,1
1dj
$dj
*dj
1dj
$dj
*dj
*$1
*$1
*$1
ppp
ppp
ddd
ttt
)))
>>
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E) t d l l
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3?
E)ecto de moer los polos4istema subamorti"uado%olos con el
n(ulo
constante%constante&
djs =$,1
1$*
pi(ual
1pt
$pt
*pt
*$1
*$1
*$1
*$1
ppp
sss
ddd
ttt
ttt
>>
>>
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8/
>olos en el ori(en4 Inte(radores
( ) assssu
sas
KasY
+
++=
+
=
$)(
)( ass
Ka
+
U(s) 2(s)
Respuesta a un
escaln u en la
entrada
++=++=
++
+
==
atat
eataKuetty
assssYty
11
)(
LLL)(L)( 1$
111
"
3(")
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81/123
81
E)ecto de ceros so're la respuesta
)(
1)(1
1)( ssG
csGs
csG +=
+
La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero
en s =c, se o'tiene sumando a la respuesta del sistema
sin cero su deriada multiplicada por un )actor 1
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82
E)ecto de ceros so're la respuesta
3(")
!
Con c P /, se adelanta larespuesta.
[o produce oscilaciones si
la respuesta sin cero no la
tiene, pero puede producir
so'repico
Plano s
9
cero en la parte real
iz"uierda del plano s
9
;a;6;c
"
%2
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83/123
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
84/123
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
85/123
-istemas de orden superior
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8
-istemas de orden superior
8(s)U(s) C(s)
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
son reales
1 $
1 $
son reales
1 $
1 $
1
C
S S
S S S
ceros
m
n
polos
m
S
n
C G
R G /
K s 0 s 0 s 0
s . s . s .
aplicando escalon unitario
K s 0 s 0 s 0C
s s . s . s .
=
+
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
6 4 4 4 44 7 4 4 4 4 48
L
L1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
L
L
%1
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-istemas de orden superior
( )
( )
( )
( )
1 $
1 $
?racciones Parciales considerando %olos 3 ceros reales
1
1
j
n
S
n
ni
Si i
n. t
jtj
## #AC
s s . s . s .
#AC
s s .
C A A e
=
=
= + + + ++ + +
= ++
= +
L
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 443
%2
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88/123
-istemas de orden superior
-uponiendo "ue los ceros y polos de C%-& consisten enceros y polos reales y pares de ceros y polos con9u(ados, laecuacin anterior se puede escri'ir de la si(uiente )orma yaplicando escaln unitario
%2
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89/123
-istemas de orden superior
El tipo de respuesta transitoria esta
determinado por los polos de lazo
cerrado %t#rminos exponenciales,cosenoidales, etc.& mientras "ue la
)orma de respuesta depende
principalmente de los ceros de lazo
cerrado %ma(nitudes y si(nos&
%2
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90/123
?/
E)ecto del tercer polo
( ) ( )( )10$0$$00
$1 +++= ssssG
( )$0$
$0$1 ++
=ss
sG
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91/123
?1
E)ecto del tercer polo
( )( )( )$$0$
0$1 +++
=sss
sG
( )$0$
$0$1 ++
=ss
sG
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
92/123
?2
E)ecto del tercer polo
( )( )( )100$0$
$000$1 +++
=sss
sG
( )$0$
$0$1 ++
=ss
sG
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
93/123
E) d l l
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
94/123
?0
E)ecto del tercer polo
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Fiempo de esta'leciemiento
Ro3o* 45 orden
A0ul* 6 orden
Mage,* 7 orden
E) t d l t l
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?
E)ecto del tercer polo
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Fiempo de esta'lecimiento
Ro3o* 45 orden
A0ul* 6 orden
Mage,* 7 orden
E) t d l t l
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96/123
?
E)ecto del tercer polo
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
Fiempo de esta'lecimiento
Ro3o* 45 orden
A0ul* 6 orden
Mage,* 7 orden
E)ecto del tercer polo4
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?3
E)ecto del tercer polo4tiempo de esta'lecimiento real
-istemaprimer orden
-istema se(.Krden
-istema tercerorden
/.?1 .38 .8
1.? .38 .2
/./?1 .38 .3?
E)ecto del tercer polo4
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?8
E)ecto del tercer polo4tiempo de esta'lecimiento aproximado
-010
1 ==
$$1 ==
0-0100
1 ==
1$0
$0n2
= =
>olo en =1/4
>olo en =24
>olo en =1//4
8
E) t d l t l
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??
E)ecto del tercer polo
( )( )( )-0$0$
-0$1 +++
=sss
sG
( )$0$
$0$1 ++
=ss
sG
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101/123
-i t d d i
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102/123
1/2
-istemas de orden superior
$6ora ponemos los
polos ima(inarios
con9u(ados a la
iz"uierda de los
reales
Ro3o* 45 orden
A0ul* 8 orden
Mage,* 4 adicio,
R t d i t
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1/
Respuesta dominante
La )orma de la respuesta "ue
predomina es la de los polos "ue
estn ms cerca del e9e ertical.
Fanto en el caso de polos o ceros
adicionales su e)ecto es menor
cuanto ms ale9ados estn de los
polos dominantes, es decir, cuantoms ale9ados estn del e9e ertical.
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104/123
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105/123
R d i d l d d i t
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106/123
1/
Reduccin del orden de un sistema
Fercer polo en =2
[K^^^4 las respuestas son
muy di)erentes
\-e puede reducir]
Ro3o* 45 orden
A0ul* 6 orden
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Reduccin del orden de un sistema
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107/123
1/3
Reduccin del orden de un sistema
-e localizan los polos y cerosdominantes.
Fodos los polos y ceros, cuya partereal este un mnimo de eces ms ala derec6a de los dominantes sepueden eliminar.
es el alor mnimo, esrecomenda'le "ue est#n al(o ms,por e9emplo so're 1/.
Reduccin del orden de un sistema
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1/8
Reduccin del orden de un sistema
>olos
y
ceros
dominantes
>olos
y
ceros
ale9ados
a'
-i, _' _P _a _, entonces se
pueden eliminar los polos y
ceros a la iz"uierda de ese
alor.
Es pre)eri'le "ue se cumpla4_' _P1/ _a _
#MP!RTANTE* 9ay :ue
asegurar :ue el .alor ;inal
alcan0ado por el sistema esel mismo,
E9emplo4 reduccin orden
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1/?
Est 0/ eces a la iz"uierda4-e puede eliminar
E9emplo4 reduccin orden
:%s&;%s& +%s&
0001.0$000
)100$)(0(
000
$*
$
+++
+++
sss
sss
Pole-Zero Map
Real Axis
ImagAxis
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Los polos del sistema4 =1.//// H ?.?0??i
=1.//// = ?.?0??i
=0/
9ay :ue
asegurar :ue el .alor ;inalalcan0ado por el sistema es
el mismo
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110/123
E9emplo4 reduccin orden
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111/123
111
@ultiplicamos por 1
diidido entre el alor
a'soluto del polo "ue se
elimina
E9emplo4 reduccin orden
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
70
\Cmo resoler el
pro'lema]
( ) )100$(
000$ ++= sssY malred
( )
)100$(
100
0
1
)100$(
000
$
$
++=
++=
ss
sssYred
E9emplo4 reduccin orden
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112
E9emplo4 reduccin orden
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Ro3o* reducido
A0ul* original
1100100
100$
1001$
0li'
==
++=
ssssy
sred
>ro(rama en @$FL$Q
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113/123
11
>ro(rama en @$FL$Q
n1B/ / / 0///D d1B1 02 18/ 0///D n2B/ / 1//D d2B1 2 1//D t/4/.141/D Bc1,x1,tstep%n1,d1,t&D Bc2,x2,tstep%n2,d2,t&D plot%t,c1,t,c1,o,t,c2,t,c2,x& (rid
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114/123
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
115/123
E9 l d i d
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
116/123
11
@ultiplicamos por el
alor a'soluto de los
ceros, polos y t#rminos
independientes "ue se
eliminan
E9emplo4 reduccin orden
\Cmo resoler el
pro'lema]
( ) )100$(
1$ ++= sssY malred
( )$
$
1 10
1 1$.( $ 100)
0-00$
( $ 100)
redY ss s
s s
=+ +
= + +
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-4
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117/123
113
n1B/ / / / 1 1/D d1B1 / 3 0/0/ 1?2///D n2B/ / /.//2D
d2B1 2 1//D t/4/.141/D Bc1,x1,tstep%n1,d1,t&D Bc2,x2,tstep%n2,d2,t&D plot%t,c1,t,c1,o,t,c2,t,c2,x& (rid
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
118/123
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
119/123
Respuesta en lazo cerrado con
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
120/123
12/
pertur'aciones
)()()(1
)()(
)()(1
)()()( s!
sRsG
s4s3
sRsG
sRsGsY
++
+=
8(s)R(s)U(s) 2(s)J(s) E(s)
:;
K(s)I(s)
::
La respuesta temporal ante cam'ios en `%t& o %t&
puede calcularse con la .F. en lazo cerrado4
Ecuacin caracterstica
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
121/123
121
Ecuacin caracterstica
El tipo de respuesta y la esta'ilidad en lazo
cerrado ienen determinadas por los polos de la)uncin de trans)erencia en lazo cerrado, "ue
son las races de la ecuacin caracterstica4
)()()(1
)()(
)()(1
)()()( s!
sRsG
s4s3
sRsG
sRsGsY
++
+=
0)()(1 =+ sRsG
La ecuacin caracterstica es la misma
independientemente de la presencia o ausencia
de pertur'aciones.
E9emplo
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
122/123
122
4%U(s)
:
;
2(s)J(s) E(s)
)()1)(1(
)1()(1
)(
11
1)(
11
1)()(1
)()(
)(1
)()(
s!sKKs
sKs3KKs
KK
s!
Ks
K
s
K
s3
Ks
K
Ks
K
s!KsG
s4s3
KsG
KsGsY
dp
d
p
p
p
d
d
p
p
pp
p
+++++
++=
=
++
++
++
+=+
++
=
I(s)
1+s
K
1+s
K
d
d
Ecuacin caracterstica4 0)(1 =+ pKsG 01 =++ pKKs
pKKs
+=
1
>olo l.c.
Ceros en lazo cerrado
7/23/2019 2.2.- Rpta Transitoria
123/123
Ceros en lazo cerrado
)()()()(
)(
)(1
)()()(1
)(s5ums4en
s4s4en
s4en
s5ums4
sRsGs4
+=+=+
)()(
)(
)(
)(1
)()(
)()(1
)()(
)(
)()()(
s5ums4en
s5um
s4en
s5um
s4ens5um
sRsG
sRsG
s4en
s5umsRsG
+=
+=
+
=
Los ceros en lazo
a'ierto aparecentam'i#n como
ceros en lazo
cerrado
)()()(1
)()()( s3sRsG
sRsGsY += )()()(1)( s!
sRsGs4
++