1
1.4.Distribuciones muestrales. Conceptos. Distribuciones de
algunos estadísticos muestrales
2
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE ESTADÍSTICOS
ESTADÍSTICOS V.A. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La distribución muestral de un estadístico puede ser obtenida tomando todas las posibles muestras de un tamaño fijo n, calculando el valor del estadístico para cada muestra y construyendo la distribución de estos valores.
Por ejemplo:
XX
Estadístico muestralTomando todas las muestras posibles de tamaño n y calculando para cada una de ellas la
distribución muestral de la media muestral
S2 distribución muestral de la varianza muestral
X
3
ESTADÍSTICA III
X ni
X= nº de horas de apertura de tiempo9
10
12
14
1
2
1
1
5
1
9 1 10 2 12 1 14 111
5i
i
x x x xxx N
Por término medio están abiertas 11 horas
2 2 2 2 22 2( ) (9 11) (10 11) 2 (12 11) (14 11) 16
3.25 5
i xx
x x
N
4
¿ Si tomamos muestras de tamaño n=3?
Y calculamos la
Distribución muestral de la media
ESTADÍSTICA III
x
5
ESTADÍSTICA III
muestras
x
123
141012
ix
12,10,14
12,10,9
12,10,10
12,14,9
12,14,10
12,9,10
10,14,9
10,14,10
10,9,10
14,9,10
10.3
10.6
11.6
12
10.3
11
11.3
9.6
11
Distribución muestral de
x ni XX i
9.6
10.3
10.6
11
11.3
11.6
12
1
2
1
2
1
1
2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.1
0.2
Toda distribución muestral tiene unas características, p.e. la media o la varianza
E ( ) Media de la distribución muestral de la media
Var ( ) Varianza de la distribución muestral de la media
xx
10
6
ESTADÍSTICA III
X= Nº de días que han faltado al trabajo 50 trabajadores
X n P(x)
1 25 25/50=0.5
2 20 20/50=0.4
3 5 5/50=0.1
Obtener:
-La media poblacional
-La varianza poblacional
-La distribución muestral de la media n=2
-La media de la distribución muestral de la media
-La varianza de la distribución muestral de la madia
2)(Var x
x
x
x
Ejercicio
7
ESTADÍSTICA III
44.0
50
5*)6.13(20*)6.12(25*6.11
tambienó
44.01.0*6.134.0*6.125.0*6.11
lpoblaciona varianza
6.150
5*320*225*1
6.11.0*34.0*25.0*1
lpoblaciona media
2222
2222
x
x
x
x
X P(x)
1 0.5
2 0.4
3 0.1
8
ESTADÍSTICA III
Distribución muestral de la media n=2
Muestras Xi X P(X=Xi)
1 , 1 1 1 0.25
1 , 2 1.5
1 , 3 2 1.5 0.4
2 , 1 1.5
2 , 2 2 2 0.26
2 , 3 2.5
3 ,1 2 2.5 0.08
3 , 2 2.5
3 , 3 3 3 0.01
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( 1) ( 1, 1) ( 1)* ( 1) 0.5*0.5 0.25
( 1.5) ( 1, 2) ( 2, 1) 0.5*0.4 0.4*0.5 0.4
( 2) ( 1, 3) ( 2, 2) ( 3, 1) 0.5*0.1 0.4*0.4 0.1*0.4 0.26
( 2.5) ( 2, 3) (
P X P X X P X P X
p X P X X P X X
P X P X X P X X P X X
P X P X X P
1 2
1 2
3, 2) 0.4*0.1 0.1*0.4 0.08
( 3) ( 3, 3) 0.1*0.1 0.01
X X
P X P X X
9
ESTADÍSTICA III
)(xX )( xXP
1 0.25
1.5 0.4
2 0.26
2.5 0.08
3 0.01
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
( ) 1*0.25 1.5*0.4 2*0.26 2.5*0.08 3*0.01 1.6
( ) 1.6 ( ) 1.6
"LA MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
ES IGUAL A LA MEDIA POBLACIONAL"
X
X X
X
X X
10
ESTADÍSTICA III
VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA
1 0.25
0.1 0.4
2 0.26
2.5 0.08
3 0.01
)xXP( X2 2 2 2 2 2
2 2
22x
Var (x) (1-1.6) *0.25 (1.5 1.6) *0.4 (2 1.6) *0.26 (2.5 1.6) *0.08 (3 1.6) *0.01 0.22
( ) 0.44 ( ) 0.22
( ) 0.44( )
2
x
x x
x
Var x Var X
Var xVar X
n n
LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ES IGUAL A
LA VARIANZA POBLACIONAL ENTRE EL TAMAÑO DE LA MUESTR
22x
x
n
11
ESTADÍSTICA III
2
2
ˆDISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA CUASIVARIANZA S
X Smuestras
(1,1) 1
(1,2) 1.5
(1,3) 2
(2,1) 1.5 0.5(2,2) 2 0(2,3) 2.5 0.5(3,1) 2 2(3,2) 2.5 0.5(3,3) 3 0
212
)23()21(
5.012
)5.12()5.11(
012
)11()11(
22
22
22
12
ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA
0 0.42
0.5 0.48
2 0.10
)Var(S y varianza )(S mediacon
Varianza la de muestralón Distribuci22
10.05.0*1.01.0*5.0
)1,3( )3,1()2P(S
0.480.4*0.10.1*0.40.5*0.40.4*0.5
)2,3( )3,2( )1,2( )2,1()5.0(
42.01.0*1.04.0*4.05.0*5.0
)3,3( )2,2( )1,1()0(
)(
2
2
2
22
PP
PPPPSP
PPPSP
sSP
)P(S 222 sS
13
ESTADÍSTICA III
Obtener la MEDIA de la Distribución Muestral de la Varianza
0 0.42
0.5 0.48
2 0.10
)P(S 222 sS
44.0)(
44.0)(
44.010.0*248.0*5.042.0*0
)(
2
2
2
2
2
s
x
s
SE
xVar
S
“La media de la distribución muestral de la varianza es igual a la varianza poblacional”
OBTENER LA VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA
2
2 2 2 2 2
2 44
( ) (0 0.44) *0.42 (0.5 0.44) *0.48 (2 0.44) *0.10 0.32
3( )
( 1)
SVar S
nVar S
n n n
14
ESTADÍSTICA III
POB DIST. MUESTRAL DIST. MUESTRAL
X XS2
s
2
2x x s
2 2 2x x 2
( ) 1.6 ( ) 1.6 ( ) 0.44
( ) 0.44 ( ) 0.22 ( ) 0.32s
Media x E x E s
Varianza Var x Var x Var s
RELACIONES
2
x
2 22x
2 2 2
2 4
1. E(X) E(X)
VAR(X)2. VAR(X)
n
3. E(S ) ( )
4 34. VAR(S )
1
x x
x x
x xS
n n
VAR X
n
n n
2
2
s ..........
15
ESTADÍSTICA III
1
.............1
)(.........)()(1
................1
)............
()(
)(.........)()(E(x)
:que cuentaen teniendo
21
21
n21
21
nnn
xExExEn
xxxEn
n
xxxEXE
XExExE
n
n
n
DEMOSTRACIÓN RELACIONES
XXE )(
16
ESTADÍSTICA III
21 2
1 2
1 22
1 22
2 2 22
22
Teniendo en cuenta que:
VAR(x ) ( ) ............... ( )
..........( )
1..........
1( ) ( ) ...... ( )
1..........
1
x
n
n
n
x x x
x
VAR x VAR x
x x xVAR X VAR
n
VAR x x xn
VAR x VAR x VAR xn
n
nn
2
x
n
nXVAR
2
)(
17
ESTADÍSTICA III
n, X
100
110
6,100
n
N
25
25
6,100
n
N
100 X
nNX
6,100
18
ESTADÍSTICA III
Cuanto mayor sea el tamaño muestral “n” menor sera la VAR(X), menor será la dispersión de x en torno a la media poblacional μ
n
n
precisión?n
1.20 1.26 1.43 1.55 1.69 1.89 2.19 2.68 3.79 5.38 n
90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 n
19
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA
– Si (X1,X2,……,Xn) es una muestra aleatoria de tamaño n,procedente de una población X, con VAR(X)= σ2 entonces:
• La varianza de la distribución muestral de la varianza S2 es igual a la varianza poblacional σ2 y la varianza de la distribución muestral de la varianza es función del momento central de orden cuatro:
ESTADÍSTICA III
2 2
2 44
2
( )
3( )
( 1)
( )
E S
nVar S
n n n
Var S
20
2 2
2 2 2
1 1
2
1
2 2
1
2 2
1 1
2 2
1
2 2
( )
1 1ˆ ( ) ( )1 1
1
1
12
1
12
1
12
1
12
1
x
n n
i ii i
n
ii
n
i ii
n n
i ii i
n
ii
i
E S
S x x x xn n
x xn
x x x xn
x n x x xn
x n x x nx nn
x n x n xn
2
1
22
1
22 2
1
2 2
1( )
1
1 S
1 1
E(S )
n
i
n
ii
n
ii
x n xn
nx x
n n
.ii
xx x x n
n
21
ESTADÍSTICA III
22
222
22
22
2
1
2
1
222
22
1
2
)(
)(1
1
1111
1
11
1
11
1
11
1
SE
SEn
n
nn
n
nn
nn
n
xEn
nx
n
xn
nx
nESE
xn
nx
nS
n
ii
n
ii
n
ii
VAR(X) VAR(x)
22
ESTADÍSTICA III
22 S
n N
x
nXVAR
XE
2)(
)(
P.I.
....,........ˆ,ˆ
......,.......ˆ
n,NX
..)N(....,...X ˆ
,,........,
),(
21
2x
1
xx
P
Nxx
NX
n
23
ESTADÍSTICA III
)1,0(,NX Si
30n ,, X
,NX),N(X
N
n
xZ
n
nNXSi
nSi
Ejemplo gráfico de distribución poblacional y
Evolución de la distribución muestral de
X
x
24
ESTADÍSTICA III
5n para X de muestralón Distribuci 2.
X
15n para X de muestralón Distribuci.3 X
x
1. Distribución poblacional (no es normal)
25
ESTADÍSTICA III
normalmenteAproximada
03n para X de muestralón Distribuci 4.
X
normalmenteAproximada
07n para X de muestralón Distribuci 5.
X