UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA2015
FUNCION EXPONENCIALConceptos previos de la teoría de exponentes
Potenciación:
Sea a R, n Z+ a n = a . a. a………….a n factoresPropiedades:1. an.am = a n+m 2. 3. (a . b)n = an.bn 4. (a n)m = a n.m
5. entonces:
6. a R, a ≠ 0 a0 = 1
7. a R, a ≠ 0 , n Z+
FUNCION EXPONENCIALEcuación Exponencial
Se considera así a toda expresión matemática cuya variable se encuentra en el exponente.
Forma:
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: a) Bases Iguales : a = b x = y Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación: SOLUCION X = - 3 X = 2
FUNCION EXPONENCIALExponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación:
m + 5 = m + 5 x = - 15
FUNCION EXPONENCIAL
Bases y Exponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación:
FUNCION EXPONENCIALSea ¨b¨ un numero real donde b > 0 y b La función exponencial de base ¨b¨ es la función f: R R cuya regla de correspondencia es: y Si: b >1 Si: 0 < b < 1
1 1
Función creciente Función decreciente
FUNCION EXPONENCIALSea la función: Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución
-2 -1 1 2
Df: R Rf: < 0; >
x ( x , )
- 2 1 / 9 ( - 2; 1/9)
- 1 1 / 3 ( - 1; 1/3)
0 1 ( 0; 1)
1 3 ( 1; 3)
2 9 ( 2; 9)
9
31
FUNCION EXPONENCIAL
Sea la función: Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución
- 2 -1 1 2 Df: R Rf: < 0; >
x ( x ; - 2 9 ( - 2; 9)- 1 3 ( - 1; 3) 0 1 ( 0 ; 1) 1 1/3 ( 1; 1/3) 2 1/9 ( 2; 1/9)
9
31
FUNCION EXPONENCIALGraficar y determinar el dominio , rango y asíntota de la siguiente función: Solución
3 -2 1 2 3 4 Df: R Rf: < 3 ; >
x ( x; )
- 2 3 + 1/16 (-2; 49/16)
0 3 + 1/4 ( 0 ; 13/4)
2 3 + 1 ( 2 ; 4 )
3 3 + 2 ( 3 ; 5 )
4 3 + 4 ( 4 ; 7 )
FUNCION EXPONENCIALDeterminar el dominio, rango, asíntota , asi mismo graficar la función: Solución
2
1 2 3 4
Df: R Rf: < - ; 2 >
x ( x ; )
4 - 2 ( 4 ; - 2)
3 0 ( 3 ; 0 )
2 1
( 2 ; 1 )
1 2 – 1/2 ( 1; 3/2)
0 2 – 1/4 (0 ; 7/4)
FUNCION EXPONENCIAL
Determinar el rango y la asíntota de la siguiente función. Solución
-4 -3 - 2 2
Df: R Rf: < 0; 1> U < 1; 2] asíntota: y=1
x ( x ; )
- 2 1 + 1 ( - 2; 2)
- 3 1+ ½ ( - 3; 3/2)
- 4 1+ 1/4 ( - 4; 5/4)
x ( x ; )
- 2 1 - 1 ( - 2; 0 )
0
1 – 1/4 ( 0; 3/4)
2 1 – 1/16 ( 2; 1/16)
vv
1
2
3/2
FUNCION EXPONENCIAL FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
Esta función tiene como base al numero trascendente y cuya regla de correspondencia es: Dominio de: = R y Rango de = < 0; > Valor aproximado de = 2, 71828182847……… Entonces:
Función creciente Función decreciente
11
FUNCION EXPONENCIALHallar el dominio, rango, asíntota y grafico de la función: Solución 3
1 2 D = R R = < - ; 3 > Asintota: y = 3
x ( x ; )
0 3 - 2e ( 0; - 2,41)
1 3 - 2 ( 1 ; 1)
2 3 – 2/e ( 2 ; 2,26)
2,26
1
FUNCION LOGARITMO
DEFINICIÓN DE LOGARITMO:
Sean los números reales “a” y “b”, si b > 0, b 1 y a >0, al
número real x se denomina logaritmo del número a en
base b y se denota por: Logb a = x si y solo si bx = a de
la definición se tiene:
Logb a = x bx = a
Donde:
b: Base del logaritmo
a: Número del logaritmo
x: Logaritmo de a en la base b
FUNCION LOGARITMO
Propiedades de los logaritmos
1. Sea la base real b, tal que b > 0 ; b ≠ 1 logb1 = 0 ; logb b = 1
2. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ˄ b ≠ 1 logb AB = logb A + logb B
3. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ; b ≠ 1 logb ( ) = logb A – logb B
4. Sea A > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; n R: logb An = n logb A
5. Sea B > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; c > 0 : logb B =
6. ; x
FUNCION LOGARITMO
Hallar los siguientes ejercicios:
= x x = - 5
b) = x = - ½ x = 5 Con estos valores > 0 entonces CS = { -1/2;5}
FUNCION LOGARITMOSea b un numero real, con b>0 y b 1. La función logaritmo de base b es la función inversa de la función exponencial y su regla de correspondencia es:
También podemos considerar: y y = =
Dominio y Rango = R
-11
1
FUNCION LOGARITMO
donde 0 < b < 1 y=
y =
Dominio : < 0; > Rango : R Función decreciente
1
1
FUNCION LOGARITMO1. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones: a) Solucion Analizamos: x – 2 > 0 x = 2 (asíntota)
2 3 D= < 2 ; > R = R
FUNCION LOGARITMOb) SolucionAsintota: x + 3 > 0 x > -3 1 -3 -1 1 D= < - 3; > R = R
FUNCION LOGARITMO c) Solucion Asintota: x + 1 > 0 x > - 1 1. 71828 D: < - 1; > R : R
-5
-1