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Curso: 3er año de formación matemática
Docente: Lic. Santiago Quelali Arpita
CÁLCULO DIFERENCIAL I LA DERIVADA
INTRODUCCIÓN
2.1 Historia
A lo largo del tiempo la humanidad ha luchado por encontrar el porqué de las cosas. Muchos
temas han sido motivo de investigación y sin duda alguna, la
matemática no es la excepción.
El cálculo constituye una de las grandes conquistas
intelectuales: cristaliza conceptos y métodos que la
humanidad estuvo tratando de dominar durante siglos. Hubo
que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social,
científica y matemática que permitiera construir el cálculo
que utilizamos en nuestros días. A pesar de que algunas veces
su ejercicio se toma difícil, pocos saben que, a través de los
años, esta eficaz rama de las matemáticas encierra grandes
historias que narran como surgió, quienes se encargaron de
su establecimiento y de qué manera ha evolucionado con el
tiempo.
DEFINICIÓN
¿Qué es la derivada?
En matemáticas, la derivada de una función es
una medida de la rapidez con la que cambia el
valor de dicha función según cambie el valor de
su variable independiente. La derivada de una
función es un concepto local, es decir, se calcula
como el límite de la rapidez de cambio media de
la función en un cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable
independiente se toma cada vez más pequeño.
Por ello se habla del valor de la derivada de una
cierta función en un punto dado.
La derivada geométricamente está representada por la recta tangente y físicamente por la
razón del cambio. El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos están relacionados por el
teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están
basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la
Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más
importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se
aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con
que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una
herramienta de cálculo fundamental en los estudios
de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como
la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a
la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como
la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se
puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los
dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta
secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas
propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en
alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que
se consideran en las aplicaciones son continuas y su
gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible
de derivación.
3.2 Aplicaciones de la derivada
En definitiva, las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida
cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.
Derivadas En Medicina
Variedad de funciones biológicas
Análisis FOT
Con estas consideraciones y tras varios años de estudios de las
funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre,
proponemos que el estudio de la variabilidad de la presión arterial,
bajo diferentes condiciones hemodinámicas, se realice
gráficamente.
En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular
de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de presión arterial (p (t)) y su
análisis mediante métodos matemáticos.
El cálculo más utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y
existen numerosas publicaciones que correlacionan este parámetro con
otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros
patológicos [2, 3,4,]. Su demostrada utilidad clínica ha llevado a la
elaboración de software comercial, que permiten un cálculo automático de
dicho parámetro a partir de señales de pulso arterial.
Nosotros hemos desarrollado y aplicado otro método matemático elemental,
utilizando el plano de fase de la dinámica no lineal (función biológica p (t) versus su primera
derivada dp/dt), al estudio de las ondas pulsátiles de origen cardiovascular, y que hemos
denominado Fast Orbital Transform (FOT).
3.3 ¿Qué es Razón de cambio?
El cambio se matematiza mediante el cálculo, que se considera como la rama
de las matemáticas que realiza las operaciones necesarias para prever un
resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias
que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.
La razón de cambio se define como un cociente incremental o de Diferencias.
El cociente es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por
el respectivo cambio en el eje X, recociendo que el cambio se establece
hallando la diferencia entre una magnitud final con una inicial. Usando la notación moderna
puede escribirse como:∆(𝑦)
∆(𝑥)=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Es importante resaltar que en muchas ocasiones la razón de cambio está dotada de un
significado contextual, pues plantea relaciones significantes entre las magnitudes que
intervienen. Este cociente en algunos casos siempre daría el mismo resultado, definiéndose
como constante y en caso contrario como razón de cambio variable.
3.4 Utilidad de razón de cambio
Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria,
muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones
realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta
importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos.
Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo
transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante,
para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria.
También la población de un país varía con el correr del
tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad
de nacimientos y de muertes.
Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán
extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de consumo de energía
eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un
aumento repentino, lo que indica la necesidad de aumentar
la capacidad eléctrica; si estamos analizando la evolución de
una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo
se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las
medidas sanitarias necesarias.
METODOLOGÍA
Estrategia para resolver problemas de razón de cambio
Si es posible realice un
bosquejo del problema con
la ayuda de gráficos y
letras.
Identificar las variables y las
constantes de preferencia usar letra
mayúscula para constantes o valores
numéricos y letras minúsculas para
las variables.
Determinar la o las ecuaciones
que relacionan las variables con
las constantes.
Derivar la ecuación obtenida en el paso
anterior respecto a la variable
independiente en este paso tenga en cuenta
lo observado en el paso 2.
4.2 Ejemplos Prácticos
1. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de
25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.
¿Que se pide en el problema?
Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando la altura deun cilindro
circular de radio fijo, cuando su volumen aumenta a razón de 25 litros por segundo (25
dm3/s).
Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio fijo r=5m, altura h y volumen
V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio de) la
altura h, cuando la razón de cambio del volumen V es de 25 𝑑𝑚3
𝑠. Esto es, se pide calcular a la
derivada 𝑑ℎ
𝑑𝑡cuando r=50dm y
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 25
𝑑𝑚3
𝑠.
El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es V = π𝑟2h. Entonces
cuando r=50 dm el volumen del cilindro es V = π502h = 2500 π h 𝑑𝑚3.
Sabiendo que tanto la altura como el volumen son función del tiempo t,
derivamos respecto a t y obtenemos
dV/dt=2500π (dh/dt)→ dh/dt=1/2500π (25)→dh/dt=(1/100π dm)/s≈0.032dm/s
Por lo tanto, la rapidez con que sube la superficie del agua es2dm/s
2. Una infección viral se propaga en cierta población de manera tal que
personas contraen el virus en t semanas. ¿A qué velocidad se propaga el contagio al final de
4 semanas?
Necesitamos calcular . Dado que
Despeje la derivada de la
variable de interés y
reemplace datos numéricos.
Tenemos:
Como implicación puede afirmarse que en el transcurso del siguiente día una séptima parte
de la semana 1/7(210) = 30 personas se habrán contagiado, aproximadamente.
Aplicación
Se conoce la función𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.3104
mediante la cual determinaremos la rapidez con la que se
desarrolla él bebe a medida que pasan las semanas lo haremos
a partir del periodo fetal ya que en ese tiempo él bebe tiene un
tamaño considerable siendo la función dada en los intervalos de
(15,40) donde empieza el periodo a calcular.
Función derivada:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)
Cálculos
Los cálculos se llevarán a cabo en base a la tabla ilustrada.
Semana 16
𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310
𝑓(𝑥) = (−0.0106)(16)2 + (2.0677)(16) − 13.310
𝑓(𝑥) =17.05596cm
𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) = 2(16)(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) =1.1785 cm/semana
Semana 20
𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310
𝑓(𝑥) = (−0.0106)202 + (2.0677)20 − 13.310
𝑓(𝑥) = 23.804cm
𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) = 2(20)(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) =1.6437cm/semana
Semana 40
𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310
𝑓(𝑥) = (−0.0106)402 + (2.0677)40 − 13.310
𝑓(𝑥) = 52.438𝑐𝑚
𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) = 2(40)(−0.0106) + (2.0677)
𝑓′(𝑥) = 1.2197 cm/semana