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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 05
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 -
ÁLGEBRA
01. La población de cierto tipo debacterias está dado por la función
t 2p t 100e 200, t 0 donde t
representa el número de segundos yp(t) expresa el numero de bacteriasen millones.a. ¿En qué momento (para que valor
de t) la población es máxima?b. ¿En el futuro cuál es el valor de la
población? A) 1; 150 B) 2; 200 C) 3; 500
D) 4; 600 E) 5; 700
02. Para que valores de “a” la siguiente
ecuación x 2 x 29 4 3 a 0
tiene solución real.
A) 1; B) 3;0 C) 2; 1
D) 4;0 E)
03. Dada la siguiente ecuación
lognn 10
log 2x 1 log x 1 n . Halle
x sabiendo que “n” es cualquierentero positivo. A) 6 B) 4 C) 3
D) 2 E)3
2
04. La suma de los cuadrados de las
soluciones de la ecuación
23Log 3x 2x 11 3 es
A)100
9 B)
289
4 C)
4
9
D) 16 E)225
4
05. Resolver 2log x 7x 21log 4 773 2
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 3, 4
06. Halle un valor para x tal que;log a ax
xa log a 1; a , a 1.
A) aa B) aa-1 C) a a 1
D)a 1
a
E)a 1
a
07. Cuáles de los siguientes enunciadosson correctos:
I. x
1x 1: log 10x log 10x log x
logx
II. x :antilog log x x
III. b xx; b 1 : exp log x exp logb
A) Solo I y III B) Solo II y IIIC) Solo I D) Solo IIE) Solo III
08. Resolverlog 35
2 2xlog x 8log 2 5 0 ,
de el producto de sus raíces. A) 8 B) 4 C) 16D) 10 E) 15
09. Halle el valor de a en
3
log a 1 13
log a 40
A) 35 B) 48 C) 35,48
D) 41 E) 40
10. La suma de las soluciones reales de
la ecuación 25log x 20x 3 es
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30
11. Si 6 3 2log x B log x, log 3 A , halle
el valor de B
A) A 1
2
B) A 1 C)
A
2
D) A
A 1 E)
2 A
A 1
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 05
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 2 -
12. Cuántas soluciones tiene el sistemaxy 2 1 2y 1 2x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
13. Cuántas raíces tiene la ecuación
x 1 x11 2 3
2
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
14. Determine la suma de las raíces de laecuación exponencial
x 1 x x 1
6 12 2 3 3 2 4 6 0
A)3
4 B)
5
2 C) 1
D)7
2 E) 2
15. Sea 1
5
A x / log x 2 0
2 2x 1 x x 2B x / 4 4 .
Calcule C A B
A) 2,3 B) 1,1 C) 2,4
D) 5,10 1 E) 6,12
16. Halle el menor valor real K tal que
22x xf x 5 k, x
A) 3 B) 4 C) 92
D) 5 E)11
2
17. Halle el conjunto solución de
2x x x 6
2x x
log 10 10 2 2
0e e 7
Si S ;a b; de dicho
conjunto, de como respuesta ab.
A) -6 B) -5 C) -4D) -3 E) -2
18. Si x N , entonces calcule el númerode elementos del conjunto solución
de 1
2
log x 1 2 1
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0
19. Resolver la siguiente inecuación
log x 17
x 107
3
A)
7
1, 2 B) 1, C)
7
,2
D)7
0,2
E)
20. Resolver x x2.9 5 3 2 0 e
indique un subconjunto solución
A) 3 3
1log , log 2
2
B) 3 3log 2, log 2
C) 3 3
1,log log 2;
2
D) log2, log3
E)
21. Resolver la inecuación x x4 2 2 0
A) 0,1 B) ,1 C) 1, D) 1,2 E) 1,1
22. Resolverx 2 x 2
4 2 20
A) x 0,3 B) x 2,3
C) x 1,4 D) x 0,4
E) x 0,1
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 05
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 3 -
23. Halle el valor de x si
a alog x 1 log x 2
A) 2a3 B)1
a 1 C)
2
1
a 1
D) 3a 1 E)2a 1
a
24. Si B es el conjunto solución del
sistemax x x 2 x 1
4 3 2
2 8 2 2
x x x x 1 0
,
entonces el conjunto B es
A) + B) 1;4 C) 1;4
D) 4; E) 1;2 2;4
25. Si (x,b) solución del sistema
b x
b x
log x log b 2
blog x log b
2
halle xx
A) 4 B) 9 C) 2 D) 2 E) 1
26. Determine el conjunto solución de la
ecuación logx logx 0
A) x 1 B) 0 x 10
C) x 0 D)1
x 02
E) 0 x 1
27. Resolver el siguiente sistema
log a log b
ax by
log x log yb a donde a 0, b 0 , halle el valor de x
A) ab B) a C) b
D)1
a E)
1
b
28. Si S es el conjunto solución de la
inecuación a
x 1log x
x 2
donde 3a a , entonces se puede
afirmar que A) S 0,1
B) 1,2 CS
C) C CS 0,1 S
D) S 2,3
E) S 0,2
29. Resolver
2
1 1
2 2
log x 4 log 4x 7
A) 2,1 B) 3, C) 2,
D) 0,1 E) 2,3
30. Si S a;b es el conjunto solución
de la inecuación
x 3x22 log x 2 3 0 de cómo
respuesta ab. A) 8log 3 B) 8log 2 C) 0
D) 2 E) 4
31. Encuentre el conjunto solución de la
inecuación 2log x log x 4 0 si
dicho conjunto es S b;c , de cómo
respuesta 32 bc A) 2 B) -2 C) 4
D) -4 E) 1
32. Resolver la inecuación2 25 log x log x22
10
1x
x
A)1
0, 1,832
B) 0,32
C)1
0, 1,8
8
D) 1,8
E)1
0,32
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 4 -
33. Halle el valor de 2 2 2 2x y z w en
1 2 3 4
w x y z
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1 0
=5 6 8 5
5 1 5 0
A) 8 B) 10 C) 14D) 17 E) 21
34. Si
2 4
A 6 8
1 1
,1 1 1
B1 1 1
,
1 0 0C 0 1 0
0 0 1
Además: ABC di j . Calcule
12 13 11E d d d
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
35.Sea ij ij2 2M a ; a R . Indique elvalor de verdad de los enunciadossiguientes:
I. N matriz de orden 2 2 :MN NM M es una matrizescalar.
II. Si0 0
M M M0 0 0 0
es
una matriz diagonal.
III. Si
11 22
2 0 0 2M M a y a
0 0 0 0
son opuestos.
A) VVV B) VFV C) VVFD) VFF E) FFF
36. Si se define el conjunto
4 m 1 1 p m nM m,n,p,q R /
1 n q 1 p q
Determine el valor de
2 2 2 2m n p q
A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 14
37. Una farmacia vende tres clases depíldoras multivitaminicos, cada tableta
contiene vitaminas B1 , B2 y Crespectivamente, el contenido enmiligramos de cada tipo está indicado
en la siguiente tabla matricial:B1 B2 C
Píldoras
I
II
III
20 15 50
10 15 150
10 15 100
¿Cuántos miligramos de vitamina cestán contenidos en 15 tabletas tipo I,10 tabletas tipo II y 20 tabletas de III? A) 4250 B) 4000 C) 3500
D) 3000 E) 4200
38. Determine x si se verifica
1 1 2 2x x
11 1 6 0
;
ij 2 2xx
11
22
x 2
x c, c
A)
2 c
11c 1 c2
B)
2 c
11c 2 c2 2
C)
c2
2
11c 2 c
2 2
D)
2 c
11c 1c
2
E)2 2c 2
11c 12 c
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 5 -
39. Sea ij 2 2 A a
que satisface la
ecuación matricial
x1 2 1 2
1 3 2 1
Halle traza la matriz de X. A) -2 B) -1 C) 0D) 1 E) 2
40. Si
0 1 0
A 0 0 2
3 0 0
, halle la suma de
los elementos de A40 A) 640 B) 626 C) 614
D) 613 E) 6
41. Sea
x1 2 3
2
x y A 2 y
2 8
3 y 0
tal que
T A A 0 . Calcule el valor de3 2x y
A) 70 B) 71 C)72D) 73 E) 74
42. Sean A, B y C matrices de orden
2 2 sobre . Indique los valores de
verdad de:I. Si A X 0 , X matriz de orden
2 1 , entonces A 0 .II. Si A X BX, X matriz de orden
2 1 , entonces A B III. Si AB AC , entonces B C A) FFV B) VFV C) VVVD) VVF E) FVF
43. Decir el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:
I. Si A y B son matrices diagonalesdel mismo orden, entonces A y Bson conmutativas.
II. Si A es una matriz diagonal
entonces existe A-1.
III. Si A es una matriz triangularinferior y B es una matriz superior,ambos del mismo orden ,entonces AB es una matriztriangular.
A) VVF B) VVV C) VFFD) FFV E) FVF
44. Sean las matrices
1 1 1
A 0 1 00 0 1
;
0
B 1
1
; C 1 1 2 .
Halle la traza de la matriz X que
verifica n A X BC , n N .
A) -2 B) -1 C) 1
D) 2 E) 3
45. Sean las matrices
y x y x
M y x y x
x y x y
;
y x
x yN
y xx y
;
y 1
P x
x y
;x; y
y 0
Halle la suma de los elementos de lamatriz R MNP
A) 2 x y B) 2x y C) 0
D) 2x E) 2y
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 6 -
46. Calcule la matriz x si4 2 3 A B X 144 B A , donde
2 2 2
A 4 4 2
4 2 0
,
3 3 0
B 0 3 0
0 3 3
y
de la suma de los elementos de la 3rafila A) 1 B) -1 C) 0D) 4 E) -4
47. Sean A, B matrices del mismo orden
tal que 5 2 A B , podemos afirmarque:
A) A3
es la inversa de A2
B2
.B) B es la inversa de A4B2.
C) A4 es la inversa de B2.
D) A5 es la inversa de A-1B2.
E) A2 es la inversa de A4B2.
48. Indique la suma de los elementos deX que verifican la siguiente ecuaciónmatricial
T T 1 T
A B X A B
siendo2 3
A3 4
,
1 2B
3 5
A) 20 B) -20 C) 18D) -18 E) 16
49. Si A, B son matrices cuadradas delmismo orden e invertibles, halle x, apartir de
1 1 1 1
A XB B B BA A B A
siB A
A) A-1 B-2 B) 2A-2 B-1
C) A-2 B-1 D) 2A-1 B-2
E) 2(AB)-1
50. Dada la matriz
1 1 1
A 1 0 1
1 2 2
, halle
1 TTr A A
A) -1 B) 1 C) -2D) 2 E) 3
51. Si
a b c
A d e f
0 0 h
y cumple
2 A 5A 5 0 , a e h 8 ,
determine 1
Tr A 3
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
52. Sea la matriz
x y z
A y 3 z
x 0 4
y la
última fila de la matriz
11
A3
es
9 6 3 . Determine la suma de los
elementos de la matriz A. A) 6 B) 7 C) 5D) 8 E) 9
53. Si A es una matriz que cumple
2 1 0
A0 1
y
2 0 3
A2 4
. Halle la suma de
los elementos de A-1.
A) -4 B) 0 C)1
2
D) 3 E) 4
54. Sean las matrices A y B tal que
7 23 25
AB 5 16 16
a 1 4a 3 3a 6
;
1 3 3
B 1 4 31 3 4
.
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Determine el valor de a ,sabiendo que A es una matrizsingular. A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 3
55. Halle la matriz , X Y sabiendo que
TI. A A y 2B
II. T
T T2X B A 4A
III. 35B Y AB B
A) 2 2
T TX A B , Y B A
B) 2 3
T T TX 2B A , Y B A
C) 3
T 2 TX 2B A , Y B A
D) T 2 3X 2B A , Y BA
E) T 3X 2B A, Y BA
56. Dadas las matrices
1 1 5
A 2 1 1
3 0 19
,
3 1
B 2 0
1 2
,
1 2
C 1 1
0 2
Si se cumple que T
XA B C ,
entonces la suma de todos loselementos de la matriz X es A) 25 B) 28 C) 31D) 44 E) 58
57. Halle la matriz “x” que cumple
5 1 5 7
2 1 2 0x
. Indique la Tr(x)
A) -2 B) 2 C) 3D) 8 E) 10
58. Sea A una matriz de orden m n , Buna matriz de orden n 1 , S es el
conjunto solución de la ecuaciónmatricial: AX B , indique el valor deverdad de las siguientesafirmaciones:I. Si X,Y S , entonces
A X Y 0 .
II. , , X,Y S : A X Y S
III. X,Y S : XY S
A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF
59. Dada la matriz
1 1 3
A 5 2 62 1 3
si
2 3 4 A A A A
e A2! 3! 4!
Calcule e A, de cómo respuesta lasuma de sus elementos A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24
60. De el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:I. Si A es una matriz antisimétrica,
entonces su traza es cero.
II. Existen matrices cuadradas A y Btales que AB BA .
III. Dadas A y B de orden n, tales que
A B B A Tr A Tr B
A) VVV B) VFV C) FFV
D) FFF E) VVF
61. Halle el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones, si A es nosibgular:
I. A es simétrica A2 es simétrica.
II. Si A-1 es simétrica A es
simétrica.
III. T 10 A A es no singular.
A) VVV B) VFV C) VVFD) VFF E) FFF
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 8 -
62. Calcule
2 2 22
2 2 22
2 2 22
2 2 22
a a 1 a 2 a 3
b b 1 b 2 b 3
c c 1 c 2 c 3
d d 1 d 2 d 3
A) 0 B) 1 C) aD) abc d E) a b c d
63. Halle D
, si , y son
raíces de la ecuación cúbica3x px q 0
A) -1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3
64. Indique el valor de verdad (V) ofalsedad (F) de las siguientesafirmaciones:I. Si A es una matriz antisimétrica de
orden 2n 1 , entonces
det A 0 .
II. Si det A 0 , entonces A es la
matriz nula.
III. Si T A A 1 , entonces
2 3 4 5 A A A A A 5
A) VVF B) VFF C) VFV
D) FVV E) FFF
65. Halle el valor de
0 0 1 4
0 1 2 3E
1 2 4 6
0 0 4 6
A) -10 B) -8 C) -4D) 2 E) +10
66. Dada la matriz
ij ij4 4
ij 1 si i j A a / a
ij 2 si i j
.
Calcule 1189 A .
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
67. Al obtener la matriz inversa de A, si
existe, si
3 6 9
A 0 2 1
3 1 2
se obtiene
5 3 q
1 3 p 3m
n 21 6
, luego m n p q
es igual a: A) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25
68. Si se cumple que:
1 5 A
3 7
3 1B
7 11
a c 11
COF A Adjunta B10 b d 2
Calcule a b c d
COF A Matriz de cofactores,
Adjunta(B): Matriz Adjunta de B A) 61 B) 62 C) 63D) 64 E) 65
69. Dada la matriz
ij
ij 9 4ij
a i j ; i j A a
a i j ; i j
,
ij ij4 8B b b 2 max i j
y C A B , halle 23 77S C C
A) 528 B) -120 C) 338D) 424 E) -225
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 9 -
70. Si ij 2 2 A a , A 3
ij 3 3B b , B 4
ij 4 4C c , C 5
Calcule
E C A B C A B
A) 1436 B) 1364 C) 1346D) 1463 E) 1643
71. Sea ij n n
0 , i j A a
1 , i j
, y las
matrices columnas n 1b y n 1x .
Respecto del sistema de ecuacioneslineales A x b . Indique si las
siguientes proposiciones sonverdaderas (V) o falsas (F):I. No tiene solución.II. Tiene una única solución.III. Tiene infinitos soluciones. A) VVF B) FVV C) VFFD) FFV E) FVF
72. Calcule el valor del determinantea : b
a 1 3a b 2a b 1
2b b 1 2 b 1
a 2 0 1 a 3
b 1 1 a 2 a b
A) 2 2a b B) 2 2a ab b
C) 0 D) 2 2a b
E) 3 3a b
73. Sea la matriz
1 1 1 1 x
1 1 1 x 1
M 1 1 x 1 1
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
Determine los valores de x, tal que el
determinante de M, sea igual a cero. A) 1;1 B) 0;1
C) 1;3 D) 1; 2
E) 1; 4
74. Determine el valor de verdad de los
siguientes enunciados:I. Si AB AC y A no singular,
entonces B C .
II. Si 3 A 64 , entonces 2 1 A
16
III. Sia 1
A0 a
, entonces
n ntraz A 2a
A) VVV B) VFV C) FVVD) VVF E) VFF
75. Sea T una matriz cuadrada conTT T y que T es no singular y
se define 1
B T T
al
respecto se afirma:
I. B y BT conmutan.
II. 1 TB B
III. Det B 1
¿Cuáles de estas afirmaciones sonlas correctas? A) Solo I B) Solo II C) Solo IIID) Solo I y II E) Solo II y III
76. Si A y B son matrices de orden 3 3 y r 0 un número real, indique lasecuencia correcta después de
determinar si la proposición esverdadera (V) o falsa (F):
I. Det AB Det A Det B
II. Det A B Det A Det B
III. 22Det rA r Det A
A) VVV B) VVF C) FVVD) VFF E) FFF
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 10 -
77. Halle la matriz X si8 4 6 5 7 A X B A A B si
1 2 2
A 1 2 1
1 1 0
y
1 1 0
B 0 1 0
0 1 1
De cómo respuesta la suma de loselementos de la diagonal A) -2 B) 2 C) 1D) -1 E) 0
78. Evaluar
0 2 3 4 5
2 0 6 7 8
D 3 6 0 9 10
4 7 9 0 11
5 8 10 11 0
A) 2 B) 3 C) 5
D) 0 E) 1
79. De el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:I. Si A es una matriz
cuadrada 3 2 2 3 A A A A
II.
a b c d c a x y
x y z w a b c d
0 1 2 3 x y z w
c a x y 0 1 2 3
III. det A B det B det A ,
n r r m A y B
A) VVV B) VVF C) FVVD) FFV E) VFF
80. Calcule la determinante de la matrizX, de orden 3, que verifica:
T 1 2 32 X B A B A C , si A 2 ,
B 6 y C 8
A) 133 B) -62 C) 72D) 26 E) 14
81. Halle el valor de x tal que
10 x x x
x 10 x x 0
x x 10 x
A)10
3 B)
20
3 C)
40
3
D)50
3 E)
70
3
82. Halle el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones:I. Si A es una matriz no singular,
entonces 1 T 2 A A A es no
singular.II. Si A es invertible, entonces 4 A es
no singular.III. Si A es una matriz cuadrada y
antisimétrica, entonces A essingular.
A) VVV B) VVF C) VFVD) VFF E) FFF
83. Determine “x-y” al resolver el sistema
1 2 1 2x y 1
2 3
1 2 1 2x y 1
3 2
A) -3 B) -1 C) 0D) 1 E) 3
84. Halle los valores del parámetro “m” de
manera que el sistema homogéneopresente soluciones diferentes a lastriviales
1 m x y z 0
2x my 2z 0
x y 1 m z 0
A) 0 B) 0,2
C) 0,2, 2 D) 2, 2
E) 0, 2
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 05
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 11 -
85. Al resolver un sistema lineal deecuaciones se obtuvo el gráfico:
Valore las proposiciones siguientesrelacionadas con el enunciado:
I. El conjunto solución: C.S 3,1
II. Una de las ecuaciones es:3y 8x 2
III. 2 2a b 6 A) VVV B) VFF C) FVVD) FVF E) FFF
86. Si 2 2
4 2 2 4
x x y y 13x,y /
x x y y 91
Indique una solución, dando como
respuestay
xyx
A) 6 B) 3 C) 2D) 1 E) 4
87. Al resolver el sistema
2x y 5z w 5
x y 3z 4w 1
3x 6y 2z w 8
2x 2y 2z 3w 2
Halle 2 2 2 2x y z w
A)111
14 B)
118
9 C)
117
25
D) 18 E) 19
88. Resolver el siguiente sistema2
2x 1 3log y2 x 2x 1y 2 y 2
De la suma de todos los valores de y.
A) 1 B) 8 C) 33D) 2 E) 32
89. Determine el conjunto solución delsistema
2 2
3 2
x 4x y 64
x 6x 12x y 8
A) 0;8 , 2;1 B) 0;8 , 4; 8
C) 10;8 , 0; 8 D) 4; 8 , 2;8
E) 1;2 , 4; 8
90. El siguiente sistema tiene una únicasolución, si x y 3 , halle el valor de
a z
x 4y z a
2x 6y z 0
3x 5y 2z 5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E)7
2
91. ¿Para que valores de m el sistema
x m y 1
m x 3m y 2m 3
no tiene
solución?
A) -3 B) 0 C) 0; 3
D) 3 E) 1
92. Sea el conjunto
bx y a A a /
3y 2x 1
tiene solución única
A)2
0,3
B)2
\3
C) 2;3
D) 21,3
y
x
(a,b)
5
L 2
L 1
1
4
5
3 2
3
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 05
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 12 -
E) ; 1
93. Calcule c en el sistema para que “x”exceda en 4 unidades a “y”
7x 4y c 3x c 2y
A) 20 B) 42 C) 32D) 52 E) 36
94. ¿Qué valor debe tener a para que xsea igual a y en el siguiente sistema?ax 4y 119
5x ay 34
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
95. Un obrero trabajó durante 2 mesescon su hijo en una misma fábrica. Elprimer mes, por 14 días del padre y24 del hijo recibieron S/. 1180; elsegundo mes por 21 días del padre y19 del hijo recibieron S/. 1430. ¿Cuáles la diferencia de jornales diarios delpadre y del hijo? A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
96. Al resolver el sistema:
x 2y 8 1
x 4y z 14 2
2x 2y z 10 3
donde x, y, z son enteros positivos,
determine la suma de las solucionespara x. A) 3 B) 6 C) 10D) 12 E) 14
97. Cuántas soluciones tiene2x 3y 4z 6
5x 2y 3z 7
19x 17z 33
A) solo una B) dosC) tres D) ningunaE) infinitas
98. El sistemacx az b ay bx c
bz cy a
tiene solución única, halle el valorde “y”
A)ab
c B)
2 2a b
2ac
C)2 2 2a c b
2ac
D)
2 2c a
ab
E) ab c
99. Halle el valor positivo de “a” si el
siguiente sistema tiene solución única2 2x y 144
y ax 13
A)2
3 B)
5
12 C)
1
8
D)1
12 E)
11
12
100. Sea el sistema 2x ye 128 ;
x 2ye 2 el valor de y es: A) n3 B) 3n2 C) 5 n2
D) n2 E) n3-n2
101. Calculex
y si
log x log yn n
n
n n nxlogx y log 6 2
y
A) 1 B) 10 C) 0.1
D) 100 E)1
100