UCV 1 12/07/2014
MSc. Flix Aucallanchi V.
2d Unidad:
ENTROPA Y CICLOS DE POTENCIA
CURSO:
TERMODINMICA
UCV 2 12/07/2014
DESIGUALDAD DE CLAUSIUS
La integral cclica de dQ/dT siempre es menor o igual a cero.
0dQ
T
Donde dQ es un diferencial de calor suministrado a un ciclo a la
temperatura absoluta T. El smbolo se usa para indicar que la
integracin ser realizada durante un ciclo entero.
La igualdad, en la desigualdad de Clausius, se cumple para los ciclos
totalmente reversibles o slo internamente reversibles, mientras que la
desigualdad se verifica para los ciclos irreversibles.
int,
0 0rev irrev
dQ dQ
T T
La entropa, o entropa total, denotada con S, es una propiedad
termodinmica extensiva que se define a partir de:
;dQ kJ
dST K
UCV 3 12/07/2014
Cambio de entropa
La entropa por unidad de masa, denotada con s, es una propiedad
termodinmica intensiva que se define a partir de:
;dq kJ
dsT kg K
El cambio de entropa, DS, durante un proceso internamente reversible
entre los estados inicial (1) y final (2), se obtiene efectuando la integracin:
2
2 11
int,
;rev
dQ kJS S S
T K D
DS en un proceso isotrmico de transferencia de calor
Teniendo en cuenta que los procesos isotrmicos de transferencia de
calor son internamente reversibles, se cumple que:
;o
Q kJS
T K D
signo S signo QD
UCV 4 12/07/2014
Ejemplo 1.- Durante un proceso de expansin isotrmica una
mquina trmica recibe 360 kJ de calor desde una fuente que se
encuentra a 600 K. Cunta entropa se transfiere a la mquina?
Se reconoce que:
QA = +360 kJ; TA = 600 K
Por tratarse de un proceso isotrmico la
transferencia de entropa est dada por:
A
A
QS
TD
3600,6 /
600
kJS kJ K
K
D
Observacin.- Si el sumidero de la mquina
est a la temperatura de 300 K y la eficiencia de
la mquina es de 40%, cunta entropa se
transfiere hacia el sumidero?
D ' 0,72 /S kJ K
UCV 5 12/07/2014
Ejemplo 2.- Un dispositivo compuesto por cilindro-mbolo contiene una
mezcla de lquido y vapor de agua a 300 K. Durante un proceso a presin
constante se transfieren al agua 750 kJ de calor. Como resultado, la parte
lquida en el cilindro se vaporiza. Determine el cambio de entropa del
agua durante el proceso.
Considerando como sistema al contenido del cilindro
podemos decir que se trata de un sistema cerrado.
Se observa que la temperatura del sistema
permanece constante en 300 K durante
este proceso porque la temperatura de una
sustancia pura permanece constante en el
valor de saturacin durante un cambio de
fase a presin constante.
Luego, aplicando la ecuacin correspondiente a un proceso
isotrmico de transferencia de calor, se tiene:
7502,5
300o
kJQ kJS S
T K KD D D
D
Sm
s 0,31m kg
UCV 6 12/07/2014
Incremento de Entropa
Analicemos el ciclo termodinmico mostrado. De la desigualdad de
Clausius se cumple que:
0dQ
T
2 1
1 2int,
0rev
dQ dQ
T T
2
1 21
0dQ
S ST
2
2 11
dQS S
T
dQdS
T
Donde T es la temperatura de la frontera a travs de la cual se transfiere
calor Q entre el sistema y los alrededores.
; proc. inter . reversible
; procesoirreversible
dQdS
T
dQdS
T
UCV 7 12/07/2014
Generacin de Entropa
El valor de Sgen siempre es positivo y depende del tipo de proceso:
2
1sist gen
dQS S
TD
2
1gen sist
transf de entropa
dQS S
T D
La entropa generada durante un proceso, denotada como Sgen, se define
como la diferencia entre el cambio de entropa (DS) y la transferencia de
entropa . 2
1/dQ T
0;
0;
0;
gen
proceso irreversible
S proceso irreversible
proceso imposible
Tengamos en cuenta que alguna entropa es generada o creada durante
un proceso irreversible y esta generacin se debe completamente a la
presencia de irreversibilidades.
En un sistema aislado no hay transferencia de entropa: 2
1/ 0dQ T
2
2 11sist
dQS S
T
UCV 8 12/07/2014
Principio de Incremento de Entropa (PIE)
La entropa de un sistema aislado durante un proceso siempre se
incrementa o, en el caso lmite de un proceso reversible, permanece
constante.
Mas abreviadamente: La entropa nunca disminuye.
0aisladoSD
Puesto que la entropa es una propiedad extensiva, la entropa total de
un sistema viene dado por la suma de las entropas de sus partes.
Un sistema y sus alrededores pueden ser considerados como dos
subsistemas de un sistema aislado. Luego, en este sistema, el cambio
de entropa solo se debe a la generacin de entropa ya que no hay
transferencia de entropa.
0generada total sistema alredS S S S D D D
Como ningn proceso real es reversible se concluye que la entropa del
universo est incrementndose continuamente.
UCV 9 12/07/2014
Comentarios referidos al Principio de Incremento de Entropa (PIE)
1. Las cosas en la naturaleza tienden a cambiar hasta que logran un
estado de equilibrio.
2. El PIE dicta que la entropa de un sistema aislado aumenta hasta
que su entropa alcanza un valor mximo.
3. Se dice que un sistema ha alcanzado un estado de equilibrio
porque el PIE en ese punto prohbe al sistema sufrir cualquier
cambio de estado que produzca una disminucin de entropa.
4. Los procesos solo pueden ocurrir en una direccin en la que se
cumple que:
5. La entropa es una propiedad que no se conserva. Solo se
conserva en los procesos reversibles (ideales).
6. La eficiencia o desempeo de los sistemas de ingeniera es
degradado por irreversibilidades; y la entropa es una medida de
estas.
0generadaS
UCV 10 12/07/2014
Ejemplo 3.- Una fuente de calor a 800 K pierde 2 000 kJ de calor hacia
un sumidero: a) 500 K, b) 750 K. Determine qu proceso de
transferencia de calor es ms irreversible.
En 1er lugar calculamos el cambio de entropa que se produce en la
fuente a 800 K, considerando que se transfiere calor isotrmicamente:
20002,5 /
800fuente
fuentefuente
Q kJS kJ K
T K
D
Proceso A: Calculamos la variacin de
entropa producida en el sumidero a la
temperatura de 500 K:
20004 /
500sum
sumsum
Q kJS kJ K
T KD
2,5 4
1,5 /
generada total fuente sum
generada
S S S S
S kJ K
D D D
Luego, la entropa generada en el sumidero es:
UCV 11 12/07/2014
Proceso B: Calculamos la variacin de entropa producida en el
sumidero a la temperatura de 750 K:
20002,7 /
750sum
sumsum
Q kJS kJ K
T KD
2,5 2,7
0,2 /
generada total fuente sum
generada
S S S S
S kJ K
D D D
En conclusin el cambio de entropa total en el proceso A es mayor
que en el Proceso B y por lo tanto es el ms irreversible.
Cul de los procesos es menos irreversible si se tratara de mquinas
de Carnot?
Por definicin las mquinas de Carnot son reversibles y puede
demostrarse que: DStotal = 0
UCV 12 12/07/2014
Cambio de Entropa en Sustancias Puras
La entropa de una sustancia pura, y en particular sus cambios, se
determinan a partir de las tablas, al igual que las dems propiedades.
f fgs s x s En la zona de vapor hmedo:
En la zona de lquido comprimido: , , ,f T P f Ts s
En la zona de vapor sobrecalentado: , , ,g T P g Ts s
UCV 13 12/07/2014
Ejemplo 4.- Un recipiente rgido contiene inicialmente 5 kg de
refrigerante 134a sobrecalentado a 20C y 140 kPa. La sustancia se
enfra mientras es agitada hasta que su presin disminuye a 100 kPa.
Determine el cambio de entropa del refrigerante durante este proceso.
1
1
140
20
P kPa
T C
Estado 1: Vapor sobrecalentado, tabla A-13:
Estado 2: Vapor Hmedo, tabla A-12:
3
2
32 1
0,0007259 /100
0,19254 /
f
g
m kgP kPa
m kg
v
v v v
Reconociendo que el proceso es a volumen
constante, calculamos la calidad x de la mezcla:
2 0,16544 0,0007259 0,8590,19254 0,0007259
f
fg
x
v v
v
1
3
1
1,0624 /
0,16544 /
s kJ kg K
m kg
v
UCV 14 12/07/2014
Luego la entropa especfica en el estado final (2), con ayuda de la
tabla A-12, viene dado por:
2 0,07188 (0,859)(0,87995)f fgs s x s
2 0,8278 /s kJ kg K
Finalmente el cambio de entropa DS durante este proceso viene
dado por:
2 1 5 0,8278 1,0624 /S m s s kg kJ kg KD
1,173 /S kJ KD
Obsrvese que la variacin de entropa es negativa, es decir, el
sistema reduce su entropa. Sin embargo esto no representa una
violacin de la 2da Ley de la Termodinmica, pues el trmino que
no puede ser negativo es la entropa generada (Sgen).
UCV 15 12/07/2014
Ejemplo 5.- Inicialmente, un dispositivo de cilindro-mbolo contiene 4 kg
de agua lquida a 200 kPa y 20C. El agua est ahora calentndose a una
presin constante por la adicin de 11,47 MJ de calor. Determine el
cambio de entropa del agua durante este proceso.
1 ,201
1 1 ,20
0,2965 /200
20 83,915 /
f C
f C
s s kJ kg KP kPa
T C h h kJ kg
Estado 1: Lquido Comprimido y segn la tabla A-4:
En el estado final la presin es P2 = 200 kPa
porque la presin es constante. La 2da
propiedad, para identificar el estado final, la
obtendremos del balance de energa:
2 1e b e bQ W U Q W U H m h h D D D
2 211147 4 83,915 2870,7 /h h kJ kg
Y segn la tabla A-6, para P = 200 kPa, se tiene: s2 = 7,5081 kJ/kg.K
Finalmente: 2 1 4 7,5081 0,2965 28,85 /S m s s kJ KD
UCV 16 12/07/2014
PROCESOS ISENTRPICOS
Definicin
Una masa fija experimenta un proceso isentrpico si su entropa se
mantiene constante.
Un sistema realiza un proceso isentrpico si el proceso es internamente
reversible y adiabtico.
1 20 ( / )s s s kJ kg KD
Las bombas, turbinas, toberas y difusores son esencialmente adiabticos
en su funcionamiento.
Estos dispositivos tienen mejor desempeo cuando se minimizan las
irreversibilidades como la friccin asociada al proceso.
Principio fundamental
La entropa de una masa fija puede modificarse por medio de
irreversibilidades o por transferencia de calor.
Un proceso adiabtico reversible es necesariamente isentrpico
pero uno isentrpico no es necesariamente adiabtico reversible.
UCV 17 12/07/2014
Ejemplo 6.- En una turbina entra vapor de agua a 5
MPa y 450 C; y sale a una presin de 1,4 MPa.
Determine el trabajo de salida de la turbina por
unidad de masa de vapor si el proceso es reversible.
i) Asumimos que el proceso es de flujo
estacionario, luego: DmVC = 0, DEVC = 0 y
DSVC = 0.
ii) El proceso es reversible.
iii) Las energas cintica y potencial son
insignificantes.
iv) La turbina es adiabtica y por tanto no
hay transferencia de calor.
Puesto que slo hay una entrada y una salida se cumple que: 1 2m m m
Haciendo el balance de energa por unidad de masa en el VC, se tiene:
entrada salidae e e e s se sq w q w
UCV 18 12/07/2014
ec ep 1
sh w ec ep 2
h 1 2 ...(*)sw h h
Estado 1.- Segn la tabla A-6:
1
1
5
450
P MPa
T C
1
1
3324,2 /
6,8210 /
h kJ kg
s kJ kg K
Estado 2.- Teniendo en cuenta que el proceso es
adiabtico reversible, se tiene un proceso
isentrpico. Luego, segn la tabla A-6, y haciendo
interpolaciones, se tiene:
2
2 1
1,4P MPa
s s
2
2
6,8210 /
2967,4 /
s kJ kg K
h kJ kg
Reemplazando en (*):
3324,2 2967,4 349,8 /s sw w kJ kg
UCV 19 12/07/2014
DIAGRAMAS DE PROPIEDADES QUE INCLUYEN ENTROPA
a) Diagrama Temperatura - Entropa
El rea bajo la curva del proceso
representa la transferencia de
calor durante un proceso
internamente reversible.
Para los dispositivos de flujo
adiabtico estacionario, la
distancia vertical Dh es una
medida del trabajo y la distancia
horizontal es una medida de las
irreversibilidades
b) Diagrama Entalpa - Entropa
dA TdS2
1rea TdS Q
UCV 20 12/07/2014
Ejemplo 7.- Dado el grfico Temperatura-Entropa de un ciclo
termodinmico, se pide calcular el calor suministrado, el calor
rechazado en cada ciclo y el trabajo neto.
Rpta: 60 kJ
UCV 21 12/07/2014
Relaciones T ds
Analizando un proceso mediante la 1ra Ley de la Termodinmica en
el que el sistema es cerrado (masa fija), y en donde no ocurren
cambios en la energa cintica y potencial.
int, int, ...(*)rev revdQ dW dU
int, int,rev revdQ TdS dW PdV Donde:
; ( / )Tds du Pd kJ kg v
; ( )TdS dU PdV kJ En (*)
Ecuacin de Gibbs
Recordando que: h u P dh du Pd dP v v+ v
De Gibbs: dh Tds dP + v Tds dh dP v
Finalmente: du Pd
dsT T
v dh dP
dsT T
v v
p
du c dT
dh c dT
UCV 22 12/07/2014
Cambio de Entropa de Lquidos y Slidos
Los lquidos y slidos son sustancias aproximadamente incompresibles, por ello: dv = 0. Asimismo: cv = cp = c, luego: du = cdT
du Pdds
T T
v du cdTds ds
T T
En consecuencia: 2
22 1
11
( ) lnpromT
s s c T dT cT
Donde cprom es el valor promedio del calor especfico a lo largo de un
intervalo de temperatura dado.
En un proceso isentrpico, se cumple que:
22 1
1
ln 0promT
s s cT
2 1T T
La temperatura de una sustancia verdaderamente incompresible se
mantiene constante. Por tanto el proceso isentrpico de una sustancia
incompresible es tambin isotrmico.
UCV 23 12/07/2014
Ejemplo 8.- Determine el cambio de entropa del metano lquido cuando
se somete a un proceso desde 110 K y 1 MPa hasta 120 K y 5 MPa:
a) Utilizando las propiedades tabuladas,
b) Considerando al Metano lquido como un lquido incompresible.
UCV 24 12/07/2014
Estado 1: 1
1
1
110
P MPa
T K
1
1
4,875 /
3,471 /p
s kJ kg K
c kJ kg K
Estado 2: 1
1
5
120
P MPa
T K
2
2
5,145 /
3,486 /p
s kJ kg K
c kJ kg K
a) Utilizando los datos de la tabla:
2 1 5,145 4,875 0,270 /s s s kJ kg KD
b) Considerando al metano lquido como incompresible:
1 2 3,471 3,4863,4785 /
2 2p p
prom
c cc kJ kg K
21
120ln 3,4785 ln 0,303 /
110promT
s c kJ kg KT
D
Error involucrado en (b):
0,270 0,3030,122 12,2%
0,270
tabla aprox
tabla
s s
s
D D
D