INTRODUCCIÓN
Rama del control moderno que se relaciona con el
diseño de controladores para sistemas dinámicos tal
que se minimice una función de medición que se
denomina índice de desempeño o costo del sistema.
El problema de control óptimo se puede representar
matemáticamente en las siguientes partes:
La descripción del proceso a controlar (modelo del
sistema).
La descripción de las restricciones físicas.
La descripción del objetivo buscado.
La descripción de algún criterio para describir el
desempeño óptimo (índice de desempeño).
ÍNDICE DE FUNCIONAMIENTO O DESEMPEÑO
medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema.
debe brindar selectividad, debe ser un número positivo o cero.
debe ser función de los parámetros del sistema
fácilmente calculable analíticamente y por computadora.
El cálculo del índice de desempeño, parte de la definición del
error e(t) entre la respuesta en estado estable y la respuesta
transitoria
Criterio de la integral del error cuadrático (ICE).-
Criterio de la integral de la magnitud absoluta del error (IAE)
dtteJ
0
2
1 )(
dtteJ
0
2 )(
…. Criterio de la integral del tiempo multiplicada por el
error absoluto (ITEA)
Criterio de la integral del tiempo multiplicada por el
error cuadrático (ITEC):
dttetJ
0
3 )(
dttetJ
0
2
4 )(
SISTEMA DE CONTROL ÓPTIMO El índice de funcionamiento de un sistema de control en
términos de variables de estado, se expresa:
Considerando el sistema:
se puede representar mediante la ecuación diferencial
vectorial:
un regulador de retroalimentación de control de modo que:
dttuxgJ
ft
0
),,(
uBxAx
)(xhu
…….
Para minimizar el índice de desempeño J, tenemos que
considerar estas dos ecuaciones:
los pasos de diseño son los siguientes:
Determínese la matriz P que satisfaga la ecuación (11) donde D es una
matriz conocida.
Minimícese J determinando el mínimo de la ecuación (10)
P es una matriz simétrica, es decir:
)10(.......)0()0(.0
xPxdtxxJ TT
)11(..........)( IPDPDT
),( jiij pp
DISEÑO CONSIDERANDO LA MAGNITUD DE LA
SEÑAL DE CONTROL.
Considerando el gasto energético de la señal de
control se tiene el siguiente índice de desempeño:
La ecuación del sistema se puede escribir como:
Sabiendo que:
Donde es una matriz de orden nxn
En este caso se necesita de:
dtuuxIxJ TT
0
).(
xDuBxAx
,xHu
)( HHIQ T
QPDPDT )(
)0()0( xPxJ T
SISTEMA REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO
(LQR)
consiste en minimizar una función con respecto a las
entradas de control sujetas a restricciones lineales en el
sistema
Se asume que el sistema esta en equilibrio y se desea
mantener en equilibrio aun en presencia de perturbaciones.
Una ventaja de usar el esquema de control óptimo cuadrático
es que el sistema diseñado será estable, excepto en el caso en
el que el sistema no es controlable.
Al diseñar sistemas de control con base en la minimización de
los índices de desempeño cuadrático necesitamos resolver las
ecuaciones de Riccati.
MATLAB tiene un comando Iqr que proporciona la solución a la
ecuación de Riccati en tiempo continuo y determina la matriz
de ganancias de realimentación óptima.
…….
consideraremos el problema de determinar el vector
de control u(t) óptimo para el sistema anteriormente
descrito y el índice de desempeño obtenido mediante:
Q es una matriz hermítica definida positiva (o
semidefinida positiva) o simétrica real y R es una
matriz hermítica definida positiva o simétrica real
𝑱 = 0
∞
𝒙∗𝑸𝒙 + 𝒖∗𝑹𝒖 𝑑𝑡
OBSERVACIÓN Si x es un vector de dimensión n complejo y P es una matriz
simétrica compleja, entonces, la forma cuadrática compleja se
denomina forma hermítica.
(Para un vector real x y una matriz simétrica real P, una forma
hermítica x*Px se vuelve igual a la forma cuadrática xTPx.).
Sea M una matriz hermítica n x n, es decir, una matriz de elementos
complejos que tiene la característica de ser igual a su propia
traspuesta conjugada:
M* = M
donde M* representa la traspuesta conjugada de M.
Pues bien, se dice que una matriz hermítica M es DEFINIDA
POSITIVA si se cumple
z*Mz > 0 (producto de matrices)
para todo vector complejo no nulo z.
[z = elemento del conjunto Cⁿ // z* = traspuesto conjugado de z]
La ley del control óptimo para el problema de control óptimo
cuadrático es lineal y se llega a ella mediante
𝒖 𝑡 = −𝑲𝒙 𝑡 = 𝑹−1𝑩𝑇𝑷𝒙(𝑡)
La matriz P debe satisfacer la ecuación reducida siguiente:
𝑨𝑇𝑷 + 𝑷𝑨 − 𝑷𝑩𝑹−1𝑩𝑇𝑷+ 𝑸 = 𝟎
Esta última ecuación se denomina ecuación matricial reducida
de Riccati.
PASOS DE DISEÑO:
Resuelva esta última ecuación para la matriz
P. [Si existe una matriz P definida positiva
(ciertos sistemas pueden no tener una matriz P
definida positiva), el sistema es estable o la
matriz A - BK es estable.]
Sustituya esta matriz P dentro de la ecuación
anterior. La matriz K resultante es la matriz
óptima.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REGULADOR
ÓPTIMO CUADRÁTICO CON MATLAB
Comandos:
𝐾 = 𝑙qr(A, B, Q, R)𝐾, 𝑃, 𝐸 = 𝑙qr(A, B, Q, R)