Matemticas Administrativas
Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Sociales y Administrativas
CUATRIMESTRE DOS
Programa de la asignatura:
Matemticas Administrativas
Clave:
ESAD
Agosto, 2010
Matemticas Administrativas
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INDICE I. Informacin general de la asignatura ......................................................................................... 3
Ficha de identificacin .................................................................................................................... 3
Descripcin ..................................................................................................................................... 3
Propsito ......................................................................................................................................... 5
II. Competencia(s) a desarrollar ...................................................................................................... 6 Competencia general: ..................................................................................................................... 6
Competencias especficas: .............................................................................................................. 6
III. Temario ................................................................................................................................... 7 IV. Metodologa de trabajo .......................................................................................................... 9 V. Evaluacin ............................................................................................................................. 11 VI. Materiales de apoyo ............................................................................................................. 13 VII. Desarrollo de contenidos por unidad .................................................................................... 15
UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones ...................................................................................... 15
UNIDAD 2: Lmites y continuidad .................................................................................................. 37
UNIDAD 3: Clculo diferencial y sus aplicaciones ......................................................................... 51
UNIDAD 4: Clculo integral y sus aplicaciones .............................................................................. 91
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I. Informacin general de la asignatura
Ficha de identificacin
Nombre de la Licenciatura o Ingeniera:
Licenciaturas en Administracin de Empresas Tursticas, Mercadotecnia Internacional, y Administracin y Gestin de Pequeas y Medianas Empresas (PYMES)
Nombre del curso o asignatura Matemticas Administrativas
Clave de asignatura:
Seriacin: Sin seriacin
Cuatrimestre: Dos
Horas contempladas: 72
Descripcin
La Secretara de Educacin Pblica (SEP) cre el programa de Educacin Superior Abierta y
a Distancia (PESAD) apoyado en el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin (TIC),
con el fin de satisfacer las necesidades de profesionalizacin de diversos grupos en el nivel
superior. Su principal objetivo es impartir una formacin integral que promueva el desarrollo de
conocimientos, capacidades, habilidades, actitudes, valores y la autogestin del conocimiento en
cada una de sus carreras, mediante la aplicacin del modelo por competencias.
Las carreras tcnicas y licenciaturas ofrecidas por el PESAD estn organizadas de acuerdo
al rea del conocimiento a la que pertenecen, por ejemplo la de Ciencias Sociales y la
administrativa, entre otras. El rea administrativa engloba las licenciaturas en Administracin de
Empresas Tursticas, Mercadotecnia Internacional, y Administracin y Gestin de Pequeas y
Medianas Empresas (PYMES), para las cuales se ha diseado un mapa curricular conformado por
mdulos. Entre los cuales se encuentra la asignatura de Matemticas Administrativas, impartido
en el segundo cuatrimestre y cuyo propsito es proporcionar al estudiante las herramientas
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necesarias para el desarrollo de sus habilidades en el pensamiento y razonamiento lgico, para la
solucin de problemas, toma de decisiones y anlisis de situaciones que se presenten a lo largo de
su trayectoria acadmica, profesional y personal.
El programa de la asignatura de Matemticas Administrativas est estructurado por
cuatro unidades, cada una de las cuales involucrar gradualmente al estudiante en los diversos
conceptos y frmulas que puede utilizar durante su trayectoria acadmica y profesional. La
primera unidad comienza con el concepto de funcin, los diferentes tipos de funcin y las
operaciones que se pueden realizar con ellas, conocimientos indispensables para comprender las
siguientes unidades temticas que abarcan los conceptos de clculo diferencial e integral. La
segunda unidad permite lograr un entendimiento de los lmites de una funcin, su importancia en
una funcin continua y su aplicacin prctica en el rea econmico-administrativa. La tercera
unidad inicia con el concepto de la derivada, las frmulas y los mtodos de derivacin, adems
abarca el concepto de la diferencial, con lo cual se proporciona al estudiante los conocimientos
necesarios para comprender el anlisis marginal y sus implicaciones en los procesos econmicos y
administrativos de una empresa. Finalmente, la cuarta unidad establece los principios del clculo
integral para que el estudiante pueda utilizarlos en la solucin de problemas relacionados con
utilidades, asignacin de recursos e inventarios, temas de gran importancia dentro del rea de las
matemticas financieras.
Los propsitos de la asignatura, en relacin al tronco bsico, son que el estudiante:
1. Adquiera la capacidad de identificar, plantear y resolver problemas para desarrollarse de
forma competitiva durante su trayectoria estudiantil y su vida profesional.
2. Desarrolle sus habilidades de organizacin, planificacin del tiempo, su capacidad de trabajo
en equipo, y aprendizaje y actualizacin permanente, lo que influir de manera positiva en
su actuar ante nuevas situaciones que se le presenten a lo largo de su vida como estudiante
y futuro profesionista.
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3. Identifique, dentro del contexto socioeconmico mexicano, la importancia y utilidad de las
matemticas administrativas para buscar, procesar y analizar informacin procedente de
diversas fuentes, as como para aplicar sus conocimientos en la prctica como estudiante y
futuro profesionista.
4. Se conduzcan de manera tica y responsable en el manejo y anlisis de la informacin, as
como en la toma de decisiones.
Propsito
Esta asignatura tiene como propsito proporcionar al estudiante los conceptos y las
herramientas de las matemticas administrativas, como operaciones con funciones, lmites y
continuidad, derivadas, diferenciales e integrales, que le facilitarn de manera prctica solucionar
problemas vinculados con el rea econmico-administrativa. Por ejemplo, ingresos, costos,
utilidades, recursos materiales y humanos, e inventarios.
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II. Competencia(s) a desarrollar
Competencia general:
Utiliza las funciones algebraicas, los lmites y la continuidad de funciones, as como el
clculo diferencial e integral para resolver problemas vinculados con el mbito econmico-
administrativo, a travs de la aplicacin de frmulas, interpretacin de grficos y desarrollo de
operaciones algebraicas.
Competencias especficas:
Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que se
presentan en situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, a travs de
conceptos, tipos de funciones y modelos grficos.
Determina el comportamiento de una funcin de acuerdo a los lmites de la misma para
conocer su impacto en los procesos econmico-administrativos, mediante la aplicacin de los
teoremas de lmites de una funcin y su relacin con funciones continuas y discontinuas.
Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de lmites y continuidad de una
funcin y de terminar su impacto a travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial
integral y su aplicacin en las matemticas financieras.
Aplica los elementos de los diferentes mtodos de integracin y las funciones de las
matemticas financieras para el planteamiento y resolucin de problemas de utilidad,
asignacin y agotamiento de recursos e inventarios, mediante el uso de de las frmulas y
conceptos del clculo integral.
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III. Temario
1. Funciones y sus aplicaciones
1.1 Funciones y variables
1.1.1 Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e
independientes
1.2 Tipos de funciones y su aplicacin
1.2.1 Tipos de funciones y sus grficas
1.2.2 Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio
1.2.3 Modelo grfico del punto de equilibrio
2. Lmites y continuidad
2.1 lgebra de lmites
2.1.1 Lmite de una funcin y sus propiedades
2.1.2 Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito
2.2 Funciones continuas y discontinuas
2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una funcin
2.2.2 Aplicacin de funciones continuas y discontinuas
3. Clculo diferencial y sus aplicaciones
3.1 La derivada
3.1.1 Concepto, frmulas y reglas de derivacin
3.1.2 Razn o tasa promedio e instantnea de cambio
3.1.3 Derivadas de orden superior
3.1.4 Ingreso, costo y utilidad marginal
3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
3.2 Clculo de mximos y mnimos
3.2.1 Funciones crecientes y decrecientes
3.2.2 Criterio de la primera y segunda derivada
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3.2.3 Interpretacin del concepto de ingreso y costo marginal
3.2.4 Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y costos en problemas de
maximizacin
3.3 La diferencial
3.3.1 Incremento de una funcin
3.3.2 Diferencial de una funcin
3.3.3 Diferencial implcita
3.3.4 Diferencial logartmica
3.3.5 Elasticidad
4. Clculo integral y sus aplicaciones
4.1 La integral
4.1.1 Conceptos relacionados con la integral y frmulas bsicas de integracin
4.1.2 Integracin por sustitucin
4.1.3 Integracin por partes
4.2 La integral y sus aplicaciones en las matemticas financieras
4.2.1 La funcin de utilidad
4.2.2 Asignacin y agotamiento de recursos
4.2.3 Inventarios
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IV. Metodologa de trabajo
Para el logro de la competencia, es fundamental que los conceptos y los procedimientos
presentados se ejerciten todo el tiempo. De esta forma, los contenidos no slo se comprendern
sino que se aplicarn en la solucin de problemas relacionados con situaciones que los estudiantes
pueden enfrentar en su trayectoria acadmica y profesional.
Por lo anterior, las estrategias metodolgicas de enseanza-aprendizaje se conforman por
dos secciones. La primera consiste en la solucin de ejercicios, como actividades formativas y
problemas tipo de cada uno de los temas que se abordan durante el curso, con el fin de que los
estudiantes ejerciten el uso, la aplicacin y el manejo de frmulas y contenidos procedimentales.
En la segunda, los facilitadores de la asignatura tendrn que orientar la aplicacin de cada uno de
estos procedimientos a las reas especficas de inters de los estudiantes. De esta forma, dentro
de la asignatura los contenidos se trabajarn de manera aislada; sin embargo, los facilitadores
tendrn que ejemplificar y presentar casos y situaciones aplicables en las diferentes carreras, que
complementen los ejercicios planteados, lo cual podr realizar con la orientacin del experto.
Como estrategia de evaluacin se resolvern problemas aplicados a las reas econmico-
administrativas, en los que el estudiante pondr en prctica todo lo que se trabaj en el curso. As
mismo, durante el desarrollo del programa, se les presentar a los alumnos actividades de
aprendizaje con ejercitacin, con el fin de que puedan observar sus avances e identificar cules
son las dificultades que presentan en el aprendizaje de los temas.
Se espera que las estrategias de enseanza propicien un aprendizaje verdaderamente
significativo, facilitando la comprensin del contenido y relacionando ste con los conocimientos
previos del estudiante, as como con sus reas especficas de estudio, mediante la revisin y
resolucin de problemas relacionados con el hacer cotidiano, donde los estudiantes puedan
aplicar y ejercitar lo aprendido.
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El facilitador desempea un papel muy importante dentro del curso, pues se espera que
dirija y oriente todo el proceso de aprendizaje, aplicando las estrategias propuestas por el experto.
Adems de orientar las discusiones y sesiones de trabajo que se plantean en los espacios de
aprendizaje colaborativo. Su funcin durante la revisin de trabajos no es solamente evaluar el
trabajo de los estudiantes y asignarles una calificacin, se espera que utilice la evaluacin como un
proceso de revisin de los avances y/o dificultades que el estudiante presenta a la hora de trabajar
los contenidos, que retroalimente a los alumnos con base en las observaciones de sus trabajos,
participaciones, preguntas y/o dudas, con la finalidad de facilitar y propiciar el aprendizaje
significativo y que desde esta perspectiva, haga del error una oportunidad para aprender.
Con el objetivo de promover el aprendizaje colaborativo, se utilizarn diferentes
herramientas (foros, cuaderno de trabajo, tareas entregables y bases de datos) que propicien el
intercambio, no slo de informacin, sino de ideas entre los estudiantes, de tal forma, estos
espacios enriquecern el trabajo individual y colectivo de los alumnos, sirviendo como material de
consulta y espacios de reflexin. Para ello, se espera que los estudiantes participen activamente
en estos espacios, motivados en todo momento por el facilitador, quien fungir como moderador
del trabajo realizado en los mismos.
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V. Evaluacin
En el marco del Programa de la ESAD, la evaluacin se conceptualiza como un proceso
participativo, sistemtico y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al
aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.
Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participacin responsable y activa del
estudiante as como una comunicacin estrecha con su facilitador para que pueda evaluar
objetivamente su desempeo. Para lo cual es necesaria la recoleccin de evidencias que permitan
apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.
En este contexto la evaluacin es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentacin
permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es
requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias as
como la participacin en foros y dems actividades programadas en cada una de las unidades, y
conforme a las indicaciones dadas. La calificacin se asignar de acuerdo con la rbrica establecida
para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.
A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.
ESQUEMA DE EVALUACIN
Foros y base de datos 10%
Actividades formativas 30%
E-portafolio. 50% Evidencias 40%
Autorreflexiones 10%
Examen final 10%
CALIFICACIN FINAL 100%
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Cabe sealar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificacin mnima indicada
por la ESAD.
Los trabajos que se tomarn como evidencias de evaluacin son:
Unidad 1:
La solucin de problemas de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda
utilizando funciones algebraicas.
Unidad 2:
Solucin de problemas de lmites y continuidad de una funcin para determinar su
impacto en los procesos econmico-administrativos.
Unidad 3:
Ejercicios resueltos de problemas de anlisis marginal, la elasticidad de la demanda y las
funciones de ingreso, beneficio, costos y maximizacin.
Unidad 4:
Ejercicios resueltos de problemas de utilidad, asignacin y agotamiento de recursos e
inventarios que se presentan en los procesos econmico-administrativos.
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VI. Materiales de apoyo
Bibliografa bsica:
Render, B., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:
Pearson.
Chiang, A. (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica (4a. ed.). Mxico:
McGraw-Hill.
Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemticas aplicadas a la Administracin,
Economa y Ciencias Sociales (7a. ed.). Mxico: McGraw-Hill.
Leithold, L. (2006). El clculo (7a. ed.). Oxford: Cspide.
Thomas. (2006). Clculo de una variable. Prentice Hall.
Bibliografa complementaria:
Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.) Mxico:
CECSA.
Garca, E. (1998). Matemticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financiera
y PC. Mxico: McGraw-Hill.
Hernndez, A. (1998). Matemticas financieras. Teora y prctica (4a. ed.). Mxico:
Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora.
Spiegel, M., Abellanas, L. y Liu, J. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas.
Mxico: McGraw-Hill.
Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemticas financieras.
Mxico: CECSA.
Vidaurri, H. (2001). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,
Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.
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VII. Desarrollo de contenidos por unidad
UNIDAD 1: Funciones y sus aplicaciones
Propsitos de la unidad
En esta unidad:
Relacionars la importancia de las funciones algebraicas y su representacin grfica en la
solucin de problemas en el rea econmico-administrativa.
Aplicars los tipos de funciones algebraicas que intervienen en la solucin de problemas
en el rea econmico-administrativo.
Interpretars las funciones de costo, ingreso y utilidad, y el punto de equilibrio.
Competencia especfica
Identifica los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que
se presentan en situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, a travs de
conceptos, tipos de funciones y modelos grficos.
Introduccin
Las matemticas son una herramienta que nos permite verificar mediante modelos
grfico-numricos los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que
intervienen en los fenmenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. En esta
primera unidad, presentamos el concepto de funcin, as como las diversas formas para su
representacin.
Se analizarn tambin los tipos de funciones, la forma de graficarlas y las operaciones que
puede existir entre ellas, con el fin de crear bases slidas que permitan dar solucin prctica a los
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diversos problemas que se presentan en el rea econmico-administrativa, a travs del anlisis de
situaciones de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda, as como mediante el uso de
los diferentes tipos de funciones y modelos grficos.
1.1 Funciones y variables
La relacin funcional o funcin nos ayuda a describir de manera prctica situaciones que
estn presentes en la vida real, en las que un valor o cantidad vara dependiendo del valor de otro
elemento. Por ejemplo:
1. La cantidad de impuestos que paga una persona o empresa depende de los ingresos de sta.
2. Los costos de produccin varan de acuerdo al valor de la materia prima.
3. La calidad de oxgeno en el aire en una ciudad est en funcin del nmero de automotores
que circulan por ella.
Con esto podemos comprender que hay variables o valores que dependen o cambian si un
valor determinante vara. Otro ejemplo representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro
al blanco, en el que hay dibujados en un tablero 5 crculos concntricos, en donde cada crculo
puede tener los siguientes valores, iniciando desde el exterior hasta el centro del tablero: 5, 10,
15, 20 y 25:
25
20
15
10
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La mxima puntuacin se obtiene atinndole al crculo que queda en el centro del tablero
(25 puntos), y va disminuyendo conforme nos alejamos del centro. De esta forma obtenemos dos
conjuntos, uno correspondiente a los crculos que definiremos como el conjunto C, y el otro
correspondiente a la puntuacin y que llamaremos P, esto es:
C = {1, 2, 3, 4, 5}
P = {5, 10, 15, 20, 25}
Ambos conjuntos estn relacionados entre s, es decir que ambos dependen el uno del
otro y lo podemos representar mediante una tabulacin:
TABLA DE PUNTUACIN
CRCULO PUNTUACIN
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
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O mediante una grfica:
En ambas representaciones podemos comprobar que para cada elemento del conjunto P
(puntuacin), slo hay un valor o elemento que le corresponde del conjunto C (crculo). Es decir,
que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas:
(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20) y (5, 25)
Otra forma de representar estos conjuntos es con un modelo matemtico. Si
consideramos los datos del ejemplo anterior, podemos observar que si se acierta en el crculo del
centro se tendrn 25 puntos y si se acierta al crculo ms alejado del centro se obtendrn 5
puntos; as puede comprenderse que existe una situacin de dependencia, en la que el puntaje
est determinado por el crculo del tablero al que se atine y cada acierto tiene un valor que resulta
de multiplicar el nmero del crculo acertado por 5. Para llevar a cabo esta operacin, es necesario
conocer el nmero de crculo al que se acierta, ya que sin este dato no es posible obtener el
puntaje. El nmero de crculo es el valor que alimenta al modelo matemtico, representa los
valores de entrada que hay que multiplicar por 5, para que d el resultado del puntaje obtenido,
que sern los valores de salida. Si, adems, se utilizan variables que permitan identificar a cada
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
Tabla de puntuacin
Pu
ntu
aci
Crculo
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uno de los valores (y para el puntaje y x para los crculos) podremos obtener la siguiente
expresin:
=
en donde y corresponde a una variable dependiente y x a una variable independiente, que
conforman lo que se conoce como funcin.
1.1.1 Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e independientes
a. Funcin: Es la correspondencia entre dos conjuntos: uno de valores de entrada y otro de
valores de salida, en donde existe una regla u operacin que determina para cada valor de
entrada un solo valor de salida.
b. Variable dependiente: Es aquella cuyo valor, propiedad o caracterstica se trata de cambiar
mediante la manipulacin de la variable independiente.
c. Variable independiente: Es aquella que es manipulada en un experimento o evento con el
objeto de estudiar cmo incide sobre la variable dependiente. Esto significa que las
variaciones en la variable independiente repercutirn en variaciones en la variable
dependiente.
1.2 Tipos de funciones y su aplicacin
1.2.1 Tipos de funciones y sus grficas
Funcin constante:
Una funcin constante es aquella que tiene la forma:
=
en donde c es un nmero real.
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Ejemplo: Sea f(x) = 10, debido a la forma de la funcin, a la variable x se le puede asignar cualquier
valor que se desee, sin embargo, el resultado de la funcin ser siempre 10:
X f(x)=10 Pares
ordenados Grfica
-15 10 (-15, 10)
-10 10 (-10, 10)
-5 10 (-5, 10)
0 10 (0, 10)
5 10 (5, 10)
10 10 (10, 10)
15 10 (15, 10)
Se observa que la grfica es una recta paralela al eje de las X (abscisas) y que f(x) = 10,
corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0, 10).
Funcin lineal:
Una funcin lineal es aquella que se tiene la forma:
() = +
en donde m y b, son cualquier nmero real y adems m 0.
m = pendiente de la recta.
Si m > 0, conforme los valores de x aumentan, tambin lo hacen los de y.
Si m < 0, conforme los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen.
b = ordenada al origen (punto donde la recta corta el eje de las ordenadas).
Ejemplo: Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se trata de una funcin lineal en donde:
m = 2 y
f(x) = y = 10
0
2
4
6
8
10
12
14
-15 -5 5 15
y
x
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b = 4
es decir que cuando x = 0, f(x) = y = 4.
x f(x)=2x + 4 Pares
ordenados Grfica
-3 -2 (-3, -2)
-2 0 (-2, 0)
-1 2 (-1, 2)
0 4 (0, 4)
1 6 (1, 6)
2 8 (2, 8)
3 10 (3, 10)
Se observa que la grfica es una lnea recta creciente, esto se debe a que m > 0, por lo que
conforme x aumenta, tambin lo hace y. Por tanto, se trata de una funcin creciente.
Funcin cuadrtica:
Una funcin cuadrtica es aquella que se tiene la forma:
() = + +
En donde a, b y c, son nmeros reales.
a 0, mientras que b y c, pueden valer cero.
La forma de la grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, en donde el vrtice es el
punto ms bajo si la parbola abre hacia arriba y el vrtice es el punto ms bajo cuando la
parbola abre hacia abajo.
f(x) = y = 2x + 4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
X
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Si a > 0, la parbola abre hacia arriba.
Si a < 0, la parbola abre hacia abajo.
El vrtice est dado por las coordenadas V(xv, yv), que se calcula con las siguientes
frmulas:
=
2 =
4 2
4
Ejemplo: Sea f(x) = x2 + 4x -2, se observa que se trata de una funcin cuadrtica en donde:
a = 1,
b = 4 y
c = -2;
y las coordenadas del vrtice:
=4
2(1)=
4
2= 2 =
4 1 (2) (4)2
4(1)=
8 16
4= 6
Por lo que el vrtice ser: (,)
x f(x)=x
2
+ 4X - 2 Pares
ordenados Grfica
-3 -5 (-3, -5)
-2 -6 (-2, -6)
-1 -5 (-1, -5)
0 -2 (0, -2)
1 3 (1, 3)
2 10 (2, 10)
y = x2 + 4x - 2
-5
0
5
10
15
20
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
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3 19 (3, 19)
Se observa que la grfica es una parbola que abre hacia arriba y que su punto ms bajo se
encuentra en las coordenadas del vrtice: (-2, 6).
Funcin polinomial:
Una funcin es polinomial si:
() = + + + +
en donde a, b, y d son nmeros reales y a 0; mientras que b, c y d pueden valer cero.
El valor de n determina el grado de la funcin polinomial, que puede ser lineal, cuadrtica,
cbica, de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo del valor de n. El valor ms alto del
exponente de la funcin es el que determinar el grado de la funcin.
Ejemplo:
f(x) = 8x3 + 5x2 8 Funcin cbica
f(x) = x5 3x3 -5x + 1 Funcin de quinto grado
Funcin racional:
Una funcin racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa como:
=()
() ()
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Ejemplo: Sea = 2
+1
x =2
+ 1
Pares ordenados
Grfica
-3 3 (-3, -3)
-2 4 (-2, 4)
-1 (-1, )
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 1.33 (2, 1.33)
3 1.5 (3, 1.5)
As, se observa que en -1 la funcin crece al infinito .
Funcin exponencial:
Una funcin exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra como
exponente de un nmero constante:
=
La grfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-8 -6 -4 -2 0 2 4
Y
X
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Ejemplo: Sea = 2
x = 2 Pares
ordenados Grfica
-2 0.25 (-2, 0.25)
-1 0.5 (-1, 0.5)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
Funcin logartmica:
Una funcin logartmica se define como la inversa de la exponencial y puede ser
representada de la siguiente manera:
a. La funcin logaritmo de base b, se define como:
= = =
b. La funcin logaritmo natural se define como:
= = =
Donde e 2.7182881828
0
2
4
6
8
10
-3 -1 1 3 5
Y
X
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Ejemplo: Sea = 2
x = 2 Pares
ordenados Grfica
0.25 -2 (0.25, -2)
0.5 -1 (0.5, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
Actividad 1. Tipos y funciones
Resuelve el ejercicio 1. Tipos de funciones que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios:
Funciones.
Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.
1.2.2 Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio
1. Ingreso: La funcin de ingreso total se define como:
= donde: x = nmero de artculos vendidos.
p = precio de venta unitario.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
Y
X
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NOTA: Es importante mencionar que la funcin de ingresos tambin puede seguir cualquier
otro comportamiento algebraico.
Ejemplo: Un club social que cuenta con 2,300 afiliados est por incrementar las cuotas
mensuales a los asociados, que actualmente pagan $500.00 mensuales. Sin embargo, antes
de realizar dicha operacin, el consejo directivo realiz una encuesta con la que determin
que por cada incremento de $50.00 podran perder a 15 socios. Calcula cul ser el
comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 la cuota mensual.
Solucin: Si se considera determinar el ingreso mensual en funcin de la cuota (precio) que
paga cada socio, se tiene las siguientes variables:
x = nueva cuota
y = nmero de socios
y1 = nmero de socios antes del incremento en la cuota
y2 = nmero de socios despus del incremento en la cuota
As se tiene que la nueva cuota menos la cuota anterior representar el incremento de la
cuota, esto es:
= 400
La cantidad de aumentos de $50.00 en el incremento de la cuota estar representada por la
siguiente funcin:
= 400
50
De esta forma, el nmero de socios que se retirar por el aumento de la cuota ser:
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2 = 400 400
50
2 = 8 3200
El nmero de socios nuevos es:
= 1 2 = 2300 8 3200
= 5500 8
Finalmente, tomando en cuenta la funcin general de ingreso:
=
Se tiene que para este caso:
=
=
= 5500 8
Por tanto, el ingreso mensual en el club social al aplicar la nueva cuota estar dado por la
siguiente funcin cuadrtica:
=
2. Costo: La funcin de costo total se define como:
= x +
= +
= x +
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Donde: ax = costo por unidad
x = nmero de artculos vendidos o producidos
= costos fijos de produccin
Ejemplo: Una maquiladora de pantalones de mezclilla ha calculado que sus costos fijos
mensuales son de $125,000.00 y que cada pantaln le genera un costo de $35.00. Determina
el costo total de fabricacin en el siguiente mes si se van a elaborar 1,500 pantalones de
mezclilla.
Solucin: Lo primero que se deber determinar es la funcin de costo total:
= x +
En donde para este caso en particular:
a = $35.00
x = nmero de pantalones
= $125,000.00
Sustituyendo en la funcin de costo total tenemos:
= x +
Finalmente, el costo de produccin de 1500 pantalones el siguiente mes ser de:
= +
= $,
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a. Costo promedio o costo medio: Est relacionado con el costo total C(x) de produccin o
venta de x artculos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el nmero de
unidades producidas o servicios ofertados:
=()
Donde: C(x) = funcin de costo
x = nmero de artculos o servicios
Ejemplo: El costo total de producir x libretas escolares por semana sigue el
comportamiento de la siguiente funcin cuadrtica:
= 0.632 + 233 + 250
Determina cul ser el costo promedio de producir 10000 unidades mensualmente,
considerando que el mes tiene 4 semanas.
Solucin: Lo primero que se deber realizar ser determinar la funcin de costo promedio,
es decir, dividiendo la funcin de costo entre x:
= = 0.632 + 233 + 250
=
=
0.632
+
233
+
250
= 0.63 + 233 +250
Finalmente, sustituyendo el nmero de libretas que se desea producir: x = 10000, se tiene
que:
10000 = 0.63 10000 + 233 +250
10000
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10000 = 6300 + 233 + 0.025
Con lo que se obtiene que el costo promedio de produccin semanal es de:
= .
Por tanto, el costo promedio de produccin mensual ser de:
10000 = 4 6533.025
= .
3. Utilidad: Se obtiene restando los costos de los ingresos:
= ()
Ejemplo: Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de produccin de
$15,000.00 y el costo de fabricacin por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por
mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determina las utilidades que genera en su
empresa la venta de cremas faciales, considerando que el fabricante vende mensualmente
2,000 cremas, en exclusiva, a una cadena de SPA.
Solucin: Si se sabe que las utilidades estn representadas por:
= ()
Entonces es necesario determinar tanto la funcin de ingresos como la de costo total. En este
caso se tienen los siguientes datos:
x = nmero de cremas
= $15,000.00
= 4.50x
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Cremas vendidas por mes = 2,000
p = $25.00
Entonces para los ingresos:
=
Sustituyendo los datos del problema:
=
Y los costos estarn dados por:
= +
Sustituyendo los datos del problema:
= . +
y sustituyendo en la funcin de utilidad:
= ()
= 25 4.50 + 15000
= 25 4.50 15000
= .
Si mensualmente vende 2000 cremas faciales:
200 = 20.5(2000) 15000
200 = 41000 15000
=
Mensualmente la crema facial le genera al fabricante utilidades de $26,000.
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4. Punto de equilibrio: Es el punto en que el importe de las ventas de una empresa es igual al de
los costos y gastos que dichas ventas originan.
= ()
Consideraciones:
Si el costo total de produccin supera a los ingresos que se obtienen por las ventas de los
objetos producidos o servicios vendidos, la empresa sufre una prdida.
Si los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia.
Si los ingresos logrados por las ventas igualan a los costos de produccin, se dice que el
negocio est en el punto de equilibrio o de beneficio cero.
Actividad 2. Funciones
Resuelve el ejercicio 2. Funciones, que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Funciones.
Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.
1.2.3 Modelo grfico del punto de equilibrio
Grficamente, el punto de equilibrio es el que est representado por la interseccin de las rectas
que representan a la funcin de costos e ingresos.
Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene prdidas.
Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, est en el punto de equilibrio.
Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.
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Evidencia de aprendizaje: Aplicacin de funciones
Resuelve los problemas del archivo Aplicacin de funciones:
1. Costos
2. Ingresos, costos y utilidad
Guarda el documento y consulta la escala de evaluacin.
Envalo al Portafolio de evidencias.
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Consideraciones especficas de la unidad
En esta unidad se resolvern ejercicios para reforzar el aprendizaje.
Tendrs que solucionar problemas de optimizacin, costo total, ingreso, oferta y demanda
utilizando funciones algebraicas, con lo que podrs aplicar los conceptos aprendidos durante la
unidad 1, los cuales te servirn de base para lograr un aprendizaje significativo en las unidades
siguientes. Una vez terminada de revisar la unidad tendrs que ir a tu cuadernillo de ejercicios y
resolver los ejercicios correspondientes a sta.
Referencias:
Bsica:
Barry, R., Stair, R. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:
Pearson.
Chiang. (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica. (4a. ed.). Mxico:
McGraw-Hill.
Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemticas aplicadas a la Administracin,
Economa y Ciencias Sociales (7a. ed.). Mxico: McGraw-Hill.
Leithold, L. (2006). El clculo. (7a. ed). Oxford: Cspide.
Thomas. (2006). Clculo de una variable. Mxico: Prentice Hall.
Bibliografa complementaria:
Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico:
CECSA.
Garca, E. (1998). Matemticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financiera
y PC. Mxico: McGraw-Hill.
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Hernndez, A. (1998). Matemticas financieras. Teora y prctica (4a. ed.). Mxico:
Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora,
Crdoba.
Spiegel, M. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas. Mxico: McGraw-Hill.
Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. Matemticas financieras. Mxico:
CECSA.
Vidaurri, H. (2001). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,
Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.
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UNIDAD 2: Lmites y continuidad
Propsitos
En esta unidad:
Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico prctico de la continuidad de una
funcin.
Aplicars los elementos del lgebra de lmites para determinar el alcance de un proceso
desde el punto de vista econmico-administrativo.
Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los puntos en los que el proceso de
produccin presenta una tendencia diferente de costos.
Competencia especfica
Determina el comportamiento de una funcin de acuerdo a los lmites de la misma para
conocer su impacto en los procesos econmico-administrativos, mediante la aplicacin de los
teoremas de lmites de una funcin y su relacin con funciones continuas y discontinuas.
Introduccin
En la unidad anterior vimos el concepto de funcin y algunos de los diferentes tipos de
funciones, as como su aplicacin para describir el comportamiento de las diversas situaciones que
se presentan dentro del rea econmico-administrativa, tales como ingresos, costos, utilidades y
punto de equilibrio.
En la presente unidad estudiaremos el concepto de lmite y cmo describe precisamente el
comportamiento de una funcin cuando los valores de la variable independiente estn muy
prximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su utilidad en los procesos econmico-
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administrativos, como rendimiento y produccin mxima. Asimismo, determinaremos cuando una
funcin es continua y revisaremos su aplicacin en procesos productivos y su impacto en los
costos de produccin.
2.1 lgebra de lmites
Conceptos bsicos:
El lmite de una funcin describe el comportamiento de una funcin f(x) conforme la
variable independiente se aproxima a un valor constante.
Ejemplo: Se tiene la funcin =32 1
1 y se requiere determinar su comportamiento
cuando los valores de x tienden o se acercan a 1.
Solucin: Podemos observar que la funcin no est definida en x = 1, es decir, que cuando
x toma el valor de 1 la funcin tiende al infinito:
1 = 3(1)2 1
1 1=
3 1
0=
2
0=
Ya que cualquier nmero dividi entre cero es igual a infinito.
Sin embargo, si se podemos determinar el comportamiento o valores que va tomando la
funcin cuando x 1 (x tiende a 1), ya sea con valores ms pequeos a uno o, bien, ms grandes
a uno: 1 > x > 1.
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As tenemos que:
X =32 1
1 Grfica
-0.5 0.166667
0.5 0.500000
0.6 -0.200000
0.7 -1.566667
0.8 -4.600000
0.9 -14.300000
0.95 -34.150000
0.98 -94.060000
0.999 -1994.0030
0.9999 -19994.0003
1
1.0001 20006.0003
1.001 2006.003
1.01 206.03
1.1 26.3
1.5 11.5
Se puede observar que conforme x se acerca a 1 la funcin es igual a 20000,
dependiendo de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:
lim1
32 1
1= 20000
En conclusin, tenemos que:
Cuando f(x) se acerca cada vez ms a un nmero lmite (C), conforme x se aproxima a un valor
constante a por cualquier lado, entonces C ser el lmite de la funcin y se escribe:
lim
() =
-20000.000000
-15000.000000
-10000.000000
-5000.000000
0.000000
5000.000000
10000.000000
15000.000000
20000.000000
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Y
X
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Algebra de lmites: A continuacin se muestran la frmula y las operaciones que se realizan para
determinar los lmites de una funcin:
Sean dos funciones cuya variable independiente tiene a un valor a:
lim = y lim =
Entonces:
1. lim () = lim lim =
2. lim () = lim lim =
3. lim
() =
lim
lim =
0
4. lim =
5. lim
=
2.1.1 Lmite de una funcin y sus propiedades
1. Lmite de una funcin constante: Si se tiene una funcin constante f(x) = C, el lmite de la
funcin cuando x tienda a un valor a, ser siempre C. Esto es:
lim
=
lim
=
Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) = 10, cuando x 8.
Solucin: Siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:
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lim8
= 10
=
2. Lmite de una funcin idntica: Si se considera la funcin idntica f(x) = x, cuando x tiende
a un valor a, su lmite ser siempre el valor constante a, es decir:
lim
=
lim
=
Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) = x, cuando x 3.
Solucin: Siguiendo el razonamiento de la frmula general anterior, se tiene que:
lim3
=
=
3. Lmites infinitos: Cuando se tiene una funcin racional =()
() en la que q(x) se hace
cero cuando x tiende a un valor constante a, entonces, f(x) = , es decir:
=
= ,
=
Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: =+3
21 cuando x 1.
Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin se tiene que:
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lim1
= + 3
2 1
+ 3
2 1 =
1 + 3
(1)2 1=
=
4. Lmite de cualquier funcin: Para cualquier funcin f(x), se tiene que el lmite de la
funcin cuando x a. El lmite es el nmero constante que resulta de sustituir el valor de
a en la funcin.
Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: f(x) = 3 + 3 2, cuando x 0 y cuando x
5.
Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:
lim0
= 3 + 3 2
3 + 3 2 = + =
Y
lim5
= 3 + 3 2
3 + 3 2 = + =
Ejemplo: Determina el lmite de la funcin: =5+3
221 cuando x 0 y cuando x 2.
Solucin: Sustituyendo el valor de x, en la funcin para cada caso se tiene que:
lim0
=5 + 3
22 1
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5 + 3
22 1 =
5(0) + 3
2(0)2 1=
Y
lim2
=5 + 3
22 1
5 + 3
22 1 = =
5(2) + 3
2(2)2 1=
2.1.2 Lmites de una funcin cuando la variable tiende al infinito
Cuando x , el valor de la funcin puede crecer o decrecer indefinidamente. Sin
embargo, existen casos en los que la funcin adquiere valores reales. A continuacin veremos
ejemplo para el clculo de lmite de una funcin cuando la variable independiente tiende al
infinito.
Ejemplo. Cul ser el lmite de f(x) = 7x4 2x3 + x2 +100, cuando x ?
Solucin: Al aplicar el lmite infinito en la funcin, se tiene que:
lim
= 74 23 + 2 + 100
lim
74 23 + 2 + 100 = + + =
NOTA: Es suficiente observar que el coeficiente con mayor potencia tendr como resultado un
valor infinito, al sustituir el lmite en la funcin.
Ejemplo: En una fbrica de electrodomsticos, se tienen costos fijos de produccin de
$1000,000.00 anuales y sus costos especficos son del orden de $430.00 por electrodomstico.
Hasta qu punto puede reducir los costos promedio de produccin al aumentar la produccin
indefinidamente?
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Solucin: Se observa que la funcin de costo tendr la forma C(x)=430x + 1000,000, en
donde x representa la cantidad de electrodomsticos producidos. Para determinar el costo
promedio de produccin, se tendr que dividir la funcin de costo entre el nmero de artculos a
producir, x:
=
430
+
1000,000
= 430 +
1000,000
Y si lo que se desea conocer es el costo promedio de produccin cuando el nivel de
produccin se eleve indefinidamente se tiene que:
lim
= 430 +
1000,000
:
= lim
430 + lim
1000,000
= 430 + 0
= 430
Por tanto, el costo promedio de produccin ser de $430.00 cuando el nivel de fabricacin
de productos electrodomsticos crezca indefinidamente.
NOTA: Es importante notar que cuando se divide un nmero cualquiera entre , el resultado
siempre ser cero, ya que el valor del divisor siempre ser mucho ms grande que el valor
del nmero que se quiere dividir.
Ejemplo. El nivel de satisfaccin (%) de clientes en un autoservicio, de acuerdo al nmero
de artculos comprados, fue medido mediante la siguiente funcin:
=2502
32 + 0.25 0.001
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En donde x representa el nmero de artculos comprados. Determina cul ser el nivel de
satisfaccin del cliente (%) conforme aumentan sus compras?
Solucin: Si se considera que el cliente comprar un nmero infinito de artculos
podremos observar cul ser el comportamiento del nivel de satisfaccin del cliente en el punto
ms alto de sus compras:
lim
2502
32 + 0.25 0.001
Con el fin de eliminar la indeterminacin, en el caso de una funcin racional es
conveniente dividir cada uno de los factores de la funcin entre la variable independiente con la
potencia ms alta, as se tiene que, para este caso en particular, se tiene que:
lim
2502
2
32
2+
0.252
0.0012
= lim
250
3 +0.25
0.0012
=250
3 +0.25
0.0012
=
+ =
= .
Por lo que el nivel de satisfaccin del cliente ser del 83.33% y nunca podr ser mayor a
ste.
Actividad 1. Maximizacin de costo promedio
Resuelve el ejercicio 1. Maximizacin de costo promedio que se encuentra en el Cuadernillo de
ejercicios: Los lmites y aplicacin en funciones.
Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.
Tema 2.2 Funciones continuas y discontinuas
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2.2.1 Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en una funcin
Segn se pudo observar, al realizar el clculo de lmites de una funcin, no siempre el
lmite coincide con el valor de la funcin en el punto hacia el cual se aproxima la variable
independiente. Esto es fcil de detectar al graficar la funcin en los valores cercanos al lmite, ya
que la grfica de la funcin se puede cortar o tener una interrupcin en algn punto cercano al
lmite.
Por ejemplo, se tiene la siguiente funcin: =32 1
1 en la que se dice que x 1. Al
graficar las coordenadas que van acercndose al lmite, se tiene la siguiente grfica:
En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1, en el que la grfica de
la lnea ya no contina con el resto de los valores, es decir, que hay un ruptura en la grfica.
-20000.000000
-15000.000000
-10000.000000
-5000.000000
0.000000
5000.000000
10000.000000
15000.000000
20000.000000
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Y
X
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De esta forma, podemos definir que una funcin es continua cuando no se presenta un
corte en la lnea que representa su grfica, y una funcin es discontinua cuando se presentan
cortes en la lnea que representa la grfica de la funcin.
Existen tres condiciones que nos permiten descubrir si una funcin es continua o
discontinua:
1. Una funcin ser continua si f(x) est definida en x = a, es decir, si sus valores son reales.
2. Una funcin ser continua si el lmite de la funcin f(x) cuando x a existe.
3. Una funcin ser continua si: lim = ()
Si una de las condiciones anteriores no se cumple la funcin ser discontinua.
Operaciones con funciones continuas
1. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones podrn
sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) 0 en el caso de divisin).
2. Toda funcin polinomial es continua.
2.2.2 Aplicacin de funciones continuas y discontinuas
EJEMPLO: Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgnicos en frascos de 250 ml,
vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran ms de 5 frascos, el precio por frasco
es de $68.00. Qu se le podra recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de
precios de mayoreo sin que se le presenten problemas econmicos con su promocin?
Solucin: Si definimos como p(x) a la funcin de precio de x frascos de aceite de uva, se
tiene la siguiente funcin:
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= 90 1085 > 10
El modelo grfico que representa esta funcin de oferta versus demanda es:
Con esto se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00, y de 11 frascos es de
$935.00, por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10.
Si decimos que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran ms de 10 frascos, se
debe cumplir que 11p > 900. Es decir, p > 900/11 = $81.81. Por tanto, el vendedor debe asignar un
precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren ms de 10 frascos de aceite de uva.
y = 90x
y = 85x
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
p(x
),p
reci
o d
e a
ceit
e d
e u
va (
pe
sos)
Frascos de aceite de uva vendidos
(10, 900)
(11, 935)
La funcin no es continua en x = 10
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Actividad 2. Costo total
Resuelve el ejercicio 2. Costo total que se encuentra en el Cuadernillo de ejercicios: Los lmites y
aplicacin en funciones.
Guarda el documento y envalo a la seccin de Tareas.
Evidencia de aprendizaje. lgebra de lmites y continuidad
Resuelve los ejercicios del archivo lgebra de lmites y continuidad:
1. Clculo de lmites, que consiste en relacionar columnas, para saber la respuesta se
deben elaborar clculos necesarios.
2. Rentabilidad con lmites al infinito.
Guarda el documento y consulta la escala de evaluacin.
Envalo al Portafolio de evidencias.
Consideraciones especficas de la unidad
En esta unidad se resolvern ejercicios para practicar el uso de las frmulas y la aplicacin
de lmites.
La evidencia con la que se evaluar la unidad 2 ser la solucin de problemas de lmites y
continuidad de una funcin para determinar su impacto en los procesos econmico-
administrativos y una vez terminada de revisar la unidad tendrs que ir a tu cuadernillo de
ejercicios y resolver los ejercicios correspondientes a sta.
Referencias:
Matemticas Administrativas
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Bibliografa bsica:
Barry, R., Stair, M. y Hanna, M. (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico:
Pearson.
Chiang, A. (2006) Mtodos fundamentales en economa matemtica (4a. ed.). Mxico:
McGraw-Hill.
Harshbarger, R. y Reynolds, J. (2005). Matemticas aplicadas a la Administracin,
Economa y Ciencias Sociales (7a. ed.). Mxico: McGraw-Hill.
Leithold, L. (2006). El clculo (7a. ed.). Oxford: Editorial Cspide.
Thomas. (2006). Clculo de una variable. Mxico: Prentice Hall.
Bibliografa complementaria:
Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. (1999). Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico:
CECSA.
Garca, E. (1998). Matemticas financieras por medio de algoritmos, calculadora financiera
y PC. Mxico: McGraw-Hill.
Hernndez, A. (1998). Matemticas financieras. Teora y prctica (4a. ed.). Mxico:
Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
Motoyuki, A. (2000). Matemticas financieras. Crdoba, Argentina: Despeignes Editora.
Spiegel, M. (1994). Manual de frmulas y tablas matemticas. Mxico: McGraw-Hill.
Toledano y Castillo, M. y Himmelstine de Chavarria, L. (1984). Matemticas financieras,
Mxico: Editorial CECSA.
Vidaurri, H., Matemticas financieras (2a. ed.). Mxico: Ediciones Contables,
Administrativas y Fiscales-Thompson Learning.
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UNIDAD 3: Clculo diferencial y sus aplicaciones
Propsitos de la unidad
En esta unidad:
Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico prctico de la continuidad de
una funcin.
Aplicars los elementos del lgebra de lmites para determinar el alcance de un proceso
desde el punto de vista econmico-administrativo.
Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los puntos en los que el proceso de
produccin presenta una tendencia diferente de costos.
Competencia especfica
Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de lmites y continuidad de una
funcin y de terminar su impacto a travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial integral y
su aplicacin en las matemticas financieras.
Introduccin
En las unidades anteriores vimos las funciones ms comunes, los lmites y la continuidad
de una funcin, as como los conceptos derivados de dichos temas. En la presente unidad se
estudiarn las definiciones y las reglas de derivacin que nos ayudarn a solucionar problemas de
optimizacin de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y costo total. Adems veremos
la aplicacin e interpretacin de la derivada en el anlisis marginal y su definicin, como la razn o
tasa promedio e instantnea de cambio, y su aplicacin en los conceptos de elasticidad de
demanda.
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Finalmente, estudiaremos la diferencial cuyo significado se encuentra implcito dentro de
la derivada, as como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor
interpretacin a los problemas de las reas econmico-administrativas que se pueden presentar.
3.1 La derivada
Introduccin
El modelado de los procesos econmico-administrativos est asociado a la identificacin
del valor que optimiza a una funcin. Por ejemplo, si se trata de un problema de costos se
requiere conocer el costo mnimo y el valor para el que se produce, as como para ingresos y
utilidades nos interesa saber cmo alcanzamos los valores mximos que podemos tener a partir de
una produccin o venta, ya sea de un producto o un servicio. De esta forma, puede verse la
importancia de la derivada dentro de los problemas de optimizacin, sus aplicaciones en las
situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.
3.1.1 Concepto, frmulas y reglas de derivacin
La derivada: Es la representacin del cambio infinitesimal de una funcin a medida que va
cambiando el valor de la variable independiente. La derivada de una funcin f(x) se representa
como f(x), que se lee: f prima y se define para cualquier funcin f(x) de la siguiente manera:
= lim0
En donde:
1. x y y: Incrementos de las variables x, y, respectivamente
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2.
=
()
representa la razn o tasa promedio de cambio de y con respecto a x
en el intervalo (x1, x2). Esto es qu tanto vara el valor de y por cada unidad de cambio
en x.
3. =
, se interpreta como la razn o tasa instantnea de cambio de y
con respecto a x, en el punto x1.
De manera prctica la notacin para la derivada es:
que se lee: la derivada de y con respecto a x.
Reglas y frmulas de derivacin: Al igual que con los lmites, existen frmulas y reglas que
nos permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas. A continuacin se presenta un
formulario para el cual se deber tomar en cuenta que:
1. u, v, w: son funciones cuya variable independiente es x
2. a, b, c, n: son nmeros constantes
3. e: 2.71828
4. Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde u > 0
Frmulas y reglas de derivacin:
1. ()
= 0
2. ( )
=
3. ( )
= 1
8. ( )
=
+
+
9.
=
2
10.
= 1
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4. ( )
=
5. ( )
=
6. ()
=
+
7.
=
Regla de la cadena
11.
=
1
12.
=
13.
=
14.
= 1
+
Ejemplo: En seguida se resuelven las derivadas de algunas funciones, utilizando las frmulas y
reglas de derivacin:
1. Si f(x) = 4, cul ser su derivada?
Solucin: Se tiene que para una funcin constante, se utiliza la frmula 1:
()
= 0
en donde para este caso: c = 4, por lo que sustituyendo se tiene que:
4
= 0
= 0
2. Determina la derivada de: f(x) = x5
Solucin: De acuerdo a la regla de derivacin 3:
()
= 1
se tiene que para este caso:
c = 1, x = x, n = 5
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por lo que:
15
=
5
= 5 1 51
= 54
= 54
3. Sea la funcin = 46 + 54 73 + 12, determina su derivada:
Solucin: Aplicando la regla 4 de derivacin, se tiene que:
( )
=
en donde:
u = 4x6 v = 5x4 w = -7x3 y = -x z = 12
para las cuales aplican las siguiente reglas:
()
= 0
()
=
()
= 1
De esta forma, se tiene que la derivada de la funcin h(x) es:
= 6 4 61 + 4 5 41 3 7 31 1 1 11 + 0
= +
4. Cul es la derivada de la funcin =32
32+5?
Solucin: Para este caso la frmula a aplicar es:
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=
2
Para la cual:
u = x3 2x v = -3x2 + 5
=
= +
As, sustituyendo en la frmula, la derivada de la funcin g(x) con respecto a x: g(x), queda:
= +
+
= + + +
+
= +
+
5. Determina la derivada de la funcin: = 64
Solucin: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la funcin de la siguiente
manera:
= 6 4
Para la que aplica la frmula:
()
= 1
Para la cual en este caso:
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c = 1 x = x n = 6/4
As, se tiene que:
= 1 6
4
641
=6
41 2
1. Regla de la cadena: Es aplicada cuando se tiene una funcin dentro de una funcin elevada a
una potencia. Por ejemplo:
= 22 3 + 2 3
La frmula general de la regla de la cadena nos dice que:
=
Sin embargo, una manera ms fcil de interpretarla es mediante el siguiente
enunciado:
Calcular la derivada de la funcin en el interior del parntesis y multiplicarla por la
derivada del exterior
Es decir, si tomamos en cuenta la funcin mostrada en el ejemplo, tenemos que:
1. 22 3 + 2 Representa a la funcin en el interior del parntesis y cuya derivada es:
2. 4 3 Que corresponde a la derivada del interior.
3. Con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del parntesis que
encierra a la funcin, as se tomara como funcin exterior a:
4. 22 3 + 2 3
y considerando a la funcin dentro del parntesis como si fuera una sola
variable. De esta forma, la derivada del exterior estara dada de la siguiente manera:
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5. 22 3 + 2
= 22 3 + 2
6. Finalmente siguiendo el enunciado que dice que se debe multiplicar la derivada del interior
por la derivada del exterior, tenemos que la derivada de:
= 22 3 + 2 3
Ser:
= 4 3 3 22 3 + 2 2
= ( ) +
3.1.2 Razn o tasa promedio e instantnea de cambio e incertidumbre
Como se vio anteriormente, la razn o tasa promedio de cambio se define como:
=
2 (1)
2 1
Ejemplo: Considerando que la oferta O de un determinado artculo en funcin del precio
p sigue la siguiente funcin:
= 72
Determina cul es ser la razn promedio de cambio en la oferta cuando el precio vara de
p = 10 a p = 11.
Solucin: De acuerdo a la definicin de razn o tasa promedio de cambio, tenemos que:
=
11 10
11 10
= 7 11 2 7 10 2
11 10
=847 700
1
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=
Asimismo, la razn o tasa instantnea de cambio, se define como:
=
Ejemplo: Tomando en cuenta los datos del problema anterior, determina cul ser la
razn de cambio en la oferta con respecto al precio de venta, cuando p = 10, (cambio
instantneo)?
Solucin: De acuerdo a la definicin de razn o tasa cambio instantnea, tenemos que
calcular la derivada de la funcin de oferta:
=
=
De manera que cuando el precio de venta es: p = 10, la razn de cambio instantneo ser:
=
= 140
Es decir que cuando el precio es de 10, la oferta cambia 140 unidades cuando se modifica
una unidad en el precio.
3.1.3 Derivadas de orden superior
Hasta ahora hemos estado calculando la primera derivada de una funcin. Sin embargo,
tambin es posible, siempre que no lleguemos a un valor de cero, obtener la segunda, tercera,
cuarta, quinta y ensima derivada de una funcin.
La primera derivada se representa o denota como: () o
La segunda derivada se representa o denota como: () o
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La tercera derivada se representa o denota como: () o
Y as sucesivamente hasta llegar a la ensima derivada de una funcin.
Ejemplo: Determina la tercera derivada de la = 4 23 2 + 3.
Solucin: La primera derivada estar dada por:
= 43 62 2
As, la segunda derivada ser:
= 122 12 2
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3.1.4 Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Ingreso marginal: Describe cmo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se
produce y se vende, se determina como la derivada de la funcin de ingresos,
lo que representa una aproximacin del ingreso real cuando se vende una
unidad ms de cierto producto o servicio.
As, considerando que () representa a los ingresos obtenidos al vender x nmero de
artculos, el ingreso marginal nos muestra cul ser el ingreso que se obtiene al vender el artculo
x + 1. Esto es:
+ ()
Es decir, los ingresos de venta de x nmero de artculos incrementada en 1, menos los
ingresos de la venta de x artculos.
Finalmente, como se considera el incremento de unidades de artculos, esto es: = lo
que implica una razn de cambio de los ingresos cuando aumenta la produccin en una unidad. Es
decir:
= + ()
Lo que corresponde a la derivada de la funcin de ingreso, la cual representa el ingreso
marginal.
() + ()
Ejemplo: Una compaa turstica, tiene un ingreso mensual en la venta de sus paquetes
regionales representado por la siguiente funcin:
= 45000 5.72 pesos cuando produce y vende x unidades por mes.
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Hasta el da de hoy, la compaa ofrece 20 paquetes vacacionales, sin embargo planea
aumentarlos a 21. Cul ser el ingreso que generar la implementacin y venta del paquete
vacacional nmero 21?
Solucin: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementacin y venta del
paquete turstico nmero 21, con la funcin de ingreso marginal, que es la derivada de la funcin
de ingreso, se tiene que:
= .
Y para el caso particular del paquete nmero 20, se obtiene que:
= .
=
= , .
Este valor sera una aproximacin al ingreso que generara incorporar en sus paquetes
tursticos regionales el paquete 21.
No obstante, si se desea conocer cul sera el ingreso exacto al incorporar y vender el
paquete 21, se tiene que
+ 1 = 45000 + 1 5.7 + 1 2 (45000 5.72)
= 45000 + 45000 5.7 2 + 2 + 1 45000 + 5.72
= 45000 + 45000 5.72 11.4 5.7 45000 + 5.72
= 45000 11.4 5.7
= . .
Como dentro de esta operacin ya est incorporado el paquete 21, en (x + 1), entonces se
sustituye x por 20 en la expresin encontrada:
20 + 1 20 = 45005.7 11.4
21 20 = 45005.7 11.4 20
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= .
Que representara el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de
paquetes tursticos regionales en la compaa turstica.
Costo marginal: Es la derivada de la funcin de costo: (). El valor que se obtiene de ella es una
aproximacin al costo verdadero cuando se produce o genera una unidad ms de
cierto producto o servicio.
Si se requiere saber el costo que implica producir x unidades de un artculo ms una
unidad, es recomendable recurrir a la derivada del costo y, de manera similar, al ingreso marginal
que se tiene para los costos marginales:
() + ()
Ejemplo: Los costos de produccin de x tarjetas de felicitacin en una imprenta se
representan por la siguiente funcin:
= 20000 + 12 + 0.52 + 0.00053 pesos
Determina cul ser el costo de producir 200 tarjetas con respecto a la produccin de 201.
Solucin: Primero determinaremos la funcin de costo marginal:
= 12 + + 0.00152
De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 201 tarjetas de
felicitacin, ser de:
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200 = 12 + 200 + 0.0015 200 2
=
Como se requiere conocer cul es el costo aproximado con respecto al real, se tiene que:
+ 1
= 20000 + 12 + 1 + 0.5( + 1)2 + 0.0005( + 1)3
20000 + 12 + 0.52 + 0.00053
= 20000 + 12 + 12 + 0.5(2 + 2 + 1) + 0.0005(3 + 32 + 3 + 1)
20000 + 12 + 0.52 + 0.00053
= 20000 + 12 + 12 + 0.52 + + 0.5 + 0.00053 + 0.00152 + 0.0015 + 0.0005 20000
12 0.52 0.00053
= 12.5005 + 1.0015 + 0.00152
Sustituyendo ahora el valor de x = 200, para as obtener el costo de produccin de 201
tarjetas de felicitacin:
200 + 1 200 = 12.5005 + 1.0015 200 + 0.0015 200 2
201 200 = 12.5005 + 200.3 + 60
= .
Se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mnima: 0.8005
pesos, as podemos concluir que con el costo marginal tambin obtenemos resultados confiables
al igual que con la frmula de ingreso marginal.
Costo promedio o medio marginal: Es la derivada de la funcin de costo promedio: (). El
valor que se obtiene con ella es una medida de la razn de cambio de la funcin
de costo promedio en funcin del nmero de unidades o servicios producidos/
vendidos.
=()
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Ejemplo: El costo total de produccin mensual de x nmero de taparroscas, para envases
de agua embotellada est dado por:
= 500000 + 25 + 0.852 pesos
Determina cmo ser el costo de producir la unidad 1001 de taparroscas, si actualmente
se producen 1000 tapas por mes.
Solucin: Primero determinaremos la funcin de costo promedio:
() =
=
500000
+
25
+
0.852
() =500000
+ 25 + 0.85
A continuacin obtenemos la funcin de costo promedio marginal, derivando la funcin de
costo promedio:
() = 5000001 + 25 + 0.85
= 1 50000011 + (1)0.8511
= 5000002 + 0.85
=
+ .
De acuerdo con esto, se tiene que el costo aproximado de producir 1001 de taparroscas,
ser de:
1000 =500000
10002+ 0.85
= . .
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Utilidad marginal: Es la derivada de la funcin de utilidad: () y es una aproximacin a la
utilidad obtenida de la produccin y venta de una unidad ms de cierto
producto o servicio.
De esta forma si se requiere saber cules son las utilidades que generar el producir x
unidades de un artculo ms una unidad, es recomendable recurrir a la derivada de las utilidades,
con lo que se demuestra que:
() + ()
Ejemplo: En una fbrica se determin que cuando se producen x nmero de artculos, se
tena que:
= 120000 + 8 + 0.32 miles de pesos
Y que cada artculo vendido generaba ingresos de $10.00. Determina las utilidades que se
generarn si se producen y venden 100 unidades.
Solucin: Primero determinaremos la funcin de utilidad, si se sabe que:
= ()
En donde para este caso:
= 10
= 120000 + 8 + 0.32 miles de pesos
Se tiene que:
= 10 120000 + 8 + 0.332
= 10 120000 8 0.332
= .
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Por lo que la utilidad marginal ser:
() = 2 1 11 120000 (2)0.3321
= .
De acuerdo con esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir
100 artculos, ser de:
= . ()
= .
Lo que significa que se tienen -63.34 miles de pesos de prdidas en este proceso.
3.1.5 Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
La elasticidad de la demanda, , es una aproximacin del cambio porcentual de la
demanda y es originado por un incremento del 1% en el precio y est representada por la
siguiente frmula:
=
En donde:
p = precio
q = demanda
= .
Y se interpreta de la siguiente manera:
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Cuando > 1, la disminucin porcentual de la demanda es mayor que el incremento
porcentual en el precio que la genera. La demanda es relativamente sensible a los cambios
del precio, por lo que la demanda es elstica con respecto al precio.
Cuando < 1, la disminucin porcentual de la demanda es menor al incremento porcentual
en el precio que la genera, es decir, que la demanda es poco sensible a los cambios en el