89 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
LibrosMareaVerde.tk
www.apuntesmareaverde.org.es
Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez
Revisor: Javier Rodrigo
Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
i commons.wikimedia
ÍndexMatemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades .
3º A d'ESOCapítol 4:
Expressions algebraiques.Polinomis.
90 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES1.1. INTRODUCCIÓ
1.2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE 2.1. MONOMIS. POLINOMIS
2.2. SUMA DE POLINOMIS
2.3. PRODUCTE DE POLINOMIS
3. DIVISIÓ DE POLINOMIS3.1. INTRODUCCIÓ A LES FRACCIONS POLINÓMICAS
3.2. DIVISIÓ DE POLINOMIS
3.3. IGUALTATS NOTABLES
3.4. OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGEBRAIQUES
ResumSegons avancem en els nostres estudis es van ampliant els nostres coneixements, en particular els deMatemàtiques. Açò no es deu a cap tipus de capritx, tot al contrari: al llarg de la història lesMatemàtiques es desenrotllen espentades per les necessitats de les persones. És indubtable laconveniència que una persona tinga soltesa amb els nombres i les seues operacions bàsiques: suma,resta, multiplicació i divisió. Per soltesa no ha d’entendre’sque se sàpia de memòria “totes” les taules de multiplicar,sinó que siga conscient del que significa realitzar unaoperació concreta, que siga capaç de donar resposta apreguntes quotidianes que es resolen operandadequadament les dades disponibles. Per a aqueix propòsités útil fomentar la nostra capacitat d’abstracció; ella enspermet reconéixer com a equivalents situacions enaparença molt allunyades. En aquest capítol es va a fer unpas en aqueix sentit en manipular, manejar, dadesnumèriques no concretades, no conegudes, a través d’indeterminades o variables. D’aqueixa maneraapareixeran les expressions algebraiques i, dins d’elles, unes expressions particulars d’abundant ús isimplicitat d’exposició, els polinomis.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
91 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
1.1. IntroduccióNo cal imaginar situacions rebuscades perquè, a l’hora de realitzar un raonament, ens topem ambalguna de les quatre operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació o divisió.
Exemples:
• El pare, la mare i el fill han anat al cine i les entrades han costat 27 euros.Per a calcular el preu de cada entrada es divideix entre 3: 27/ 3 = 9 euros.
• Si comprarem pasta de te i el preu d’un quilogram és de 18’3 euros,resulta habitual que, segons va la dependenta introduint pastes en unasafata, anem veient l’import final. Per a això si la safata està sobre unabalança, executem l’operació 18’3∙x on x és la quantitat de quilograms queens ha indicat la balança. Després de cada pesada, el resultat d’aqueixamultiplicació reflectix l’import de les pastes que, en aqueix moment, conté lasafata.
• Suposem que tenim un contracte amb una companyia de telefonia mòbil pel que paguem 5cèntims d’euro per minut, així com 12 cèntims per establiment de telefonada. Amb aqueixatarifa, una telefonada de 3 minuts ens costarà:
27'012'015'012'0)305'0( =+=+⋅ euros
Però quin és el preu d’una telefonada qualsevol? Com desconeixem laseua duració, ens trobem amb una quantitat no determinada, oindeterminada, per la qual cosa en qualsevol resposta que donem a lapregunta anterior s’apreciarà l’absència d’aqueix dada concreta.Podem dir que el cost d’una telefonada qualsevol és
12'005'012'0)05'0( +⋅=+⋅ xx euros
on x assenyala la seua duració, en minuts.
Activitats proposades1. A finals de cada mes l’empresa de telefonia mòbil ens proporciona la
factura mensual. En ella apareix molta informació, en particular, elnombre total de telefonades realitzades (N) així com la quantitat totalde minuts de conversació (M). Amb les dades de l’anterior exemple,justifica que l’import de les telefonades efectuades durant aqueix mesés:
NMNM ⋅+⋅=⋅+⋅ 12'005'0)12'0()05'0( euros
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
92 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Exemple:
• És ben coneguda la fórmula de l’àrea d’un rectangle de base b i altura associada h:
A = b∙h
En tots aquests exemples han sorgit expressions algebraiques.
1.2. Expressions algebraiquesAnomenarem expressió algebraica a qualsevol expressió matemàtica que es construïsca amb nombres iles operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació i/o divisió. En una expressióalgebraica pot haver-hi dades no concretades; segons el context, rebran el nom de variable,indeterminada, paràmetre, entre altres.
Si a una expressió algebraica no hi ha variables, la dita expressió no és més que un nombre:
Exemple:
2
313
2
2
2
3151
2
3151
2
15211
15221
1
1510
1512
211
5352
3534
211
32
54
)7(3 −=+−=+−=+⋅−=+−=+−
−=+
⋅⋅−
⋅⋅
−=+−
−⋅
Al fixar un valor concret per a cada indeterminada d’una expressió algebraica apareix un nombre, elvalor numèric d’aqueixa expressió algebraica per a tals valors de les indeterminades.
Exemple:
• El volum d’un con ve donat per l’expressió algebraica:
hrV ⋅⋅= 2
31 π
en la que r és el radi del cercle base i h és la seua altura.D’aquesta manera, el volum d’un con la base del qual té un radide 10 cm i d’altura 15 cm és igual a:
322 500151031
31
cmhrV πππ ⋅=⋅⋅=⋅⋅= .
• L'àrea lateral del con ve donada per AL = π∙r∙g, on r és el radi de la base i g la generatriu.La superfície total és AT = π∙r∙g + π∙r2.
• L'expressió algebraica que representa el producte dels quadrats de dos nombres
qualssevol x i y es simbolitza per 22 yx ⋅ . Si en ella fixem 2−=x i 5
3=y resulta
(−2)2⋅(35)2=4⋅
925
=3625
.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
b
h
93 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
• Si a l’expressió
zyx
x 6
27 3 −⋅++
particularitzem les tres variables amb els valors
4=x , 1−=y , 2
1=z
sorgeix el nombre
7124272/1
6)1(4
2
47 3 −=−−+=−−⋅++
En una expressió algebraica pot no tindre sentit donar algun valor a certa indeterminada. En efecte, enl’últim exemple no és possible fer 0=z .
Activitats proposades2. Escriu les expressions algebraiques que ens proporcionen la longitud d’una
circumferència i l’àrea d’un trapezi.
3. Reescriu, en llenguatge algebraic, els següents enunciats, referits a dos nombres qualssevol x i y :
a) El triple de la seua diferència b) La suma dels seus quadrats c) El quadrat de la seua suma
d) L’invers del seu producte e) La suma dels seus oposats d) El producte dels seus quadrats
4. Una botiga de roba anuncia en els seus aparadors que està de rebaixes i que tots els seus articlesestan rebaixats un 30 % sobre el preu imprés en cada etiqueta. Escriu elque pagarem per una peça en funció del que apareix en la seua etiqueta.
5. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques per alvalor o valors que s’indiquen:
a) 54
3 2 −+−x
x per a 2−=x .
b) 12
3 23
−⋅+−++ bab
bab per a
3
1=a i 2
1=b .
6. Indica, en cada cas, el valor numèric de l’expressió x−2 y+3 z :
a) x=1, y=2, z=1
b) 1,0,2 −=== zyx
c) 0,1,0 === zyx
7. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques per al valor o els valors ques’indiquen:
a) x2 + 2x − 7 per a x = 2 b) (a + b)2 − (a2 + b2) per a a = 3 i b = −2 c) c2 + 3c + 7 per a c = 1.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
94 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE
2.1. Monomis. PolinomisUnes expressions algebraiques de gran utilitat són els polinomis, la versió més simple i, dels quals almateix temps, generadora d’ells són els monomis.
Un monomi ve donat pel producte de nombres i indeterminades. Anomenarem coeficient d’unmonomi al nombre que multiplica a la indeterminada, o indeterminades; la indeterminada, oindeterminades, conformen la part literal del monomi.
Exemples:
• L'expressió que ens proporciona el triple d’una quantitat, 3∙x, és unmonomi amb una única variable, x, i coeficient 3.
• El volum d’un con, hr ⋅⋅ 2
31 π , és un monomi amb dues indeterminades, r
i h , i coeficient π31
. La seua part literal és hr ⋅2 .
• Altres monomis: 5a2b3, 2232 zyx ⋅⋅⋅
• L'expressió 5 xy2+√3xy−37x està formada per tres termes, tres monomis. Cada un té un
coeficient i una part literal:
Al primer, 5 xy2 , el coeficient és 5 i la part literal xy2
Al segon, xy3 , té per coeficient 3 i part literal xy
I al tercer, x73− , el coeficient és
73− i la part literal x
Atenent a l’exponent de la variable, o variables, adjudicarem un grau a cada monomi d’acord amb elcriteri següent:
• Quan hi haja una única indeterminada, el grau del monomi serà l’exponent de la seua
indeterminada.
• Si apareixen diverses indeterminades, el grau del monomi serà la suma dels exponents
d’aqueixes indeterminades.
Exemples:
• 3x és un monomi de grau 1 en la variable x.
•13π⋅r2⋅h és un monomi de grau 3 en les indeterminades r i h .
• 5a2b3 és un monomi de grau 5 en a i b.
• √2⋅x3⋅y 2⋅z2 és un monomi de grau 7 en x , y i z .
Un nombre pot ser considerat com un monomi de grau 0.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
95 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Activitats proposades8. En cada un dels següents monomis assenyala el seu coeficient, la seua part literal i el seu grau:
• 312x−
• cba 34
• 24xy
Un polinomi és una expressió construïda a partir de la suma de monomis. El grau d’un polinomi vindràdonat pel major grau dels seus monomis.
Exemples:
• 275
1 32 +⋅−⋅ xx és un polinomi de grau 3 en la variable x .
• xxy ⋅+⋅+⋅− 283 24 és un polinomi de grau 4 en les indeterminades x i y .
• 232 374 yyx ⋅+−⋅⋅ és un polinomi de grau 5 en x i y .
• zyx ⋅+⋅− 62 és un polinomi de grau 1 en x , y i z .
Tant en aquesta secció com en la següent ens limitarem, bàsicament, a considerar polinomis amb unaúnica variable. És habitual escriure els diferents monomis d’un polinomi de manera que els seus grausvagen en descens per a, amb aquest criteri, apreciar en el seu primer monomi quin és el grau delpolinomi.
L'aspecte genèric d’un polinomi en la variable x és
012
21
1 ...... axaxaxaxa nn
nn +++++ −
−
on els coeficients ka són nombres. El monomi de grau zero, 0a , rep el nom de terme independent.
Direm que un polinomi és mònic quan el coeficient del seu terme de major grau és igual a 1.
Exemples:
• 25
13 24 ++− xx és un polinomi de grau 4 en la variable x , el terme independent del qual és 2 .
• 734 3 −+ yy és un polinomi de grau 3 en la indeterminada y amb terme independent 7− .
• 1232 +− zz és un polinomi de grau 2 en z . A més, és un polinomi mònic.
• 93 +x és un polinomi de grau 1 en x .
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
96 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Activitats proposades9. Para cada un dels següents polinomis trau el seu grau i els monomis que el constitueixen:
• xxx −+ 24 75
• 32 2106 xx −+
• 2253 72 yxxxy +−
Com ocorre amb qualsevol expressió algebraica, si fixem, o triem, un valor concret per a la variable d’unpolinomi apareix un nombre: el valor numèric del polinomi per a aqueix valor determinat de la variable.Si hem anomenat p a un polinomi, a l’avaluació de p en, per exemple, el nombre 3− la denotaremper )3(−p , i llegirem ”p de menys tres” o ”p en menys tres”. Amb aquest criteri, si p és un polinomila indeterminada del qual és la variable x , podem referir-nos a ell com p o )(xp indistintament.
D'aquesta forma apreciem que un polinomi pot ser entés com una manera concreta d’assignar a cadanombre un altre nombre.
Exemples:
• Si avaluem el polinomi p≡−3 x 4+15x2+2 en x=5 ens trobem amb el nombre
186871875256253255
153)5( 24 −=+−=++⋅−=+⋅+⋅−=p
• El valor del polinomi 734 3 −+= yyyq )( per a 1−=y és
141047314713141 3 −=−−=−−−⋅=−−⋅+−⋅=− )()()()(q• En particularitzar el polinomi 1232 +−≡ zzr en 0=z resulta el nombre 12)0( =r .
Activitats proposades10. Considerem el polinomi 23)( 3 +−= xxxp . Troba els següents valors numèrics de p : )0(p , p (1 )
, )1(−p , )2(−p i )2/1(p .
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
97 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
2.2. Suma de polinomisCom un polinomi és una suma de monomis, la suma de dos polinomis és un altre polinomi. A l’hora desumar dos polinomis procedirem a sumar els monomis de la mateixa part literal.
Exemples:
• La suma dels polinomis 25
13 24 ++− xx i 654 24 −−+− xxx és el polinomi
455
214)62(54
5
1)13(
)62(545
1)3()654(2
5
13
2424
22442424
)(
)()(
−−+−=−+−⋅++⋅−−=
=−+−++−−=−−+−+++−
xxxxxx
xxxxxxxxxx
• 66)71()43()5()74()135( 22222 −+=−++−++=−+++− xxxxxxxxxx
• 142)4()12( 3443 +++−=+−++ xxxxxx
• 11)2()9( 33 =+−++ xx
• 3xy + 5xy + 2x = 8xy + 2x
En el següent exemple sumarem dos polinomis disposant-los, adequadament, un sobre un altre.
Exemple:
22523
63547
4524
345
235
2345
−−++−
−−++−+++−++
xxxx
xxxx
xxxxx
Propietats de la suma de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora desumar-los:
pqqp +≡+
Exemple:
855)17()32()4()13()724( 23223232 +−+−=++−−+++−=+−+−++− xxxxxxxxxxxxx
855)71()23()4()724()13( 23223223 +−+−=++−−+++−=+−++−+− xxxxxxxxxxxxx
Propietat associativa. Ens assenyala com es poden sumar tres o més polinomis. Basta fer-ho agrupant-los de dos en dos:
)()( rqprqp ++≡++
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
98 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Exemple:
245)6()855(
)6()13724()6()13()724(2323
232232
+−+−=−++−+−==−++−+−+−=−++−+−++−
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
També:
245)52()724(
)613()724()6()13()724(23232
232232
+−+−=−−+−++−=
=−++−+−++−=−++−+−++−
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Activitats proposades11. Realitza les següents sumes de polinomis:
• )324()452()5( 2323 xxxxxxx +−−++++−+−
• 2232 )136()42()4( xxxxxx −+++−++−++
Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: el resultat de sumar-lo amb qualsevolaltre sempre és aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 0, el polinomi zero.
Exemple:
7370)737()737(0 333 ++−=+++−=++−+ xxxxxx
Element oposat. Cada polinomi té associat un altre, a què anomenarem el seu polinomi oposat, tal quela suma d’ambdós és igual al polinomi zero. Aconseguim el polinomi oposat d’un donat, simplement,canviant el signe de cada monomi.
Exemple:
• El polinomi oposat de p≡−2x 4+x3+2x−7 és 2 x 4−x3−2 x+7 , al què denotarem com - p .Ratifiquem que la seua suma és el polinomi zero:
0)77()22()()22()722()722( 33443434 =+−+−+−++−=+−−+−++− xxxxxxxxxxxx
Activitats proposades12. Escriu el polinomi oposat de cada un dels polinomis següents:
• 9322 23 +−− xxx
• x5−
• xx 73 +−
13. Considera els polinomis 12 +−≡ xxp , 323 −+−≡ xxq , així com el polinomi suma qps +≡ . Troba elsvalors que adopta cada un d’ells per a 2−=x , és a dir, calcula )2(−p , )2(−q i )2(−s . Estudia sihi ha alguna relació entre aqueixos tres valors.
14. Obtín el valor del polinomi 14 23 +−≡ xxp en 2=x . Quin valor pren el polinomi oposat de p en2=x ?
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
99 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
2.3. Producte de polinomisUna altra operació que podem realitzar amb polinomis és la multiplicació.
El resultat del producte de polinomis sempre serà un altre polinomi. Encara que en un polinomi tenimuna indeterminada, o variable, com ella adopta valors numèrics, a l’hora de multiplicar polinomisutilitzarem les propietats de la suma i el producte entre nombres, en particular la propietat distributivadel producte respecte de la suma; així, tot queda en funció del producte de monomis, qüestió queresolem amb facilitat:
mnmn abxbxax +=⋅
Exemples:
• 64242 102)5(2)5( xxxx −=⋅⋅−=⋅− +
• 333 20)4(5)4(5 xxx −=⋅−⋅=−⋅
• 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx +−=⋅+⋅−⋅=+−⋅
• xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 +−=−⋅−+−⋅+−⋅−=−⋅−+−
•=++−+−−=−−⋅−+−−⋅=−−⋅− )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx
10714310)815()212(3 23223 +−−=++−+−−+= xxxxxxxx
• xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433 +−−=+−+−=−⋅−+⋅−=−⋅−
També podem materialitzar el producte de polinomis tal com multipliquem nombres enters:
Exemple:
41162
42
1236
42
13
42
2345
235
24
3
2
3
+−+−+−
++−
−−
++−
+−×
++−
xxxxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
Recordem que el polinomi oposat d’un altre s’obté simplement canviant el signe de cada monomi.Aquesta acció es correspon de multiplicar pel nombre “ 1− ” el polinomi original. D’aquesta manera elpolinomi oposat de p és
pp ⋅−≡− )1(
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
100 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
En aquest moment apareix de manera natural l’operació diferència, o resta, de polinomis. La definimamb l’ajuda del polinomi oposat d’un donat:
qpqpqp ⋅−+≡−+≡− )1()(
Exemple:
4382)62(3)35(2
)632()235()632()235(2342234
23422342
−−−−=−+−−−+−==−−−++−−=+++−−+−−
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
Activitats proposades15. Efectua els següents productes de polinomis:
• )43()2( 2 −⋅− xx
• )54()12( 3 +−⋅+ xx
• )62()14( 23 +⋅−− xxx
• )978()1( 2 −+⋅− xx
16. Realitza les següents diferències de polinomis:
• )2()25( 2 xx −−+
• )12()42( 3 −−−+− xxx
• )143()27( 232 +−+−− xxxxx
17. Multiplica cada un dels següents polinomis per un nombre de tal forma que sorgisquen polinomismònics:
• 23 2 +− xx
• 326 3 −+− xx
• 292 −+− xx
18. Calcula i simplifica els productes següents:
a) )42( +−⋅ xx b) )23()32( +⋅− xx
c) )34()2( aa −⋅− d) )2()3( 22 abba −⋅−
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
101 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Propietats del producte de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora demultiplicar-los:
pqqp ⋅≡⋅
Exemple:
2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=+−⋅−+−⋅=+−⋅−23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=−⋅+−⋅−=−⋅+−
Propietat associativa. Ens assenyala com es poden multiplicar tres o més polinomis. Basta fer-hoagrupant-los de dos en dos:
)()( rqprqp ⋅⋅≡⋅⋅
Exemple:
( )xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
266184122266441212
)()26412()()13()24(234563243546
32332
−++−−=−++−+−−=
=+−⋅−++−=+−⋅+−⋅−
També:
( )xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
266184122266441212
)33()24()()13()24(234563243546
324232
−++−−=−++−+−−=
=+−−⋅−=+−⋅+−⋅−
Activitats proposades19. Realitza els següents productes de polinomis:
• 22 )243( xxxx ⋅++−⋅
• )()35()12( 2 xxxx −⋅+−⋅+−
• )45()2()13( aaa −⋅−⋅−
Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: en multiplicar-lo per qualsevol altresempre ens dóna aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 1, el polinomi unitat.
Exemple:
3251)325()325(1 333 +−−=⋅+−−=+−−⋅ xxxxxx
Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Quan en una multiplicació de polinomisun dels factors ve donat com la suma de dos polinomis com, per exemple,
( ))4()72()3( 32 xxxxx −++−⋅−
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
102 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
tenim dues opcions per a conéixer el resultat:
a) realitzar la suma i, després, multiplicar
( ) ( )xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
7271837621183
76)3()4()72()3(234524235
3232
−+−−=−+−+−=
=+−⋅−=−++−⋅−
b) distribuir, aplicar, la multiplicació a cada un dels sumands i, després, sumar:
( )xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
727183)4123()72216(
)4()3()72()3()4()72()3(23452435223
32232
−+−−=+−−+−++−==−⋅−++−⋅−=−++−⋅−
Comprovem que obtenim el mateix resultat.
En general, la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma ens diu que
( ) ( ) ( )rpqprqp ⋅+⋅≡+⋅
Convé comentar que l’anterior propietat distributiva llegida en sentit contrari, de dreta a esquerra, és elque comunament es denomina traure factor comú.
Exemple:
2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx ⋅+−−=+−−
Activitats proposades20. De cada un dels següents polinomis extrau algun factor que siga comú als seus monomis:
• xxx 201510 23 +−−
• 24 2430 xx +
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
103 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
3. DIVISIÓ DE POLINOMIS
3.1. Introducció a les fraccions polinòmiquesFins a aquest moment hem estudiat diverses operacions amb polinomis: suma, resta i producte. Enqualsevol dels casos el resultat sempre és un altre polinomi. Quan establim una fracció polinòmicacom, per exemple,
32
32
3
−+−xx
xx
el que tenim és una expressió algebraica, una fracció algebraica, la qual, en general, no és un polinomi.Sí que apareix un polinomi en el molt particular cas en què el denominador és un nombre diferent dezero, açò és, un polinomi de grau 0.
És senzill constatar que l’expressió anterior no és un polinomi: qualsevol polinomi pot ser avaluat enqualsevol nombre. No obstant això aqueixa expressió no pot ser avaluada per a 1=x , ja que ensquedaria el nombre 0 al denominador.
Podríem creure que la següent fracció polinòmica sí que és un polinomi:
352352352 2
2323
−+−=−++−=−+−xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
L'expressió de la dreta sí que és un polinomi, perquè es tracta d’una suma de monomis, però la del’esquerra no ho és ja que no pot ser avaluada en 0=x . No obstant això, aqueixa fracció algebraica i elpolinomi, quan són avaluats en qualsevol nombre diferent de zero, ofereixen el mateix valor. Sónexpressions equivalents allí on ambdues tenen sentit, açò és, per a aquells nombres en què eldenominador no es fa zero.
3.2. Divisió de polinomisEncara que, com hem vist a l’apartat anterior, una fracció polinòmica, en general, no és un polinomi,anem a endinsar-nos en la divisió de polinomis perquè és una qüestió important i útil.
Analitzem amb deteniment la divisió de dos nombres enters positius. Quan dividim dos nombres, D(dividend) entre d (divisor, diferent de 0), sorgeixen altres dos, el quocient (c) i el residu (r). Ells estroben lligats per l’anomenada prova de la divisió:
rcdD +⋅=
Alternativament:
d
rc
d
D +=
A més, diem que la divisió és exacta quan 0=r .
El conegut algoritme de la divisió persegueix trobar un nombre enter, el quocient c, tal que el residu rsiga un nombre menor que el divisor d, i major o igual que zero. Fixem-nos en que, sense aquestaexigència per al residu r, podem triar arbitràriament un valor per al quocient c el qual ens subministra elseu valor associat com a residu r. En efecte, si tenim com a dividend D = 673 i com divisor d = 12, “si
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
104 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
volem” que el quocient siga c = 48 el seu residu associat és
975766734812673 =−=⋅−=⋅−= cdDr
i la connexió entre aquests quatre nombres és
974812673 +⋅=
Aquesta última “lectura” de la divisió de nombres enters va a guiar-nos a l’hora de dividir dospolinomis.
Donats dos polinomis )(xp i )(xq , la divisió de )(xp , polinomi dividend, entre )(xq , polinomidivisor, ens proporcionarà altres dos polinomis, el polinomi quocient )(xc i el polinomi residu )(xr .També ací pesarà una exigència sobre el polinomi residu: el seu grau haurà de ser menor que el grau delpolinomi divisor. La relació entre els quatre serà, naturalment,
)()()()( xrxcxqxp +⋅=
També escriurem
)(
)()(
)(
)(
xq
xrxc
xq
xp +=
encara que, en aquest cas, serem conscients de les cauteles assenyalades a l’apartat anterior quant a
les equivalències entre polinomis i altres expressions algebraiques.
Igual que ocorre amb l’algoritme de la divisió entera, l’algoritme de la divisió de polinomis consta de
diverses etapes, de caràcter repetitiu, en cada una de les quals apareixen uns polinomis quocient i
residu “provisionals” de manera que el grau d’aqueixos polinomis residu va descendint fins que ens
topem amb un el grau del qual és inferior al grau del polinomi divisor, la qual cosa indica que hem
conclòs. Vegem aquest procediment amb un exemple concret.
Exemple:
• Dividirem el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq . Com elpolinomi divisor, )(xq , és de grau 2, hem de trobar dos polinomis, un polinomi quocient )(xc
, i un polinomi residu )(xr de grau 1 o 0, tals que
)()()()( xrxcxqxp +⋅=
o, com a igualtat entre expressions algebraiques,
)(
)()(
)(
)(
xq
xrxc
xq
xp +=
A la vista dels polinomis )(xp i )(xq , i del que s’ha dit sobre )(xr , és evident que el grau delpolinomi quocient, )(xc , ha de ser igual a 2. Anem a obtindre'l monomi a monomi.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
105 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
• Primera aproximació als polinomis quocient i residu:
Per a poder aconseguir la igualtat rcqp +⋅≡ , com el grau de )(xr serà 1 o 0, el terme de major graude )(xp , 46x , sorgirà del producte )()( xcxq ⋅ . Així obtenim la primera aproximació de )(xc , elseu monomi de major grau:
21 3)( xxc =
i, de manera automàtica, també un primer residu r1( x ) :
r1(x )= p ( x )−q( x )⋅c1( x )=(6 x4+5x3+x2+3 x−2)−(2x2−x+3)⋅3 x2=
¿(6 x4+5x3+x2+3 x−2)−(6x 4−3x 3+9x 2)=8x3−8 x2+3 x−2
Com aquest polinomi r1( x ) és de grau 3, major que 2, el grau del polinomi divisor )(xq , aqueixpolinomi residu no és el definitiu; hem de continuar.
• Segona aproximació als polinomis quocient i residu:
Si particularitzem la igualtat entre expressions algebraiques )(
)()(
)(
)(
xq
xrxc
xq
xp += al que tenim fins ara
resulta
32
23883
32
23562
232
2
234
+−−+−+=
+−−+++
xx
xxxx
xx
xxxx
Aquesta segona etapa consisteix a dividir el polinomi 2388)( 231 −+−= xxxxr , sorgit com a residu de
l’etapa anterior, entre el polinomi q ( x )=2x2−x+3 , el divisor inicial. És a dir, repetim el que hem fetabans però considerant un nou polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.
El nou objectiu és aconseguir la igualtat rcqr +⋅≡ 21 . Igual que abans, el grau hauria de ser 1 o 0. Com elterme de major grau de r1(x ) , 8 x3 , ix del producte q ( x )⋅c 2( x ) , és necessari que el polinomiquocient continga el monomi
xxc 4)(2 =
Això ens porta a un segon residu )(2 xr :
294)1248()2388(
4)32()2388()()()()(22323
223212
−−−=+−−−+−=
=⋅+−−−+−=⋅−=
xxxxxxxx
xxxxxxxcxqxrxr
Com aquest polinomi r2( x ) és de grau 2, igual que el grau del polinomi divisor q ( x ) , aqueix polinomiresidu no és el definitiu; hem de continuar.
• Tercera aproximació als polinomis quocient i residu:
Allò que s’ha realitzat a l’etapa segona ens permet avançar en l’adequada descomposició de l’expressió
algebraica que ens ocupa:
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
106 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
32
29443
32
23883
32
23562
22
2
232
2
234
+−−−−++=
+−−+−+=
+−−+++
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
Aquesta tercera etapa consisteix a dividir el polinomi 294)( 22 −−−= xxxr , el residu de l’etapa
anterior, entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq , el divisor inicial. De nou repetim l’algoritme però amb unaltre polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.
Perseguim que rcqr +⋅≡ 32 . Com en cada pas, el grau hauria de ser 1 o 0. El terme de major grau de)(2 xr , 24x− , sorgeix del producte )()( 3 xcxq ⋅ , pel que
2)(3 −=xc
i el tercer residu )(3 xr és
411)624()294(
)2()32()294()()()()(22
22323
+−=−+−−−−−=
=−⋅+−−−−−=⋅−=
xxxxx
xxxxxcxqxrxr
Com aquest polinomi r3( x ) és de grau 1, menor que 2, grau del polinomi divisor q ( x ) , aqueixpolinomi residu sí que és el definitiu. Hem conclòs:
32
411243
32
29443
32
23883
32
23562
22
22
2
232
2
234
+−+−+−+=
+−−−−++=
+−−+−+=
+−−+++
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
Si ho expressem mitjançant polinomis:
)411()243()32(2356 22234 +−+−+⋅+−=−+++ xxxxxxxxx
Conclusió: en dividir el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq
obtenim com a polinomi quocient c ( x )=3 x2+4 x−2 i com a polinomi residu 411)( +−= xxr .
A continuació agilitzarem la divisió de polinomis:
Activitats proposades21. Comprova que els càlculs que tens a continuació reflecteixen el que es va fer en l’exemple anterior
per a dividir el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq .
• Primera etapa:
2388
3936
32|2356
23
2234
2234
−+−−+−
+−−+++
xxx
xxxx
xxxxxx
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
107 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
• Primera i segona etapes:
294
1248
2388
43936
32|2356
2
23
23
2234
2234
−−−−+−
−+−+−+−
+−−+++
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxx
• Les tres etapes:
411
624
294
1248
2388
243936
32|2356
2
2
23
23
2234
2234
+−+−
−−−
−+−−+−
−+−+−
+−−+++
x
xx
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxx
22. Divideix els polinomis següents:
• 7943 23 +−+ xxx entre 122 −+ xx
• 4326 23 +++− xxx entre 123 23 +−+ xxx
• −6 x4−13 x3−4x 2−13 x+7 entre −3 x2−2x+1
• 3 x5−9x 4+7 x3+4 x2−14 x+14 entre x3−2x 2−x+3
• x5−4 x−6 entre x2+3
23. Troba dos polinomis tals que en dividir-los aparega 12)( 2 −−= xxxq com a polinomi quocient i32)( 2 −= xxr com a residu.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
108 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
3.3. Igualtats notablesEn aquest apartat destacarem una sèrie de productes concrets de polinomis que sorgeixen sovint.Podem exposar-los de molt diverses formes. Tal com ho farem, apareixerà més d’una indeterminada;hem de ser capaços d’apreciar que si, en algun cas particular, alguna indeterminada passa a ser unnombre concret açò no farà ni més menys que particularitzar una situació més general.
Potències d’un binomi. Les següents igualtats s’obtenen, simplement, després d’efectuar els oportunscàlculs:
222 2)( bababa ++=+
El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer, més el dobleproducte del primer pel segon, més el quadrat del segon.
Comprova la igualtat a partir dels quadrats i rectangles de lail·lustració.
222 2)( bababa +−=−
El quadrat d’una diferència és igual al quadrat del primer, menys eldoble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon.
Observa la figura i connecta-la amb la igualtat.
• 32233 33)( babbaaba +++=+
Ratifica la igualtat amb els cubs i prismes de la figura.
• 32233 33)( babbaaba −+−=−
Podem observar que, en cada un dels desenrotllaments, l’exponentdel binomi coincideix amb el grau de cada un dels monomis.
Exemples:
• 96332)3( 2222 ++=+⋅⋅+=+ aaaaa
• 168442)4( 2222 +−=+⋅⋅−=− xxxxx
• 25309)5(532)3()53( 2222 ++=+⋅⋅+=+ xxxxx
• 22222 3612)6(62)6( yxyxyyxxyx +−=+⋅⋅−=−• 12515030855)2(35)2(3)2()52( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− xxxxxxx
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
109 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Activitats proposades24. Realitza els càlculs:
• (1+x )2
• (− x+2 )2
• ( x−2)2
• (2a−3 )2
• ( x2+1 )3
•3)42( −b
25. Obtín les fórmules dels quadrats dels trinomis següents:
• 2)( cba ++
• 2)( cba +−
26. Desenrotlla les potències següents:
a) (3x − y)2 b) (2a + x/2)2 c) (4y − 2/y)2
d) (5a + a2)2 e) (− a2 + 2b2)2 f) (2/3y − 1/y)2
27. Expressa com quadrat d’una suma o d’una diferència les següents expressions algebraiques:
a) a2 − 6a + 9 b) 4x2 + 4x + 1 c) b2 − 10b + 25
d) 4y2 − 12y + 9 e) a4 + 2a2 +1 f) y4 + 6xy2 + 9x2
Suma per diferència. De nou la següent igualtat s’obtédesprés d’efectuar el producte assenyalat:
22)()( bababa −=−⋅+
Suma per diferència és igual a diferència de quadrats.
Observa les figures i connecta-les amb la igualtat.
Exemples:
• 497)7()7( 222 −=−=−⋅+ aaaa
• 11)1()1( 222 −=−=−⋅+ xxxx
• 943)2()32()32( 222 −=−=−⋅+ xxxx
• =−⋅+⋅−=+−⋅+⋅−=+−⋅−− )35()35()1()53()53()1()53()53( xxxxxx222 925))3(5()1( xx +−=−⋅−=
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
110 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
Activitats proposades28. Efectua aquests productes:
• )23()23( −⋅+ xx
• )42()42( yxyx −⋅+
• )34()34( 22 −⋅+ xx
• )53()53( baba +⋅−
• )5()5( 22 xxxx +⋅+−
29. Expressa com a suma per diferència les següents expressions
a) 9x2 − 25 b) 4a4 − 81b2 c) 49 − 25 x2 d) 100 a2 − 64
De volta als polinomis d’una variable, podem dir que en aquest apartat hem expandit potències d’unpolinomi, o productes d’un polinomi per si mateix, així com productes de la forma suma per diferència.Convé donar-se compte que les seues fórmules, llegides al revés, ens informen del resultat de certes
divisions de polinomis. En efecte, igual que quan llegim 1871117 =× deduïm que 1117
187 = i, també,
1711
187 = , a partir del desenrotllament d’un binomi com, per exemple:2342222 4129)23()23()23( xxxxxxxxx +−=+−⋅+−=+− , podem obtindre que:
xxxx
xxx23
23
4129 22
234
+−=+−
+−
El mateix ocorre amb el producte de polinomis de la forma suma per diferència. Ja que, per exemple,
254)52()52( 633 −=+⋅− xxx , deduïm que 5252
254 33
6
+=−
−x
x
x, i també 52
52
254 33
6
−=+
−x
x
x.
Activitats proposades30. Realitza les següents divisions de polinomis a partir de la conversió del dividend en la potència d’un
binomi o en un producte de la forma suma per diferència:
• 36122 ++ xx entre 6+x
•24 164 xx − entre xx 42 2 −
• 16249 2 +− xx entre 43 −x
• 52 −x entre 5+x
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
111 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
3.4. Operacions amb fraccions algebraiquesJa que tant els polinomis com les fraccions algebraiques obtingudes a partir de dos polinomis són, enpotència, nombres, operarem amb tals expressions seguint les propietats dels nombres.
• Suma o resta. Per a sumar o restar dues fraccions polinòmiques haurem d’aconseguir quetinguen el mateix denominador. Una manera segura d’aconseguir-ho, encara que pot no ser lamés adequada, és aquesta:
21
1221
12
12
21
21
2
2
1
1
qpqp
qp
qp
q
p
q
p
⋅⋅+⋅≡
⋅⋅+
⋅⋅≡+
• Producte. Basta multiplicar els numeradors i denominadors entre si:
21
21
2
2
1
1
pp
q
p
q
p
⋅⋅≡⋅
• Divisió. Segueix la coneguda regla de la divisió de fraccions numèriques:
21
21
2
2
1
1
pq
qp
q
pq
p
⋅⋅≡
Exemples:
xx xxxx xxxxx xxxxxxx xxxx xxxxxx
+−+=
+++−=
=+++
+−=
⋅+⋅++
+⋅+⋅−=
+++−
2
2
2
22
2
2
2
2
1431
31113
111
1131
)()()( )()( )()(
)()()()()()( )()()()()()()()( )()()( )()(
2133
217744
217744
1277
2144
1217
2122
27
12
222
2
+⋅+−−=
+⋅+−−++=
+⋅++−++=
=+⋅+
+−+⋅+
++=+⋅+
+⋅−+⋅++⋅+=
+−
++
xx xxxx xxxxx xxxxx xxx xxxx xxx xxxxx
)()( )()(15131
113
51
22 −⋅−−⋅+=
−−⋅
−+ xx xxxxxx
)()( )()(: xxx xxxxxxxx xxxx +⋅+−⋅+−=
+−⋅
++−=
−+
++−
22
2
31231
323
1323
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
112 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
De vegades pot ser útil apreciar que una fracció polinòmica pot ser reescrita com la suma, diferència,producte o quocient d’altres dues fraccions polinòmiques. En particular, això pot ser aprofitat per asimplificar una expressió polinòmica:
Exemples:
•2
12)34(
)34(
2)34(2
)34(
68
34 2 xx
x
xx
x
xx
x
xx =⋅=−−⋅=
−⋅−⋅=
−−
•x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
++−=−⋅
+−=
−−⋅
+−=
−⋅+−=
−+−
3
3)1(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3(
)3()3(
)3(
9
96 2
2
2
Activitats proposades31. Efectua els càlculs següents:
•1
2
2
1
−+
+ xx
•xx
x 5
1
22
−−
−
•1
3
3
1 2
+⋅
++−
x
x
x
x
•3
:2
2 −+
x
x
x
x
32. Realitza les següents operacions alterant, en cada apartat, només un dels denominadors, i el seurespectiu numerador:
• 23
2 1312
x
x
x
xx +++−−
•2
3
2
122 −
−−
−x
x
xx
x
33. Calcula els quocients següents:
a) (2x3 − 8x2 + 6x) : 2x
b) (5a3 + 60a2 −20) : 5
c) (16x3 + 40x2) : 8x2
d) (6x2y3 − 4xy2) : xy2
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
113 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
34. Comprova les següents identitats simplificant l’expressió del costat esquerre de cada igualtat:
• baba
ba 53
28
32
6 =
• yxxy
xyyx
2
12
4
28 223
−=−
•4
2
82
24 22
−+=
−+
x
xx
x
xx
•ab
abab
baab
abbaba
4
223
82
446 2
22
3222
−+−=
−+−
35. Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) 189
632
2
++
x
xx b)
23
23
53
7
aa
aa
+−
c) xy
xyyx
2
7 222 − d)
abba
abba
+−
3
22
36. En cada una de les següents fraccions algebraiques escriu, quan siga possible, el polinominumerador, o denominador, en forma de potència d’un binomi o de suma per diferència per a,posteriorment, poder simplificar cada expressió:
a) 63
42
+−x
x b)16
321622
2
−+−
x
xx c)
94
462 −
−a
a
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
114 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
CURIOSITATS. REVISTA
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
GEOMETRIATal com podràs comprovar durant aquest curs i els següents, gràcies als polinomis serà possible i senzill descriure nombrosos objectes geomètrics com a rectes, circumferències, el·lipses, paràboles, plans, esferes, cilindres, cons, etc.
12
2
2
2
=+by
ax
y = ax2 + bx + c
x2 + y2 + z2 = r2x2 + y2 = r2
Per a veure geomètricament el quadrat d'un trinomi:
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172241_am:1.swf
Per a veure geomètricament suma per diferència:
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172242_am:1.swf
Per a veure geomètricament el quadrat d'una diferència:
http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172456_am:1.swf
ALTRES CIÈNCIES
Hem vist en aquest capítol que les fórmules que ens proporcionen l’àrea o el volum de diferents figures vénen donades per polinomis. Aquests també apareixen en nombrosos principis o lleis de la Física i de la Química com, per exemple, en diferents Lleis de Conservació, la Llei General dels Gasos, etc.
Així mateix, són de freqüent ús a l’hora d’obtindre distints índexs o indicadors propis de l’Economia com, per exemple, l'IPC (índex de preus al consum), l’euribor, etc.
115 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
RESUM
Noció Descripció Exemples
Expressió algebraica
Es construeix amb nombres i les operacionsmatemàtiques bàsiques de suma, resta, multiplicació i/odivisió
zyxyx
x ⋅⋅−+
− 232
3
Variable, indeterminada
Allò no concretat a una expressió algebraica Les variables, o indeterminades, de l’exemple anterior són x, y, z
Valor numèric d’una expressió algebraica
Al fixar un valor concret per a cada indeterminada, ovariable, d’una expressió algebraica s’obté un nombre,el valor numèric d’aqueixa expressió algebraica per atals valors de les indeterminades.
Si, fem x = 3, y = −2, z = 1/2 obtenim
2
3
2
1)2(3
)2(32
33 23
−=⋅−⋅−−+⋅
⋅−
Monomi Expressió donada pel producte de nombres iindeterminades.
235 zyx ⋅⋅⋅− , 27 x⋅
Coeficient d’un monomi
El nombre que multiplica a la indeterminada, oindeterminades, del monomi
Els coeficients dels anteriorsmonomis són, respectivament,−5 i 7
Part literal d’un monomi
La indeterminada, o producte d’indeterminades, quemultiplica al coeficient del monomi
La part literal −5⋅x⋅y 3⋅z2 és23 zyx ⋅⋅
Grau d’un monomi
Quan hi ha una única indeterminada és l’exponent dedita indeterminada. Si apareixen diverses, el grau delmonomi serà la suma dels exponents d’aqueixesindeterminades.
Els graus dels monomisprecedents són 6 i 2,respectivament
Polinomi Expressió construïda a partir de la suma de monomis. 684 23 +++− xxx
Grau d’un polinomi
El mayor grau dels seus monomis L’anterior polinomi és de grau 3
Suma, resta i producte de polinomis
El resultat sempre és un altre polinomi
623
5
1
2,3
23
2
2
2
−−+≡⋅++−≡−
++≡+−≡+≡
xxxqp
xxqp
xxqp
xqxp
Divisió de dos polinomis
S’obtenen altres dos polinomis, els polinomis quocient(c(x)) i residu (r(x)), lligats als polinomis inicials: elspolinomis dividend (p(x)) i divisor (q(x))
)()()()( xrxcxqxp +⋅=
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
116 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
EXERCICIS I PROBLEMES
1. Una empresa majorista de viatges està confeccionant una oferta per a distribuir-la en diferentsagències de viatge. Es tracta d’un viatge amb avió, d’anada i tornada, a Palma de Mallorca el preudel qual dependrà del nombre final de viatgers. Les dades concretes són:
a) Si no hi ha més de 100 persones interessades, el vol costarà150 euros per persona.
b) Si hi ha més de 100 persones interessades, per cada viatgerque passe del centenar el preu del viatge es reduirà en 1 euro.No obstant això, el preu del vol en cap cas serà inferior a 90euros.
Estudia i determina el preu final del vol, per persona, en funció del nombre total de viatgers. Aixímateix, expressa la quantitat que ingressarà l’empresa segons el nombre de viatgers.
2. En aquest exercici es va a presentar un truc mitjançant el qual endevinarem el nombre que resultadesprés de manipular repetidament un nombre desconegut. Converteix en una expressió algebraicales successives alteracions del nombre desconegut i justifica el que ocorre.
i. Dis-li a un company que escriga a un paper un nombre parell i que no el mostre ii. Que el multiplique per 5
iii. Que al resultat anterior li sume 5 iv. Que multiplique per 2 el que obté v. Que al resultat anterior li sume 10
vi. Que multiplique per 5 el que obtévii. Que dividisca entre 100 l’última quantitat
viii. Que al resultat precedent li reste la mitat del nombre que va escriureix. Independentment del nombre desconegut original quin nombre ha sorgit?
3. Els responsables d’una empresa, en previsió d’uns futurs alts i baixos en les vendes dels productesque fabriquen, pensen proposar als seus treballadors a finals de l’any 2014 el següent:
a) La disminució dels sous, per a l’any que ve 2015, en un 10%.
b) Per a 2016 ofereixen augmentar un 10% els salaris de 2015.c) En general, suggereixen que el sou disminuïsca un 10% cada
any imparell i que augmente un 10% cada any parell.
Si finalment s’aplica allò que s’ha exposat, estudia si els treballadorsrecuperaran l’any 2016 el salari que tenien en 2014. Analitza quèocorre amb els sous després del pas de molts anys.
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
117 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
4. Els responsables de l’anterior empresa, després de rebre l’informe d’una consultora, alteren la seuaintenció inicial i proposaran als seus treballadors, a finals de l’any 2014, el següent:
a) Un augment dels sous, per a l’any que ve 2015, d’un 10%.
b) Per a 2016, una reducció del 10% sobre els salaris de 2015.c) En general, suggereixen que el sou augmente un 10% cada any imparell
i que disminuïsca un 10% cada any parell.
Si s’aplica allò que s’ha exposat, analitza si el salari dels treballadors de l’any2016 coincidirà amb el que tenien en 2014. Estudia com evolucionen els sousdesprés del pas de molts anys.
5. Observa si hi ha nombres en què les següents expressions no poden ser avaluades:
•1
3
+−x
x
• )72()5(
12
+⋅−−xx
x
•122 +− xx
x
• 22 3
2
yx
yx
+−+
6. Troba el valor numèric de les següents expressions en els nombres que s’indiquen:
•1
3
+−x
x en 1=x
•122 +− xx
x per a 2−=x
• 22 3
2
yx
yx
+−+
en 3=x i 1−=y
•abcca
ba
3
422
2
−−+−
per a 1−=a , 0=b i 2=c
• )72()5(
12
+⋅−−xx
x en
2
1=x
7. Una persona té estalviats 3000 euros i decideix depositar-los en unproducte bancari amb un tipus d’interés anual del 2’5 %. Si decideixrecuperar els seus estalvis al cap de dos anys, quina serà la quantitattotal de què disposarà?
8. Construeix un polinomi de grau 2, )(xp , tal que p (−2)=−6 .
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
118 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
9. Considera els polinomis 142)( 23 −+−= xxxxp , 523)( 234 −−+−−= xxxxxq i 23)( 2 +−= xxxr .Fes les operacions següents:
• rqp ++• qp −• rp ⋅• qrp −⋅
10. Calcula els productes:
a)
−⋅
−
352
3 byyax b) ( ) ( )zyxzyx 1'02'03'03'02'01'0 +−⋅−+ c) ( ) ( ) ( )axyyx +⋅−⋅− 1
11. Efectua les divisions de polinomis:
• 2x 3+x 2−12 x+7 entre 3+x• −4 x 4+8x 3+7 x 2−21 x+8 entre 132 2 +− xx• 146923 235 −++−− xxxx entre 323 +−− xx
12. Calcula els quocients:
a) )(:)4( 23 xx b) ( ) ( )22433 3:4 yzxzyx c) ( ) ( )yxyyxx 2:44 2224 −+−
13. Realitza les operacions entre fraccions algebraiques:
•x
x
x
x 1212
−+−
•1
532
+++xx
x
•x
x
xx
x −−−− 2
3
12
•x
x
xx
x −⋅−− 2
3
12
•x
x
xx
x −−− 2
:3
12
14. Troba un polinomi )(xp tal que en dividir )(xp entre 32)( 23 −+−= xxxxq s’obtinga com apolinomi residu 13)( 2 +−= xxr .
15. Calcula les potències:
a) 2)2( zyx −+ b) 3)3( yx − c) 2
3
+ ba d) 232 )2( zx −
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
119 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
16. Analitza si els següents polinomis han sorgit del desenrotllament de potències de binomis, otrinomis, o d’un producte suma per diferència. En cas afirmatiu expressa la seua procedència.
• 962 +− xx• 168 24 ++ xx• 22 312 yxyx +−
• 122 234 ++++ yyyy
• 122 234 +++− xxxx• 252 −x• 52 +x• 15 2 −x• 22 8yx −
• 14 −x• 22 yx −
• 222 2 zyx −
17. Analitza si el numerador i el denominador de les següents expressions algebraiques procedeixen deldesenrotllament d’un binomi, o d’un producte suma per diferència, i simplifica-les:
a) 1
122
2
−++
x
xx b) 22
4224 2
yx
yyxx
++−
c) 14
3
−−
y
yxxy
18. Efectua les següents operacions i simplifica tot el possible:
a) )3(2
1
)3(
3
xxx −−
− b) 1
153
2
5
3
434
+⋅−+−x
x
x
xxx c)
ba
yx
ba
yx
33
542
−++
−−
19. Simplifica tot el possible:
a)
+
−
xx
x
yyx
1: 2
24 b)
ab
ab
ab
abaabb
−+
−+++
:33 3223
c) baba
ba
ba
ba
−
+−−
−+ 4
:
20. Simplifica tot el possible:
a)
yxa
yxa
xya
xya
++
+−
++
−+
11
11
:11
11
b)
−−
+++
3232
321:
3211
xxxxxx c)
yx
yx
yx
yx21
31
23
12
−
−⋅
+
−
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF
120 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºA ESO
AUTOAVALUACIÓ
1. Assenyala els coeficients que apareixen a les següents expressions algebraiques:
a) 253 yx ⋅⋅⋅ b) 73 34 ++−− xxx c) 93
624
8 22
+−+−
+a
xay
x
2. Destaca les variables, o indeterminades, de les precedents expressions algebraiques.
3. Del polinomi 985 24 +−− xxx indica el seu grau i els monomis que l'integren.
4. L'expressió x−7
4−2 x no té sentit per a
a) 7=x b) 2=x c) 7=x i 2=x d) 0=x5. Qualsevol polinomi:
a) pot ser avaluat en qualsevol nombre. b) no pot ser avaluat en el nombre zero. c) no pot ser avaluat en certs nombres concrets.
6. El valor numèric de l’expressió z
xzy
x 36
24
7 22
−+−
+ en 1,2,1 −=== zyx és:
a) 11− b) 7 c) 1 d) 5−
7. Completa adequadament les frases següents:a) La suma de dos polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ………. b) La suma de tres polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ………. c) El producte de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. d) La diferència de dos polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ……….
8. Finalitza adequadament les frases següents:a) La suma de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. b) La suma de tres polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. c) La diferència de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ……….
9. En dividir el polinomi 42)( 34 +−= xxxp entre 22)( 2 ++= xxxq el polinomi residu resultant: a) ha de ser de grau 2.b) pot ser de grau 2.c) ha de ser de grau 1. d) cap de les opcions precedents.
10. Perquè una fracció polinòmica )(
)(
xq
xp siga equivalent a un polinomi:
a) els polinomis p ( x ) i q (x ) han de ser del mateix grau.b) no importen els graus de )(xp i )(xq .c) el grau del polinomi numerador, )(xp , ha de ser superior o igual al grau del polinomi
denominador, )(xq .d) el grau del polinomi numerador, )(xp , ha de ser inferior al grau del polinomi denominador,
)(xq .
Matemàtiques orientades a les ensenyances aplicades 3º A ESO. Capítol 4:Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF