25/11/2014
Aplicaciones del CÁLCULO en la INGENIERÍA agroindustrial
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Instituto de Ciencias Agropecuarias
Cálculo Integral
M. T. E. Delia Erika Islas Pérez
Rosales Lira Clara Estela
INTRODUCCIÓN
En el presente ensayo hablare sobre las aplicaciones que tiene el cálculo en mi
carrera ingeniería agroindustrial, con información recabada de algunas entrevistas
hechas a ingenieros agroindustriales o a ingenieros que imparten materias de
agroindustrial, que tan importante es el cálculo en las actividades que realizan y
específicamente en donde lo aplican. Sustentando cada actividad con lo aprendido
del curso y en algunos libros.
Con la finalidad de comprender como el conocimiento adquirido en cálculo se aplica
en las actividades que ya realizamos y en las que más adelante realizaremos siendo
profesionistas.
APLICACIONES DEL CÁLCULO EN MI CARRERA
La primera entrevista que realice fue a la doctora Rosa Hayde Alfaro Rodríguez
quien es ingeniera agroindustrial egresada del Instituto de Ciencias Agropecuarias
actualmente es profesor investigador de dicho instituto, donde su principal función es
el desarrollo y generación de conocimientos en diferentes áreas de la ingeniería. La
Dra. Hayde eligió esta carrera por el agrado de la parte agrónoma, los procesos
industriales y los productos que se elaboran, menciono que las ventajas son muy
amplias ya que se puede ingresar en varias industrias tanto alimentarias como no
alimentarias y la única desventaja que existe dentro de la carrea son barreras que
nosotros mismos nos ponemos al no creernos capaces de poder hacer cualquier
cosa.
La Dra. Hayde considera al cálculo importante en cualquier proceso y lo aplica en
conteos bacterianos, en el control de temperaturas en procesos de cocción y en
procesos y reacciones de temperaturas respecto al tiempo.
La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de
la naturaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo funciona en el
crecimiento de la población. Considerando una población de bacterias en un medio
nutriente homogéneo. Suponiendo que al muestrear la población a ciertos intervalos
se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el
tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) = 1000,
entonces se tiene: p(1)=2p(0)=2x1000, p(2)=2p(1)=22 x1000 y p(3)=2p(2)=23 x1000,a
partir de este patrón en términos generales tenemos que p (t )=2t x1000=(1000 ) x2t. La
función general para crecimiento de bacterias es f ( t )=2t n0 .Esta función de población
es un múltiplo constante de la función exponencial y=2t de tal modo que se observa
un crecimiento rápido el cual se pude tabular y graficar (figura1) para observar con
mayor precisión el comportamiento de las bacterias. En condiciones ideales (espacio
ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial
es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. (Stewart, 2008)
También por medio de la derivada ddx
(ax ) lna podemos saber el crecimiento de
bacterias en un tiempo t determinado a partir de la función exponencial de
crecimiento poblacional . (Leithold, 1998)
Para el control de temperaturas en procesos de cocción y en cualquier otro proceso
que se involucre la temperatura con respecto al tiempo, el cálculo se aplica por
medio de las funciones ya que una función f es una regla que asigna a cada
elemento x de un conjunto D le pertenece exactamente un elemento, llamado f (x),
de un conjunto E. El conjunto D se llama dominio de la función, variable
independiente. El número f (x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es
el conjunto de todos los valores posibles de f(x), conforme x varía en todo el dominio,
variable dependiente. (Purcell, 2007)
Sabiendo lo anterior se puede formula la función dependiendo nuestras necesidades,
a lo que queremos llegar o saber por ejemplo si evaluamos la temperatura con
respecto al tiempo tendríamos que saber primero la temperatura inicial en un tiempo
cero y de ahí partir, tomando la función deseada tabulamos en diversos tiempos para
saber la temperatura en x tiempo. Otra manera es tomar la temperatura de lo que se
esté evaluando cada determinado tiempo y a partir de lo sucedido se saca la función,
la cual se puede representar gráficamente (Figura 2) para observar el
comportamiento en dicho tiempo, facilitando la ubicación de x temperatura en x
tiempo.
Figura 1
La siguiente entrevistada fue la doctora Margarita Islas Pelcastre quien estudió la
licenciatura en química dentro de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo,
actualmente es profesor investigador del Instituto de Ciencias Agropecuarias donde
sus principales funciones son la docencia (agronomía, agroindustrial, alimentos y
forestal), la investigación y la extensión, enfocado a la difusión y vinculación de
conocimientos y cultura. La doctora menciono que la carrera de agroindustrial es la
que más le agrada porque es muy práctica, pertinente y resuelve una necesidad
primaria, ve como principal ventaja el autoempleo y como desventaja la falta de
oportunidades, en cuestiones de política nacional.
Para la Dra. Margarita el cálculo es importante porque se utiliza para observar el
comportamiento de los microorganismos (reacción enzimática). Para efectos de la
temperatura en función del tiempo, así como en la realización de diseños; otra
aplicación sería la de razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físico
aplicados en materias como la termodinámica y para resolver problemas de
ingeniería.
Las reacciones enzimáticas se evalúan con la ecuación de Michaelis-Menten V0
frente a [S]0. Donde V= velocidad de reacción y [S]=concentración del sustrato.
(Figura 3)
Figura 2
La Vmax corresponde al valor máximo al que tiende la curva experimental, y la KM
corresponde a la concentración de sustrato a la cual la velocidad de la reacción es la
mitad de la Vmax. Para determinar gráficamente los valores de KM y Vmax es más
sencillo utilizar la representación doble recíproca (1/v0 frente a 1/ [S]0), ya que es
una línea recta. Esta representación doble recíproca recibe el nombre de
representación de Lineweaver-Burk. Donde La pendiente es KM/Vmax, la abscisa en
el origen (1/v0 = 0) es -1/KM y la ordenada en el origen (1/ [S]0 = 0) es 1/Vmax.
(Figura 4)
Se puede observar que la representación doble reciproca o representación de
Lineweaver-Burk es una línea recta que crece de manera proporcional tratándose de
una función f ya que es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D le
pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. En este caso
f(x) es la velocidad de reacción y x la concentración del sustrato. (Purcell, 2007)
De esta forma, a partir de los datos experimentales se puede calcular gráficamente,
los valores de KM y Vmax de un enzima para diversos sustratos. La obtención de
Km y Vmax de una enzima, es importante no sólo porque son parámetros que la
identifican, sino también por motivos que, en ocasiones, pueden ser de vital
importancia.
Figura 3
Figura 4
Coincide con la Dra. Hayde en que el cálculo se aplica como función en problemas
de temperatura y tiempo.
La Dra. Margarita menciono que una aplicación distinta del cálculo en la ingeniería
agroindustrial es el diseño principalmente de embaces y maquinaria. En el diseño de
máquinas resulta útil concebir una función, si x está en el dominio de la función f,
entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina
produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, se
puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango
como el conjunto de todas las salidas posibles (Figura 5). (Stewart, 2008)
La ultima aplicación del cálculo en la ingeniería agroindustrial que dio la Dra.
Margarita es como razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físicos
aplicado en materias como la termodinámica en realidad, los límites de la forma
limh→0
f (a+h )−f (a)h
surgen cuando se calcula una razón de cambio en cualquier ciencia
o ingeniería siendo esta la derivada de una función f ´ ( x )=limh→0
f (a+h )−f (a)h
.
Suponiendo que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y
es una función de x y; y = f (x). Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el
cambio en x (incremento de x) es ∆ x=x2−x1 y el cambio correspondiente
en y es ∆ y=f (x2 )−f (x1). El cociente de diferencias Δ yΔ x
=f (x2 )−f (x1)x2−x1
se llama
razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2 y se
puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ (Figura 6). La
velocidad, considera la relación de cambio promedio en intervalos cada
vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer
que ∆x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se
Figura 5
llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x1, lo
cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y=f (x ) en
P(x1 , f (x1)). (Purcell, 2007)
La última entrevista fue a la doctora Norma Güemes Vera quien estudio
ingeniería agroindustrial en el Instituto de Ciencias Agropecuarias,
actualmente es profesor investigador de dicho instituto. Menciono que el
cálculo le sirve para medir la capacidad de fuerza que deben tener las
bandas que permiten mover el producto a través de los diferentes toneles
de fermentación, así como para interpretar y correlacionar los datos de
textura con los datos de sonido que tienen los alimentos al ser masticados.
Existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. El
teorema fundamental del cálculo relaciona la integral con la derivada.
Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae
libremente es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo.
(En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la
distancia recorrida después de t segundos se denota mediante s (t) y se
mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación
s (t )=4.9 t 2. La dificultad para hallar la velocidad después de x s es que trata
con un solo instante (t=x), de modo que no interviene un intervalo. Sin
embargo puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando
la velocidad promedio durante el breve intervalo de una décima de
Figura 6
segundo, desde t=x hasta t=x.1 Velocidad promedio=cambioen la posiciontiempo transcurrido
¿s ( x .1 )−s(x )
.1 De esta manera se van sacando velocidades promedio durante
periodos sucesivamente más pequeños paraqué conforme acorta el
periodo, la velocidad promedio se aproxime a x cifra, de esta manera
podemos ir determinando la velocidad en lapsos de tiempo o en un tiempo
específico. (Leithold, 1998) Estos cálculos son los mismos que se utilizan
para hallar tangentes.
La Dra. Norma aplica el cálculo por medio se software especializados que
permiten realizar análisis bajo parámetros que se requieran.
Un ejemplo que menciono es en la teoría factorial, la cual se utiliza para el
análisis de la rugosidad de un alimento, en este se aplica calculo
diferencial e integral.
Para evaluar la textura de un alimento se requieren diversas medidas, las
medidas fundamentales son las que valoran propiedades tales como
esfuerzo de ruptura, relación de Poisson, módulo de Young, módulo de
cizalla y otros. Medidas empíricas cubren una serie de ensayos empíricos
tales como penetración, cizalla, extrusión y otros. Medidas imitativas son
las logradas con instrumentos que imitan la acción de la boca al masticar.
El perfil de textura está basado en el ensayo fuerza vs tiempo, es decir
tenemos una función f(x) en la que a cada elemento x de un conjunto D le
pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. A
partir de esta función se logran curvas que evalúan la textura de
alimentos, estas son arrojadas por medio de maquina Instron (Figura 7) o
un texturómetro (Figura 8).
Del análisis de las curvas de las figuras se logran siete parámetros
texturales, de los cuales cinco se obtienen de medidas y dos se logran por
medio de cálculo.
Fracturabilidad: es la fuerza en el primer quiebre significativo de la curva.
Dureza: es definida como la fuerza pico logrado durante el primer ciclo de
compresión.
Cohesividad: es definido como la razón del área positiva lograda durante
la segunda compresión y del área positiva de la primera compresión (A2
/A1).
Figura 7
Figura 8
Pegajosidad: es definida como el área negativa lograda durante la primera
compresión y representa el trabajo necesario para sacar el pistón de la
muestra.
Elasticidad: es definida como la altura que recupera el alimento durante el
tiempo que transcurre entre la primera y la segunda compresión.
Gomosidad: es definida como el producto de dureza por cohesividad.
Chiclosidad: es definida como el producto de gomosidad por elasticidad
(que es igual a dureza por cohesividad y por elasticidad). (Chile, 2009)
Cabe mencionar que para cada tipo de alimento son diversos los
parámetros ideales de textura, los software ya contienen dicha información
e incluso califican el alimento evaluado.
CONCLUSIÓN
Al realizar las entrevistas y saber las actividades que realizan
profesionistas con la carrera que estoy estudiando me doy cuenta que
existe una gama infinita de dichas actividades y al analizar algunas me
pude percatar que en ellas se aplica el cálculo, considero que en la gran
mayoría de actividades que realiza un ingeniero se debe involucrar el
cálculo muchas veces ya está incluido en formulas, reacciones e inclusive
en manejo, activación, diseño y resultados de una máquina.
Gracias a lo visto en el curso de cálculo integral fue fácil percatarme de
que en la mayoría de actividades se relacionan dos o más variables
tratándose de funciones las cuales se puede graficar para tener una mejor
interpretación así como saber datos específicos como tiempos,
temperaturas, distancias, velocidades, etc. Dando pie a razones de
cambio, al investigar estos temas me di cuenta que al aplicar matemáticas
más avanzadas se va sintetizando el uso del cálculo como lo hemos visto
pero considero importante saber de donde parten algunos principios.
Me pareció interesante el desmenuzar actividades sencillas y complejas,
poder comprender como se va involucrando y transformando el cálculo
para que estas actividades se completen.
BIBLIOGRAFÍAChile, B. D. (2009). Perfil de textura. Sistema de servicios de informacion y
bibliotecas, 3.
Leithold, L. (1998). El Cálculo. México D.F.: Oxford University Press.
Purcell, E. J. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México D.F.: Cengage Learning Editores.
INFORMACIÓN DE ENTREVISTADOS
Dra. Rosa Hayde Alfaro Rodríguez
Doctorado: Doctorado en Ciencias en Alimentos. Unidad de Investigación y
Desarrollo de Alimentos, del Instituto Tecnológico de Veracruz,
Maestría: Maestro en Ciencias en Producción Animal con Área Mayor en
Ciencias de la Carne. Facultad de Zootecnia de la Universidad Autónoma
del Estado de Chihuahua.
Especialidad: Control de Calidad y Productividad. Universidad Autónoma de
Hidalgo
Licenciatura: Ingeniero Agroindustrial. Universidad Autónoma de Hidalgo
Dra. Margarita Islas Pelcastre
Doctorado:
Maestria: Ciencias de los alimentos. Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo
Licenciatura: Licenciada en química. Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo
Dra. Norma Güemes Vera
Doctorado: Doctor en Ciencias de los Alimentos en la ENCB-IPN. Fecha de
Titulación 16 de noviembre 2004.
Maestría: Maestría en Ciencias con Especialidad en Alimentos.
Departamento de Graduados e Investigación en Alimentos. Escuela
Nacional de Ciencias Biológicas. Periodo 1995-1998. Fecha de Titulación 13
de oct. 1998.
Educación superior: Ingeniería Agroindustrial. Instituto de Ciencias
Agropecuarias. Universidad Autónoma de Hidalgo. Rancho Universitario,
Tulancingo Hgo. Periodo. 1990-1994. Fecha de Titulación 4 de Diciembre
de 1994.