8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial
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El alumno al término de la unidad deberá:
1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios enque se encuentre.
2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en ! as" como la deducción de todas las formasde representación.
!. #ormular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y planos, as" como la proyección $eométrica de dic%as relaciones.
En 1&'', (a$ran$e publicó su obra )*écanique +nalytique), que mostró la $ran flexibilidad y $randes alcances de utilizar métodos anal"ticos en el estudio de la mecánica. osteriormente, -illiam o/an 0amilton 1'341'536, introdu7o su )8%eory of 9uaternions), la cual contribuyó a la comprensióndel +l$ebra y de la #"sica. (a unión de las más notables caracter"sticas del análisis de los cuaterniones y dela $eometr"a cartesiana, se deben, en $ran parte, a los esfuerzos de . -. ;ibbs 1'!
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(a idea de emplear un n@mero para situar un punto + A a1 6 en una recta fue conocida por los anti$uos $rie$os fi$ura 2.1 a66. En 15!&, Descartes extendió esta idea utilizando un par de n@meros + A a1 ,a2 6
para situar un punto en el plano fi$ura 2.1 b66, y una terna de n@meros + A a1 ,a2 ,a! 6 para situar el puntoen el espacio fi$ura 2.1 c66. En el si$lo BCB, los matemáticos +. ayley 1'2141'és de la letramay@scula +, de forma anal"tica a tra>és de sus coordenadas a 1 ,a2 ,....,an 6 y mediante su forma $eométricarepresentada en la #i$. 2.1 d
Estamos acostumbrados a considerar ma$nitudes, tanto en ;eometr"a como en #"sica, que puedan ser caracterizadas por un @nico n@mero real referido a una unidad de medida apropiada: el per"metro de una fi$ura, el área de una superficie, el >olumen, la temperatura, el tiempo, etc. + dic%as ma$nitudes se les llamamagnitudes escalares , denominándose escalar el n@mero real asociado a cada una de ellas.
Existen otras ma$nitudes f"sicas y $eométricas en las que inter>iene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un @nico n@mero real: la fuerza, la >elocidad, la aceleración,etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes vectoriales , denominándose vector al ob7eto matemáticoutilizado para describir cada una de ellas.
Las características fundamentales de un vector son: su módulo , su dirección y su sentido. Es, por tanto,natural representar un >ector $eométricamente por medio de un se$mento orientado, correspondiendo la
lon$itud, dirección y sentido del se$mento orientado al módulo, dirección y sentido del >ector.
Descripción de un vector : por ser un se$mento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremoinicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido , a larecta que lo contiene o sustrato del >ector: recta de acción que me define la dirección , y a su lon$itud Norma , o Módulo , como se ilustra en la fi$ura si$uiente:
30
y
O2
a6 b6 c6 d6
a1
a1
a2 y
x
z
A
a3
3O1
x A
n
A
A
a1
x
Y
a2
+ A a1 , a2 ,....,an 6, para todo entero n ∈ G
L A
! "ecta de acción
#Dirección$
A %lecha #&entido$
O #cola$
#Norma$ ''A''
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(os >ectores que >amos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo lar$o de su recta deacción o trasladarse paralelamente a si mismo.
H Definiremos un vector A como el con(unto de todos los segmentos orientados del espacio n)dimensional *ue poseen una longitud, dirección + sentido dados-
+l >ector que coincide con un se$mento orientado cuyo extremo inicial es el ori$en de coordenadas y suextremo final en el punto +, se llama >ector posición OA. 9ue llamaremos simplemente +, y cuyaexplicación la >eremos más adelante.
a$ AL./0"AA! los >ectores se desi$nan con las letras may@sculas: A , 0, , D , ...
$ ./OM45"A! En base a su representación $ráfica en un sistema de coordenadas sólo es posible%asta en tres dimensionesI >er fi$ura 2.J6. ara los sistemas de J ó más dimensiones con precisión solo podr"amos representar el ori$en del sistema, y la flec%a del >ector definida por el punto + que lotomar"amos de manera arbitraria como se muestra en la fi$ura. ara representar $eométricamente al >ector +, en primer lu$ar es necesario definir el punto +, como se mostró en la fi$ura 2.1, lue$o el >ector + será el >ector que tiene su cola en el ori$en y su flec%a en el punto +, >emos que la fi$ura 2.J solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.
c$ ANAL65A! e realiza %aciendo uso de las letras min@sculas llamados componentes del >ector:
+ A a1 , a2 ,...,an 6, K A b1 , b2 ,...,bn 6 y A c1 , c2 ,...,cn 6
ara con>ertir n en una estructura al$ebraica, introducimos la i$ualdad de >ectores y dos operaciones: laadición de >ectores, la multiplicación por escalares + un cuerpo de n7meros reales "- (a palabra escalar se usa aqu" como sinónimo de n@mero real.
Dos >ectores A y 0 de n son i$uales, si son i$uales todas sus componentes que ocupan la misma posición. Esto es, si A A a1 , a2 ,..., an 6 y 0 A b1 , b2 ,..., bn 6
31
=
==
=
≡∀== ∈
nn
n..., , , 7 yi 7i
ba
....
ba
ba
ba
aa si K + Entonces 33
22
1
21
8omemos un e7emplo en el espacio bidimensional para entender me7or esta definición. i 8 191 y 8 292 son dos se$mentos orientados con lamisma lon$itud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo>ector. Fn se$mento orientado tiene una ubicación particularI un >ector no. (as lec%as en la i ura 2.! re resentan el mismo >ector.
9
1
92
8 1
8 2
y
=2
a6 b6 c6 d6
a1
a1
a2 y
x
z
A
a3
3O1
x
A
n
A A
a1 x
y
a2
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cA
On
8"O8/DAD/&!
1 - "efle:iva: 8odo >ector es i$ual a s" mismo, esto es + A +2. &imetría: i + A K entonces K A +!. 5ransitiva: i + A K y K A entonces + A
i c es un escalar tal que c∈ y + un >ector tal que +∈ n , el producto c+ se define como el >ector queresulta de multiplicar cada componente de + por el escalar c, esto es:
AN;L&& D/L
∈
<=>
0
0:)
var )
1
1var
1
:)
c si +deal opuesto Es
c si si +deal i$ual Esentido El c
ctodo para"anodirección (ab
c sicontraee
c si"a Go
c sidilatae
*ódulo El a
=8or tanto podemos descriir al vector cA como el vector *ue tiene su cola en la cola de A #origen$ +su flecha en cual*uier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2->-
32
cA ? #ca1 , ca2 , ca3 , --- , can $
42+ 4!+L2 4+ 4+L2 +L2 + !+L2 2+
4' 45 4 J 42 2 J 5 '
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a$ 8A"AL/L&MO /N5"/ DO& ector son: u módulo o lon$itud LLLLA, su dirección la misma del >ector que loori$ina, ya que lo que el escalar no podrá 7amás es sacar al >ector + de su recta de acción, es importante queel alumno >ea que como el >ector + es un >ector cualquiera de n , y por lo anterior el >ector cero tiene ladirección del >ector que lo ori$ina, en consecuencia el >ector tiene todas las direcciones posibles. O su sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero ± A, dado que por cualquier n@mero es cero. Desde el punto de >ista $eométrico el >ector cero está representado por un punto, esto es,. el ori$en del sistema.. Es además el >ector que sumado a un >ector + me da el >ector +, or esto, al >ector cero se le llama elemento neutro en la suma de >ectores, como se >erá más adelante.
c$ ector 4+ es la de ser el >ector que sumado al + me da el >ector cero, yque la estudiaremos después de estudiar la suma de >ectores.
33
(as caracter"sticas de este >ector son: Es un >ector que existe porque existe el >ector +, tiene el mismomódulo y dirección que +, pero sentido opuesto.
+
n4+
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Dados dos >ectores + y K de n distintos del >ector cero, tal como + A a1 ,a2 ,...,an 6 y K A b1 ,b2 ,...,bn 6
Definición: (a suma de + P K se define como el >ector cuyas componentes se obtienen sumando lascomponentes de los >ectores parciales como se ilustra a continuación:
+demás la suma de >ectores cumple la regla del paralelogramo , de modo que el >ector suma + P K serepresenta $eométricamente como la dia$onal del paralelo$ramo que se forma al trazar por cada flec%ade los >ectores parciales, paralelas a las rectas de acción del otro, como se muestra en la fi$ura si$uiente:
omo se trata de >ectores libres podemos trasladar el >ector + paralelamente a s" mismo, %asta que su colacoincida con la flec%a de K, pero podemos %acer lo mismo con K, de modo que el vector suma A0, tendrBsu cola en la cola del primero + su flecha en la flecha del segundo- Dado *ue el primero puede ser A o puede ser 0, + lo mismo sucede con el segundo-
(os datos del problema son los >ectores + y K, por tanto conocemos su norma , su dirección y sentido y por consi$uiente conocemos el án$ulo definido por + y K, es decir θ .. En la fi$ura 2.' trasladamos al >ector + paralelamente a s" mismo %asta que su cola coincida con la flec%a de K, formándose el trián$ulo =n M K 4 +PK6, en donde conocemos dos lados LL+LL y LLKLL y el án$ulo comprendido será π 4θ , porque es suplementario a un án$ulo que es i$ual a θ por ser correspondiente al án$ulo formado por + y K, como semuestra en la fi$ura 2.'.
a$ Ahora vamos a calcular la norma ''A 0''! +plicando la (ey del oseno:
del (eyla por 6cos1 K + K + K +:deduce se. fi$urala De θ π −−+=+ 2C2 222
θ π θ π θ θ π cos sen sencoscos 6 osqueabemos −=+=−
b6 Definida la norma pasamos a definir la dirección , para esto, basta definir su recta de acción por consi$uiente necesitamos un punto de paso y una dirección, lo primero ya lo tenemos >iene a ser el =n ,lue$o nos queda definir su dirección.
(as rectas de acción de los >ectores + y K al pasar por el ori$en del sistema =n determinan un plano, endonde se encuentra también el paralelo$ramo definido por éstos, al trazar por cada una de las flec%as paralelas a las rectas de acción del otro. or lo tanto el >ector suma + P K por ser la dia$onal de dic%o paralelo$ramo también se encuentra en dic%o plano. En la fi$ura 2.' obser>amos que , la recta de acciónde + P K forma un án$ulo ∝ con la recta de acción de +. De modo que la recta de acción de + P K, será
la recta que pasa por el ori$en =, se encuentra en el plano definido por (a y (b y forma un án$ulo ∝ con (a..
34
θ cos K + K + K +: primeralaenemplazando e 2222 ++=+
A 0 ? # a1 1 , a2 2 ,--- --- , an n $
=n
0
''0''θ
π
)θ
''A''
A
A0
''A0''
''A''
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a$ 8"M/" A&O: cuando los vectores tienen igual dirección +sentido
NO"MA! Del esquema $eométrico se desprende al compararlo con elcaso $eneral que el án$ulo θ A, por tanto cosθ A1, reemplazando en laexpresión de la norma.
De donde! '' A 0 ''2
? ''A''2
''0''2
= ''A'' ''0 acando ra"z cuadrada: L LL+PKLL L A L LL+LL P LLKLL L omo las normas son siempre positi>as: LL+LL Q y LLKLL Q (ue$o LL+LL P LLKLL Q , por tanto:
LL+ P K LL A LL+LL P LLKLL =Luego la norma del vector A 0 serB igual a la suma de las normas de los vectores arciales-
A+B
//A+B//
//B//
//A/
A
B
or tanto tenemos que calcular ∝ .: ara el cálculo de dic%o án$ulo acudimos nue>amente a la fi$ura 2.',en donde podemos >er que dic%o án$ulo es i$ual al án$ulo que se opone a LLKLL en el trián$ulo =n4K4+PK6 por ser án$ulos alternos internos, lue$o aplicando la (ey de los enos:
c$ 8or 7ltimo nos *ueda definir el sentido de A 0 , como %emos dic%o el >ector suma tiene su cola en lacola del primero, y su flec%a en la flec%a del se$undo, por lo tanto la flec%a de + P K queda definida por la flec%a del se$undo. +l quedar definida la flec%a de + P K queda definido el sentido de + P K.
Los casos *ue vamos a estudiar se asaran en lo visto en el caso general, es decir, aplicaremos losresultados encontrados a las situaciones concretas definidas en los casos a analiar-
D"/ON : ara determinar la dirección imponemos la condición θ A
i α A entonces la recta de acción del >ector + P K será i$ual a la recta de acción del >ector +, por lotanto el >ector + P K tendrá la misma dirección de + y de K.
&/N5DO: or @ltimo, como el >ector suma tiene su flec%a en la flec%a del se$undo, el sentido del >ector + P K lo dará el >ector K, como + y K tienen el mismo sentido, entonces + P K tendrá el sentido de + o de K.
a$ &/.@NDO A&O! cuando los vectores tienen la misma dirección pero sentido contrario!
NO"MA: =bser>ando la fi$ura y comparándola con el caso $eneral podemos afirmar que el án$ulo que forma + y K, esto es θ Aπ por tanto cosθ A 41, reemplazando en la expresión de la norma tendremos:
35
0tan00 ===+=+= α α θ to por senlue$o sen K +
K sen
K +
K senR
+=
+=
=−=−
−+
==−
+
K +
K sen.arcdondede sen
K +
K sen:emplazando e
sencos sencos sen 6 senomo
6 sen K +
K sen:quededuce sedondede
sen
K
6 sen
K +
α θ α
θ π θ θ π θ π
θ π α α θ π
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LL+ P KLL 2 A LL+LL 2 P LLKLL 2 4 2 LL+LL LLKLL
De donde: LL+ P KLL 2 A LL+LL 4 LLKLL 6 2
acando ra"z cuadrada: L LL+ P K LL L A L LL+LL 4 LLKLL L
or definición de alor +bsoluto:i LL + LL 4 LL K LL Q S L LL + LL 4 LL K LL L A LL + LL 4 LL K LL
i LL + LL 4 LL K LL T S L LL + LL 4 LL K LL L A LL K LL 4 LL +LL
De modo *ue la norma del vector A 0 serB igual a la diferencia de las normas parciales
D"/ON! ara determinar la dirección, debemos calcular el án$ulo α , como θ Aπ entonces senθ A,
reemplazando en la ecuación correspondiente tendremos:
Este caso presenta a la >ez dos alternati>as que aparecen debido a que la norma de + puede ser mayor quela norma de K y >ice>ersa, como ya se >io en el estudio de la norma.
En ambos casos la recta de acción del >ector suma + P K coincide con la recta de acción del >ector + por lotanto se concluye que la dirección del >ector suma es i$ual a la dirección de los >ectores parciales.
&/N5DO: El sentido del >ector + P K lo da el >ector de mayor lon$itud, debido a que al %acer el trasladocorrespondiente de modo que la cola del menor coincida con la flec%a del mayor, el sentido del mayor pre>alece.
En la fi$ura 2.11 se puede obser>ar uno de estos dos casos, en donde la norma de + es mayor que la normade K, al realizar la suma %emos trasladado el >ector K %asta que su cola coincida con la flec%a de +, demodo que el >ector suma + P K tendrá su cola en la cola de + y su flec%a en la flec%a de K, pre>aleciendoas" el sentido de +.
amos a enunciar las propiedades de modo con7unto debido a razones de tipo didáctico, dados los >ectores +, K y de n y c y d ∈ :
8ropiedad &uma A 0 #sigla$ 8roducto cA #sigla$1- @niformidad i + y K∈ n → + P K∈ n
F6i + ∈ → c+∈ n FE6
2- onmutativa + P K A K P +6
c+ A +c E6
3- Asociativa + P K 6 P A+ P K P 6 +6 cd6+ A cd+ 6 A dc+6 +E6E- /lemento Neutro + P A EG6 i c A 1→ c+ A +
EGE6>- /lemento + P 4+6 A EC6 i c A → c+ A ECE6
36
π α α α ====+
= ototan por senlue$o sen K +
K senR 000
π α α =〈=〉 entonces K +cuando yentonces K + 0
0
A
0
''A0''
A0
''0 ''
''A'' 0
Θ = π
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nversoF- Distriutividad ectorial: c + P K 6 A c+ P cK D6
Escalar: c P d 6+ A c+ P d+ DE6
Definido el producto de un escalar por un >ector c+, y la suma de los >ectores + P K, podemos determinar el >ector + 4 K, transformando la diferencia en una suma entre el >ector + y el >ector 416K, es decir, el opuesto de K, de modo que + M K A + P 4K 6.
(os datos del problema son + A a1 ,a2 ,...,an 6 y K A b1 ,b2 ,...,bn 6 lue$o M K A 4b1 ,4b2 ,...,4bn 6
De modo que:
ara tener una idea más clara de este >ector >amos %acer un análisis $eométrico de lo explicadoanteriormente, tenemos los >ectores + y K, definimos el opuesto de K, esto es, 4K y se lo sumamos al >ector
+, obteniendo de esta manera el >ector + 4 K
odemos concluir que el >ector diferencia es el >ector que tiene su cola en K y su flec%a en +, esto es, el >ector que >a de K a +, esta caracter"stica permite explicar la razón por la cual el >ector =+ A +, dado que
=+ A + 4 A +. AN;L&& D/L ector diferencia +4K será el >ector que sumado al >ector K me da el >ector +, esto es:
K P + M K 6 A K P + 4K AK4K6P+ A P+ A+, demodo que el >ector + M K A K+
0
+
A)0
=n
4K
0
''A)0'' ''0''
On ''A'' A
H I
B
X
cA
y
0
A
dB
x
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B B
A
C
or i$ualdad de >ectores: 4c P d, Jc P !d 6 A 41, 1' 6
=+
−=+−
1834
1
d c
d c
esol>iendo: c A! , d A 2
or lo que: A 4!, 126 , D A 2, 5 6
/(emplo 2-2!
Dado el trián$ulo +K y las relaciones: 0D A % 0 , / A %A , A% A % A0 , siendo tales >ectoresrepresentati>os de las direcciones correspondientes y )%) un escalar. Demostrar que:
AD P 0/ P % A
olución: onstruimos un trián$ulo +K, en el cual >emos que fi$ura2.136:
K P + P +K A M K 6 P + M 6 P K M + 6 AH A M K 6 P K 4 +6 P + M 6 A L H A M K P K M + P + 4 A L+ H A P P 4 A LEC H A M A LEG
0 P A P A0 ? '8/&< l**d
alcularemos la suma pedida y demostraremos que es el >ector cero: AD P 0/ P %
+plicando las propiedades de la suma de >ectores tenemos:
AD P 0/ P % A D M A 6 P / M 0 6 P % M 6 A D M 0 6 P / M 6 P % M A 6 A 0D P / P A%
A % 0 P %A P % A0 A % 0 P A P A0 6 A % A . AD P 0/ P % A l.q.q.d
/(emplo 2-3!
+plicando el ál$ebra >ectorial, demuestre que las medianas de un trián$ulo se cortan en un punto que distade cada >értice 2L! de la lon$itud de la mediana respecti>a.
olución: Dado el trián$ulo +K, ubicamos los pies de las medianasfi$ura2.156:
M a A N. 0 P 6 I M c AN. A P 0 6
Definimos: AM a A M a4 A A N 0 P N 4 A A A t AM a A tL2 6 0 P tL2 6 4 t AM c A M c 4 A N A P N 0 4 A sM c A sL2 6 A P sL2 6 0 M s
=bser>amos que: A A A P A M A 6 P sL2 6 A P sL2 6 0 M s
4t A P tL26 0 P tL26 A sL2 M 1 6 A P sL26 0 P 1 M s 6
C$ualando los coeficientes de los >ectores:
38
+
C
K
C
*
* a
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−=
=
−=−
st
st
st
12/
2/2/
12/
esol>iendo: s A t A 2L!
(o cual quiere decir que la lon$itud del se$mento que une un >értice con el punto de intersección de las
medianas es los 2L! de la mediana respecti>a: A A 2L!6 AM a , A 2L!6M como se puede traba7ar con cualquier par de medianas, análo$amente: 0 A 2L!6 0M b /(emplo 2-E!
Demostrar la propiedad commutati>a : + P K A K P +
+ P K A a1 P b1 , a2 P b2 P a! P b! , ........., an P bn 6 L Def. de +PK
K P + A b1 P a1 , b2 P a2 P b! P a! , ........., bn P an 6 L Def. de +PK
(ue$o + P K A K P + :
+=+
+=+
+=+
+=+
nnnn
!!!!
2222
1111
abba
......................
.....................
abba
abba
abba
L C$ualdad de ectores
omo la suma de n@meros reales es conmutati>a, entonces las n i$ualdades se cumplen, por tanto se cumpleque + P K A K P +
. /(emplo 2->!
Demostrar la propiedad de distributi>idad escalar: c P d 6 + A c+ P d+
c+ A ca1 , ca2 , ca! , ...........,can 6 y d+ A da1 , da2 , da! , ...........,dan 6 L Def. de c+
(ue$o la suma de c+ P d+ A ca1 P da1 , ca2 P da2 , ca! P da2 ,...........,can P dan 6 L Def. de + P KA V c P d 6a1 , c P d 6a2 , c P d 6a! ,..........., c P d 6an W L DGA c P d 6 + L Def. c+
or tanto: c P d 6 + A c+ P d+
16 Dados los >ectores: A A a,4!p6 y 0 A 2p,4b6, %allar a, b y p para que: A P 0 A ',4J6 y A sea
paralelo a 0
.26 Demostrar que los tres puntos: 2,,416, !,2,426 y 3,5,4J6 son colineales.
!6 Demostrar que los puntos J,,16, 3,1,!6, !,2,36 y 2,1,!6 son los >értices de un paralelo$ramo.
J6 Demostrar que si D A 0 P , 0 LL A y D LL A , entonces LL A.
36 ean: A A a1 ,a2 6 y 0 A b1 ,b2 6 dos >ectores del plano que no tienen la misma dirección ydistintos del >ector cero. robar que para cada >ector A x A P y 0 , existen los escalares x e y, yexpresar x e y por medio de c1 y c2.
56 i un cuadrilátero =+K de 2 es un paralelo$ramo que tiene a A y como >értices opuestos,demostrar que:
39
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e da un paralelo$ramo +KD. e sabe que / es un punto medio de D y % está a 2L! de A/ en el sentido de A %acia / . onsiderando el sentido de 0 %acia ,
demostrar que % está a 2L! de 0 >er fi$ura 2.136.
A P N. 4 A 6 A N 0. X9ué teorema relati>o a los paralelo$ramos puede deducirse de estai$ualdadY Enunciarlo.
&6
'6 Dados dos >ectores: A A a1 ,a2 6 y 0 A b1 ,b2 6, demostrar que: 4a1b2 P a2b1 A si y sólo si A y 0 son paralelos. En los e7ercicios del ector. Decir cuál es el >ector correspondiente encada caso.
értices de un paralelo$ramo. alcular las tres posibles posiciones del cuarto >értice.
136 Demostrar >ectorialmente que las dia$onales de un paralelo$ramo se bisecan mutuamente.
156 Demostrar >ectorialmente que el se$mento de la recta que une los puntos medios de dos lados de untrián$ulo es paralelo al tercer lado, y su lon$itud es la mitad de este @ltimo.
1&6 Demostrar que los puntos 2, értices de un paralelo$ramo.
En los e7ercicios del 1'422, sean A A 1, 2, !6, 0 A 2, 2, 416 y A J, , 4J6. 0allar:
1'6 A 4 0 y 0 4 A
1ector A A ', ', 56 y %allar un >ector 0 tal que:
a6 0 tiene i$ual dirección y sentido que A , pero la mitad de su módulo.
b6 0 tiene i$ual dirección, pero sentido opuesto a A , siendo su módulo la cuarta parte de A.
2J6 Demostrar que si D A 0 P y 0 es paralelo a A , entonces D es paralelo a A , si y sólo si es paralelo a A. Clustrar este resultado $ráficamente.
40
E D
+ K
#
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236 Dibu7ar los >ectores + A 2, 16 y K A 1, !6 partiendo del ori$en en el plano. En la misma fi$uradibu7ar el >ector A + P tK para cada uno de los >alores si$uientes de t: t A 1L!, t A N, t A 1, t A 2, t A 41, t A 42.
256 En una nue>a fi$ura dibu7ar los >ectores + y K del e7ercicio anterior. ea A x+ P yK donde x e y son n@meros reales.
a6 Dibu7ar el >ector para los si$uientes pares de >alores: 1L2, N6, 1LJ, Z6, 1L!, 2L!6, 2,416, !, 426, 41L2, !L26, 41, 26.
b6 D"$ase cual es el lu$ar $eométrico de cuando x e y recorren independientemente losinter>alos T x T 1, TyT1 y dib@7ese este lu$ar.
2&6 ean + A1, !, 56, K AJ, 4!, !6,, y A2, 1, 36 tres >ectores de !. Determinar los componentesde cada uno de los >ectores:
a6 + P KI b6 + 4 KI c6 + P K 4 I d6 &+ 4 !I e6 2+ P! K M
2'6 ean + A2, 16 y K A1, !6. Demostrar que todo >ector Ac1 , c2 6 de 2 puede expresarse en la
forma Ax+ P yK. Expresar x e y en función de c1 y c2.
2ectores de ! y D Ax+ P yK P z, donde x, y , z son escalares.
a6 Determinar las componentes de D.
b6 0allar x, y , z tales que D A1 2, !6
c6 i D A, demostrar que x A y A z A
!6 ean + A1,1,16, KA,1,16 y A2,1,16 tres >ectores de ! , y D A x+ P yK P z, en donde x, y y z son escalares.
a6 Determinar los componentes de D
b6 0allar x, y ,z no nulos tales que D A
c6 Demostrar que nin$una elección de x, y y z %ace D A1, 2, !6
!16 ean + A1,1,1,6, K A,1,1,16, A1,1,,6 tres >ectores de J , y D Ax+ P yK P z siendo x, y y z escalares.
a6 Determinar los componentes de D.
b6 i D A, demostrar que x A y A z A
c6 0allar x, y y z tales que D A1, 3, !, J6
d6 Demostrar que nin$una elección de x, y z %ace D A1, 2, !, J6
!26 En n demostrar que dos >ectores paralelos a un mismo >ector son paralelos entre s".
!!6. Dados cuatro >ectores no nulos +, K, , D de n tales que A+ P K y + es paralelo a D. Demostrar que es paralelo a D si y sólo si K es paralelo a D.
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!J6 a6 Demostrar, para los >ectores de n las propiedades de la adición y de la multiplicación por escalares.
b6 *ediante >ectores $eométricos en el plano representar el si$nificado $eométrico de las dos
leyes distributi>as c P d6+ A c+ P d+ y c+ P K6 A c+ P cK.
!36. i un cuadrilátero =+K de 2 es un paralelo$ramo que tiene + y como >értices opuestos,demostrar que + P 4 +6L2 A KL2. X9ué teorema relati>o a los paralelo$ramos puedededucirse de esta i$ualdadY
Cntroduzcamos un nue>o tipo de multiplicación, llamado producto escalar o interior de dos >ectores en n.i + A a1 , ... , an 6 y K A b1 , ... , bn 6 son dos >ectores de n , su producto escalar se representa por +.K y sedefine con la i$ualdad:
a6 + . K A K . + Hconmutati>a[ E6b6 +. K P 6 A +.K P +. Hdistributi>a[ DE6c6 c+ . K 6 A c+ 6. K A + . cK 6 H%omo$énea[ 0E6d6 + . + Q si + \ Hpositi>idad[ E6e6 + . + A si + A Hnulidad[ GE6
Demostraremos dos de Jstas propiedades para facilitar al alumno la demostración de las otras!
a6 +.K A K.+
K. +de. Def L baba........baba K. +n
1iiinn2211 ∑
=
=+++=
lqqd +. K K. +: (ue$o sumatoriade. Def L +. Kab K. +
G L abba K. +
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
ii
===
==
∑
∑∑
=
==
d6 + . + Q si + ≠ L E positi>idad6
lqqd +. +totan or n ,........, ,itodo paraaentoncesa +. +
sumatoriade. Def L aa +. +
i
n
i
i
n
i
ii
212
1
2
1
>=>=
=
∑
∑
=
=
42
∑=+++=n
iinn babababa K + 2211 .........
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i + y K son dos >ectores de n, , tenemos: +.K6] ≤ +.+6K.K6
+demás el si$no de la i$ualdad es el >álido si y sólo si uno de los >ectores es i$ual al producto del otro por un escalar, esto es, si + A cK.
Demostración!
0aciendo: A x+ 4 yK, donde x A K.K e y A +.K
eamos la naturaleza del >ector :
omo K es un >ector cualquiera de n, , entonces K . K ≥ → x ≥ L E y GE
i y A K. + bi yacomoba K. + in
i
ii ∈→∈= ∑=1
→ y∈
i x ≥ e y∈ → \ y A
8"M/" A&O! cuando ? !
e da cuando + A K A y también si M yK es el opuesto de x+, esto @ltimo exi$e que + y K sean paralelos,esto es, que + A cK ó K A c+, ya que un >ector y su opuesto tienen la misma dirección.
ero podemos comprobar que esta @ltima condición incluye a la primera, dado que el >ector cero se $enera a tra>és del >ector c+, o cK, cuando %acemos c A , esto es, el >ector cero es paralelo acualquier >ector de n , por lo tanto si + A ó K A ó si los dos son i$uales al >ector cero, esequi>alente a decir que + A cK
+ . K A cK 6 . K A c K.K 6I + .+ A c K 6 . cK 6 A ).(2 K Kc I
K . K A K . K eemplazando en la desi$ualdad de auc%y M c%/arz:
[ ] 2222 ).().)(.().( K Kc K K K Kc K Kc ==
or tanto cuando + A cK se cumple la i$ualdad.
&/.@NDO A&O! si K !
e dará cuando + ≠ cK y cuando + y K ≠
i es as" entonces . Q L E
. A x+ M yK 6 . x+ M yK 6 A x] + . +6 4 2xy + . K6 P y] K . K6 Q L DE y E
eemplazando los >alores de )x) e )y) en la desi$ualdad y operando:
K . K6]+ . +6 4 2K . K6+ . K6] P K . K6+ . K6] A K . K6]+ . +6 4 K . K6+ . K6] Q
K . K6+ . K6] T K . K6]+ . +6
omo K . K Q → + . K6] T K . K6+ . +6 lqqd
43
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3a
2a
1a
x
z
y
A
d
amos a dar la definición de Gorma de un >ector, estudiando en primer lu$ar los casos más particulares para lue$o inducir el caso $eneral.
En la fi$ura 2.1' se tiene un >ector + A )( 1a en 1
En donde 001 ó ser puedea
or tanto la LL+LL A L 1a L
(ue$o: 21a LL + LL =
(a fi$ura 2.1< muestra el >ector posición del punto + en 2I por el teorema de itá$oras sabemos que:
itá$oras8 aa + .///// 2221
2 +=
(ue$o: 2221 aa LL + LL +=
(a fi$ura 2.2 extiende el caso a !:
itá$oras8 aad ./22
21
2 +=
23
22
21
23
22
23
22
////:Re
////
aaaad +emplazando
ad +
++=+=
+=
23
22
21 aaa LL + LL donde De ++=
8eniendo en cuenta los casos particulares >istos anteriormente, es muy fácil afirmar que, si + es un >ector en n , su lon$itud o norma que se desi$na con ^+^ se define como la ra"z cuadrada de la suma de loscuadrados de sus componentes, mediante la i$ualdad:
+ +aaaa +entoncesaaa +i
n
i
inn n.............:).........,,,(
1
2222121 2
==+++== ∑=
De donde:
i + es un >ector en n y )c) un escalar, se cumplen las si$uientes propiedades:
16 + Q si + ≠ Hpositi>idad[ G626 + A si + A Hnulidad[ GG6!6 c+ A _c_ + H%omo$énea[ 0G6J6 + P K ≤ + P K Hdesi$ualdad trian$ular[ D8G6
ara un par de >ectores cualesquiera + y K de n , se cumple que:
44
+ +
a o
A+B
B
LL+PKLL
+ + + .2 =
LL+LL
a2
+
LL+LL
y
xa1
O
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+PK ] A +PK6.+PK6 A +.+ P 2+.K P K.K A + ] P K ] P 2+.K 16
0.0.2:tan
////////.2//////// 2222
==
+=++
K +entonces K +tolo or
K + K + K +
(ue$o:
/(emplo 2-F!
i: + A 2,1,416 y K A 5,41,26, determinar un >ector de modo que: LL+ y K. A 1'
i LL +: A c+ A c 2, 1, 416 A 2c, c, 4c6i K . A 1' K . A 5,41,26 . 2c, c, 4c6 A 12c Mc 42c A
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/)(/............/)(//)(//)(/)(. 2221111
nnn
n
i
ii cbacbacbacibaD K + ++++++=+=+ ∑
=
,D,G.cabacbaomoiiiiiii
////)(/: +=+
r d8rian$ula Desi$ualdacabacabaiiiiiiii
/////// +≤+
D + K +cabacabacabacba
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
iiii
n
i
iii ../)////)//////)(/
11111
+=+=+=+≤+ ∑∑∑∑∑=====
(ue$o:
...)(. cumpleno + K + K + +≤+
c $ 8ositividad! &i A≠
A-A
∑==
n
i
ii Def aa + +
1
.///.
0//022 >=→>= iiiiiiii aaaaa yaaaomo
or tanto: cumple. L aa L n
i
ii∑=
>1
0
/(emplo 2-C!
Demostrar la propiedad homogJnea + la desigualdad triangular para la norma de un vector-
a6 omogJnea: c+ A c +
c+ 2 A V c+ 6. c+ 6W L Def. de LL+LL
c+ A V c] + . + 6 WN L 0EA c]6N+.+6N L DG
(ue$o: c+ A c + dado que LL+ LL Q
c$ Desigualdad triangular!
T +PK ≤ + P K como las normas son siempre positi>as
Ele>ando al cuadrado: + P K ] ≤ + P K 6] el si$no de la desi$ualdad no >ar"a. 16
Desarrollando ambos miembros de la desi$ualdad: +PK ] A + P K6 .+ P K6 A + . + P 2+ . K P K . K A + ] P 2+.K P K ] 26
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+ P K 6] A + ] P 2 + K P K ] !6
eemplazando 26 y !6 en 16: + ] P + . 2+ . K P K ] ≤ + ] P 2 + K P K ]
implificando:
+ . K≤ LL + LL LL K LL y nuestro problema se reduce a demostrar esta @ltima desi$ualdad.
8or la desigualdad de auch+)&chPar saemos *ue!
+ . K6] + . +6K . K6 de donde: + . K6] ≤ + ] K ] , sacando ra"z cuadrada:
+ . K ≤ + K
or propiedad del >alor absoluto: 4 LL+LLLLKLL ≤ + . K ≤ LL+LLLLKLL
Esta desi$ualdad corresponde a la de auc%y M c%/arz, expresada en función de la norma, >emos que
ésta incluye a la desi$ualdad trian$ular, por lo tanto podemos afirmar que es >erdadera. /(emplo 2-Q!
e tiene que + A m,2m6, K A 2m,p6, KLL+. Determinar K , si 'A +K LL //
i K A t+ A tm,2m6 A mt,2mt6 A 2m,p6
=
=
pmt
mmt
2
2 LC$ualdad de >ectores
esol>iendo: t A 2 y p A Jm entonces: K A 2m, Jm6 +KAK4+A2m, Jm64m, 2m6Am, 2m6
K4+ ] A+K . +K A m] P Jm] A 3m] A ' por tanto m A J entonces K A ',156
(ue$o: 3'A!2A235 P5JA K LL //
/(emplo 2-1!
ean +, K y >ectores de n diferentes al >ector cero. i + y K son paralelos y + es orto$onal a ,demostrar que K también es orto$onal a .
(os datos son: +, K, ≠ I K A t+ y + . A
producto escalar: K. A t+6. A t+.6 A t6 A omo nin$@n >ector es nulo y el producto escalar es cero, demostramos que K y son orto$onales.
/(emplo 2-11!
Dados los >ectores + A 2, 41, 16, K A 1, 2, 416, y A1, 1, 426 de !.. 0allar los >ectores D de la forma xK P y orto$onales a + y de lon$itud unidad.
omo D A xK P y A x1, 2, 416 P y1, 1, 426 A x P y, 2x P y, 4x 4 2y 6
omo D ⊥ +: D . + A → 2x P y6 M 2x P y6 P 4x 4 2y6 A
4x 4 y A → x A 4y por tanto: D A , 4y, 4y6
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i LLDLLA1 → LLDLL A 222 y y y =+
or la transiti>a: 2 y A1 → y A2
2± I En consecuencia: D A ,
2
2± ,
2
2± 6
/(emplo 2-12 !
i + A 1, 41, 26 y K A 2, 1, 416. 0allar un >ector no nulo de ! que sea orto$onal a + y a K.
i + ⊥ → + . A y si K ⊥ → K . A
i %acemos A x, y, z6: + . A x M y P 2z A y K . A 2x P y M z A
0aciendo z A t:
=+−=−
t y x
t y x
2
2
esol>iendo en función de t: x A 4tL! e y A x P 2t A 4tL! P 2t A 3tL! or lo tanto: A 4tL!, 3tL!, t 6 A t 41L!, 3L!, 1 6 siendo t un n@mero real cualquiera.
/(emplo 2-13!
Demostrar si es o no cierta la si$uiente proposición referente a >ectores de n. i + . K A + . A y + ≠ , entonces K A .
i + . K A + . → + . K M + . A → + . K M 6 A LDE ara que esta i$ualdad sea cero, + A ó K M A , como + ≠ por %ipótesis entonces K M A lue$o K A que es lo que quer"amos demostrar.
/(emplo 2-1E!
Demostrar si es o no cierta las si$uientes proposiciones:
a6 i + es orto$onal a K, LL + P xK LL ≥ LL + LL para todo real x.
i + ⊥ K → + . K A
omo LL + P x K LL ≥ LL + LL Q LG si ele>amos al cuadrado el si$no de la desi$ualdad no cambia:
normade. Def L LL + LL +. + 6 xK +. 6 xK + LL + LL LL xK + LL 222 =≥++→≥+
normade. Def y E L LL + LL LL K LL x 6 K. + x LL + LL 6 xK +. 6 xK +
normade. Def y 0E L 6 K. K x 6 +. K x 6 K. + x LL + LL 6 xK +. 6 xK +
DE L 6 xK 6. xK + 6. xK 6 xK. + +. + 6 xK +. xK 6 xK +. + 6 xK +. 6 xK +
2222
22
2 ≥++=++
+++=+++++=+++=++
. xde>alor
p>erdaderaesd desi$ualdala ,cuadradoal ele>adosestáncomo LL K LL x K. +omo
LL K LL x 6 K. + x:ndoimplifica
2
22
22
≥→=
≥+
b6 i LL + P xK LL ≥ LL + LL para todo real x, + es orto$onal a K
or el apartado anterior tenemos que: 0////).(2 22 ≥+ K x K + x
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8
+
9FR
9 :
[ ]
−os sonambos siimero
si K x K + x
(ue$o el con7unto solución será:
−ector no nulo de modo que: + . A K . A
!'6 i: + A 2, 41, 26 y K A 1, 2, 426:
a6 0allar dos >ectores y D de ! que satisfa$a todas las condiciones si$uientes: + 4 D A , K.D A y que ten$a la misma recta de acción que K.
b6 0allar los >alores posibles de x e y tales que A x+ P yK y que K. A
!ectores + A a1 ,a2 6 y K A b1b2 6 conla fórmula: +.K A 2a1b1 P a2b2 P a1b2 P a2b1
a6 Demostrar que son >álidas las propiedades distributi>a y de positi>idad.
b6 XEs >álida la desi$ualdad de auc%y4c%/arzY
J6 e tienen los >ectores: + A r, K A t9 y A 4!, 2 2 6. alcular + y K si A r P t9 >er fi$ura 2.226
J16 8res >ectores de n +, K y 6 si se cumple que + P K 4 A + P K P . Determinar cuanto >ale + P K6. y di$a que se puede afirmar de estos >ectores.
J26 X9ué punto sobre el e7e y equidista de !, 426 y 3, 56Y
J!6 Demostrar la >erdad o falsedad de la si$uiente proposición relati>a a >ectores de n: ) si + esorto$onal a K, entonces + P xK ≥ + para todo n@mero real x ).
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JJ6 Fn >ector de + de n tiene lon$itud 5 y otro K tiene la propiedad de que, para todo par deescalares x e y, los >ectores x+ P yK y Jy+ 4 ectorialmente que el án$ulo inscrito en una semicircunferencia es ectores + A2, J, 4&6, K A2, 5, !6, y A!, J, 436. En cada una de lasexpresiones si$uientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener unaexpresión que ten$a sentido. Cntroducir dic%os paréntesis y efectuar las oper aciones .
a6 + . K I b6 + . K P I c6 + P B .I d6 + K . C
3ectores en n: i +.K A +. y +≠ , es K A .
56 Demostrar si es o no cierta la proposición si$uiente que se refiere a >ectores en n: i +.KA paratodo K, es + A Y
516 i + A1, 42, !6 y K A1, 2, 426, %allar los escalares x e y tales que A x+ P yK es un >ector nonulo y que . K A
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526 i + A2, 41, 26 y K A41, 42, !6 y A1, 41, 16 tres >ectores de ! . alcular la norma de cada unode los si$uientes >ectores:
a6 + P KI b6 + 4 KI c6 + P K 4 I d6 + M K P
5!6 i + A1, 2, !, J, 36 y K A1, 1L2, 1L!, 1LJ, 1L36, %allar dos >ectores y D de 3 que satisfa$an
todas las condiciones si$uientes: K A P 2D, D . + A y paralelo a +.5J6 S ean + A2, 41, 36, K A41, 42, !6 y A1, 41, 16 tres >ectores de 3. alcular la norma de cada
uno de los si$uientes >ectores:
a6 + P KI b6 + 4 K: c6 + P 2KI d6 + 4 2KI e6 2+ 4 K
536 En cada caso %allar un >ector K de 2 tal que K . + A y LLKLL A LL+LL si:
a6 + A 1, 16I b6 + A1, 416I c6 + A2, 4!6I d6 + Aa, b6
556 ean + A 1, 42, !6 y K A!, 1, 26 dos >ectores de !. En cada caso, %allar un >ector de lon$itud unidad paralelo a:
a6 + PKI b6 + 4 KI c6 + P 2KI d6 + 4 2KI e6 2+4 4K
5&6 Dados los >ectores de ! + A J, 1, 4!6, K A1, 2, 26, A1, 2, 426, D A2, 1, 26 y E A2, 42,416. Determinar todos los pares orto$onales.
5'6 0allar todos los >ectores de 2 que tienen la misma lon$itud que + y le son orto$onales si:
a6 + A 1, 26, b6 + A 1, 426I c6 + A2, 416I d6 + A42, 16
5ector no nulo de 3 orto$onal a + y a K.
&6 Dados los >ectores + A2, 41, 16, K A1, 2, 416, y A1, 1, 426 de !. 0allar los >ectores D de la forma xK P y orto$onales a + y de lon$itud unidad.
&16 Demostrar que para dos >ectores + y K se tiene la identidad:
+ K + K + K y por tanto + K si y sólo si + K + K+ − − = = + = −2 2 4 0. .
Cnterpretar este resultado $eométricamente en 2I las dia$onales de un paralelo$ramo son i$uales si y sólo si el paralelo$ramo es un rectán$ulo.
&26 Fn >ector de n tiene lon$itud 5. Fn >ector de n tiene la propiedad de que para todo par deescalares x e y los >ectores x+ P yK y y+ 4 ectores + y K no nulos y no paralelos, demostrar que existen >ectores y D que satisfacen las tres condiciones del e7ercicio 21 y expresar y D en función de +y K.
&J6 Demostrar si es o no cierta cada una de las proposiciones si$uientes relati>as a >ectores en n:
a6 i + es orto$onal a K,, LL+ P xKLL ≥ LL+LL para todo n@mero real x.
b6 i LL+ P xKLL ≥ LL+LL para todo n@mero real x, + es orto$onal a K.
51
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A0 ''0'' A
''A0''
8 0
''A''
8 0
+
''A''
θ
El án$ulo que forman dos >ectores, es aquel que tiene en su >értice la cola de los dos >ectores, como semuestra en la fi$ura 2.2!.
+l estudiar el >ector suma + P K, se dedu7o que su módulo era i$ual a:
θ cos////////2//////////// 222
K + K + K + ++=+
or definición de norma sabemos que: K + K + K + K + K + .2////////)).((//// 222 ++=++=+
+plicando la propiedad transiti>a, tenemos:
θ cos////////2//////// 22 K + K + ++ = K + K + .2//////// 22 ++
De donde se deduce que: + . K A LL+LL LLKLL cos θ
(ue$o:
Dados dos >ectores + y K de n, tal que +≠ cK, definimos >ector proyección de + sobre el >ector K, como el >ector que tiene su cola en la cola de K y su flec%a en el pie de la perpendicular ba7ada de la flec%a de + a larecta de acción de K.
Eliminando al >ector +, multiplicando ambos miembros de la i$ualdad por K:
K . + A K . cK P +6 A K . cK6 P K . + A cK . K6 P L +⊥ K y 0E
K K
K + to por K
K +cquededuce sedonde De
== 22 ////.
tan////
.:
52
e$@n la definición el >ector proyección de + sobre K, es un >ector cK, como se muestra en la fi$ura 2.2J, de donde se deduce que, A
cK, lue$o nuestro problema se reduce a calcular c. ara poder relacionar este >ector con el >ector +, nos in>entamos el >ector +, que es orto$onal al >ector K, y por lo tanto + . KA. Este>ector permite afirmar que el >ector + A P +
omo A cK: + A cK P +
=→= cos.////////.
cos arc K +
K +θ θ
H
8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial
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a$ Módulo del vector pro+ección!
K
K + K
K
K + K
K
K + K
K
K + K
K
K + ,
.....////
2222 ====
=
K
K + (ue$o
.: =
En consecuencia tenemos que:
o será:c
::
c$ Dirección del vector pro+ección: como A cK, entonces la dirección del >ector proyección . erá i$ual a la dirección del >ector K.
H(os >ectores coordenados unitarios son aquellos que tienen su cola en el ori$en, tienen como recta deacción los e7es coordenados, su sentido coincide con el positi>o de éstos y su lon$itud es la unidad. or lotanto %abrá tantos >ectores como e7es y si el sistema es orto$onal los >ectores coordenados unitarios serán
orto$onales entre si.[
8eniendo en cuenta la descripción anterior, los >ectores coordenados unitarios en n , serán los )n) >ectores E 1 A 1, , , ... , , 6, E 2 A , 1, , ......, , 6,...... E n A , , , ... , , 16, en donde el 4ésimo componentede E es i$ual a 1 y todos los demás componentes son cero.=bsér>ese que:
≠===
7i si E E sientre sorto$onaleon
n para E unitaruioai$ual módulo8ienen
7i
0.:
.......,3,2,11////:)(1
5eorema!
H(os >ectores coordenados unitarios permiten expresar todo >ector B A x1 x2 ,....,xn 6 de n comocombinación lineal de ellos, esto es[:
53
$ &entido del vector pro+ección!
omo el >ector proyección, es un >ector A cK, su sentido
dependerá del si$no de c, como c es i$ual a2////
.
K
K +c = y
como + . K A LL+LL LLKLL cos θ :
θ θ
cos////
////
////
cos////////2 K
+
K
K +c ==
omo las normas son siempre positi>as, el si$no de cdependerá exclusi>amente del cosθ , lue$o para facilitar >er la >ariación del coseno, %acemos su $ráfica, que sead7unta.
0 π/2 π 3 π/2 2 π xx
1
-1
y = cosx
y
(+) (+)( + )
(-) - )
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En 2 en cambio se tiene dos e7es y todo >ector formarácon cada uno de los e7es un án$ulo, por lo tantotendremos dos án$ulos directores. Dado el >ector + A a1 , a2 6
emos que el >ector + forma con el e7e BB un án$ulo R1 y con el e7e OO R2, que corresponden a sus án$ulosdirectores.
( 1
7 y O i
:
+
x
S 1
1
#$
1(a) i
i
i
1
+
5esis ∑=
=+++==n
iiinnn E x E x E x E x x x x B i
1221121 ..........),..........,,(
Demostración! Determinando los productos xE:
∑
∑
=
=
=+++=
==
==
====
n
i
iinn
n
i
nii
nnnn
lqqd E x E x E x E x B (ue$o
B x x x E x
i$ualdadeslasmiembroamiembroumando x x E x
x x E x x x E x
1
2211
1
21
2222
1111
........:
).......,..........,,(
:)........,,0,0,0()1,.......,0,0,0(
............................
)0........,,0,,0()0,.......,0,1,0()0........,,0,0,()0,.......,0,0,1(
Debido a que los sistemas más usuales son el bidimensional y el tridimensional, >amos a con>enir la si$uiente simplificación, llamando a E a y 7 E i E === 321 , , de modo que:
4 En 2 : i A 1,6 , 7 A ,16 fi$ura 2.23 a
4 En ! : i A 1,, 6 , 7 A ,1,6 , A ,,16 fi$ura 2.23 b
1
(ue$o un >ector + A 2, !6 A 2i P !7 y si K A 2, 4!, 36 A 2i 4 !7 P 3
on los án$ulos que un >ector forma con cada uno de los e7es coordenados. or lo tanto %abrá tantosán$ulos como e7es ten$a el sistema, p.e. si estamos en n tendremos Hn[ e7es y por lo tanto el >ector formarácon cada uno de estos e7es Hn án$ulos, llamados directores, debido a que definen la dirección del >ector.
AnBlisis: >amos a realizar un estudio inducti>o acerca de este tema y empezaremos en 1: En 1 todoslos >ectores de dic%o espacio tienen la misma recta de acción y por lo tanto todos ellos forman con su@nico e7e un solo án$ulo cuyo >alor es ` ó π , no se da otra alternati>a. En la fi$ura si$uiente se ilustraconsiderando el >ector + Aa1 6 y el >ector K A b 1 6, de modo que el >ector + tiene como án$ulo director R1 A y K R1 A π .
54
0 O1 A
b1 a1
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A
a1 :
I2 I1
''A''
a2
O as" podemos se$uir %asta lle$ar al espacio n , demodo que un >ector en dic%o espacio formará nán$ulos directores.
Dic%os án$ulos serán: α 1 , α 2 , α ! , ............, α n respecti>amente.
Hienen a ser los cosenos de los án$ulos directoresH.
El >alor de dic%os cosenos se puede inducir, %aciendo un análisis de los casos particulares.
En ectores de este espacio son i$uales a 1 ó M1.
or tanto se puede decir que cos α 1 A
1
1
a
a el cual será 1 o M1 dependiendo del >alor que ten$a la
componente, si a1 T el cosα 1A 41 y si a1 Q entonces cosα 1 A 1
En iene usar la desi$nación R, , y cuando traba7amos en 2 y en !.
55
El >ector unitario de un >ector dado + Aa1 , a2 ,......., an 6 de n ,es aquel >ector que tiene la misma dirección y sentido que + pero sumódulo es la unidad. Dic%o >ector se desi$na como +u
or lo anterior se tiene que + LL + lue$o:
+u A c+ y LL +u LLALL c+ LLA LcL LL + LL y LL +u LL A 1
+ licando la transiti>a : LcL LL + LL A 1
En ! tenemos tres e7es lue$o el >ector formará tresán$ulos y serán: a1 , a2 y a! como se muestra en la fi$ura2.2'
a1
a3
a2
y
z
x
//A//
d
A
α 1
α 2
α !
A
A U
1
nii
i
+
a......,,2,1cos
=∀=α
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!
De donde se deduce que: +
c 1= como cQ entonces LcL A c A
+
1
or lo tanto: +u A c+ A
( )nn
+
a
+
a
+
a
+
+α α α cos.....,,cos,cos..,..........,
..,, 21
21 =
=
!
8res >ectores +, K y de n satisfacen las condiciones si$uientes: LL + LL A LL LL A 3, L L K LL A 1, LL+4 K
P LL A LL + P K P LL. i el án$ulo que forman + y K es π L', %allar el que forman K y . &olución!
(lamando θ al án$ulo que forman K y , y ele>ando al cuadrado la @ltima i$ualdad para e>itar ra"cescuadradas tenemos
LL + M K P LL] A + M K P 6. + M K P 6 A +.+ P K.K P . 4 2+.K 4 2K. P 2+. LL + P K P LL] A + P K P 6. + P K P 6 A +.+ P K.K P . P 2+.K P 2K. P 2+.
C$ualando y simplificando: 4 +.K A K.
4LL+LL LLKLLcos π L'6 A LLKLL LLLLcosθ entonces cos θ A 4cos π L'6 lue$o θ A & π L'
/(emplo 2-1F!
a6 ean: + A a, b, c 6 y α , , γ los án$ulos que + forma con los >ectores coordenados unitarios i, 7 y , respecti>amente. alcular cosα , cos , cos γ . Estos se llaman cosenos directores de +.
b6 0allar todos los >ectores de ! de lon$itud 1 paralelos a +.
&olución!
a6 + .i A a, b, c 6 . 1, , 6 A a 16
+ .i A LL+LL LLiLLcos α LL+LL 1001//// 222 =++=i ycPbPaA 222
56
+u A
(naaa
α α ...,cos,cos..,..........,..,
, 2121 =
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+.i A α coscba 222 ++ 26
C$ualando 16A26 se deduce:cPbPa
a A
222α cos
+nálo$amente:cPbPa
b A
222β cos I
cPbPa
c Acos
222γ
b6 ea: +u A t+ un >ector unitario de +:
1AcPbPagt gA LL + LL gt gA + LL 222
u // de donde
cPbPa
1 At
222±
or lo que:cPbPa
c6b,a, A +
222u ± A
++++++±
222222222,,
cba
c
cba
b
cba
a
(ue$o: 6 , , A +u φβα± coscoscos
/(emplo 2-1
Determinar la proyección de + sobre K si + A 1,2,!6 y K A 1,2,26
or definición sabemos que A cK, y que P + A + siendo +⊥ K
Eliminando al >ector +, multiplicando ambos miembros por K:
K . P + 6 A K . +
K . P K . + A K . + sabemos que K . + A
O como A cK: K . cK6 A K . + despe7ando:
( )
)2,2,1(9
11tan
9
11
441
641.22
=
=++
++==
to or
K
K +c
&36 En cada uno de los si$uientes casos, expresar + como la suma de un >ector paralelo a K y un >ector orto$onal a K.
a6 + A 43,'6 , K A 1,16b6 + A 1,2,!6 , K A ,,16c6 + A 1,2,!6 , K A 1,1,6d6 + A 2,1,16 , K A 1,2,6
&56 En cada uno de los si$uientes casos, calcular el componente y la proyección de + sobre K.
a6 + A 1,1,16 , K A 1,,16b6 + A 1,,16 , K A 1,1,16c6 + A 1,2,4!,56 , K A 1,,1,6
57
8 0
+
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d6 + A a1 ,a2 ,a! 6 , K A ,a2 ,6
&&6 Dados tres >ectores no nulos +, K y de n , suponer que el án$ulo que forma + y es i$ual al que forman K y . Demostrar que es orto$onal al >ector LLKLL + 4 LL+LL K
&'6 #ormando el producto escalar de los dos >ectores cos a, sen a6 y cos , sen 6, deducir la
identidad tri$onométrica: cosa46 A cos a.cos P sen a.sen . &ectores: F A !i47 y A aiPJ7 ,
a6 Determinar )a) de forma que F y sean orto$onales.b6 Determinar )a) de forma que F y ten$an sentidos opuestas.
'6 Dados tres >ectores +, K y de 2 , siendo + orto$onal a del mismo módulo, demostrar que: LL+LL]LLKLL] A +.K6] P .K6]
a6 robar que: F A 22 , 22 6iP 22 67 y A4 22 6iP 22 67,son >ectores unitarios perpendiculares.
b6 Expresar i en la forma xF P y.c6 Expresar 7 en la forma xF P y.
d6 Expresar 42i P !7 en la forma xF P y.
'16 Demostrar que para >ectores cualquiera +,K y de n , siendo LLKLL ALLLL A 1 y K. A , se cumple:
+ A K.+6K P .+6
'26 Demostrar que para tres >ectores coplanares +, K y de n , , siendo K y perpendiculares, y LLKLLALLLL, se cumple:
a6 LLKLL]+ A K.+6K P .+6 b6 LLKLL ]LL+LL] A K.+6] P .+6]
'!6 ara dos >ectores cualesquiera + y K de n , demostrar que:
a6 i: + A tK y t Q , entonces +.K6 L LL+LL LLKLL6 A 1. b6 i: + A tK y t T , entonces +.K6 L LL+LLLL LLKLL6 A 41.
'J6 ean: + Aa1 ,a2 6, K Ab1 ,b2 6 y Ac1 ,c2 6. Demostrar que b1Ac1 , si +.K A +. y + es paralelo al e7e B.
'36 8res >ectores +, K, de ! satisfacen las propiedades si$uientes: LL+LLALLLLA3I LLKLLA1I LL + M K P LLALL + P K P LL. i el án$ulo que forman + y K es π L', %allar el que forman K y .'56 Demostrar que el án$ulo que forman + A 1, 2, 16 y K A 2, 1, 416 es el doble del que forman
A 1, J, 16 y D A 2, 3, 36.
'&6 Demostrar >ectorialmente que las dia$onales de un rombo son perpendiculares.
''6 Dados dos >ectores + A cosa, 4 sena 6 y K A sena, cosa 6 de 2.
a. Demostrar que + y K son orto$onales de lon$itud unidad. 0a$a un dibu7o en el que + y K formen un án$ulo θ A π L5.
b.0allar todos los >ectores x, y6 de 2 tales que x, y6 A x+ P yK. +se$urarse de que se considerantodos los posibles >alores de θ .
'ectores en un n M espacio. ean + y K dos >ectores del n Mespacio. Demostrar que:
58
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a6 1.
1 ≤≤− K +
K +
b6 Existe exactamente una U, h U h tal que + . K A LL+LL LLKLL cos U. Esta U se denominaán$ula entre + y K.
c6 XEs >álida la (ey del oseno en un n M espacioY
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Es necesario %acer notar que la $eneracióndel >ector cero de modo no tri>ial, se ori$ina por el %ec%o de que + y K son paralelos,
esto es, + A eK. 8eniendo en cuenta lo queestamos estudiando podemos decir que el >ector + es un >ector $enerado por K, o que el >ector +depende linealmente de K, por lo tanto + y K sondos >ectores dependientes, en consecuencia el con7unto & ? TA, 0U serB un con(unto de vectoreslinealmente dependiente.
(ue$o decimos que B depende linealmente de los >ectores de , ó también que B es una combinación lineal de los >ectores de , son formas de decir lo mismo y que el alumno deberá familiarizarse con esaterminolo$"a.
uando estudiamos el >ector c+, >imos que cuando c A entonces c+ A , esto es, $eneramos el >ector ceroa partir del >ector c+ %aciendo c A . En nuestro caso $eneraremos al >ector cero a tra>és de B, lue$o B A si ci A para todo i A 1,2,....,., esto es, si c............cc 21 ==== .
(ue$o B A ci A1, + ci A2+ ci A3, …………,+ ci Ak A +1 P +2 P jj.P + A P P jjjP A
+ esta $eneración del >ector cero se le llama forma tri>ial, y la disfruta todo con7unto de >ectores de n. Oaque su $eneración depende exclusi>amente del escalar ci , esto es, de %acer c i A y no de los >ectores que
conforman . =8or tanto afirmamos *ue, todo con(unto & finito de vectores de ector $enerado por será B A c+ P dK, lue$o decimos que B es un >ector que depende linealmente de + y K, o que B es un >ector $enerado por + y K.
+%ora si + y K son >ectores distintos del >ector cero, el con7unto podrá $enerar al >ector cero de dos
maneras, que corresponden a las dos operaciones presentes, el producto de un escalar por un >ector y la suma de >ectores.
1. (a primera se da por el producto de un escalar por un >ector y que corresponde a la forma tri>ial, que esel modo de $enerar al >ector cero que $oza todo con7unto . Es decir si %acemos que c A d A entonces B A+ P K A por tanto B A .
2. (a otra manera de $enerar al >ector cero se da por la suma de >ectores, dado que B A c+ P dK, esnecesario que el >ector dK sea el opuesto del >ector c+. ero para que esto sea posible + y K debentener la misma dirección + A eK 6, ya que lo que 7amás podrá %acer el escalar sobre el >ector escambiarle la dirección. or tanto si dK es el opuesto de c+, entonces resulta que B A c+ P dK A ,en este caso el alumno podrá obser>ar que c y d son distintos de cero, y por lo tanto la $eneración no serealiza del modo tri>ial. ara que el alumno lo entienda me7or lo %aremos de otra manera.
=perando matemáticamente tendr"amos:i B A c+ P dK, y como + A eK, entonces: B A c eK 6 P dK A ceK P dK A ce P d 6K
omo la $eneración del >ector cero me exi$e que B A entonces ce P d A , dado que K ≠ ,entonces ce A 4 d. Es decir, basta que se cumpla esta i$ualdad para que B A . En este caso >emos queel con7unto $enera al >ector cero, de un modo no trivial , dado que los escalares c y d son distintos decero.
60
&i A ? e 0, e:iste un real eV tal *ue ) A ? eV0 Luego A eV0 ? A # ) A $ ?
&i A ? e0
A
O
B
eV0
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ero si + ≠ eK , es decir, tienen diferentedirección, esto %ace imposible que el >ector c+ sea el opuesto de dK. or tanto no existen>alores reales de c y d distintos de cero que%a$an que B A
En este caso el con7unto $enera al >ector cero de una sola manera, y esa manera es la forma tri>ial, esto es, cuando los escalares c y d son i$uales a cero. /n este caso decimos*ue el con(unto & genera al vector cero conunicidad--
+l ser + ≠ eK, decimos que + no es $enerado por K y por lo tanto + y K son dos >ectores linealmenteindependientes, en consecuencia el con7unto & ? T A, 0 U serB un con(unto de vectores linealmenteindependiente-.
De esta manera %emos introducido dos conceptos nue>os, la $eneración del >ector cero con unicidad y laindependencia lineal de un con7unto finito de >ectores.
1- =Decimos *ue un con(unto & de S vectores de ector $enerado
omo la $eneración del >ector cero debe %acerse a tra>és de B A ,,6
Entonces por la transiti>a: c, d, e6 A , , 6
=
=
=
e
d
c
por i$ualdad de >ectores
or tanto la $eneración del >ector cero me exi$e que c A d A e A , lue$o la $eneración se realiza demodo tri>ial, en consecuencia el con(unto & es linealmente independiente.
/(emplo 3!
61
omo el escalar nunca podrB camiar ladirección a A ó 0, cA no podrB ser opuesto de d0
0
A
On
&i A≠
e0
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Dado el con7unto A k i, 7, 2i M 7 de 2 , se pide estudiar el con7unto y decir si es linealmenteindependiente o no.
El >ector $enerado por será: B A c i P d 7 P e 2i 4 76 L Def. de >ector $enerado
=perando tenemos: B A c P 2e6i P d 4 e67 A c P 2e, d 4 e6
omo la $eneración del >ector cero debe %acerse a tra>és de B A A , 6
Entonces por la transiti>a tenemos:
c P 2e, d4e6 A , 6
=−
=+
0
02
ed
ec L por i$ualdad de >ectores
esol>iendo tenemos que d A e y que c A 42e, lue$o para $enerar el >ector cero basta que se cumplandic%as i$ualdades.
+%ora como c, d y e son escalares, existen infinitos >alores de c, d y e que satisfacen dic%as condiciones.
or e7emplo si %acemos e A 1 entonces d A 1 y c A 4 2, estos >alores al ser reemplazados en nuestro >ector nos deberá dar el >ector cero: B A c P 2e, d 4 e6A4 2 P 2x1, 1416 A , 6 y as" podr"amos se$uir dando>alores reales a e y obtener >alores de d y c, que también %acen B A , lue$o existen infinitas formas de $enerar al >ector cero.
=&i el con(unto & no genera con unicidad al vector cero, decimos *ue & es linealmente dependiente-
Este estudio nos permite >er que existe dos tipos de con7untos finitos de >ectores, los que son linealmenteindependientes y los que son linealmente dependientes.
amos a >ol>er a considerar al >ector B definido al inicio del apartado, para poder entender me7or esteconcepto.
AnBlisis del vector ∑=
=
i
ii +c B
1
ara conocer bien el >ector B estudiaremos su $eneración. emos que B es un >ector que se obtiene sumando>ectores c+. omo sabemos un >ector c+, se caracteriza por tener su cola en el ori$en y su flec%a encualquier punto de la recta de acción de +.
(ue$o el primer sumando supone infinitos >ectores que tienen que ser sumados con infinitos >ectorescorrespondientes al se$undo sumando y as" sucesi>amente %asta el 4ésimo sumando.
Esto nos lle>a a >islumbrar que se $eneran infinitos >ectores B, que resultan de todas las combinaciones posibles de sumar las infinitas alternati>as de cada uno de los sumandos entre si.
H(a En>ol>ente (ineal de un con7unto finito de >ectores se define, como el con7unto de todos los >ectores $enerados por .. e desi$na como (6 A k B [
{ } ∑=
==
i
iin , +c B Entonces de +..,.......... , + , + i
1
21
{ }
== ∑
=
i
ii +c B 6 (totanlo por y
1
(a en>ol>ente de se puede desi$nar de tres maneras diferentes:
62
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8omamos una alternati>a c2 K por e7emplo si c2 A 1entonces c2 K A K y le sumamos todos los >ectoresc1 +, trasladándolos paralelamente a si mismos%asta que su cola coincida con la flec%a de K,entonces: los >ectores K P c1 + tendrán su cola en lacola de K, esto es, en el ori$en y su flec%a encualquier punto de la recta de acción de +, pero en lanue>a posición ya que %a sido trasladada, esto es
( +.
Desde el punto de >ista $eométrico lo que %emos %ec%oes, %acer pasar por el punto K una recta ( + paralela a
1. +l$ebraica: (6
2. +nal"tica simplificada: { B }
amos a tratar de explicar este concepto debido a la dificultad que presenta su concepción, para estoempezaremos su estudio, >iendo los casos más simples:
/(emplo E-
8rimer aso: i A { + } de n
Entonces B A c+ por tanto ( 6 A { B } A{ c+ }
En este caso la en>ol>ente lineal del con7unto es el con7unto de todos los >ectores c+, que se caracterizan por tener su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de su recta de acción, esto es, un espacioequi>alente al unidimensional. En este caso la recta de acción de + %ace de soporte de la en>ol>ente.
Desde el punto de >ista $eométrico decimos que todos los >ectores de dic%a en>ol>ente son colineales.
8ambién podemos obser>ar que la $eneración del >ector cero, se da cuando c A , esto es, c+ A si c A, lue$o $enera con unicidad al >ector cero y por lo tanto es un con7unto de >ectores linealmenteindependiente.
/(emplo >-
&egundo aso: i A { +, K de n
Entonces B A c1 + P c2 K por tanto (6 A { B } A{ c1 + P c2 K
omo se >io en el e7emplo 1, se dan dos situaciones:
1. uando es linealmente independiente.2. O cuando no lo es.
eamos el primero, cuando + \ tK, esto es, cuando tiene distinta dirección, por lo tanto el con7unto es (inealmente Cndependiente.
En este caso >emos que ya no es tan fácil definir la en>ol>ente. ara determinar la naturaleza de los >ectores B se %ace necesario un análisis pre>io. rocedemos a definir a cada uno de los sumandos, esto es, c1 + y c2 Kcomo aparecen en el esquema $ráfico ad7unto. 8eniendo en cuenta que los >ectores se suman punta concola y que todos los >ectores c1 + tienen su cola en el ori$en, %acemos lo si$uiente:
63
∑ =
i ii +cdadesarrolla +nal"tica!.
1
c 2 B
B
c 1 A
A
0 n
M 0
c 1 A
A
B + cA
L B
L A
L A
A B
0
L A= L
B
0 n
A cA
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omo B A c+ P dK y + A tK, entonces: B A c tK6 P dK A c t Pd6 Kcomo c, t y d son escalares, c t P d será otro escalar que llamaremos He[,lue$o B A e K
or tanto la en>ol>ente lineal de , (6 A k eK que corresponde a la En>ol>ente (ineal de K, a%ora como + A t K, también podemos decir quees i$ual a la en>ol>ente lineal de +, esto es, (+6, en consecuencia (6 A (+6 A (K6.
análisis pre>io, y de modo análo$o al caso anterior, sedefine en primer lu$ar a cada uno de los sumandos de B, esto es c1 +, c2 K y c! , como se ilustra en la fi$ura.
El estudio del caso anterior nos permite saber como sonlos >ectores c1 + P c2 K, , lue$o nos quedar"a sumárselosa los >ectores c! . ara %acer esto, procedemos demanera similar. onsideramos una primera alternati>ade c!, esto es c! A1 de modo que c! A y le sumamos a este >ector los infinitos >ectores c1 + P c2 K,trasladándolos de modo que la cola de estos >ectorescoincida con la flec%a de , de modo que los >ectores suma P c1 + P c2 K, tendrán su cola en el ori$en y su
Es importante tener en cuenta, que en la suma el primer >ector es K, y todos estos >ectores tienen su cola enel ori$en, por lo tanto la cola de los >ectores suma K P c+, tendrán su cola en la cola del primero, esto es, de
K y su flec%a en cualquier punto de la recta ( +. +%ora bien, lo que %emos %ec%o con K lo tenemos que %acer con todos los >ectores dK. Esto implicar"a, yaque cada punto de la recta de acción de K ( K 6 es una flec%a de un >ector dK, desde el punto de >ista $eométrico %acer pasar por cada punto de dic%a recta una recta paralela a la recta de acción de + ( + 6.
0acer esto es equi>alente a ima$inar lo si$uiente, manteniendo a ( K como $u"a, deslizamos ( + paralelamente a si misma apoyándose sobre ( K , %acer esto supondr"a la $eneración del plano *. El alumnodeberá tener presente que los puntos de cada una de éstas rectas me definirán las flec%as del >ector suma, yaque c+ es el se$undo y adopta las posiciones descritas.
De ese modo los >ectores suma dK P c+ tendrán su cola en la cola de dK, esto es el ori$en, y su flec%a encualquier punto del plano * definido por ( + al deslizarse paralelamente a si misma apoyándose en ( K. En
este caso el soporte de la en>ol>ente es el plano *. (ue$o la en>ol>ente lineal de ser"a, el con7unto de todos los >ectores que tienen su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al bidimensional, esto es, el plano * definido por ( + y ( K. En este caso todos los >ectores ser"an coplanares.
eamos la se$unda situación, que se da cuando + A tK, esto es, cuando tienen la misma dirección. or lotanto el con7unto es (inealmente Dependiente.
emos que en este caso la en>ol>ente lineal del con7unto formado por los >ectores + y K, se reduce a laen>ol>ente lineal de un con7unto de >ectores formado sólo por + o sólo por K. Esto se explica por el %ec%o deque uno de los >ectores depende del otro.
/(emplo F-
5ercer aso: i A { +, K, de n ,
Entonces B A c+ P dK P e y (6 A { B Este estudio presenta dos situaciones:
a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes.
b6 i los >ectores de son (inealmente Dependientes, ésta contiene dos situaciones:
1. i son colineales2. i son coplanares
a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes: (a definición de la en>ol>ente lineal requiere de un
64
M
L B
Bc 2 B M 0
L C
c 3 C
C
A
C 2 B
L B
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Desde el punto de >ista $eométrico lo que %emos %ec%o es %acer pasar por un plano * paralelo a * .omo cada punto de (c es una flec%a de un >ector c! , si$nifica que debemos %acer pasar por cada unode los puntos de ( un plano paralelo al plano * definido por ( + y ( K , la realización de esto supondr"a la $eneración dentro del espacio n , un espacio equi>alente al espacio !.
=8or tanto la envolvente lineal de & sería el con(unto de todos los vectores *ue tienen su cola en el origen +su flecha en cual*uier punto de un espacio e*uivalente al espacio tridimensional-
El alumno deberá realizar un esfuerzo para ima$inar lo que acabamos de definir, debido a que el espaciotridimensional prácticamente satura nuestra >isión espacial. Go podemos ima$inar como ser"a un espacio decuatro dimensiones, y de i$ual manera no sabemos como seria el espacio n4dimensional n , sin embar$oanal"ticamente si podemos traba7ar en esos sistemas.
uede ayudar a entender un poco me7or si %acemos la si$uiente analo$"a, que ! es a n como 1 es a !. Deteniéndonos en lo @ltimo podemos >er que 1 esta contenido en ! , esto es, estando en ! yo puedotraba7ar como si estu>iese en 1 , esto lo consi$o si %a$o que la se$unda y tercera componente del >ector sean permanentemente i$uales a cero 6. or e7emplo + A a,,6 siendo a un n@mero real cualquiera, de esamanera el >ector + tiene como recta de acción el e7e BB, y por lo tanto los >ectores que estudiaré tienen lamisma dirección, que corresponde a un espacio equi>alente al espacio unidimensional.
De la misma manera el espacio ! contiene al espacio 2 , si %acemos permanentemente la terceracomponente i$ual a cero, esto es en un >ector + A a, b, 6, lue$o este >ector se mo>er"a en el plano BO, quees lo equi>alente al espacio 2. +s" como 1 y 2 se encuentran contenidos en ! , todos los espaciosinferiores al n4dimensional, están contenidos en n.. ol>iendo al caso tercero, cuando decimos que (6 es el con7unto de todos los >ectores que tienen su cola enel ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al ! , definido por ( + , ( K y ( , tenemos que pensar que por el %ec%o de que nos mo>emos en n , el espacio mencionado es una porción de este. Dic%aen>ol>ente no satura al espacio n4dimensional, aunque no podamos ima$inar $eométricamente como es.
b16 i son colineales:
En este caso se dan los si$uientes subcasos:
a6 + A f y K A $b6 + A fK y A $Kc6 K A f+ y A $+
esol>iendo para a6:
omo B A c+ P dK P e :
B A c f 6 P d $ 6 P e A cf P d$ P e 6
omo c, d, e, f y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto cf P d$ P e A %
En consecuencia B A % y la en>ol>ente de , esto es , ( 6 A k % A ( 6
65 O
C
B
A
O n
A
B
C L A = L B = L C
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i resol>emos para los otros casos, si$uiendo el mismo proceso, tendremos que (6 será también i$ual a (+6 y (K6.
or tanto: (6 A (+6 A (K6 A (6.
b26 i son coplanares se dan los si$uientes subcasos:a6 A f+ P $Kb6 K A f+ P $c6 + A f P $K
esol>iendo para a6:
omo B A c+ P dK P e : B A c+ P dK P e f+ P $K6
Entonces: B A c P ef 6+ P d P e$ 6 K
omo c, d, e, f y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P ef A %1 y d P e$ A %2
En consecuencia B A %1 + P %2 K. y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k %1 + P %2 K A ( +, K 6.
+%ora si resol>emos los otros casos tendremos que (6 también será i$ual a ( K, 6 y ( +, 6.
or tanto: ( 6 A ( +, K 6 A ( K, 6 A ( +, 6
/(emplo -
uarto aso: i A { +, K, , D de n,
(ue$o B A c+ P dK P e P fD y ( 6 A { B , en este estudio presenta dos situaciones:
a6 i los >ectores de son (inealmente Cndependientes.b6 i los >ectores de son (inealmente Dependientes, ésta contiene, a la >ez, tres subcasos:
1. i son colineales2. i son coplanares!. i son tridimensionales
a6 i son (inealmente Cndependientes:
8eniendo en cuenta todo lo anterior podemos inducir que la en>ol>ente lineal de , es el con7unto de todos los>ectores que tienen su cola en el ori$en y su flec%a en cualquier punto de un espacio equi>alente al espaciotetra4dimensional.b16 i son colineales: En este caso se presentan cuatro subcasos:
a6 + A fDI K A $D y A %Db6 + A fI K A $ y DA %c6 + A fKI A $K y DA %Kd6 K A f+I A $+ y DA %+
esol>iendo para a6
omo B A c+ P dK P e PuD:
B A cfD6 P d$D6 P e%D6 P uD A cf P d$ P e% P u6
omo c, d, e, f , $ ,% y u son escalares la suma de ellos
66
O n
A
B
C L A = L B = L C
O
C
B
A
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me dará otro escalar, por tanto cf P d$ P e% P u A >
En consecuencia B A >D y la en>ol>ente de , esto es , ( 6 A k >D A (D6.
+%ora si resol>emos el problema para los casos b, c y d se tendr"a que (6 será i$ual a (+6 y (K6 y a (6,
or tanto: (6 A (+6 A (K6 A (6A (D6. (os >ectores de la en>ol>ente lineal de depender"an de unode los >ectores que conforman dic%o con7unto.
b26 i son coplanares se presentan los si$uientes subcasos: a6 D A f+ P $K y A f+ P $Kb6 D A f 1 + P $ 1 y K A f 1+ P$1 c6 K A f 2 + P $ 2 D y K A f 2+ P$2 Dd6 + A f ! K P $ ! y DA f !KP$! e6 + A f J K P $ J D y A f JKP$J D f6 + A f ! K P $ ! y DA f !KP$! $6 + A f 3 P $ 3 D y DA f 3P$3 D
esol>iendo para a6:
omo B A c+ P dK P eP uD :
B A c+ P dK P e f+ P $K6 P uf+ P $K 6
Entonces: B A c P ef P uf 6+ P d P e$Pu$6 K
omo c, d, e, f , $ , f, y $ son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P ef Puf A 1 yd P e$Pu$ A 2 ,
En consecuencia B A 1 + P 2 K y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k %1 + P %2 K A (+, K,6
i %acemos lo mismo para los otros subcasos >eremos que (6, también será i$ual a (K, 6 y (+, 6, (, D6, (+, D6, y (K, D6 esto es:
(6 A (+, K,6 A (K, 6 A (+, 6A (+,D6A (K, D6A (, D6
Es decir, que los >ectores de la en>ol>ente lineal de , dependerán de dos >ectores cualesquiera de y por lotanto serán coplanares.
b!6 i son tridimensionales se dan los casos si$uientes:
a6 D A f + P $ K P % b6 A f + P $ K P % D
c6 K A f + P $ P % Dd6 + A f K P $ P % D
esol>iendo para a6:
omo B A c + P d K P e P u D :
B A c + P d K P e P u f + P $ K P % 6
Entonces: B A c P u f6+ P d P u $6 K P e P u %6
omo c, d, e, f , $ , % y u son escalares la suma de ellos me dará otro escalar, por tanto: c P u f A 1 , d P u $ A 2 y e P u % A X
67
O n
!
B
A
C
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En consecuencia B A 1 + P 2 K P !. y la en>ol>ente lineal de , esto es:, ( 6 A k % 1 + P %2 K P ! A (+, K, 6.
i resol>emos los otros casos tendremos que (6 también será i$ual a (K, , D6 y (+, , D6, (+, K, D6,
or tanto: (6 A (+, K, 6 A (K, , D6 A (+, , D6A (+, K, D6 lue$o los >ectores de la en>ol>ente serán>olumétricos
.eneraliando! Hi es un con7unto de >ectores { } nn de + + + ......,........., 21=linealmente independientes su en>ol>ente lineal (6 será el con7unto de todos los >ectores que tienen su colaen el ori$en y su flec%a en cualquier punto del espacio n4dimensional. Esto si$nifica que (6 A n.[
Fn con7unto A k A1 , ... , A de >ectores de n $enera a W con unicidad si se cumplen estas doscondiciones:
16 i $enera a W .
26 ∑∑==
==
1i
ii
1i
ii +d B y +c B i implica ci A d i
Esta definición lle>a al si$uiente teorema:
gHFn con7unto $enera con unicidad a todo >ector de (6 , si y sólo si $enera con unicidad al >ector cero.[ Demostración:
i (6 A k B y si $enera con unicidad a todo >ector B: ∑∑==
==
i
ii
i
ii +d B y +c B
11
para
todo ci A d i or la definición anterior. omo la $eneración del >ector cero se realiza a tra>és de B: B M B A 16
eemplazando el >alor de B con las formas que asume este en 16:
∑∑∑ === −=−=−
i
iii
i
ii
i
ii + 6d c +d +c B B
111
A L +
omo ci y d i son dos escalares: ci M d i A ei será otro escalar.
or tanto: 11
==− ∑∑==
i
ii
i
iii +e + 6d c
omo ci A d i para todo i: ci M d i A lue$o ei A para todo i
En consecuencia la $eneración del >ector cero se da cuando e i A por tanto $enera al >ector cero conunicidad.
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Hea A k A1 , ... , A un con7unto linealmente independiente de >ectores de n , y sea (6 la en>ol4>ente lineal de . 8odo con7unto de P 1 >ectores de (6 es linealmente dependiente.[
Demostración!
rimero, >amos a demostrar que los >ectores de pertenecen a (6.
El >ector $enerado por es:
i
ii +c.............. +c +c +c B +++==∑=
2211
1
(ue$o si %acemos c1 A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ 1: B A +1 (ue$o si %acemos c2 A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ 2: B A +2jjj.. (ue$o si %acemos c A 1 y todos los demás ci A para todos los i \ : B A +
omo los >ectores del con7unto pedido debe tener P 16 >ectores de (6, y estos son >ectores B, entonces la situación más desfa>orable para el con7unto P 16 es que los H[ primeros >ectores sean los H[ >ectores de, dado que estos son (inealmente Cndependientes por 0ipótesis y el P 164 ésimo >ector tiene que ser un>ector B, por tanto:
P 16 A k +1 , +2 , jjj, + , B
omo
i
ii +c.............. +c +c +c B +++==∑=
2211
1
, esto es, depende de los H[
>ectores de , entonces el con7unto P 16 será (inealmente Dependiente. (qqd.
Fn con7unto A k A1 , ... , A de n se denomina orto$onal si Ai. A 7 A siempre que i \ 7. Dic%o de otromodo, dos >ectores distintos cualesquiera de un con7unto orto$onal son perpendiculares.
ualquier con7unto orto$onal de >ectores A k A1 , ... , A no nulos de n es linealmente independiente.
+demás, si $enera un >ector B A ci
n
1Ai
∑ +i entonces los escalares c1 ,.....,c >ienen dados por la fórmulas:
c 7 A 7 7
7
+. +
B . + para 7 A 1, ...,
Demostración!
omo el con7unto es orto$onal se cumple que: +i . + 7 A para todo los i \ 7
(ue$o si se quiere calcular c1 se multiplica a B por +1:
B . + A 1221111
+ 6. +c.............. +c +c + 6. +c
i
ii +++=∑=
A
B . + A
11
1
11111122111 +. +
+. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c ==+++
(ue$o si se quiere calcular c2 se multiplica a B por +2:
69
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B . +2 A 2221121
+ 6. +c.............. +c +c + 6. +c
i
ii +++=∑=
A
B . + A
22
2
22222222211 +. +
+. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c ==+++
(ue$o si se quiere calcular c se multiplica a B por + :
B . + A
i
ii + 6. +c.............. +c +c + 6. +c +++=∑=
2211
1
A
B . + A
+. +
+. B cdondede +. +c +. +c.............. +. +c +. +c ==+++ 2211
De donde se puede inducir como ley $eneral, lo si$uiente: c 7 A 7 7
7
+. +
B . + para 7 A 1, ...,
Fn con7unto A k A1 , ... , A de >ectores de n es una base para n si $enera todo >ector de n conunicidad. i, además, es orto$onal, entonces se denomina base orto$onal.
Es decir, una base es un con7unto linealmente independiente que $enera todo el espacio de n. Fn e7emplode base es el con7unto de >ectores coordenados unitarios que, además, es una base orto$onal.
En un espacio >ectorial dado n , las bases tienen las propiedades si$uientes:
a6 8oda base contiene exactamente n >ectores.
b6 ualquier con7unto de >ectores linealmente independiente es un subcon7unto de una cierta base.
c6 ualquier con7unto de n >ectores linealmente independiente es una base.
ectores 1Pt,14t6 y 14t,1Pt6 de 2 seanlinealmente independientes.
116 0allar todos los n@meros reales t para los cuales los tres >ectores si$uientes de ! sonindependientes: t,1,6,1,t,16, ,1,t6
126 a6 Demostrar que un con7unto de tres >ectores de ! es una base para ! si y sólo si suen>ol>ente lineal (6 contiene los tres >ectores coordenados un