ECUACIONES DIFERENCIALES
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA
TEMA: BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES
ALUMNO: Estrada López Juan Carlos 1113120646
GRUPO DE HORARIO: 01T
PROFESOR:
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
FECHA: 10 de julio del 2013
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ECUACIONES DIFERENCIALES
INDICE GENERAL
PRACTICA N° 01 ………………………………………. 04 Solución de ecuaciones diferenciales ………………………………………………………… 05 Origen de las ecuaciones diferenciales ………………………………………………………… 10
PRACTICA N° 02 ………………………………………. 14 Separación de variables ……………………………………………………….. 15 Reducción a variables separadas ……………………………………………………….. 17
PRACTICA N° 03 ……………………………………… 22 Funciones homogéneas ……………………………………………………….. 23
Si M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 es homogénea, ……………………………………………………….
24demostrar que y=vx se separan las variables
Ecuaciones diferenciales homogeneas ……………………………………………………….. 25 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogeneas ……………………………………………………….. 28
PRACTICA N° 04 ……………………………………… 33 Ecuaciones diferenciales exactas. ……………………………………………………….. 34 Factores integrantes ……………………………………………………….. 38 Factores integrantes por simple inspección ………………………………………………………… 45
PRACTICA N° 05 ……………………………………… 49 Ecuaciones lineales ……………………………………………………….. 50 Ecuaciones de Bernoulli ……………………………………………………….. 53
PRACTICA N° 06 ……………………………………… 58 Independencia lineal de funciones ………………………………………………………. 59 Wronskiano ………………………………………………………. 59 Mediante el wronskiano, demostrar que cada ………………………………………………………. 60
uno de los siguientes conjuntos de funciones son L.I Demostrar que las funciones dadas son LI y su ……………………………………………………… 62
Wronskiano es cero (graficarlos) Demostraciones ………………………………………………………. 64
PRACTICA N° 07 ……………………………………... 65 Ec.Dif lineales homogeneas ………………………………………………………. 66
PRACTICA N° 08 ……………………………………… 76 Ec.Dif lineales no homogeneas de coeficientes constantes ……………………………………………………….. 77 Variación de parámetros ……………………………………………………….. 82 Ecuaciones diferenciales de EULER ……………………………………………………….. 89
PRACTICA N° 09 ……………………………………… 98 Ecuación lineal homogénea ……………………………………………………….. 99 Ec. lineales con coeficientes constantes …………………………………………………………. 101 Ec. lineales con coeficientes constantes ……………………………………………………….. 105
(variación de parámetros, coeficientes indeterminados, otros)
PRACTICA N° 10 ……………………………………… 110 Integración por series ………………………………………………………… 111
PRACTICA N° 11 ……………………………………… 119 Ecuación de bessel y gauss ……………………………………………………….. 120
PRACTICA N° 12 ……………………………………… 125
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Transformada de Laplace, ………………………………………………………… 126transformada inversa de laplace
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PRACTICA N° 01
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I) Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.
a) es solución de Solución:
y=C1 Senx+C2 x
……….. (1)
…………………. (2)y=C1 Senx+C2 x …………….. (3) Luego sumamos (1), (2) y (3)
b) y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2 ex es solución de
Solución:y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2 ex
.......… .. (1)
……………………..… … (2)
… ….. (3)
y=C1ex+C2 xe x+C3 e−x+2 x2ex………………….. (4)
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)
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2)Demostrar que y=2 x+Cex es la solución de la ecuación diferencial, y hallar la
solución particular para x=0 , y=3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
Solución:
y=2 x+Ce x
…………………….. (1)
……………………..(2)
Luego sumamos (1) y (2)
La ecuación de la curva integral es:
3) Demostrar que y=C1ex+C2 e2 x+x es solución de y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
Solución:
y=C1ex+C2 e2 x+x
………………….…… (1)
…….………..… (2)
….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
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La ecuación de la curva integral es:
4) Demostrar que ( y−C )2=Cx es la primitiva de la ecuación diferencial y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)
5) La primitiva de la ecuación diferencial es y=Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)
Solución:
y=Cx
La ecuación de la curva integral es:
6) Comprobar que y, son primitivas de demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.
Solución:
…………………….. (1)
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………………………(2)
Luego sumamos (1) y (2)
.
………………. (3)
…………………(4)
Luego sumamos (3) y (4)
. Ahora demostraremos que y son, en realidad, una sola.
Como y son constantes, pueden asumir el valor de
7) Demostrar que ln (x2 )+ln ( y2
x2 )=A+x se puede escribir así y
2=Bex
Solución:
ln (x2 )+ln ( y2
x2 )=A+x
ln (x2 . y 2
x2 )=A+x
ln ( y2)=A+x
e A+x= y2
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e A . ex= y2
Como eA
es una constante eA=B
Reemplazamos en eA . ex= y2
⇒ Bex= y2
8) Demostrar que arcSenx−arcSeny=A se puede escribir así x √1− y2− y √1−x2=B
Solución:
arcSenx−arcSeny=A
Derivamos:
Integramos:
9) Demostrar que ln (1+ y )+ln (1+x )=A se puede escribir como xy+x+ y=C Solución:
ln (1+ y )+ln (1+x )=A ln [(1+ y )(1+ x ) ]=A ln (1+x+ y+xy )=A
eA=1+x+ y+xy
eA−1=x+ y+ xy
Como eA−1 es constante, entonces puede tomar el valor
eA−1=C
⇒ x+ y+xy=C
10) Demostrar que Senhy+Coshy=Cx se puede escribir como y=ln( x )+A
Solución:Senhy+Coshy=Cx
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Como es constante entonces le damos el valor de
y=ln( x )+A II) Origen de las ecuaciones diferenciales
1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.
Solución:
La pendiente es
2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial.
3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión después de “t” minutos.
Solución
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Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el numero de gramos aun no
convertidos será “(100−q )” y la velocidad de conversión vendrá dada por
dqdt
=K (100−q ) , donde
K es la constante de proporcionalidad.
4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a :
i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.
ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad
Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial
5) Demostrar que en cada una de las ecuacionesa) y=x2+A+B
Solución
Debido a que la suma A+B son constantes la suma será igual a una constante k⇒ y=x2+kb) y=A ex+B
Solución
y=A eB ex
Debido a que A eB es una constante la reemplazamos por k⇒y=k ex
c) y=A+lnBx
Solución
y=A+lnB+lnxDebido a que A+lnB es una constante la reemplazamos por ky=k+lnxSolamente es usual una de las dos constantes arbitrarias
6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva y=A x2+B x+C
Solucion
y=A x2+Bx+Cy '=2 Ax+By ' '=2 Ay ' ' '=0⇒ la ecuación diferencial asociada es:y ' ' '=0
7) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivax2 y3+x3 y5=c
Solución
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2 xdx y3+3 y2 dy x2+3 x2 dx y5+5 y4 dy x3=02 x y3+3 y2 y ' x2
+3 x2 y5+5 y4 y ' x3=02 y2+3 yx y '+3 x y4+5 y3 y ' x2=0
8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=Acos (ax )+Bsen (ax )
Solución
y=Acos (ax )+Bsen (ax )y '=−Asen (ax ) a+Bcos (ax ) ay ' '=−Acos (ax ) a2−Bsen (ax )a2
y ' '=−a2 ( Acos (ax )+Bsen (ax ) )y ' '=¿-a2 y
9) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=A e2 x+B ex+C
Solución
y=A e2 x+B ex+Cy '=2 A e2 x+B ex
y '−B e x
e2 x =2 A
Derivando ( y ' '−B ex )e2 x−2 ( y '−B ex )e2 x
e4x =0
y ' '−B ex−2 y '+2 B e x=0y ' '−2 y '=−B e x
y ' '−2 y '
e x =−B
Derivando y acomodándolo:y ' ' '−3 y ' '+2 y '=0
10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=c1 e3 x+c2 e2 x+c3 ex
Solución:
| e3 x e2 x
3 e3 x 2e2 xex yex y '
9 e3 x 4 e2 x
27 e3 x 8e2 xex y ' 'ex y ' ' '
|=e6 x| 1 13 2
1 y1 y '
9 427 8
1 y ' '1 y ' ' '|
=e6 x (−2 y ' ' '+12 y ' '−22 y '+12 y )=0=−2 y ' ' '+12 y ' '−22 y '+12 y=0
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= y ' ' '−6 y' '+11 y '−6 y=0
11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitivay=c x2+c2
Solución:
y=c x2+c2
y '=2cxy ' '=2 cy ' ' '=0
12) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en el eje x
La ecuación de una circunferencia es:( x−p )2+ y2=r 2
p=x−√r 2− y2
Derivando
0=1−12 √r2− y2
−12 2 y '
13) Hallar la ecuación diferencia de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x
Solución:
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S
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La ecuación de la familia de la parábola es:x2=4 pyDonde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p)x2
y=4 p
Derivamos2xy−x2 y '
y2 =0
2 xy=x2 y '
2 y=xy '
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PRACTICA N° 02
I) SEPARACIÓN DE VARIABLES
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) X3dx + (y+1)2dy = 0
Solución:
∫ X3dx + ∫ (y+1)2dy = cX4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c(y+1)3/3 = k - X4/4
(y+1) = 3√3(k− X 44
)
y = 3√3(k− X 44
) -1
2) x2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0
Solucion:
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x 2( y+1)
(x−1)( y+1)dx +
y 2(x−1)(x−1)( y+1)
dy = 0
x2
(x−1)dx +
y 2( y+1)
dy = 0
∫x2
(x−1)dx + ∫
y 2( y+1)
dy = c
Sea µ = x-1 Sea: v = y+1 x = µ+1 y=v-1dµ=dx dv=dy
∫ (µ+1)2
µ dµ =
µ22
+2 µ+ln µ+c1 ∫ (v−1)2
v =
v 22
- 2v + lnv + c2
(x−1)22
+2(x-1)+ln(x-1)+c1 ( y+1)2
2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2
(x−1)22
+2(x-1)+ln(x-1)+c1 + ( y+1)2
2 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 = c
(x−1)22
+2(x-1)+ln(x-1) + ( y+1)2
2 - 2(y+1) +ln (y-1) = k
3) 4xdy – ydx = x2dy
Solucion:(4x-x2)dy – ydx=0(4 x−x2)(4 x−x2) y dy -
y(4 x−x2) y dx =0
dyy
- dx
(4 x−x2) = 0
∫ dyy
- ∫dx
(4 x−x2) = c
Lny + c1 - 14
ln (x
4−x) +c2 = c
Lny = 14
ln (x
4−x) + k
y = e14 ln ( x
4−x )+k
4) x(y-3)dy = 4ydx
Solucion:x( y−3)
xydy =
4 yxy dx
∫( y−3)
y dy - ∫
4x
= c
y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c
lny = y+k – lnx 4
3y = e
y+ k – lnx 43
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y = e( y+k )
3
x 4
5) (y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0
Solucion:y2(x+1)
(1− y )(x+1) dy +
x 2(1− y )(1− y )(x+1)
dx= 0
∫y 2
(1− y )dy + ∫
x2(x+1)
dx = c
-(ln(1-y) – 2(1-y) + (1− y)2
2) + c1 +
(x+1)22
- 2(x+1) + lnx + c2 = c
-ln (1-y) + 2(1-y) - (1− y)2
2 + (x+1)2
2 - 2(x+1) + lnx = k
6) x√1+ y2 + y√1+x2 y’ = 0
Solucion:
x√1+ y 2
√1+ y 2√1+x 2 dx +
y √1+x 2√1+ y 2√1+x 2
dy = 0
∫ x√1+x 2
dx + ∫ y√1+ y2
dy = c
√1+x2 + c1 + √1+ y2 + c2 = c
√1+ y2 = k - √1+x2
1+y2 = (k - √1+x2)2
y = ± √(k−√1+x2)2−1
7) Hallar la solución particular de: (1+x3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las condiciones iníciales x=1, y=2.
Solucion: (1+x3)y (1+x3) dy -
x2 yy (1+x3) dx = 0
∫dyy
- ∫ x2
(1+x3) dx = c
Lny +c1 - 13
ln(1+x3) + c2 = c
Lny = k + 13
ln(1+x3)
Para x=1,y=2:
Ln(2) = k +13
ln(1+13)
K = 0.46
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8) Hallar la solución particular de: exsecydx + (1+ ex) secytgydy = 0, cuando x=3, y=60°.
Solucion:ex secy
secy (1+ex) dx +
(1+e x)secytgysecy(1+ex)
dy = 0
∫ex
(1+e x) dx +∫ tgydy = c
Ln (1+ex) + c1 + ln (secy) + c2 = c Ln (secy) = k – Ln (1+ex)Para x=3, y=60°.K=ln (2)+ln (1+e3)
9) Hallar la solución particular de: dp =ptan αdα , cuando α =0, p=1.
Solucion:dp =ptan αdα
∫dpp
=∫tan α dα
Lnp+c=ln(secα )+c1
Lnp- ln(secα )=kPara α=0,p=1.Ln1-ln1=0K=0
II) REDUCCIÓN A VARIABLE SEPARADA
1) Resolver : (x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0
Solucion: (x+y) dx + (3x+3y-4) dy = 0………. (I)Sea: z = x+y dz=dx+dy
dzdx
= 1+dydx
dydx =
dzdx – 1……………… (II)
Reemplazando en (I)
Z + (3z-4) (dzdx
– 1) = 0
-2zdx + 3zdz – 4dz + 4dx = 0∫-2zdx + ∫3zdz – ∫4dz + ∫4dx = ∫0
-2zx +c1+ 3 z 2
2+c2 -4z + c3 +4x + c4 = c
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-2(x+y) x + 3(x+ y)2
2 – 4(x+y) + 4x = k
2) Resolver : (x+y)2y’ = a2
Solucion:(x+y)2y’ = a2...................(I)Sea: z = x+y dz = dx+dy
dzdx
= 1+dydx
dydx =
dzdx – 1……………… (II)
Reemplazando en (I)
(x+y)2 (dzdx
– 1) = a2
Z2 (dzdx
– 1) = a2
∫z 2
a 2+z2 dz = ∫dx
Z – a.arctg (za
) = x + k
X + y – a.arctg (x+ y
a) = x + k
y – a.arctg (x+ y
a) = k
3) Resolver: y’ = cos2 (ax+by+c) / a ≠ b, a y b son constantes positivas.
Solucion:Sea: z = ax+by+c , y’= cos (ax + by + c)…….. (I)dzdx = a + b
dydx
dzdx - a = b
dydx
(dzdx
– a) 1b
= dydx
……………. (II)
Remplazando (II) en (I)
(dzdx
– a) 1b
= Cos2 (z)
dzdx
1b -
ab = Cos2z
dzdx - a = b Cos2z
dzdx = bCos2z + a
∫ dzbCos2 z+a
=∫dx
∫ dz(√b Cosz )2+¿¿
¿ = ∫dx
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1√a
arctg (√bCosz√ a
¿+ C1 = C2
1√ a × arctg (
√ b√ a Cos (ax + by + c)) ¿ x + k
4) Resolver : y’+1= ( x+ y )m
( x+ y )n+(x+ y) p
Solucion:y’ + 1 = ¿¿ ………….. (I)Sea: z = x+y dz = dx+dy
dzdx
= 1+dydx
dydx =
dzdx – 1……………… (II)
Reemplazando en (I)
(dzdx
– 1) + 1= zm
zn+z p dzdx
= zm
zn+z p
∫ (zn+z p
zm ) dz = ∫ dx
∫ (zn-m + zp-m) = ∫ dx( z )n−m+1
n−m+1 +
( z ) p−m+1p−m+1
= x+k
(p-m+1)(x+y)(n-m+1) + (n-m+1) (x+y)(p-m+1) = (x+k) (p-m+1)(n-m+1)
5) Resolver : xy2(xy’+y) = a2
Solucion:xy2 (xy’+y) = a2…………….. (I)xy2y’ + xy3 = a2
Sea: z=xy y = zx
y’ = x dz
dx−z
x2 …………. (II)
Reemplazando (II) en (I):
z2x
(x x dz
dx−z
x2 +
zx
) = a2, simplificando
z2dz = a2xdx, integrandoz33
+ c = a2 x22
+ c1
2x3y3 = 3a2x2 + k
6) Resolver : (lnx+y3)dx - 3xy2dy = 0
Solucion:
Sea: z = lnx +y3 dzdx
= 1x
+ 3y2y’, de donde 3xy2y’ = xdzdx
– 1
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Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: z – (xdzdx
– 1) = 0
(z+1) - xdzdx
= 0, separando las variables:
dxx -
dzz+1 = 0, integrando se tiene: lnx – ln (z+1) = lnc x = c (z+1)
z+1 = kx lnx + y3 + 1 = kx , donde k= 1c
y3 = kx – lnx – 1
7) Resolver : y’ = tan(x+y) – 1
Solucion:
Sea: z = x+y dzdx
= 1 + dydx
Reemplazando en la ecuación diferencial:dzdx - 1 = tanz - 1
dzdx = tanz ,
dztanz = dx, ctgzdz = dx
Integrando:Ln (senz) + c1 = x + c2
Ln(sen(x+y)) = x + k ex +k = sen(x+y)
8) Resolver : (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0
Solucion:
Sea: z = 3x+2y dzdx
= 3 + 2 dydx
dy = dz−3dx
2Reemplazando en la ecuación diferencial:
(2z+3) dx + (z+2) (dz−3 dx
2 ) = 0
Simplificando y separando las variables:
Dx + z+2
z dz = 0
Integrando ambos miembros:z + 2lnz + x = c4x + 2y + 2ln (3x+2y) = c
9) Resolver : cos(x+y)dx – xsen(x+y)dx +xsen(x+y)dy
Solucion:
Sea: z = x+y dzdx
= 1 + dydx
dy = dz – dx
Reemplazando en la ecuación diferencial:Coszdx = xsenzdx + xsenz (dz-dx)Simplificando y separando las variables:dxx = tanzdz
Integrando miembro a miembro:xcos(x+y) = c
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10) Resolver : y(xy+1)dx + x(1+xy+x2y2)dy=0
Solucion:
Sea: z = xy dzdx
= y + x dydx
dz = zx
dx + xdy
zx
(z+1)dx + x(z+1+z 2)(xdz – zdx )
x 2 = 0
Simplificando y separando las variables:
(z 2+ z)
z 3 dz +
dzz3
= dxx
Integrando miembro a miembro:Lnz +c1+ lnz2 + c2+ lnz3+ c3
= lnx + cLn(xy) + ln(xy)2 + ln(xy)3 = lnx +k
11) Resolver : (y-xy2)dx – (x+x2y)dy=0
Solucion:
Sea: z = xy dzdx
= y + x dydx
dz = zx
dx + xdy
Reemplazando en la ecuación diferencial:
(zx
- z2x
) dx – (x+zx) (xdz−zdx
x2) = 0
Simplificando y separando las variables:
2dxx
= (z+1)
z dz
Integrando:2lnx + c1 = z + lnz + c2
2lnx – ln (xy) –xy = k
12) Resolver : (1-xy+x2y2)dx + (x3y-x2)dy=0
Solucion:
Sea: z = xy dzdx
= y + x dydx
Reemplazando en la ecuación diferencial:
(1+z2-z) dx + (zx2 – x2)(xdz – zdx )
x 2 = 0
Simplificando y separando las variables:dxx +
zxx dz -
xdxx = 0
Integrando:
Ln x + x2 y2
2– xy = k
13) Resolver : cosy’=0
Solucion :
Como : cosy’=0 y’ = arccosα = π2
(2n+1)
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dydx =
π2 (2n+1) dy =
π2 (2n+1) dx
Integrando:
y = π2
(2n+1) x + k
14) Resolver : ey’=1
Solucion:Como: ey’=1 y’ = 0Integrando:y = c
15) Resolver : lny’=x
Sol:ex = y’ dy = exdx Integrando:y = ex+ c
16) Resolver : x2y’cosy+1=0/ y=16π3
; x ∞
Solucion:
y’Cosy + 1
x2 = 0 , de donde : cosydy +
dxx2
= 0
integrando:
seny - 1x
= c , como y=16π3
cuando x ∞
c = sen (16π3
)
Seny - 1x
= sen (16π3
)
17) Resolver : tgy’=x
Sol:Como tgy’ = x y’ = arctgx + nπ, n ∈ Ndy = (arctgx + nπ)dx Integrando:2y = 2xarctgx – ln(x2+1) + 2nπx + c
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 03
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ECUACIONES DIFERENCIALES
I) FUNCIONES HOMOGENEAS
Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas1)f ( x , y )=x2 y−4 y3
Solución:f ( λx , λy )=( λx )2 ( λy )−4 ( λy )3
f ( λx , λy )=λ3 (x2 y−4 y3 )f ( λx , λy )=λ3 f (x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 3
2)f ( x , y )= y2 tan (x / y )
Solución:
f ( λx , λy )=( λy )2 tan (λx / λy)f ( λx , λy )=λ2 ( y2 tan (x / y))f ( λx , λy )=λ2 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 2
3)f ( x , y )=3√ x3− y3
Solución:
f ( λx , λy )=3√ ( λx )3−( λy )3
f ( λx , λy )=λ ( 3√x3− y3 )f ( λx , λy )=λf ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 1
4)f ( x , y )= x2− y2
xy
Solución:
f ( λx , λy )= ( λx )2−( λy )2
( λx ) ( λy )
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
f ( λx , λy )=λ0( x2− y2
xy )f ( λx , λy )=λ0 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 0
5)f ( x , y )=x2+senxcosy
Solución:f ( λx , λy )=( λx )2+sen ( λx ) cos ( λy )f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea
6)f ( x , y )=ex
Solución:f ( λx , λy )=e λx
f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea
7)f ( x , y )=exy
Solución:
f ( λx , λy )=eλxλy
f ( λx , λy )=λ0(exy )
f ( λx , λy )=λ0 f ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 0
8)f ( x , y )=(x2− y2 )3 /2
Solución:
f ( λx , λy )=( ( λx )2− ( λy )2)3/2
f ( λx , λy )=λ3(exy )
f ( λx , λy )=λ3 f (x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 3
9)f ( x , y )=x−5 y−6
Solución:f ( λx , λy )=λx−5 ( λy )−6f ( λx , λy )≠ λn f (x , y )⇒La f ( x , y )no es homogénea
10)f ( x , y )=xsen ( x / y )− ysen (x / y)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:f ( λx , λy )=( λx ) sen ( λ x / λy )− ysen(λx / λy )f ( λx , λy )=λ (xsen (x / y )− ysen(x / y ))f ( λx , λy )=λf ( x , y )⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 1
II) Si M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 es homogénea, demostrar que y=vx se separan las variables
Solución:Debido a que M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 ……………………………………………… (#)Es homogénea se cumple que:M ( λx , λy )=λk M ( x , y ) Y N ( λx , λy )= λk N (x , y )…………………………………… (1)
Haciendo que λ=1x
……………………………………………………………………….. (2)
Reemplazando (2) en (1)
M (1 , yx )= 1
xk M ( x , y )⇒M ( x , y )=xk M (1 , yx )
M (x , y )=xk M (1, yx )=xk M (1 , v )=xk G (v ) donde v= y
x ……………………….…. (3)
N (1 , yx )= 1
xk M ( x , y )⇒N ( x , y )=xk N (1 , yx )
N ( x , y )=xk N (1 , yx )=xk (1 , v )=xk T ( v ) dondev= y
x …………………………….. (4)
Ahora como y=xv ⇒dy=vdx+xdv………………………………………………..(5)Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos:..
xk G ( v )dx+xk T (v ) (vdx+xdv )=0Simplificando y agrupando obtenemos:
dxx+ T (v )
G (v )+vT (v )du=0
III) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas1)(x3+ y3 )dx−3 x y2 dy=0
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 3: y=ux ⇒dy=udx+xdu………………………………(α)Reemplazando (α) en la ecuación original
(x3+(ux )3 )dx−3 x (ux )2 (udx+xdu )=0x3 (1+u3−3u3 )dx−3 x4 u2 du=0dxx− 3 u2 du
1−2u3=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
∫ dxx−∫ 3 u2 du
1−2u3=k
lnx+2 ln (1−2u3 )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
lnx+2 ln(1−2( yx )
3)=k
Levantando el logaritmo obtenemos:
(1−2( yx )
3
)2
x=c
2)xdy− ydx−√x2− y2dx=0
Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original
x (udx+xdu )−uxdx−√ x2−(ux )2 dx=0x ( xdu+udx−udx−√1−u2dx )=0xdu−√1−u2 dx=0
∫ du√1−u2
−∫ dxx=k
arcsen (u)−lnx=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
arcsen yx−lnx=k
3)(2 xsenh( yx )+3 ycosh ( y
x ))dx−3 xcosh ( yx )dy=0
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (2 xsenh (u )+3 uxcosh (u ) )dx−3 xcosh (u ) (udx+xdu )=0x (2 senhudx+3ucoshudx−3ucoshudx−3 xcoshudu )=0
∫ 2 dxx
−∫ 3 coshu dusenhu
=k
2 lnx−ln ( senhu )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
2 lnx−3 ln (senh ( yx ))=k
4)(2 x+3 y ) dx+( y−x ) dy=0
Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original
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ECUACIONES DIFERENCIALES
(2 x+3ux ) dx+ (ux−x ) (udx+xdu )=0x (2dx+3udx+u2 dx−udx+uxdu−xdu )=0(2+2 u+u2 )dx+x (u−1 ) du=0
∫ dxx+∫ (u−1 )du
(2+2 u+u2 )=k
lnx+¿ ln(y/x)+2 xy+1
= k
5)(1+2 exy )dx+2 e
xy (1− x
y )dy=0
Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 0:x=uy ⇒dx=udy+ ydu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (1+2 eu ) (udy+ ydu )+2 eu (1−u ) dy=0udy+ ydu+2 euudy+2 eu ydu+2eu dy−2 euudy=0(u+2 eu )dy+( y+2 eu y )du=0
∫ dyy+1
+∫ (1+2 eu )duu+2eu =k
ln ( y+1 )+ ln (u+2eu )=k( y+1 ) (u+2 eu )=c………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
( y+1 )( xy+2e
xy )=c
6)(x2+3 xy+ y2)dx−x2 dy=0
Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 2:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (x2+3 x ( xu )+( xu )2) dx−x2 (udx+xdu )=0x2 (u2+2u+1 )dx−x3 du=0
∫ dxx−∫ du
(u+1 )2=c
lnx+ 1u+1
=c………………………………………………..(*)
Reemplazando (α) en (*)
lnx+ xy+x
=c
7)( y+√ y2−x2 )dx−xdy=0Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original
( xu+√ ( xu )2−x2 )dx−x (udx+xdu )=0x √u2−1dx−x2 du=0
∫ dxx−∫ du
√u2−1=k
lnx−ln (u+√u2−1 )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
2cy=c2 x2+1
8)( x− ylny+ ylnx ) dx+ x ( lny−lnx ) dy=0
Solución:Transformamos la ecuación diferencial:
(x− yln ( yx ))dx+x ( ln( y
x ))dy=0
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original (x−xuln (u ) ) dx+x (ln (u ) ) (udx+xdu )=0dx+x lnudu=0
∫ dxx+∫ lnudu=k………………………………………………..(*)
Reemplazando (α) en (*)( x− y ) lnx+ ylny=cx+ y
9)(x− yarctan ( yx))dx+xarctan( y
x )dy=0
Solución:La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original ( x−xuarctan (u))dx+xarctan (u ) (udx+ xdu )=0dxx+arctanudu=0
∫ dxx+∫ arctanudu=k
lnx+uarctanu−12
ln (1+u2 )=k………………………………………………..(*)
Reemplazando (α) en (*)
lnx+ yx
arctan ( yx )−1
2ln(1+( y
x )2
)=k
2 yarctan( yx )=xln( x2+ y2
x4 )c10)x e
xy dx+ y e
yx dy=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original
x e1u dx+xueu (udx+ xdu )=0
(e1u+u2 eu)dx+ux eudu=0
dxx+ euudu
e1u+u2eu
=0
∫ dxx+∫ eu udu
e1u+u2 eu
=0
lnx=−∫a
yx
eu udu
e1u+u2 eu
11)( ycos ( yx )+xsen( y
x ))dx=cos ( yx )dy
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 1:y=ux ⇒dy=udx+xdu…………………………..……… (α)Reemplazando (α) en la ecuación original ( xucos (u )+ xsen (u ) )dx=cos (u ) (udx+xdu )senudx=xcosudu
∫ dxx−∫ctgudu=k
lnx−ln (senu )=k………………………………………………..(*)Reemplazando (α) en (*)
lnx−ln(sen( yx ))=k
x=csen ( yx )
IV) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS
Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas
1)(2 x−5 y+3 ) dx−(2 x+4 y−6 ) dy
Solución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k
{2 x−5 y+3=02 x+4 y−6=0 Resolviendo x=1 , y=1⇒h=1 , k=1
x=z+1 , y=w+1 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando (α) en la ecuación diferencial(2 ( z+1 )−5 (w+1 )+3 )dz−(2 ( z+1 )+4 (w+1 )−6 ) dw(2 z−5 w )dz− (2 z+4 w ) dw………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(2 uw−5 w ) (wdu+udw )+(2uw+4 w ) dw=0(2 u2−3 u+4 )dw+(2u−5 ) wdu=0
∫ dww
+∫ (2 u−5 )du(2u2−3 u+4 )
=k
lnw+12 ln (2u2−3u+4 )−7
2 ( 2√23
arctan ( 4 u−3√23 ))=k
………………………………………………………………. (θ)
Como z=uw ⇒ u= zw= x−1
y−1Reemplazando en (θ)
ln ( y−1 )+ 12
ln(2( x−1y−1 )
2
−3( x−1y−1 )+4)− 7
2 ( 2√23
arctan ( 4 ( x−1y−1 )−3
√23 ))=c
2)( x− y−1 )dx+( 4 y+x−1 ) dy
Solución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k
{ x− y−1=04 y+x−1=0 Resolviendo x=1 , y=0⇒h=1 , k=0
x=z+1 , y=w Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z−w ) dz+ ( z+4 w ) dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(uw−w ) (wdu+udw )+ (uw+4 w ) dw=0(u2+4 )dw+ (u−1 ) wdu=0
∫ dww
+∫ (u−1 ) du
( (u2+4 ))=k
lnw+12
ln (u2+4 )+ 12
arctan (u2 )=k………………………………………………………………. (θ)
Como z=uw ⇒ u= zw= x−1
yReemplazando en (θ)
lny++12
ln(( x−1y )
2
+4)+12
arctan( x−12 y )=k
3)( x−4 y−9 ) dx+( 4 x+7−2 )dy
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k
{x−4 y−9=04 x+7−2=0 Resolviendo x=1 , y=−2⇒h=1 ,k=−2
x=z+1 , y=w−2 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z−4w ) dz+( 4 z+w )dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:z=uw⇒ dz=wdu+udw………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)(uw−4 w ) (wdu+udw )+( 4 uw+w ) dw=0(u2+1 )dw+ (u−4 ) wdu=0
∫ dww
+∫ (u−4 ) du
( (u2+1 ))=k
ln w2 (u2+1 )−8arctanu=k………………………………………………………………. (θ)
Como z=uw ⇒ u= zw= x−1
y+2Reemplazando en (θ)
ln [ ( x−1 )2+( y+2 )2 ]−8 arctan( x−1y+2 )=k
4)( x− y−1 )dy−( x+3 y−5 ) dxSolución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:x=z+h , y=w+k
{ x− y−1=0x+3 y−5=0 Resolviendo x=2 , y=1⇒h=2, k=1
x=z+2 , y=w+1 Ademásdx=dz ,dy=dw ………………………… (α)Reemplazando (α) en la ecuación diferencial( z+3 w )dz+( z−w ) dw=0………………………………………………………………(𝛌)Es una ecuación homogénea de grado 1:w=uz⇒dw=zdu+udz………………………………………………………………..(*)Reemplazando (*) en (𝛌)( z+3uz )dz+( z−uz ) ( zdu+udz )=0(u2+2 u+1 )dz+z (u−1 ) du=0
∫ dzz+∫ (u−1 )du
(u2+2 u+1 )=k
lnz+ ln (u+1 )+ 2u+1
=k………………………………………………………………. (θ)
Como w=uz ⇒ u=wz= y−1
x−2Reemplazando en (θ)
lnc ( x+ y−3 )=−2( x−2x+ y−3 )
5)4 x y2 dx+ (3x2 y−1 )dy
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:
Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial 4 x z2α dx+(3 x2 z2 α−1−zα−1) αdz=0…………………………………….. (1)Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:2α+1=α−1⇒α=−2⇒ y=z−2⇒dy=−2 z−3 dzReemplazando en la ecuación diferencial4 x z−4 dx+(3 x2 z−5−z−3 )−2dz=04 xzdx−2 (3 x2−z2)dz=0 Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2z=ux⇒dz=xdu+udx……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial4 x2 udx−2 (3 x2−(ux )2) ( xdu+udx )=0 De donde simplificando y separando la variable se tienedxx+ u2−3
u3−udu=0, integrando se tiene
∫ dxx+∫ u2−3
u3−udu=c
lnx+3 lnu− ln (u2−1 )=c
Como u= zx
, y=z−2 se tiene: y (1−x2 y )2=k
6)( y4−3 x2) dy=−xydxSolución:Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial ( z4 α−3 x2 )α zα−1 dz=−x zα dxPara que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:
α+1=5α−1=α+1⇒α=12
( z2−3 x2 ) 12
z−1
2 dz=−x z12 dx Simplificando
2 xzdx+ ( z2−3 x2 )dz=0……(3) es una ecuación diferencial homogénea de grado 2z=ux⇒dz=xdu+udx……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial
∫ dxx+∫ u2−3
u3−udu=c
⇒ lnx+ ln( u3
u2−1 )=c
Como u= y2
x se tiene lnx+ ln( ( y2
x )3
( y2
x )2
−1 )=c
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ECUACIONES DIFERENCIALES
7) ycosxdx+(2 ysenx ) dy=0Solución:z=senx⇒ dz=cosxdx ,Reemplazo en la ecuación diferencia dad se tiene:ydz+ (2 y−z ) dy=0 ……(1) es una ecuación diferencial homogéneas de grado 1y=uz⇒dy=udz+zdu………. (2)Reemplazando y simplificando (2) en (1)dzz+ 2u−1
2u2 du=0
∫ dzz+∫ 2 u−1
2u2 du=0 Integramos
2 ylny+senx=2 cy
8)(2 x2+3 y2−7 ) xdx−(3 x2−2 y2−8 ) ydy=0Solución:Sea u=x2⇒du=2 xdx ,v= y2⇒ dv=2 ydy………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial
(2 u+3v−7 ) du2− (3u+2 v−8 ) dv
2=0
{2u+3 v−7=03u+2 v−8=0
⇒ p (2,1 )
Sean u=z+2 , v=w+1reemplazando
(2 z+3 w ) dz−(3 z+2 w ) dw=0Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:w=zn⇒ dw=zdn+ndz……………………………………………………………….. (*)Reemplazando (*) En la ecuación diferencial
∫2 dzz+∫ 2n+3
n2−1dn=k
⇒ lnz2 (n2−1 )+32
ln|n−1n+1 |=k
Como n=wz
, w=v−1= y2−1 , z=u−2=x2−2se tiene
ln|y 4−x4+4 x2−2 y2−3|+ 32
ln| y2−x2+1y2+x2+3|
9)dy=( y−4 x )2dxSolución:z= y−4 x⇒dz=dy−4 dx⇒ dy=dz−4 dx………………………. (1)Reemplazando (1) en la ecuación diferencialdz−4dx=z2 dxdz= ( z2−4 )d x
∫ dzz2−4
−∫dx=k
14
ln|z−2z+2|−x=k
Asiendo en cambio de variable respectivo la solución será:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
14
ln| y−4 x−2y−4 x+2|−x=k
10)tan2 ( x+ y ) dx−dy=0Solución:z=x+ y⇒dz=dx+dy⇒ dy=dz−dx……………………………………(1)Reemplazando (1) en la ecuación diferencialsen2 (z ) dx−cos2 (z ) (dz−dx )=0sen2 (z ) dx+cos2 ( z ) dx−cos2 ( z ) dz=0dx−cos2 ( z )dz=0∫ dx−∫ cos2 ( z ) dz=kx−z+cos (2 z )=kx−( x+ y )+cos2 ( x+ y )=k− y+cos2 ( x+ y )=k
11)(2+2x2 y12 ) ydx+( x2 y
12+2) xdy=0
Solución:Sea y=zα⇒dy=α zα−1dz………………………………. (θ)Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial
(2+2 x2 zα2 ) zα dx+(x2 z
α2+2)x α zα−1 dz=0
(2 zα+2 x2 z3 α2 )dx+(α x3 z
3 α2 −1
+2 x α zα−1)dz=0
α=2+ 3α2⇒α=−4⇒ y=z−4⇒dy=−4 z−5 dz
(2 z−4+2 x2 z−6 )dx+(−4 x3 z−7−8 x z−5 )dz=0
(1+( xy )
2)dx+(−2( xy )
3
−4 xy )dz=0………………………………………………………………(𝛌)
x=uz⇒dx=zdu+udz………………………………………………………………..( )𝝫Reemplazando ( ) en (𝝫 𝛌)(1+(u )2) (zdu+udz )+(−2 (u )3−4 u)dz=0(1+u2 ) zdu+(−3u−u3 )dz=0(1+u2 )du(−3u−u3 )
+ dzz=0
∫ (1+u2)du(−3u−u3 )
+∫ dzz=k
−13
ln (−3 u−u3 )+lnz=k
Reemplazando u=x y1 /4
−13
ln (−3x y1/4−(x y1 /4 )3 )+lnz=k
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 04
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
I) Ecuaciones diferenciales exactas :
Resolver las siguientes ecuaciones:1) (4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0
Solucion:(4x3y3 – 2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy = 0
M(x, y) N(x, y)∂ M (x , y)
∂ y = 12x3y2 – 2x =
∂ N (x , y )∂ x
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 4x3y3 – 2xy
f(x, y) = ∫ (4x3y3 – 2xy)dx + g(y)f(x,y) = x4y3 – x2y + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = 3x4y2 - x2 + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 3x4y2 – x2
3x4y2 - x2 + g’(y) = 3x4y2 – x2 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x4y3 – x2y + cx4y3 – x2y = k
2) (3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0
Solución: (3e3xy – 2x)dx + e3xdy = 0
M(x, y) N(x, y)∂ M (x , y)
∂ y = 3e3x =
∂ N (x , y )∂ x
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 3e3xy – 2x
f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)f(x,y) = ye3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = e3x + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = e3x
e3x + g’(y) = e3x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = ye3 x – x2 + cye3 x – x2 = k
3) (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0
Solución:
(cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0
M(x,y) N(x,y)∂ M (x , y)
∂ y = -seny + cosx =
∂ N (x , y )∂ x
. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 3e3xy – 2x
f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)f(x,y) = ye3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = e3 x + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = e3x
e3x + g’(y) = e3x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = ye3 x – x2 + cye3 x – x2 = k
4) 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0
Solución:
2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 2x ex2 = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 2x(yex2 – 1)
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
f(x, y) = ∫ (2x(yex2 – 1))dx + g(y)f(x,y) = y ex2 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = ex2 + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = ex2
ex2+ g’(y) = ex2 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = y ex2 – x2 + cyex2 - x2 = k
5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0
Solución:(6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 18x5y2 + 20x3y4 = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 6x5y3 + 4x3y5
f(x, y) = ∫ (6x5y3 + 4x3y5)dx + g(y)f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 3x6y2 + 5x4y4
3x6y2 + 5x4y4 + g’(y) = 3x6y2 + 5x4y4 g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x6y3 + x4y5 + cx6y3 + x4y5 = k
6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0
Solución:(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 3 = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 2x3 + 3y
f(x, y) = ∫ (2x3 + 3y)dx + g(y)
f(x,y) = x 42
+ 3xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂ f (x , y)∂ y
= 3x + g’(y), pero como: ∂ f (x , y)
∂ y = N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 3x + y – 13x + y – 1 + g’(y) = 3x + y – 1 g’(y) = 0 g(y) = c
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
f(x,y) = x 42
+ 3xy + c
x4 + 6xy + y2 = k
7) (y2 exy 2 + 4x3)dx + ( 2xyexy 2 - 3y2)dy = 0
Solución: (y2 exy 2 + 4x3)dx + ( 2xyexy 2 - 3y2)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 2yexy 2+ 2xy3exy 2= ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= y2 exy 2 + 4x3
f(x, y) = ∫ (y2 exy 2 + 4x3)dx + g(y)f(x,y) = exy 2 + x4 + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = exy 22xy + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 2xyexy 2 - 3y2
exy 22xy + g’(y) = 2xyexy 2 - 3y2 g’(y) = - 3y2 g(y) = - y3
f(x,y) = exy 2 + x4 - y3
8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0
Solución:(2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 4xy + 2 = ∂ N (x , y )
∂x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 2xy2 + 2y
f(x, y) = ∫ (2xy2 + 2y)dx + g(y)f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = 2x2y + 2x + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 2x2y + 2x2x2y + 2x + g’(y) = 2x2y + 2x g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y2+ 2xy + c
x2y2+ 2xy = k
9) (exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0
Solución:(exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= excosy – 2senx = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= exseny – 2ysenx
f(x, y) = ∫ (exseny – 2ysenx)dx + g(y)f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = excosy +2cosx + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = excosy + 2cosx excosy +2cosx + g’(y)= excosy + 2cosx g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = exseny + 2ycosx + c
exseny + 2ycosx = k
10) (2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0
Solución:(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= 6xy2 + cosx = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= 2xy3 + ycosx
f(x, y) = ∫ (2xy3 + ycosx)dx + g(y)f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = 3x2y2 + senx + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = 3x2y2 + senx 3x2y2 + senx + g’(y) = 3x2y2 + senx g’(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y3 + ysenx + c
x2y3 + ysenx = k
11) (Seny + ysenx + 1x
)dx + (xcosy – cosx + 1y
)dy = 0
Solución:
(Seny + ysenx + 1x
)dx + (xcosy – cosx + 1y
)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
∂ M (x , y)∂ y
= senx + cosy = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= Seny + ysenx + 1x
f(x, y) = ∫ (Seny + ysenx + 1x
)dx + g(y)
f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = xcosy – cosx + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = xcosy – cosx + 1y
xseny – ycosx + lnx + g’(y) = xcosy – cosx + 1y
g’(y) = 1y
g(y) = lny
f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + lny
12) (y
1+ x2 + arctgy)dx + (
x1+ y2
+ arctgx) dy= 0
Solución:
(y
1+ x2 + arctgy)dx + (
x1+ y2
+ arctgx)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M (x , y)∂ y
= y
1+ x2 + x
1+ y2 = ∂ N (x , y )
∂ x. Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
Entonces ∃ f(x, y) / ∂ f (x , y)
∂x = M(x, y), de donde:
∂ f (x , y)∂ x
= y
1+ x2 + arctgy
f(x, y) = ∫ (y
1+ x2 + arctgy dx + g(y)
f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a “y”.∂ f (x , y)
∂ y = arctgx +
x1+ y2 + g’(y), pero como:
∂ f (x , y)∂ y
= N(x,y)
Se tiene: N(x, y) = x
1+ y2 + arctgx
arctgx + x
1+ y2 + g’(y) = x
1+ y2 + arctgx g’(y) = 0 g(y) = c
f(x,y) = yarctgx + xarctgy + cyarctgx + xarctgy = k
II) Factores Integrantes
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0
Sol:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0
M N∂ M (x , y)
∂ y = 2y ;
∂ N (x , y )∂x
= y
∂ M (x , y )∂ y
−∂ N (x , y )∂ x
N (x , y ) = f(x)
e∫f(x)dx es un fi2 y− y
xy = 1x
e∫1x dx es fi = elnx = x
x(x2 + y2 + x)dx + x2ydy M N∂ M (x , y)
∂ y = 2xy =
∂ N (x , y )∂ x
la ecuación diferencial es exacta.
Entonces :∂ f (x , y)
∂ x = M(x,y)
f(x,y) = x 44 +
x2 y22 +
x33 + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los
problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.∂ f (x , y)
∂ y = x2y + g’(y)
3x4 + 6x2y2 + 4x3 = k
2) (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
Sol:(1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
M N∂ M (x , y)
∂ y = - x2 ;
∂ N (x , y )∂ x
= - 3x2 + 2xy
∂ M (x , y )∂ y
−∂ N (x , y )
∂ xN (x , y )
= f(x)
e∫f(x)dx es un fi−x2+3 x2−2xy
x 2( y – x ) = - 2x
e∫- 2x dx es fi =
1x2
(1
x2¿ (1 – x2y)dx +
1x2x2(y – x)dy = 0
M N
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
∂ M (x , y)∂ y
= -1 = ∂ N (x , y )
∂ x la ecuación diferencial es exacta.
Entonces :∂ f (x , y)
∂ x = M(x,y)
f(x,y) = - 1x - xy + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los problemas
anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.∂ f (x , y)
∂ y = -x + g’(y)
xy2 - 2x2y - 2= kx
3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0
M N
∂M∂ y
=8 y3 xe4+2 xy4 e4+6 y2+1
∂M∂ y
=2 xy 4 ex−2 xy 2−3
(8 y3 xe4+2xy 4ey+6 y2+1−2 xy4 ex+2 xy2+3 )(2 xy 4 e4+2 xy3+ y )
=−4y=g( y )
e∫ g(x )= e−∫ 4 dy
y = 1y4
Luego:
1y4
(2 xy4 y4 e4+2 xy3+ y )dx+ 1y 4
( x2 y4 e4−x2 y2−3 y ) dy=0
M N
∂M∂ y
=2xe y−2 xy−2−3 y−4=∂N∂ x
=2 xe y−2 xy−2−3 y−4
∂ f ( x , y )∂ y
=M
f ( x , y )=∫(2 xe y+2xy
+1y3
)dx+g( y )
¿ x2e y+−x2
y+x
y3 +g( y )
N=∂ f ( x , y )
∂ y=x2e y−−3 x
y4 +g '( y )=x2 e y− x2
y2−3 xy4
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x2 e y+x2
y+x
y3 +C
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ECUACIONES DIFERENCIALES
4)
yx
dx+( y3−Lnx ) dy=0
M N
∂M∂ y
=1x≠ ∂N
∂ y=−1
x∂M∂ y
=1x=2
y=g( y )
e∫ g( y )=e∫2
ydy=1
y2
Luego:
1y2
. yx
dx+ 1y2
( y3−Lnx ) dy=0
M N
∂M∂ y
=−1y2 x
=∂ N∂ x
=−1y2 x
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(dxyx
+g( y )
¿ Lnxy
+g( y )
N=∂ f ( x , y )
∂ y=Lnx
y2 +g '( y )= y−Lnxy2
g '( y )= y⇒ g( y )=y2
2+C
∴ f ( x , y )=Lnxy
+ y2
2+C
5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0
M N
∂M∂ y
=4 yx 3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2≠∂M∂ y
=4 xy+2
(4 y3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2−4 xy−2(2 xy 3+ x2+x2 y+x )
=4 x ( y2+x+ y3 )2( y3+x2 y+x )
=x=f ( x )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
e∫ g( x )=e∫2 xdx=ex2
Luego: ex2(2 xy3 y2+4 x2 y+2 xy2 d+xy4 x+2 y ) dx+2 ex2
( y3+x2 y+x )dy=0
MN
∂M∂ y
=4 ex2 x3 y+4 ex 2 xy−4 ex 2x3 y3+2 ex2
∂N∂ y
=4 ex 2 x3 y+4 e x2 x2−4 e x2 xy+4 ex2 xy 3+2e x2
∂f ( x , y )dx
=M
f ( x , y )=∫(2ex2 y3+2ex2 x2 y3+2 ex2) dy+h( x )
¿ex 2 y4
2+ex 2 x2 y2+2 xex 2 y+h ( x )
M=∂ f ( x , y )
∂ x= ex 2 y4
2+ex 2 x2 y2−2 xee 2 y+h' ( x )=2 x3 ex 2 y2+4 ex2 x2 y+2 ex 2 xy2+ex 2 xy4+2 ex2 y
h ' ( x )=−ex2 y4
2−ex2 x2 y2−2 xee 2 y+2ex 2 x3 y2+4 ex 2 x2 y+2ex 2 x3 y2+e x 2 xy4+2 ex2 y
h (x )=−ex 2 y4
2−ex 2 y2
2+e x2 y2
2 x−ex 2 y+ex 2 x2 y2
2−3 e x2
4+2e x2 xy−2 ex 2
x+ex2 y
+e x2 y4
2+ex2 y
x
∴ f ( x , y )= ex2 y4
2+e
x 2y2+2 xex 2 y+h( x )
6) (xCosy-yseny) dx + (xSeny-yCosy) dy = 0
M N
∂M∂ y
=xCosy+Cosy− ySeny≠∂ N∂ x
=Cosy
xCosy+Cosy− ySeny−CosyxCosy− ySeny
=+1=f (x )
e∫ f (x )=e∫ dx=ex
Luego: ex2( xCosy− ySeny )dy+ex( xSeny− yCosy )dx=0
M N
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ECUACIONES DIFERENCIALES
∂M∂ y
=Cosyex x+ex Cosy−e x ySeny=∂N∂ x
=Cosyex x+ex Cosy−e x ySeny
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(ex xSeny+ex yCosy ) dy+g( y )¿ Senyex( x−1 )+ex yCosy+g( y )
N=∂ f ( x , y )
∂ y=Cosyex( x−1 )+e y Cosy . ehySeny+g '( y )=ex xCosy−ex ySeny
g’(y) = 0 g(y) = C
∴ f ( x , y )=Seny ex( x−1 )+e4 Cosy+C
7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0
M N
M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas
Luego:1
Mx+Ny= 1( x4+ y4 ) x−( xy 3 ) y
= 1xr
Entonces:1x5( x4+ y 4 ) dx− 1
x5( xy3 )dy=0
dfdx
dfdy
Integrando respecto a “x”:
f ( x , y )=Lnx− y4
4 x4+g( y )
N=∂ f ( x , y )
∂ y=− y3
x4 +g '( y )=− y3
x 4
g’(y) = 0 g(y) = C
∴ f ( x , y )=Lnx− y4
4 x 4 +C
8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.
Luego:
1y2 x+( x2−xy− y2 ) y
= 1y ( x2 y2)
Entonces:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y2dxy ( x2 y2 )
+( x2−xy− y2)y ( x2− y2 )
dy=0
∂Mdy
=x2+ y2
( x2 y2 )2=∂N
dx=x2+ y2
( x2 y2 )2
∂ f ( x , y )dx
=M
f ( x , y )=∫( yx2 y2 )dx+g( y )
f ( x , y )=12
Ln( x− yx ´+ y )+g( y )
N=∂ f ( x , y )
∂ y= −1
2( x− y )+ −1
2( x+ y )+g' ( y )=
(x2−xy− y2)y ( x2− y2)
g’(y) =
1y g(y) = Lny + C
∴ f ( x , y )=12
Ln( x− yx+ y )+Lny+C
10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0
(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0
∂Mdy
=4 xy+1∂Ndx
=1+4 xy−4 x3 y3
∂M∂ y
≠∂N∂ x
Usamos:∂M∂ y
−∂N∂ x
=N f ' (x )f ( x )
−M g ' ( y )g ( y )
4 x3 y3=( x+2x2 y−x 4 y3 )f ( x ' )f ( x )
−(2 xy2+ y ) g' ( y )g( y )
f ( x )'f ( x )
=−4x
→Lnf (x )=−4 Lnx f ( x )=x−4
g( y )'f ( x )
=−4x
→Lng( y )=−4Lnx g( x )= y−4
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ECUACIONES DIFERENCIALES
μ( x , y )= f ( x ). g( y )=1x4 . y4
M=1
x4.y 4
(2xy 2+ y )∂ M∂ y
=−2x3 y3 +
−3x4 y4
M=1
x4.y 4
(x+2 x2 y−x4 y3)∂N∂ x
=−2x3 y3 +
−3x4 y4
Ahora:∂M∂ y
=∂N∂ x∂+( x , y )∂ x
=1x4 y4 (2 xy2+ y )
f ( x , y )=∫(2 xy2+ y )x4 y 4
dx+g( y )=∫ d (−x−2
y2−−x−3
3 y3 )+g( y )
f ( x , y )=−x−2
y2 +−x−3
3 y3 +g( y )=−1x2 y2 −
13 y3 x3 +g( y )
∂ f ( x , y )∂ y
=2 x2 yx4 y4 +x
x4 y 4 +g ' ( y )
Pero:
∂ f ( x , y )∂ y
=N
2 x2 yx4 y4 + x
x4 y4 +g '( y )=xx4 y4 +
2x2 yx4 y 4 −x4 y3
x4 y 4
g '( y )=−1y
→ g( y )=Ln|y|+C
Reemplazamos:
f ( x , y )=− 1x2 y2
− 13 y3 x3
−Ln( y )+C
FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0
ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:−2
3
−23(xdy+ ydx )+2 x3 y2 dy = 0
… en:
1x3 y3
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ECUACIONES DIFERENCIALES
−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 x3 y2 dy = 0
−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 x3 y2 dy
x3 y3 = 0
−23( xdy+ ydx )x3 y3 +2 dy
y= 0
∫ d (1( xy )
2 .13 )+∫d (2 Lny )=C
13 . 1
( xy )2+2 Lny=C
2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0
xdx+ ydx( x2+ y2 )
+4 y 3( x2+ y2 )dy( x2+ y2 )
=0
xdx+ ydx( x2+ y2 )
+4 y3 dy=0
12
d ( x2+ y2 )( x2+ y2)
+ d ( y 4 )=0
∫12
d ( x2+ y2 )( x2+ y2 )
+ ∫d ( y4 )=0
12
Ln|x2+ y2 |+ y4=C
3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0
xdy− ydxx2 −
(1−x2 )x2 dx = 0
xdy− ydxx2 −(1
x2 −1 )dx = 0
∫ d (xy)+∫d ( x+1
x)=C
yx+ x+1
x=C
4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0
Sabemos que: xdx + ydx =
12
d ( x2+ y2 )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
xdy− ydx( x2+ y2 )2
+( x2+ y2)( x2+ y2)2
dx = 0
∫12
d ( x2+ y2 )( x2+ y2)
+∫dx=C
−12
1(x2+ y2)
+x=C
5)x(xdy+ydx) + √1−x2 y2 dx=0
x( xdy+ ydx )x√1−x2 y2
+ √1−x2 y2 dxx √1−x2 y2
=0
−12
x ( xdy+ ydx )
√1−x2 y2+−1
2x dx
x=0
∫ d (1−x2 y2)1/2 +∫ dxx=C
(1−x2 y2 )1/2+−Ln|x|
2=C
6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0
(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0
[( x2+ y2 )− yx ]dx+[ y
x( x2+ y2 )+1]dy=0
( x2+ y2 )dx− yx dx+ y
x ( x2+ y2 )dy+dy=0
( x2+ y2 )( xdx+ ydy )x +
( xdx− ydy )x =0
( x2+ y2 ) ( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )=0
( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )( x2+ y2)
=0
∫12 d ( x2+ y2 )+∫d (arc Tg( y
x ) )=C
12( x2+ y2 )+arc Tg( y
x)=C
10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
( x2+ y2 )( x2+ y2 )
( xdy+ ydx )−xy ( xdy− ydx )( x2+ y2)
=0
( xdy+ ydx )xy −
xy (xdy− ydx )xy (x2+ y2)
=0
( xdy+ ydx )xy
−( xdy− ydx )( x2+ y2)
=0
∫ d (Ln( xy )) −∫ d (arc Tg( yx) )=0
Ln( xy )−arc Tg ( yx )=C
11) xdy – ydx = x2√ x2− y2 dxxdy− ydx√x2− y2
=x2 √ x2− y2
√ x2− y2dx
xdy− ydx√x2− y2
−xdx=0
∫ d (arc Sen ( yx) )−∫d ( x2
2)=C
Arc Sen ( yx)−x2
2=C
12) x3dy – x2ydx = x5y dxxdy – ydx = x3y dx , para: x 0xdy− ydxxy
=x2 dx
dLn( yx)=( x3
3)
∫ dLn( yx)=∫ d (x3
3)+C
Ln( yx)=x3
3+C
13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0Multiplicamos por x2y
3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0 d(x3y3) + d(x4y3) = 0
∫ d (x3 y3 )+∫ d ( x4 y3 )=Cx3 y3+x4 y3=C
14) √ y2−1 (1− y √x2−1)dx+√x2−1 (1−x√ y2−1)dx=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
√ y2−1 y √ y2−1√x2−1 dx +√ x2−1 x √x2−1 . √ y2−1 dy=0√ y2−1+ √x2−1 −√ y2−1 √ x2−1 ( ydx+xdy )=0
Todo entre :1√ y2−1 √ x2−1
1dx√x2−1
+1 dy√ y2−1
−( ydx+xdy )=0
dx√x2−1
+ dy√ y2−1
−d (xy )=0
∫ dx√x2−1
+∫dy√ y2−1
−∫d ( xy )=C
Ln|x+√ x2−1|−Ln |y+√ y2−1|−xy=C
15)
dydx
=y (xy+1 )
y (1−x2)−2Para: x=1 , y=−2
y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dxydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydxydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dyydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy
ydy−d ( x2 y2
2 )=d( xy )
∫ ydy – ∫ d ( x2 y2 )
2=∫ d ( xy )+C
y2
2− y2 x2
2=xy+C
y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4
Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4
16) arseny dx +
x+2√1− y2 Cosy dy√1− y2
=0
arseny dx+ xdy√1− y2
+ 2Cosydy=0
d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0∫ d(x . arcseny) + ∫ 2Cosydy = Cx . Arcseny + 2Seny = C
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 05
Ecuaciones Lineales:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
1.dydx
+2 xy=4 x
y ¿e−∫2 x dx [∫ e∫2 xdx (4 x ) dx+c ]y ¿e−x2 [∫ ex2
( 4 x ) dx+c ]y ¿e−x2 [2e x2
+c ]y=2[1+ c
ex2 ]2. xdy
dx= y+x3+3 x2−2 x
dydx
− yx=x3+3 x2−2 x
y ¿e−∫− x−1 dx [∫e∫−x−1 dx (x3+3 x2−2x )dx+c ]
y=x [∫ 1x
( x3+3 x2−2 x )dx+c]
y=x [∫ (x2+3 x❑−2 )dx+c]
y=x [ x3
3+3 x2
2−2 x+c ]
3- ( x−2 ) dydx
= y+2(x−2) dydx
− y (x−2)−1=2(x−2)2
y=e−∫−(x−2)−1 dx [∫ e∫−( x−2)−1 dx (2(x−2)2 )dx+c ]y=(x−2)[∫(x−2)−1 (2(x−2)2) dx+c]
y=(x−2)[∫ (2(x−2)1) dx+c]y=(x−2)[x2−2 x+c ]
y=x3−4 x2+cx+4 x−2 c
4- dydx
+ yctg( x)=5ecos ( x) para: x=π/2 & y= -4
y ¿e−∫ctg (x)dx [∫e∫ctg (x)dx (5 ecos (x))dx+c ]y ¿e−ln (sen ( x ))¿
y ¿sen (x)−1[∫sen (x) (5 ecos (x ))dx+c]y ¿ sen (x)−1[−5ecos (x)+c]
y=−5 ecos (x)sen (x)−1+c s en(x)−1
−4=−5ecos (π /2)sen(π /2)−1+c sen (π /2)−1
Despejando C: −4=−5+c
c=1 La ecuación es: y=−5ecos (x)sen (x)−1+sen(x )−1
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
5- x3 dydx
+ (2−3 x2 ) y=x3 dydx
+( 2x3−
3x1 ) y=1
y=e−∫ ( 2
x3−3x1 )dx
[∫e∫ ( 2
x3 −3x1 )dx
(1 ) dx+c]y=ex−2
x3[∫ e−x−2
x−3 dx+c ]
y=ex−2
x3[ 12
e−x−2
+c]
y=x3 12+c ex−2
x3
6- ( x−ln ( y ) ) dydx
=− yln( y ) dydx
+x ( yln ( y ))−1= y−1
x=e−∫ ( yln ( y ))−1 dy [∫ e∫( yln ( y ))−1 dy ( y−1 )dy+c ]x=e− ln (lny )[∫ e ln (lny) ( y−1 )dy+c ]
x= 1lny
[∫ lny ( y−1 )dy+c ]
x= 1lny
[( lny)2
2+c ]
x=(lny )1
2+ 1
lnyc
7- dydx
−2 yctg (2 x )=1−2 xctg (2 x )−2 csc (2x )
y=e−∫−2 ctg (2 x ) dx[∫e∫−2ctg (2 x ) dx (1−2 xctg (2 x )−2csc (2 x ))dx+c ]y=e ln (sen (2 x ))[∫ e−ln (sen (2 x )) (1−2 xctg (2 x )−2 csc (2 x))dx+c ]
y=sen (2 x )[∫(csc(2 x)−2 xctg (2 x ) csc (2 x)−2 (csc (2 x ) )2)dx+c ]
y=sen (2 x )[ln|csc (2 x )−ctg (2 x )|
2+xcsc (2x )−
ln|csc (2 x )−ctg (2x )|2
+ctg (2x )+c ]
y=sen (2 x )[xcsc (2 x )+ctg (2 x )+c ]y=x+cos (2 x)+sen(2 x)c
8- dydx
+2 y=x2+2 x
y=e−∫2dx[∫e∫2 dx (x2+2 x )dx+c ]y=e−2 x [∫ e2 x (x2+2x )dx+c ]
y=e−2 x [e2 x ( x2+2 x )
2−1
2∫ e2 x (2 x+2 )dx+c ]
y=e−2x [e2 x ( x2+2 x )
2−1
2(( x+1 ) e2 x−∫ e2 x dx )+c ]
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
y=e−2x [e2 x ( x2+2 x )
2−1
2(( x+1 ) e2 x−∫ e2 x dx )+c ]
y=e−2 x [e2 x ( x2+2 x )
2−1
2(( x+1 ) e2 x−1
2e2 x)+c ]
y= x2
2+ x
2−1
2+c e−2 x
9- xln ( x ) dydx
− y=x3(3 ln ( x )−1) dydx
−(xln(x ))−1 y=( xln (x ) )−1( x3 (3 ln ( x )−1 ))
y=e−∫−(xln( x))−1 dx [∫ e∫−( xln(x))−1 dx ((xln ( x ))−1(x3 (3 ln ( x )−1 )))dx+c ]
y=e ln (ln (x ))[∫ e∫−ln (ln ( x ))dx ( (xln ( x ) )−1(x3 (3 ln ( x )−1 ))) dx+c ]
y=ln (x )[∫ (xln ( x ) )−1 ( (xln ( x ) )−1(x3 (3 ln ( x )−1 ))) dx+c ]y=ln (x )[∫ (xln ( x ) )−2 ( x3 (3 ln ( x )−1 ) )dx+c ]
y=ln (x )[ x3
ln (x)+c ]
y=x3+c . ln(x )
10- dydx
+Q ( x )´ y−Q (x ) Q (x ) ´=0 dydx
+Q ( x )´ y=Q (x ) Q (x ) ´
y=e−∫Q ( x ) ´ dx[∫e∫Q ( x )´ dx (Q ( x )Q ( x )´ )dx+c]y=e−Q ( x ) [∫ eQ ( x ) (Q ( x )Q ( x )´ )dx+c ]
y=e−Q ( x ) [eQ (x )Q ( x )−eQ ( x )+c ]y=Q ( x )−1+c e−Q ( x )
11-dydx
= 1xsen ( y )+2 sen(2 y )
dxdy
−xsen ( y )=2 sen(2 y)
x=e−∫−sen ( y ) dy[∫e∫−sen ( y )dy (2 sen(2 y ))dy+c ]x=e−cos ( y)[∫ ecos ( y) (2 sen(2 y ))dy+c]x=e−cos ( y)[ecos ( y )−ecos ( y)cos ( y )+c ]
x=1−cos ( y)+e−cos ( y)c
12- dydx
− yctg (x )=2 x−x2 ctg(x)
y=e−∫−ctg (x)dx [∫ e∫−ctg( x)dx (2 x−x2 ctg(x )) dx+c]y=e ln ∨ sen( x )∨¿ ¿¿
y=sen (x)[∫ csc(x )(2 x−x2 ctg( x))dx+c ]y=sen (x)[∫ csc (x )2 x−x2ctg(x )csc (x)dx+c ]
y=sen (x)[ x2csc (x )+c ]y=x2+csen (x)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Dato: y ( π2)= π
4
2
+1
x= π2
, c=1
Entonces la ecuación es : y=x2+sen(x )
13- (1+x2 ) ln (1+ x2 ) dydx
−2 xy=ln (1+x2 )−2 xarctg(x )
dydx
− 2 xy(1+x2 ) ln (1+x2 )
= 1(1+x2 )
−2xarctg (x)
(1+x2 ) ln (1+x2 )
y=e−∫ −2 x
(1+x2) ln ( 1+ x2 )dx
[∫ e∫ −2 x
(1+x2) ln (1+ x2 )dx( 1
(1+x2 )−
2 xarctg (x)(1+x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]
y=e ln ∨ln (1+x2)∨¿ ¿¿
y=ln (1+x2) [∫ 1ln (1+x2)( 1
(1+x2 )− 2 xarctg (x)
(1+ x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]
y=ln (1+x2)¿
y= ln (1+x2) [∫ dxln (1+x2 ) (1+x2 )
−∫ 2 xarctg ( x )(1+x2) ln (1+x2 )2
dx+c ]
y=ln (1+x2) [∫ dxln (1+x2 ) (1+x2 )
+arctg ( x )
ln (1+x2 )1−∫ dx
ln (1+x2) (1+x2 )+c ]
y= ln (1+x2) [arctg (x )
ln (1+x2 )1+c ]
y=arctg ( x )+ ln (1+x2)c
14- dydx
−2 xy=cosx−2xsenx
y=e−∫−2x dx [∫ e∫−2x dx (cosx−2 xsenx )dx+c ] y=ex2
[∫e x−2
(cosx−2 xsenx ) dx+c]y=ex2
[∫e x−2
co s x dx−∫ex−2
2xsenx dx+c]y=ex2
[senx . ex−2
+∫ ex−2
2 xsenx dx−∫e x−2
2 xsenx dx+c ]y=ex2
[senx . ex−2
+c ]y=senx+ex2
c
15- dydx
= 1ey−x
dxdy
+x=e y
x=e−∫ dy[∫e∫dy (e y) dy+c]x=e− y[∫e y (e y )dy+c ]
x=e− y[∫e2 y dy+c]
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ECUACIONES DIFERENCIALES
x=e− y[ e2 y
2+c ]
x= e y
2+e− y c
II.Ecuaciones de bernoulli:
1- dydx
− y=x y5 multiplicando por y−5 y−5 dydx
− y−4=x
multiplicando por -4 -4 y−5 dydx
− y−4=x
tomando y−4=z −4 y−5 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma :dzdx
+4 z=−4 x
z=e−∫ 4dx [∫ e∫ 4dx (−4 x )dx+c ]z=e− 4x [∫ e4 x (−4 x ) dx+c ]
z=e−4 x [ e4 x
4−xe4 x+c ]
z=14−x+ce− 4x
y− 4=14−x+ce−4 x
2- dydx
+2 xy+x y 4=0 dydx
+2 xy=−x y4 multiplicando por y−4
y−4 dydx
+2x y−3=−x multiplicando por -3 −3 y−4 dydx
−6 x y−3=−3 x
Tomando y−3=z −3 y−4 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
−6 xz=−3 x
z=e−∫−6x dx [∫ e∫−6 xdx (−3 x )dx+c ]z=e3 x [∫e−3 x (−3 x )dx+c ]
z=e3x [e−3 x+ e−3 x
3+c ]
z=1+ 13+e3 x c
y−3=1+ 13+e3 x c
3- dydx
+ 13
y=13(1−2x ) y 4 multiplicando por y− 4 y−4 dy
dx+ 1
3y−3=1
3(1−2 x)
multiplicando por -3 −3 y−4 dydx
− y−3=(2 x−1)
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Tomando y−3=z −3 y−4 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:
dzdx
−z=2x−1
z=e−∫−1 dx[∫e∫−1dx (2 x−1 ) d x+c ]z=ex [∫e− x (2 x−1 ) dx+c]
z=ex [2e−x x−e− x+c ]z=2 x−1+ex c
y−3=2x−1+ex c
4- dydx
+ y= y2 ( cosx−senx ) multiplicando por y−2 y−2 dydx
+ y−1=(co sx−senx )
multiplicando por -1 − y−2 dydx
− y−1=( senx−cosx )
tomando y−1=z − y−2 dy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
−z=senx−cosx
z=e−∫−1 dx[∫e∫−1 dx ( senx−cosx ) dx+c]z=ex [∫e− x ( senx−cosx )dx+c ]
z=ex [−e−x senx+c ]z=−senx+ex c
y−1=−senx+ex c
5- xdy−[ y+x y3 (1+lnx ) ]dx=0 dydx
− y x−1= y3 (1+lnx ) multiplicando por y−3
y−3 dydx
− y−2 x−1=1+lnx multiplicando por −2
−2 y−3dydx
+2 y−2 x−1=−2−2 lnx
tomando y−2= z −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
+2 z x−1=−2−2 lnx
z=e−∫ 2x−1 dx [∫e∫2 x−1 dx (−2−2 lnx ) dx+c ]z=e−2 lnx[∫e2 lnx (−2−2 lnx ) dx+c]
z=x−2[∫ x2 (−2−2lnx )dx+c ]
z=x−2 [−2( x3
3(1+ lnx )− x3
9)+c ]
z=−2 x (1+lnx )3
+ 2 x9
+c x−2
y−2=−2 x (1+lnx )
3+ 2 x
9+c x−2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
6- 2 xdy+2 ydx=x y3 dx dydx
+ y x−1= y3
2 multiplicando por y−3
y−3 dydx
+ y−2 x−1=12
multiplicando por −2 −2 y−3dydx
−2 y−2 x−1=−1
tomando y−2= z −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
−2 z x−1=−1
z=e−∫−2 x−1 dx [∫ e∫−2 x−1 dx (−1 ) dx+c ]z=e2 lnx [∫ e−2 lnx (−1 )dx+c ]
z=x2[∫ x−2 (−1 ) dx+c ]z=x2[ x−1+c]y−2= x+x2 c
7- dydx
= xyx2+ y3
dxdy
−xy= y3 x−1 multiplicando por x xdxdy
−x2 y= y3
multiplicando por 2 2 xdx
dy−2 x2 y=2 y3 tomando x2=z 2 xdx=d z
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdy
−2 zy=2 y3
z=e−∫−2 y dy [∫e∫−2 y dy (2 y3 )dy+c ]z=ey2
[∫ e− y2
(2 y3 )dy+c ]z=ey2
[− y2 e− y2
−e− y2
+c ]x2=− y2−1+ey2
c
8- y2 ( y6−x2 ) y =2 x dxdy
+ y2
2x= y8
2x−1 multiplicando por x xdx
dy+ y2
2x2= y8
2
multiplicando por 2 2xdx
dy+ y2 x2= y8 tomando x2=z 2 xdx=d z
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdy
+ y2 z= y8
z=e−∫ y2 dy[∫e∫ y2 dy ( y 8) dy+c]
z=e− y3
3 [∫ey3
3 ( y 8)dy+c]
z=e− y3
3 [9( y6
9−2 y3
3+2)e
y3
3 +c ]
x2= y6−6 y3+18++18 e− y3
3 c
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ECUACIONES DIFERENCIALES
9- ydx+( x− x3 y2 )dy=0 dx
dy+ 1
yx= x3
2 multiplicando por x−3 x−3dx
dy+ 1
yx−2=1
2
multiplicando por -2 2x−3 dxdy
+ 2y
x−2=1 tomando x−2=z −2 x−3 dx=d z
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdy
−2y
z=−1
z=e−∫−2
y dy[∫e
∫−2y dy
(−1 )dy+c]z=e2 lny[∫ e−2 lny (−1 )dy+c]
z= y2[∫ y−2 (−1 ) dy+c]z= y2 [ y−1+c ]x−2= y1+ y2 c
10- 3 xdy= y (1+xsenx−3 y3 senx )dx dydx
−1+xsenx3 x
y=−senxx
y4 multiplicando por
y− 4 y−4 dydx
−1+ xsenx3 x
y−3=−senxx
multiplicando por -3
−3 y−4 dydx
+ 1+xsenxx
y−3=3 senxx
tomando y−3=z −3 y−4 dy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx
+ 1+xsenxx
z=3 senxx
z=e−∫ 1+xsenx
x dx[∫ e
∫ 1+xsenxx dx (3 senx
x )dx+c ]
z=elnx+cosx [∫e lnx−cosx (3 senxx )dx+c ]
z= ecosx
x[3∫ e−cosx senx dx+c ]
z= ecosx
x[3e−cosx+c ]
y−3=3x+ cecosx
x
11- 3 x dydx
−2 y= x3
y2 dydx
−2 y3 x
= x2
3 y2 multiplicando por y2 y2dydx
−2 y3
3 x= x2
3
multiplicando por 3 3 y2dydx
−2 y3
x=x2 tomando y3=z 3 y2 dy=d z
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx
−2x
z=3 x2
z=e−∫−2
x dx[∫e
∫−2x dx
(3 x2 )dx+c ]z=e2 lnx[∫ e−2 lnx (3 x2 )dx+c ]
z=x2[∫ x−2 (3 x2 )dx+c]z=x2[ x+c]
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y3=x3+c x2
12- (2 x y3− y )dx+2 xdy=0 dydx
− 12 x
y=− y3 multiplicando por y−3
y−3 dydx
− 12 x
y−2=−1 multiplicando por -2 −2 y−3 dydx
+ 1x
y−2=2
tomando y−2= z −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
+ 1x
z=2
z=e−∫ 1
x dx[∫e
∫ 1x dx
(2 )dx+c ]z=e−lnx [∫e lnx (2 ) dx+c]
z=1x[∫ x (2 ) dx+c ]
z=1x[ x2+c ]
y−2= x+ 1x
c
13- 2 y dydx
+ y2ctgx=cscx dydx
+ ctgx2
y= cscx2
y−1 multiplicando por y
ydydx
+ ctgx2
y2= cscx2 multiplicando por 2
2 ydydx
+ctgx y2=cscx
tomando y2=z 2 ydy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente forma:dzdx
+ctgxz=cscx
z=e−∫ ctgxdx [∫ e∫ ctgxdx ( cscx ) dx+c]z=e− ln (senx )[∫ eln (senx) (cscx )dx+c ]
z=cscx [∫ senx (cscx ) dx+c ]z=cscx [x+c ]
y2=x . cscx+c .cscx
14- dyd x
+ yx+1
=−12
(x+1)3 y2 multiplicando por y−2 y−2 dydx
+ y−1
x+1=−1
2(x+1)3
multiplicando por -1 − y−2 dydx
− y−1
x+1=1
2(x+1)3 tomando y−1=z − y−2 dy=dz
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: dzdx
− zx+1
=12(x+1)3
z=e−∫ −1
x+1 dx[∫ e
∫ −1x+1 dx (12 (x+1)3)dx+c ]
z=eln (x+1)[∫e−ln ( x+1)( 12(x+1)3)dx+c ]
z=(x+1)[∫ 1(x+1) ( 1
2(x+1)3)dx+c ]
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
z=(x+1)[ 12∫(x+1)2 dx+c ]
z=(x+1)[ 16( x+1)3+c ]
y−1=16(x+1)4+(x+1)c
PRACTICA Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
N° 06
I.Indendencia lineal de funciones:En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no, linealmente independiente.( por definición algebraica ).
1- f 1 (x )=¿ e x ,f 2( x )=¿e−x¿¿ de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0
∝1e x+∝2 e−x=0 …(1) Derivando ∝1e x−∝2 e− x=0 …(2)
Sumando (1)+(2) : 2∝1 ex=0 ∝1=0 y ∝2=0 ; entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2(x) .
2- f 1 (x )=¿ e x ,f 2( x )=¿2 ex , f3 (x )=¿e−x ¿
¿ ¿ de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0
∝1e x+2∝2ex+∝3 e−x=0 …(1) Derivando ∝1e x+2∝2ex−∝3 e− x=0 …(2)
Sumando (1)-(2) : 2∝3 e− x=0 ∝3=0 y ∝1=−2∝2 ; entonces no son linealmente
independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x )3- f 1 (x )=x , f 2 (x )=2 x , f 3 ( x )=x2 de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0∝1 x+2∝2 x+∝3 x2=0 Derivando ∝1+2∝2+2∝3 x=0 Derivando2∝3=0 ∝3=0 y ∝1=−2∝2 ; entonces no son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ) .
4- f 1 (x )=sen (ax ) , f 2 (x )=cos (ax ) de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0∝1 sen (ax )+∝2cos (ax )=0 Derivando a∝1cos (ax )−a∝2 sen (ax )=0 ∝1
2=−∝22 ; entonces no son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ).
5- f 1 (x )=1 , f 2 ( x )=x , f 3 ( x )=x2 de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
∝1+∝2 x+∝3 x2=¿ 0 Derivando ∝2+2∝3 x=0 Derivando 2∝3=0 ∝3=0 ,∝2=0 y∝1=0; entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ) .
6- f 1 (x )=eax sen (bx ) , f 2( x )=eax cos (bx) de la forma ∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )=0∝1eax sen (bx )+∝2eax cos (bx )=0 Derivando
(a∝1−b∝2 )eax sen (bx )+(b∝1+a∝2)eax cos (bx )=0 2b∝1∝2=a(∝12−∝2
2)Como ∝1
2=−∝22 entonces : b∝2=a∝1 ; entonces no son linealmente independiente
f 1 ( x ) , f 2 (x ) ..
7- f 1 (x )=¿ eax, f 2 (x )=¿ ebx , f3 (x ) =¿ ecx ,a≠ b≠c ¿
¿ ¿ de la forma
∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0 eax∝1+ebx∝2+ecx∝3=0
e(a−c) x∝1+e(b−c) x∝2+∝3=0 derivando (a−c )e(a−c)x∝1+(b−c)e(b−c)x∝2=0∝3=0 , (a−c )e(a−b)x∝1+(b−c)∝2=0 , ∝2=0 ; derivando
(a−b)(a−c )e(a−b)x∝1=0, ∝1=0 ;entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ).
8- f 1 (x )=lnx , f 2 ( x )=x .lnx , f 3 (x )=x2 . lnx de la forma
∝1 f 1 ( x )+∝2 f 2 ( x )+∝3 f 3 ( x )=0 lnx∝1+x .lnx∝2+x2 . lnx∝3=0
Derivando 1x∝1+lnx∝2+∝2+2 x . lnx∝3+x∝3=0 , ∝2=0
Derivando −1x2 ∝1+2 lnx∝3+2∝3+∝3=0 , ∝3=0 y ∝1=0
entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x ) , f 3 ( x ).
II. Wronskiano; hallar el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones:1- 1 , x , x2 ,…, xn−1 n>1 Generalizando : para 1 , x : para 1 , x , x2 : para 1 , x , x2 , x3 :
|1 x0 1|=1 (1 x x2
0 1 2 x0 0 2 ) = 2 ( 1 x x2 x3
0 1 2x 3 x2
0 02 6 x0 0 0 6
)=12
Entonces :
(1 ⋯ xn−1
⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ (n−1 ) !)= 0! 1! …(n-1)! = W
2- emx , enx m , n∈Z m≠ n
| emx enx
memx nenx|= (n−m ) e (m+n) x=W
3- sen (hx ) , cos (hx )
| sen (hx ) cos (hx )cos (hx ) sen (hx ) |=sen (hx )2−cos (hx )2=−1=W
4- x , xex
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ECUACIONES DIFERENCIALES
|x xe x
1 xex+e x|=x2ex+xex−xex=x2 ex=W
5- ex senx , ex cosx
| ex senx ex cosxex senx+ex cosx ex cosx−ex senx|¿ex senx(e¿¿ x cosx−ex senx)−ex cosx (ex senx+ex cosx )=−e2 x=W ¿
6- 1+cos (2 x ) , (cosx)2
|1+cos (2x ) (cosx)2
−2 sen(2 x) −cos (2 x )|=−cos (2x )−cos (2x )2+(cosx )2 2 sen (2 x )=0=W
7- e− x , xe−x
| e−x xe−x
−e−x e− x−xe−x|=e−x (e¿¿−x−xe¿¿−x)+xe−2x=e−2 x=W ¿¿
8- 1 , e−x ,2 e2 x
(1 e− x 2 e2x
0 −e− x 4 e2 x
0 e− x 8 e2x )=−8 ex−4 ex=−12 ex=W
9- 2 , cos ( x ) ,cos (2 x )
(2 cos (x ) cos (2 x )0 −sen (x) −2 sen (2 x )0 −cos (x ) −4 cos (2 x ))=2 sen ( x ) 4 cos (2 x )+2 cos ( x ) cos (2 x )=−8(senx)3=W
10- - e−3 x sen (2x ) , e−3 x cos (2 x )
| e−3 x sen (2 x ) e−3 x cos (2 x )−3 e−3 x sen (2 x )+2cos (2 x )e−3 x −3e−3 x cos (2 x )−2 sen(2 x)e−3 x|¿e−3 x sen (2 x ) (−3 e−3 x cos (2 x )−2 sen (2x ) e−3 x )−e−3x cos (2x ) (−3e−3 x sen (2 x )+2cos (2 x ) e−3 x )=−2 e−6x=W
III.Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes:1- lnx , xlnx
|lnx xlnx1x
1+lnx|= lnx+lnx2−lnx=lnx2≠ 0 entonces las funciones : lnx , xlnx son
linealmente independientes.
2- 1 , e−x ,2 e2 x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
(1 e− x 2 e2x
0 −e− x 4 e2 x
0 e− x 8 e2x )¿−8 ex−4 ex=−12 ex ≠ 0 entonces las funciones : 1 , e−x ,2 e2 x son
linealmente independientes.
3- x1/2 , x1/3
| x1 /2 x1/3
x−1/2
2x−2 /3
3 |= x−23
3( x
12)−( x
−12
2)(x¿¿ 1
3)=−x
−16
6≠ 0 para x≠ 0 ¿
entonces las funciones : x1/2 , x1/3 son linealmente independientes.
4- eax sen (bx ) ,eax cos (bx )b ≠ 0
| eax sen (bx ) eax cos (bx )a eax se n (bx )+beax cos (bx ) aeax cos (bx )−beax sen (bx )|=¿
eax sen (bx ) (aeax cos (bx )−beax sen (bx ) )−eax cos (bx ) (a eax sen (bx )+beax cos (bx ) )=−b e2 ax ≠ 0 entonces las funciones : eax sen (bx ) ,eax cos (bx ) son linealmente independientes.
5- 1 ,(senx)2 ,1−cosx
(1 (senx)2 1−cosx0 sen(2 x) senx0 2cos (2 x ) cosx )=sen (2 x ) cosx−2cos (2 x ) senx=2(senx)3 ≠ 0 ,para x≠ 0
entonces las funciones : 1 ,(senx)2 ,1−cosx son linealmente independientes. 6- ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) ,1
|ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) 11
x−1− 1
x+10|=0− 1
x−1+ 1
x+1= −2
x2−1≠ 0 , para x≠ 1
entonces las funciones : ln ( x−1 )−ln ( x+1 ) ,1 son linealmente independientes.
7- 2√1−x2 , x
| 2√1−x2 x−x (1−x2)−1 /2 1|= 2√1−x2+x2(1−x2)−1/2=(1−x2)−1 /2 ≠0 , para x≠ 1
entonces las funciones : 2√1−x2 , xson linealmente independientes.
8- sen( x2 ) ,(cosx)2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
| sen( x2 ) (cosx)2
12
cos ( x2) −sen(2 x)|=−sen (2 x ) sen ( x
2 )−(cos x )2 12
cos ( x2)≠ 0
entonces las funciones : sen( x2 ) ,(cosx)2son linealmente independientes.
9- x2 , x4 , x8
( x2 x4 x8
2 x 4 x3 8 x7
2 12 x2 56 x6)=224 x11+24 x11+16 x11−8 x11−96 x11−112 x11=48 x11≠ 0
para x≠ 0 entonces las funciones : s x2 , x4 , x8son linealmente independientes.
10- ex , xex , x2 ex
(ex x ex x2 ex
ex x ex+ex x2 ex+2x ex
ex xex+2ex x2 ex+4 x ex+2e x)=¿
ex (x ex+ex)(x¿¿2 e¿¿ x+4 x ex+2ex )+ex (x ex+2 ex )x2 ex+ex x ex (x2ex+2 xe x)¿¿−ex (x ex+ex )x2 ex−ex (x ex+2e x) (x2 ex+2x ex )−e x x ex(x¿¿2 e¿¿ x+4 x ex+2ex )=2 e3 x¿¿entonces las funciones : ex , xex , x2 exson linealmente independientes.
IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)
1) SI XE [ -1,0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0 → ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 →0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0
UROSKIANO EN [-1,0]
X2 0
2X 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
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= 0=
= 0=
f1 y f2 Son L.I.
ECUACIONES DIFERENCIALES
2) SI XE [0, 2] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 0 + ∝2 (X-2)2 = 0 ∝2 = 0
Si XE [2, 4] → ∝1 f1 (0) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 (X-2)2 + 0 = 0 ∝1 = 0
WROSKIANO EN [-0,2]
0 (X-2)2
0 2(X-2)
WROSKIANO EN [2,4]
(X-2)2 0
2(X-2) 0
3) SI XE [-2, 0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 X3 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0
WROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
3 X2 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0 X2 0 < x < 1 X2 0 < x < 1
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= 0
= 0
W=
W=
4
0 2 4
= 0W=
= 0W=
f2= (X) 4) f1=
f1 y f2 Son L.I.
f1 y f2 son L.I.
-2 0 1
-8
1
1 0 -3 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
SI XE [-1,0] → ∝1 X2 - ∝2 X2 = 0 (X) = 0
→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 f1 y P2
→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0 son L.I.
UROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
3 X2 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
V) DEMOSTRACIONES
1)
3)
-2
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1 0 -3
1 0 -3 2
2
1 -1 -3 5
r=1
= 0W=
= 0W=-1
1
-1 -1
ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 07
I) Ecuaciones diferenciales Lineales Homogeneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.A) Raíces reales distintas:
1) y’’ + 2y’ – 15y = 0
Sol: Sea: P(r) = r2 + 2r – 15 = 0 r1= 3, r2= -5Solución general:y = c1e3x + c2e-5x
2) y’’’ + y’’ – 2y’ = 0
Sol:Sea: P(r) = r3 + r2 – 2r = 0 r1= 0, r2= -2, r3=1Solución general:y = c1 + c2e-2x + c3ex
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3) y’’ – y =0
Sol:Sea: P(r) = r2 - 1 = 0 r1= 1, r2= -1Solución general:y = c1ex + c2e-x
4) y’’ + y’ – 6y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 + r - 6 = 0 r1= 2, r2= -3Solución general:y = c1e2x + c2e-3x
5) y’’ – 3y’ + 2y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 - 3r + 2 = 0 r1= - 2, r2= -1Solución general:y = c1e-2x + c2e-x
6) y’’’ – 2y’’ – y’ + 2y = 0
Sol:Sea: P(r) = r3 - 2r2 – r + 2 = 0 r1= 2, r2= -1,r3= 1Solución general:y = c1e2x + c2e-x + c3ex
7) y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0
Sol:Sea: P(r) = r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0 r1= 6, r2= -1, r3= 1Solución general:y = c1e6x + c2e-x + c3ex
8) y’’’ – y’’ – 12y’ = 0
Sol:Sea: P(r) = r3 - r2 - 12r = 0 r1= 0, r2= -3, r3= 4Solución general:y = c1
+ c2e-3x + c3e4x
9) y’’ – 4y’ + y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 - 4r + 1 = 0 r1= 2 + √ 3 i
2, r2= 2 -
√ 3 i2
Solución general:
y = c1e2xcos√ 3 i
2 + c2e2xsen(-
√ 3 i2
)
10) 2y’’’ – 7y’ – 2y = 0
Sol:
Sea: P(r) = 2r3 - 7r - 2 = 0 r1= -1 + √ 22
r2= -1 - √ 22
,r3= 2
Solución general:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y = c1e-1 - √ 22
x + c2e-1 + √ 22
x + c3e2x
A) Raíces múltiples
1. y ´´´ −3 y `+3y´` - `y`=````0`} {¿
Ecuación característica
λ3 − 3 λ2 +3 λ − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ = 1
Raíces de la ecuación de múltiplicidad 3
La solución general es:y = C1 ex + C2 x ex + C3 x2 ex
3. yIV − yI II −9 y II − 11 y I −4 y = 0
Ecuación característica:
λ4 − 3 λ3 −9 λ2 −11 λ − 4 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 ( λ−4 ) = 0λ =−1λ = 4
Raíz de la multiplicidad 3
1 -1 -9 -11 -4
-1 -1 2 7 4
-11
-2-1
-73
-44
0
-11
-3-1
-44
0
1 -4 0
La solución general es:y = C1 e− x + C2 x e−x + C3 x2 e−x+ C4 e4 x
5. yIV −6 yII +12 y II − 8 yI= 0
Ecuación característica
λ ( λ3 − 6 λ2 +12 λ − 8) = 0 ⇔ λ ( λ − 1 )3 = 0λ = 0λ =2 Raíz de multiplicidad 31 -6 +12 -8
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ECUACIONES DIFERENCIALES
1 2 -8 8
21
-42
4-4
0
1 -2 0
La solución general es:y = C1 + C2 e2 x + C3 x e2 x+ C4 x2 e2 x
7. yIII +3 y II +3 yI + y= 0
Ecuación característica
λ3 + 3 λ2 +3 λ +1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ =−1
Raíz de multiplicidad 3La solución general es:
y = C1 e−x + C2 x e−x+ C3 x2e− x
9. yIV −8 yII +16 y 0
Ecuación característica
λ4 − 8 λ2 +16 = 0 ⇔ ( λ2 −4 ) ( λ2−4 ) = 0λ2 − 4 ( λ+2)( λ−2)( λ+2)( λ−2) = 0λ2 −4 ( λ+2)2 ( λ−2)2 = 0
λ =−2 Raíz de multiplicidad 2λ = α Raíz de multiplicidad 2
La solución general es:y = C1 e−2 x + C2 x e−2 x+ C3 x2 x + C4 xe2 x
B) Raíces complejas :
1) y’’ + y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 + 1 = 0 r1= i , r2 = -i Solución generaly = c1cosx + c2senx
2) y’’ – 2y’ + 10y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 – 2r + 10 = 0 r1= −1+√ 39 i
2, r2 =
−1−√ 39i2
Solución general
y = c1 e-x/2cos√ 39
2x + c2 e-x/2 sen
√ 392
x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3) y’’ + 4y’ = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 0, r2 = - 4Solución generaly = c1 + c2 e-4x
4) y’’ + 25y’ = 0
sol:
Sea: P(r) = r2 + 25r = 0 r1= −1+√ 3 i
2, r2 =
−1−√ 39i2
Solución general y = c1 + c2
e-25x 5) y’’ – 4y’ + 13y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 2 + 3i, r2 = 2 – 3iSolución generaly = c1e2xcos3x + c2 e2xsen3x
6) y’’ + y’ + y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + r + 1 = 0 r1= −1+√ 3 i
2, r2 =
−1−√ 3i2
Solución general
y = c1e-x/2cos√ 32
, x + c2 e-x/2sen√ 32
, x
7) y’’ + 2y’ + 2y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 + 2r + 2 = 0 r1= - 1 + i, r2 = - 1 - iSolución generaly = c1e-xcosx + c2 e-xsenx
8) y’’ – 2y’ + 4y = 0
Sol:Sea: P(r) = r2 - 2r + 4 = 0 r1= 1 + √3i, r2 = 1 - √3iSolución generaly = c1excos√3x + c2 exsen√3x
9. y} } ` - 2y´`+4y`=```0} { ¿¿¿Ecuación característica
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ECUACIONES DIFERENCIALES
λ2 −2 λ + 4 = 0
λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)( 4 )2(1 )
λ = 2 ± √−122
λ = 2 ± 2√ 3 i2
¿ {λ1 = 1+√3 i ¿¿¿La solución general es:
y = C1 ex cos(√3 x ) + C2 e x sen (√3 x )
10. y} } ` - `6y´`+25 y`=```0} {¿ ¿¿
Ecuación característica
λ2 −6 λ + 25 = 0
λ =−(−6) ± √(−6 )2−4 (1)(25)2(1 )
λ = 6 ± √ 36 − 1002
λ = 6 ± √−642
¿ {λ1 = 3+4 i ¿ ¿¿
La solución general es:
y = C1 e3 x cos (4 x ) + C2 e3 x sen ( 4 x )
B) Raíces de cualquier índole
1. y
III+4 y I = 0
Ecuación característica
λ3 +4 λ = 0λ ( λ2 + 4 ) =0 λ = 0 λ=2 i λ=−2 iRaíces de la ecuación .
La solución general es:y = C1 + C2 cos (2 x ) + C3 sen (2 x )
2. y
III− y
II
+ yI
− y = 0Ecuación característica
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ECUACIONES DIFERENCIALES
λ3 − λ2+ λ − 1 = 0λ2 ( λ + 1 ) + ( λ+1)=0 ( λ −1) ( λ2+1) =0
λ = 1 λ=i λ =−iRaíces de la ecuación .
La solución general es:y = C1ex + C2 cos x + C3 sen x
3. y
IV− y = 0
Ecuación característica
λ4 − 1 = 0( λ2+ 1) ( λ2−1 )=0λ = i λ=−i λ =1 λ=−1 Raíces de la ecuación .
La solución general es:y = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sen x
4. y
IV+ 2 y I I
+ y = 0Ecuación característica
λ4 + 2 λ2 + 1 = 0 ⇔ ( λ2 + 1 )2 = 0λ = i λ=−i
Raíz de multiplicidad 2
La solución general es:y = C1 Cos x + C2 Sen x + C3 x cos x + C4 x sen x
5. y
IV+ 16 yIV + 9 y II = 0
Ecuación característica
λ6 + 6 λ4 + 9 λ2 + 4 = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1)+3 (2 λ4 + 3 λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1)+3 (2 λ2 + 1 ) ( λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 −λ2 + 1+6 λ2 + 3 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 +5 λ2 +4 ) = ( λ2 +1) ( λ2 +1) ( λ2 +4 )=0
= ( λ2 +1)2 ( λ2 +4 ) =0λ = i Raíz de multiplicidad 2λ =− i Raíz de multiplicidad 2λ =2 iλ =−2 i
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ECUACIONES DIFERENCIALES
La solución general es:y = C1 Sen x + C2 Cos x + C3 x sen x + C4 x Cos x +
C5 sen (2 x ) + C6 Cos (2 x )
6. y
III+ 3 y II + 3 yI + y = 0
Ecuación característica
λ3 + 3 λ2 + 3 λ + 1 = 0 ( λ +1)3 =0λ =−1 Raíz de multiplicidad 3
La solución general es:y = C1 e−x + C2 x e− x + C3 x2 e−x
7. y
III− y II + y I− y = 0
Ecuación característica
λ3 − λ2 + λ − 1 = 0λ2 ( λ −1 ) + ( λ − 1 ) = 0( λ −1) ( λ2 + 1 ) = 0
¿
λ= 1¿ } λ = i ¿ }¿¿ Raíces de la ecuación ¿ ¿¿
La solución general es:
y = C1 ex + C2 cos x + C3 senx
8. y
III− y = 0
Ecuación característica
λ3 − 1 = 0( λ −1) ( λ2 +λ + 1)⏟ = 0
λ2 + λ + 1 = 0 λ =−1± √(1)2−9(1 )(1)2(1)
λ= −1± √3 i2
¿{λ = −12
+ √3 i2
¿ ¿¿Las raíces de la ecuación son:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
λ =−12
+ √3i2
λ=−12
− √3 i2
La solución general es:
y = C1 ex + C2 e−
x2 cos (√3 x
2 ) + C3 e−
x2 sen (√3
2x )
10. y
IV− y = 0
Ecuación característica
λ4 − 1 = 0( λ2 +1) ( λ2 −1 ) = 0λ =1 λ =−i λ=1 λ=−1 raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex + C2 e−x+ C3 cos x + C4 sen x
11. y
III− yII − 3 y I − y= 0
Ecuación característica
λ3 − λ2 −3 λ −1 = 0( λ +1 ) ( λ2 −2 λ −1) = 0
λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(−1)2(1 )
λ = 2 ± √ 4+42
λ = 2 ±2 √ 22
λ = 1 ± √2 λ = 1 + √2λ = 1 − √2 λ = 1 − √2 λ =−1Raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex + C2 ex (1+√2)+ C3 ex(1−√2)
12. y
III+4 y II + 4 yI = 0
Ecuación característica
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1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
ECUACIONES DIFERENCIALES
λ3 − 4 λ2 +4 λ = 0λ ( λ2 +4 λ+4 ) = 0 λ( λ+2)2=0
λ = 0 λ=−2 Raíz de multiplicidad 2
La solución general es:y = C1 + C2 e−2 x+ C3 x e−2 x
13. y
IV−14 y III − 2 y= 0
Ecuación característica
λ4 − 1 4 λ2 −2 = 0
λ2 =−(−14 ) ± √(−14 )2−4 (1)(−2)2(1)
λ2 = 14 ± √196 + 82
λ2 = 14 ± √1082
λ2 = 14 + √1082
λ2 =14 + √1082
La solución general es:
y = C1 e√14+√1082
x+ C2 e
−√14+√1082
x+ C3 e
−√14−√1082
x+
C4 e−√14−√108
2x
14. y
IV−2 y III + y II +2 y ´ −2 y =0
Ecuación característica
λ4 − 2 λ3 + λ2 +2 λ −2= 0
Las raices son:
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1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
1 -2 1 2 -2
1 1 -1 0 2
-111
-1-1
02
2-2
0
1 -2 2 0
ECUACIONES DIFERENCIALES
λ = 1 λ =−1λ = 1+iλ = 1−i( λ+1 ) ( λ−1 ) ( λ2−2 λ+2) = 0
λ =−(−2 ) ± √(−2)2−4 (2)(1)2
λ =2 ± √−42
λ = 1 ± i
La solución es
y = C1 ex + C2 e−x+ C3 e x cos x + C4 ex senx
15. y
IV+5 y II − 9 y= 0
Ecuación característica
4 λ4 + +5 λ2 −9 = 04 λ2 +9λ2 −1
(4 λ2+9) ( λ2 −1) = 0 4 λ2 +9 =0 λ2 −1 =0
λ2 =±√94
i λ =±1
λ =±32
i λ =±1
Raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex+ C2 e−x + C3 (32 x)+ C4 sen (32 x)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 08
I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1) y ' '+3 y '=3SoluciónSea P (r )=r 2+3 r=0⇒r1=0 ,r 2=−3la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1+c2 e−3 x
Como Y p=Ax⇒Y ' p=A⇒Y ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A=3⇒ A=1,Por lo tanto Y p=xLa solución estará dada por Y=Y g+Y pEs decir y=c1+c2 e−3 x+x
2) y ' '−2 y '−15 y=−15 x2−4 x−13Solución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea P (r )=r 2−2 r−15=0⇒r1=−3 , r2=5la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−3 x+c2e5 x
Como Y p=A x2+Bx+C⇒Y ' p=2 Ax+B⇒Y ' ' p=2 AReemplazando en la ecuación
2 A−4 Ax−2B−15 A x2−15Bx−15 C=−15 x2−4 x−13−15 A x2−(4 A+15 B ) x+2 A−2B−15 C=−15 x2−4 x−13
{ −15 A=15−( 4 A+15 B )=−4
2 A−2B−15 C=−13⇒ {A=1
B=0C=1
,Por lo tanto Y p=x2+1La solución estará dada por Y=Y g+Y pEs decir y=c1 e−3x+c2 e5 x+x2+1
3) y IV−3 y ' '−4 y=−4 x5+390 xSoluciónSea P (r )=r 4−3 r2−4=0⇒r1=−2 ,r 2=2 ,r 3=i , r 4=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−2 x+c2e2 x+c3 cosx+c4 senxComo Y p=A x5+B x 4+C x3+D x2+Ex+F⇒Y '
p=5 A x4+4 B x3+3 C x2+2 Dx+EY ' '
p=20 A x3+12B x2+6 Cx+2 DY ' ' ' p=60 A x2+24 Bx+6CY IV
p=120 Ax+24 BReemplazando en la ecuación 120 Ax+24 B−3 (20 A x3+12 B x2+6Cx+2 D )−4 (A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F )=−4 x5+390 x
{−4 A=−4−4 B=0
−60 A−4 C=0−36 B−4 C=0
120 A−18 C−4 E=39024 B−12 D−4 F=0
⇒ { A=1B=−15
B=D=E=F=0
,Por lo tanto Y p=x5−15 x3
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e−2 x+c2 e2 x+c3 cosx+c4 senx+x5−15 x3
4) y ' '+3 y=ex
SoluciónSea P (r )=r 2+3 r=0⇒r1=0 ,r 2=−3la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1+c2 e−3 x
Como Y p=A ex⇒Y ' p=A ex⇒Y ' ' p=A exReemplazando en la ecuación
A ex+3 A ex=e x⇒ A=14
,Por lo tanto Y p=e x
4La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 e−3 x+ ex
4
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ECUACIONES DIFERENCIALES
5) y ' '−4 y'= xe4 x
SoluciónSea P (r )=r 2−4 r=0⇒r1=0 , r2=4 la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1+c2 e4 x
Como Y p=x ( Ax+B ) e4 x
Y 'p=(2 Ax+B ) e4 x+4 x ( Ax+B ) e4 x
Y ' 'p=2 A e4 x+4 (2 Ax+B ) e4x+4 (2 Ax+B )e4 x+16 x ( Ax+B ) e4 x
Y ' ' 'p=2 A e4 x+4 (2 Ax+B ) e4 x+4 (2 Ax+B ) e4 x+16 x ( Ax+B )e4 x
Reemplazando en la ecuación
(2 A+4 B )e4 x+8 Ax e4 x=x e4 x⇒ A=18
, B= 1−16
Por lo tanto Y p=( 18
x2− 116
x )e4 x
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 e4 x+( 18
x2− 116
x )e4 x
6) y ' '+ y=senx−cosxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxComo Y p=x ( Acosx+Bsenx )Y '
p=Acosx+Bsenx+x (−Asenx+Bcosx )Y ' '
p=−Asenx+Bcosx−Asenx+Bcosx+x (−Acosx−Bsenx )Reemplazando y reduciendo en la ecuación
2Bcosx=senx−cosx⇒ A=K , B=−12 Por lo tanto Y p=x Kcosx−x 1
2senx
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx+x Kcosx−x 12
senx
7) y ' '−4 y '+8 y=e2x ( sen2x−c os 2x )SoluciónSea P (r )=r 2−4 r+8=0⇒ r1=2+2 i , r2=2−2ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e2 x sen 2 x+c2 e2 x cos2 xY p=x ex 2 ( Acos 2 x+Bsen 2 x )La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e2 x sen2 x+c2 e2 x cos 2 x+x ex2 ( Acos 2 x+Bsen 2 x )
8) y ' '− y '−2 y=e x+e−2 x
SoluciónSea P (r )=r 2−r−2=0⇒r1=−1, r2=2,la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−x+c2e2 x
Como Y p=A ex+B e−2 x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Y 'p=A ex−2 B e−2 x
Y ' 'p=A ex+4 B e−2xReemplazando y reduciendo en la ecuación
A ex+4 B e−2 x−A ex+2 B e−2 x−A e x−B e−2 x=ex+e−2 x
−A ex+5B e−2 x=ex+e−2 x
⇒ A=−1 , B=15
Por lo tanto Y p=−ex+15
e−2x
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e− x+c2 e2 x−ex+ 15
e−2x
9) y ' ' '−4 y '=xe2 x+senx+ x2
SoluciónSea P (r )=r 3−4 r=0⇒r 1=0 , r2=2 , r3=−2 ,la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 e2 x+c3 e−2 x
Como Y p=x ( Ax+B ) e2 x+Ccosx+Dsenx+x (E x2+Fx+G )⇒Y '
p=2 x ( Ax+B )e2 x+(2 Ax+B )e2 x−Csen x+Dcosx+3 E x2+2 Fx+GY ' ' ' p=8 x ( Ax+B ) e2x+12 (2 Ax+B ) e2 x+12 A e2x+Csenx−Dcosx+6 EReemplazando en la ecuación e igualando los coeficientes se tiene:
{12 A+8 B=0
16 A=15C=1
−5 D=0−12 E=1−8 F=0
6E-4 G=0
⇒ {A=1/16B=3 /32C=1 /5D=F=0
E=−1 /12G=−1/8
,Por lo tanto Y p=e2x
32(2 x2−3 x )+ cosx
5− x3
12− x
8La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 e2 x+c3e−2 x+ e2x
32(2 x2−3x )+ cosx
5− x3
12− x
8
10) y ' '+2 y '+2 y=e−x cosx+x e−x
SoluciónSea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )Como Y p=x e− x ( Acosx+Bsenx )+(Cx+D ) e−x
Reemplazando y reduciendo en la ecuación
⇒ A=0 , B=12
,C=1, D=0Por lo tanto Y p=x2
e− x senx−x e−x
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=e−x (c1cosx+c2 senx )+ x2
e− x senx−x e−x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
11) y ' '− y '=x2
SoluciónSea P (r )=r 2−r=0⇒ r1=0 , r2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1+c2 ex
Como Y p=x ( Ax2+Bx+C )=Ax3+B x2+CxY '
p=3 A x2+2 Bx+CY ' '
p=6 Ax+2 BReemplazando en la ecuación 6 Ax+2 B−3 A x2−2Bx−C=x2
−3 A x2+(6 A−2B ) x+2B−C=x2
⇒ A=−13
, B=−1 ,C=−2Por lo tanto Y p=−x3
3−x2−2 x
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 ex− x3
3−x2−2 x
12) y ' '−4 y'−5 y=5 xSoluciónSea P (r )=r 2−4 r−5=0⇒r1=5 , r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e5 x+c2 e−x
Como Y p=Ax+BY '
p=AY ' '
p=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A−5 ( Ax+B )=5 x−5 Ax−4 A−5B=5 x
⇒ A=−1 , B=45
,Por lo tanto Y p=−x+ 45
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e5 x+c2 e−x−x+ 45
13) y ' ' '− y '=x+1SoluciónSea P (r )=r 3−r=0⇒ r1=0 , r2=−1, r3=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 e−x+c3e x
Como Y p=x ( Ax+B )=A x2+BxY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AY ' ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0−2 Ax−B=x+1
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ECUACIONES DIFERENCIALES
⇒ A=−12
, B=−1 ,Por lo tanto Y p=−12
x2−x
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 e−x+c3 ex−12
x2−x
14) y ' '−4 y'+4 y=4 x−4SoluciónSea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 e2 x+xc2 e2 x
Como Y p=Ax+BY '
p=AY ' '
p=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A+4 Ax+4 B=4 x−44 Ax+4 B−4 A=4 x−4⇒ A=1 , B=0 ,Por lo tanto Y p=xLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e2 x+xc2e2 x+x
15) y ' '+2 y '+2 y=2 (x+1 )2SoluciónSea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )Como Y p=A x2+Bx+CY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AReemplazando en la ecuación 2 A+4 Ax+2 B+2 A x2+2 Bx+2 C=2 ( x+1 )2
A x2+Bx+2 Ax+A+B+C=x2+2x+1⇒ A=1 ,B=C=0 ,Por lo tanto Y p=x2
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=e−x (c1cosx+c2 senx )+ x2
16) y ' ' '+ y ' '+ y '+ y=x2+2 x−2SoluciónSea P (r )=r 3+r2+r+1=0⇒r1=−1 ,r2=i , r3=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−x+c2cosx+c3 senxComo Y p=A x2+Bx+CY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AY ' ' ' p=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando en la ecuación 0+2 A+2 Ax+B+A x2+Bx+C=x2+2 x−2A x2+ (2 A+B ) x+2 A+B+C=x2+2x−2⇒ A=1 , B=0 ,C=−4 ,Por lo tanto Y p=x2−4La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e− x+c2 cosx+c3 senx+x2−4
17) y IV+4 y ' '=8 (6 x2+5 )SoluciónSea P (r )=r 4+4 r2=0⇒r1=0 , r2=0 , r3=2 i ,r 4=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1+c2 x+c3 sen2 x+c4 cos2xComo Y p=x2 ( A x2+Bx+C )=A x 4+B x3+C x2
Y 'p=4 A x3+3 B x2+Cx
Y ' 'p=12 A x2+6 Bx+C
Y ' ' ' p=24 Ax+6 BY IV=24 AReemplazando en la ecuación 4 (6 A+12 A x2+6 Bx+C )=8 (6 x2+5 )6 A+12 A x2+6 Bx+C=12 x2+10⇒ A=1 , B=0 ,C=4 ,Por lo tanto Y p=x2 (x2+4 )La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1+c2 x+c3 sen2 x+c4 cos2 x+x2 (x2+4 )
18) y ' ' '−3 y ' '+3 y '− y=(2+x ) (2−x )SoluciónSea P (r )=r 3−3 r2+3 r−1=0⇒ r1=1 , r2=1 , r3=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 ex+c2 xex+c3 x2 ex
Como Y p=A x2+Bx+CY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AY ' ' ' p=0Reemplazando en la ecuación y comparando0−6 A+6 Ax+3 B−A x2−Bx−C=4−x2
−A x2+ (6 A−B ) x−6 A+3 B−C=4−x2
⇒ A=1 , B=6 ,C=8 ,Por lo tanto Y p=x2+6 x+8La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 xe x+c3 x2ex+x2+6 x+8
19)2 y ' '−9 y'+4 y=18 x−4 x2
Solución
Sea P (r )=2 r2−9 r+4=0⇒r1=4 ,r2=12
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
es:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Y g=c1 e4 x+c2 e12 x
Como Y p=A x2+Bx+CY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AReemplazando en la ecuación 4 A−18 Ax−9B+4 A x2+4 Bx+4 C=18 x−4 x2
4 A x2+(−18 A+4 B ) x+4 A−9B+4 C=18 x−4 x2
⇒ A=−1 , B=0 ,C=1 ,Por lo tanto Y p=−x2+1La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e4 x+c2 e12 x−x2+1
20) y IV−2 y ' '+ y=x2−5SoluciónSea P (r )=r 4−2 r2+1=0⇒ r1=−1 , r2=1 , r3=−1 , r4=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 ex+c2 x ex+c3 e− x+c4 x e−x
Como Y p=A x2+Bx+CY '
p=2 Ax+BY ' '
p=2 AY ' ' ' p=0Y IV=0Reemplazando en la ecuación 0−4 A+A x2+Bx+C=x2−5A x2+Bx+C−4 A=x2−5⇒ A=1 , B=0 ,C=−1 ,Por lo tanto Y p=x2−1La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 x ex+c3 e−x+c4 x e− x+x2−1
II) VARIACION DE PARAMETROSResolver las siguientes ecuaciones diferenciales1¿ y ' '+ y=cosecxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=cosecx
De donde
u1' =
| 0 senxcosecx cosx|| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx. cosecxcosx .cosx+senx . senx
=−1⇒u1' =−1⇒u1=−x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
u2' =
| cosx 0−senx cosecx|| cosx senx−senx cosx|
= cosx .cosecxcosx . cosx+senx . senx
=ctgx⇒ u2' =ctgx⇒ u2=ln ( senx )
Entonces la solución particular será:y p=−xcosx+senx . ln (senx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−xcosx+senx . ln (senx )
2) y ' '+4 y=4 sec2 xSoluciónSea P (r )=r 2+4=0⇒r1=2 i ,r 2=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cos2 x+c2 sen2 xLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cos2 x+u2 sen2 x ,tal que
{ u1' cos2 x+u2
' sen2 x=0−2u1
' sen2x+2 u2' cos2 x=4 sec2 x
De donde
u1' =
| 0 sen2 x4 se c2 x cos 2 x|
| cos 2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|
=0−4 sec2 x . sen2 x
2 =−2 sec2 x . sen2 x⇒ u1=4 ln (cosx )
u2' =
| cos2 x 0−2 sen 2 x 4 se c2 x|| cos2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|
=cos2 x .4 sec2 x
2 =2 s ec2 x (cos2 x−sen2 x )=2−2 tan2 x⇒u2=4 x−2 tanx
Entonces la solución particular será:y p=4 ln (cosx )cos 2 x+(4 x−2tanx ) sen2 x ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2x+4 ln (cosx ) cos2 x+ (4 x−2 tanx ) sen2 x
3) y ' '+ y=se c2 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=se c2 x
De donde
u1' =
| 0 senxse c2 x cosx|| cosx senx−senx cosx|
=0−senx . se c2 x
cosx . cosx+senx . senx=−tanx . secx⇒u1=−secx
u2' =
| cosx 0−senx se c2 x|| cosx senx−senx cosx|
= sec2 x . cosxcosx. cosx+senx . senx=−secx⇒ u2=ln ( secx+tanx )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces la solución particular será:y p=−secxcosx+senx . ln (secx+ tanx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−secxcosx+senx . ln (secx+ tanx )
4) y ' '+ y '=cosecx. cotgxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=cosecx .cotgx
De donde
u1' =
| 0 senxcosecx. cotgx cosx|
| cosx senx−senx cosx|
=0−senx .cosecx . cotgxcosx . cosx+senx . senx
=−ctgx⇒u1=−ln (senx )
u2' =
| cosx 0−senx cosecx . cotgx|
| cosx senx−senx cosx|
= cosecx . cotgx . cosxcosx . cosx+senx . senx
=ctg2 x⇒u2=−ctgx−x
Entonces la solución particular será:y p=−ln (senx ) cosx+senx . (−ctgx−x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (senx )cosx+senx . (−ctgx−x )
5) y ' '+ y '=cotgxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' c osx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=ctgx
De donde
u1' =
| 0 senxctgx cosx|
| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx. ctgcosx . cosx+senx . senx
=−cosx⇒u1=−senx
u2' =
| cosx 0−senx ctgx|| cosx senx−senx cosx|
= ctgx . cosxcosx . cosx+senx . senx
=ctgx . cosx⇒ u2=ln (cosecx−ctgx )
Entonces la solución particular será:y p=−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
6) y ' '+ y '=secxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=secx
De donde
u1' =
| 0 senxsecx cosx|
| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . secxcosx . cosx+senx . senx
=−tanx⇒ u1=−ln ( cosx )
u2' =
| cosx 0−senx se cx|| cosx senx−senx cosx|
= secx . cosxcosx. cosx+senx . senx
=1⇒u2=x
Entonces la solución particular será:y p=−ln (cosx ) cosx+xsenx ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (cosx ) cosx+xsenx
7) y ' '+4 y '=4 ctg2 xSoluciónSea P (r )=r 2+4=0⇒r1=2 i ,r 2=−2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cos 2 x+c2 sen2 xLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cos2 x+u2 sen2 x ,tal que
{ u1' cos 2x+u2
' sen2 x=0−2u1
' sen2x+2 u2' cos2 x=4ctg 2x
De donde
u1' =
| 0 sen2 x4ctg 2 x cos2 x|
| cos 2x sen2 x−2 sen2 x 2cos2 x|
=0−4 ctg 2x . sen2 x2
=−2cos2 x⇒ u1=−sen2x
u2' =
| cos2x 0−2 sen2 x 4 ctg2 x|| cos2x s en 2 x−2 sen2x 2 cos2 x|
= cos2 x .4 ctg 2x2
=2ctg2 x .cos2 x⇒ u2=sen2x . ln (cosec 2 x−ctg2 x )
Entonces la solución particular será:y p=sen2 x . ln (cosec 2 x−ctg2 x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2 x+sen2 x . ln (cosec2 x−ctg2 x )8) y ' '+2 y '+2 y=e−x secxSolución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea P (r )=r 2+2 r+2=0⇒r1=−1+i , r2=−1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=e− x (c1 cosx+c2 senx )La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e− x cosx+u2e− x senx ,tal que
{ u '1 e−x cosx+u '2 e−x senx=0−2u1
' sen2x+2 u2' cos2 x=4ctg 2x
De donde
u1' =
| 0 sen2 x4ctg 2 x cos2 x|
| cos 2x sen2 x−2 sen2 x 2cos2 x|
=0−4 ctg 2x . sen2 x2
=−2cos2 x⇒ u1=−sen2x
u2' =
| cos2x 0−2 sen2 x 4 ctg2 x|| cos2x sen2x−2 sen2x 2 cos2 x|
= cos2 x .4 ctg 2x2
=2ctg2 x .cos2 x⇒ u2=sen2x . ln (cosec 2 x−ctg2 x )
Entonces la solución particular será:y p=sen2 x . ln (cosec 2 x−ctg2 x ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cos2 x+c2 sen2x+sen2 x . ln (cosec2 x−ctg2 x )
9) y ' '+4 y '+4 y=e−2e−2 x
SoluciónSea P (r )=r 2+4 r+4=0⇒r1=−2 , r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 e−2 x+c2 xe−2 x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e−2 x+u2 xe−2x ,tal que
{ u' 1e−2 x+u ' 2 xe−2 x=0
−2u1' e−2 x+u2
' (−e−2 x x2
−e−2x)=e−2 e−2x De donde
u1' =
| 0 xe−2 x
e−2e−2 x −e−2 x x2
−e−2 x|| e−2 x xe−2 x
−2 e−2 x −e−2 x x2
−e−2 x|= 0−xe−2 x e−2 e−2 x
e−2 x (−e−2 x x2 −e−2 x)+2 e−2 x xe−2x
u2' =
| e−2x 0−2 e−2 x e−2e−2 x|
| e−2 x xe−2 x
−2e−2 x −e−2 x x2
−e−2 x|= e−2 x e−2 e−2x
e−2 x (−e−2 x x2 −e−2 x)+2 e−2 x xe−2 x
Entonces la solución particular será:y p=e−2 x−lnx e−2 x ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Es decir y=c1 e−2 x+c2 x e−2 x+e−2 x−lnx e−2 x
10) y ' '+ y '=tan2 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=tan2 x
De donde
u1' =
| 0 senxtan2 x cosx|
| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . tan2 xcosx . cosx+senx . senx=−senx . tan2 x⇒u1=−ln (cosx )
u2' =
| cosx 0−senx tan2 x|| cosx senx−senx cosx|
=tan2 x . cosx
cosx . cosx+senx . senx=tan2 x . cosx⇒u2=x
Entonces la solución particular será:y p=−ln (cosx ) cosx+xsenx ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−ln (cosx ) cosx+xsenx
11) y ' '+ y '=sec2 xcosecxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=sec2 xcosecx
De donde
u1' =
| 0 senxsec2 xcosecx cosx|| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . sec 2 xcosecxcosx. cosx+senx . senx=−sec2 x
u2' =
| cosx 0−senx sec2 xcosecx|
| cosx senx−senx cosx|
=sec2 xcosecx . cosx
cosx .cosx+senx . senx=cosecx . secx
Entonces la solución particular será:y p=−senx . ln (secx+tanx )Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senx . ln (secx+ tanx )
12) y ' '−2 y '+ y=e2 x (ex+1 )2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
SoluciónSea P (r )=r 2−2 r+1=0⇒r1=1, r2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2 xex
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 xex ,tal que
{ u1' ex+u2
' e x x=0
u1' ex+u2
' (e x x−ex )=e2x (ex+1 )2 De donde
u1' =
| 0 ex xe2 x (ex+1 )2 ex x−e x|
|ex ex xex ex x−ex|
= 0−e2 x (ex+1 )2e x x(e x x−ex )ex−ex e x x
=−(ex+1 )2e x xx−2
u2' =
|ex 0ex e2x (ex+1 )2||e x ex xe x ex x−ex|
=e2 x (ex+1 )2 ex
(ex x−e x)e x−ex ex x=
(ex+1 )2e x
x−2
Entonces la solución particular será:y p=ex ln (1+ex)Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 xe x+ex ln (1+e x)
13) y ' '−3 y '+2 y=e2 x (e2x+1 )−1
SoluciónSea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=2 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2e2x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e2 x ,tal que
{ u1' ex+u2
' e2 x=0
u1' ex+u2
' 2 e2x=e2 x (e2 x+1 )−1 De donde
u1' =
| 0 e x
e2 x (e2 x+1 )−12 ex|
|ex ex
ex 2e x|=0−e2 x (e2x+1 )−1
ex
(2 ex )ex−e x ex=−(e2x+1 )−1ex
u2' =
|ex 0ex e2x (e2 x+1 )−1|
|ex ex
ex 2ex|= e2 x (e2 x+1 )−1
e x
(ex x−ex)e x−ex ex x=(e2 x+1 )−1 ex
Entonces la solución particular será:
y p=ex arctg (e−x )− e2 x
2ln (1+e−2x )Tal que
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 e2 x+ex arctg (e−x )− e2x
2ln (1+e−2 x )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
14) y ' '+ y '=sec3 xSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=tanx
De donde
u1' =
| 0 senxsec3 x cosx|| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . sec3 xcosx . cosx+senx . senx=−senx . sec3 x
u2' =
| cosx 0−senx sec3 x|| cosx senx−senx cosx|
= sec3 x . cosxcosx . cosx+senx . senx=sec3 x . cosx
Entonces la solución particular será:
y p=secx
2 Tal que
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx+ secx2
15) y ' '+ y '=tanxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=tanx
De donde
u1' =
| 0 senxtanx cosx|
| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . tanxcosx . cosx+senx . senx
=−senx . tanx⇒ u1=−senx
u2' =
| cosx 0−senx tanx|| cosx senx−senx cosx|
= tanx . cosxcosx . cosx+senx . senx
=senx⇒u2=−cosx
Entonces la solución particular será:y p=−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx ) ,Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx−senxcosx+senx . ln (cosecx−ctgx )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
16) y ' '− y '=e−2 x sen (e−x )SoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2e− x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e−x ,tal que
{ u1' ex+u2
' e− x=0u1
' ex−u2' e−x=e−2 x sen (e−x ) De donde
u1' =
| 0 e−x
e−2 x sen (e−x ) −e−x||ex e−x
ex −e−x|=
e−2 x sen (e−x ) . e−x
−2=−sen (e− x ) .e−3 x
2
u2' =
|ex 0ex e−2 x sen (e−x )|
|ex e−x
ex −e−x|=
e−2x sen (e− x )ex
−2=−e− x sen (e−x )
2⇒u1=
−cos (e−x )2
Integrando y reemplazando en y p se obtiene:Entonces la solución particular será:y p=−sene− x−ex cose− xTal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 e−x−sene−x−ex cos e−x
17) y ' '−3 y '+2 y=cos (e−x )SoluciónSea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=2 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2e2x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1ex+u2 e2 x ,tal que
{ u1' ex+u2
' e2x=0u1
' ex+u2' 2 e2x=cos (e−x ) De donde
u1' =
| 0 ex
cos (e−x ) 2ex||ex ex
ex 2 ex|=0−cos (e−x )ex
(2 ex )ex−ex ex=−cos (e− x )e−x⇒u1=sen (e−x )
u2' =
|ex 0ex cos (e− x )||ex e x
ex 2 ex|=
cos (e− x)ex
(ex x−ex )ex−ex ex x=cos (e−x )e−x⇒u2=−sen (e− x )
Entonces la solución particular será:y p=−e2 x cos (e−x )Tal queLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 e2 x−e2 x cos (e− x)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
18) y ' '− y '=sen2 xSoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2e− x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' ex+u2
' e−x=0u1
' ex−u2' e−x=sen2 x
De donde
u1' =
| 0 e− x
sen2 x −e− x||ex e−x
ex −e− x|= sen2 x . e−x
−2=−sen2 x . e−x
2
u2' =
|ex 0ex sen2 x||ex e− x
ex −e−x|= sen2 x ex
−2=−sen2 xe x
2
Integrando y reemplazando en y p se obtiene:Entonces la solución particular será:
y p=−25− sen2 x
5,Tal que
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 e−x−25− sen2 x
5
19) y ' '− y '=x2ex2
2
SoluciónSea P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
Y g=c1 ex+c2e− x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1e− x+u2ex ,tal que
{ u1' ex+u2
' e−x=0
u1' ex−u2
' e−x=x2 ex2
2 De donde
u1' =
| 0 e−x
x2 ex2
2 −e− x||e x e−x
e x −e−x|= x2e
x2
2 . e−x
−2=−x2 e
x2
2 −x
2
u2' =
|ex 0
ex x2ex2
2 ||ex e− x
ex −e− x|= x2 e
x2
2 ex
−2=−x2 e
x2
2 +x
2
Integrando y reemplazando en y p se obtiene:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces la solución particular será:
y p=ex2
2 ,Tal que
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 ex+c2 e−x+ex2
2
20) y ' '+ y '=xcosxSoluciónSea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:Y g=c1 cosx+c2 senxLa solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1cosx+u2 senx ,tal que
{ u1' cosx+u2
' senx=0u1
' senx+u2' cosx=xcosx
De donde
u1' =
| 0 senxxcosx cosx|
| cosx senx−senx cosx|
= 0−senx . xcosxcosx . cosx+senx . senx
=−senx . xcosx
u2' =
| cosx 0−senx xcosx|| cosx senx−senx cosx|
= xcosx . cosxcosx . cosx+senx. senx
= x (cosx )2
Entonces la solución particular será:
y p=x2
4senx+ x
4cosxTal que
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 cosx+c2 senx+ x2
4senx+ x
4c osx
III) ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULERResolver las siguientes ecuaciones diferenciales1)x2 y ' '+ x y '− y=0Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+et e−t dy
dt− y=0
d2 yd t2 − y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea: P (r )=r 2−1=0⇒r 1=1 ,r2=−1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e t+c2 e−t Pero t=lnx
y ( t )=c1e lnx+c2 e−lnx=c1 x+c21x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
2)x2 y ' '+2 x y '−2 y=0Solución
Sea: x=e t⇒ t=l nx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+2 e t e−t dy
dt−2 y=0
d2 yd t2 +
d ydt
−2 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+r−2=0⇒ r1=1 , r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y ( t )=c1e t+c2 e−2 t Pero t=lnx
y ( t )=c1e l nx+c2e−2 lnx=c1 x+c21x2
3)x2 y ' '+ x y '+9 y=0Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+et e−t dy
dt+9 y=0
d2 yd t2 +9=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+9=0⇒r 1=3 i , r2=−3 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1cos3 t+c2 sen3 tPero t=lnxy ( t )=c1cos (3 lnx )+c2 sen (3lnx )
4)4 x2 y ' '−8 x y '+9 y=0Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
4 e2t e−2 t ( d2 yd t 2 −
dydt )−8et e−t dy
dt+9 y=0
4 d2 yd t 2 −12 dy
dt+9 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:
Sea P (r )=4 r2−12 r+9=0⇒r1=32
, r2=4la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
y (t )=c1e32 t+c2 e4 t Pero t=lnx
y ( t )=c1e32 lnx
+c2 e4 lnx=c1 x32+c2 x 4
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ECUACIONES DIFERENCIALES
5)x2 y ' '−3 x y '+7 y=0Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−3et e−t dy
dt−7 y=0
d2 yd t2 −4 dy
dt+7 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:
Sea P (r )=r 2−4 r+7=0⇒ r1=32
, r2=4la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea
es:
y (t )=c1e32 t+c2 e4 t Pero t=lnx
y ( t )=c1e32 lnx
+c2 e4 lnx=c1 x32+c2 x 4
6)x3 y ' ' '−2 x2 y ' '−17 x y '−7 y=0SoluciónSea x=e t⇒ t=lnx ,además
dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt ); d3 y
d x3 =e−3 t( d3 yd t3 −
d2 yd t 2 +
dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e3 t e−3 t( d3 yd t3 −
d2 yd t 2 +
dydt )−2 e
2 t
e−2 t( d2 yd t 2 −
dydt )−17 e t e−t dy
dt−7 y=0
d3 yd t3 −3 d2 y
d t2 −18 dydt
−7 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 3−3 r2−18 r−7=0⇒ r1=6.125 , r2=−0.42289 , r3=−2.7023la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e6.125 t+c2 e−0.4228t+c3e−2.7023 t Pero t=lnxy ( t )=c1e6.125 lnx+c2 e−0.4228 lnx+c3 e−2.7023lnx
y=c1 x6.125+c2 x−0.42289+c3 x−2.7023
7)( x+2 )2 y ' '+3 (x+2 ) y '−3 y=0Solución
Sea x+2=e t⇒ t=ln ( x+2 ) ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+3e t e−t dy
dt−3 y=0
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
d2 yd t2 +2 dy
dt+3 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+2 r+3=0⇒r1=−3 ,r 2=1la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−3 t+c2e t Pero t=ln ( x+2 )y ( t )=c1e−3 ln ( x+2 )t+c2 eln ( x+2 )
y=c1
( x+2 )3+c2 ( x+2 )
8)(2 x+1 )2 y ' '−2 (2 x+1 ) y '+4 y=0Solución
Sea 2 x+1=e t⇒ t=ln (2 x+1 ) ,además 2 dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2 =e−2 t( d2 y
d t2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
2 e2t e−2 t ( d2 yd t 2 −
dydt )−4 e t e−t dy
dt+4 y=0
2 d2 yd t 2 −4 dy
dt+4 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+2=0⇒r1=1+ i , r2=1−ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e t sent+c2 e t cost=0Pero t=ln (2 x+1 )y ( t )=c1e ln (2 x+1) senln (2 x+1 )+c2 e ln ( 2x+1 )cosln (2x+1 )=0y=c1 (2x+1 ) senln (2x+1 )+c2 (2 x+1 ) cosl n (2 x+1 )
9)( x−1 )2 y ' '+8 ( x−1 ) y '+12 y=0Solución
Sea x−1=et⇒ t=ln ( x−1 ) ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+8et e−t dy
dt+12 y=0
d2 yd t2 +4 dy
dt+8 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+7 r+12=0⇒r1=−3 ,r 2=−4la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−3 t+c2e−4 t=0Pero t=ln ( x−1 )y ( t )=c1e−3 ln ( x−1)+c2 e−4 ln ( x−1 )
y=c1 ( x−1 )−3+c2 ( x−1 )−4
10)( x−2 )2 y ' '+5 ( x−2 ) y '+8 y=0Solución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea x−2=et⇒ t=ln ( x−2 ) ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+5 e t e−t dy
dt+8 y=0
d2 yd t2 +4 dy
dt+8 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+4 r+8=0⇒r1=−2+2i , r2=−2+2 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e−2 t sen2t+c2 e−2t cos 2t=0Pero t=ln ( x−2 )y ( t )=c1e−2 ln ( x−2) sen (2 ln ( x−2 ) )+c2 e−2 ln (x−2 )cos2 ( ln ( x−2 ) )y=c1 ( x−2 )−2 sen (2 ln ( x−2 ) )+c2 ( x−2 )−2cos2 (ln ( x−2 ) )
11)x2 y ' '+ x y '+ y=x (6−lnx )Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+et e−t dy
dt+ y=e t (6−t )
d2 yd t2 + y=e t (6−t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+1=0⇒r1=i , r2=−iY g=c1 sent+c2 costComo Y p= ( At+B ) e t
Y 'p=A e t+2 ( At+B ) et
Y ' 'p=2 A et+2 ( At+B ) e t
Reemplazando en la ecuación 2 A et+2 ( At+B ) e t+( At+B ) et=e t (6−t )2 At+2 A+2 B=6−t
⇒ A=−12
, B=72
,Por lo tanto Y p=−t2+ 7
2La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 sent+c2 cost− t2+ 7
2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y ( t )=c1 sent+c2cost− t2+7
2
y=c1 sen (lnx )+c2cos (lnx )− lnx2+ 7
2
12)x2 y ' '+ x y '−9 y=x3+1Solución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+et e−t dy
dt−9 y=e3 t+1
d2 yd t2 −9 y=e3 t+1 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−9=0⇒r1=3 , r2=−3Y g=c1 e3 t+c2e−3 t
Como Y p=Ae3 t+BY '
p=3 Ae3 t
Y ' 'p=9 Ae3 t
Reemplazando en la ecuación 9 Ae3 t−Ae3t+B=e3 t+18 Ae3 t+B=e3 t+1
⇒ A=18
, B=1 ,Por lo tanto Y p ¿18
e3 t
+1
La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e3 t+c2 e−3t +18
e3 t
+1
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y ( t )=c1e3 t+c2 e−3 t +18
e3 t
+1
y (t )=c1e3 lnx+c2 e−3lnx +18
e3 lnx
+1
y=c1 x3+c2 x−3+18
x3+1
13)x2 y ' '−x y '+ y=2xSolución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−e t e−t dy
dt+ y=2e t
d2 yd t2 −2 y '+ y=2et
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+1=0⇒r1=1, r2=1Y g=c1 et+c2t et
Como Y p=et AtY '
p=A e t t−Aet
Y ' 'p=A e t t−2 Aet
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando en la ecuación A e t t−2 Aet−2 ( A e t t−Ae t )+et At=2e t
A e t=2e t
⇒ A=2 ,Por lo tanto Y p=2e t tLa solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 e t+c2 t e t+2 e t tla ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y ( t )=c1e lnx+c2 lnx elnx+2 elnx lnxy=c1 x+c2 xlnx+2 xlnx
14)x2 y ' '+4 x y '+2 y=2 lnxSolución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+4 e t e−t dy
dt+2 y=2 t
d2 yd t2 +3 dy
dt+2 y=2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+3 r+2=0⇒r1=−1, r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 e−t+c2 e−2 t La solución particular seráy p=At+By ' p=Ay ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A+2 At+2 B=2 t
⇒ y p=t−32
y=c1 e−t+c2 e−2 t+t−32
Pero t=lnx
y ( t )=c1e−lnx+c2 e−2 lnx+lnx−32
y=c11x+c2
1x2+lnx−3
2
15)x2 y ' '−x y '−3 y=−(16 lnx ) x−1
Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−e t e−t dy
dt−3 y=−(16 t )e−t
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ECUACIONES DIFERENCIALES
d2 yd t2 −2 dy
dt+3 y=−(16 t ) e−t
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−2 r+3=0⇒ r1=1−√8 i ,r2=1+√8ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 et sen√8x+c2 e t cos√8 La solución particular seráy p=e−t ( At+B )y ' p=A e−t t+Ae−t+B e−t
y ' ' p=A e−t t+2 Ae−t+B e−t
Reemplazando en la ecuación
A e−t t+2 Ae−t+B e−t⇒ y p=t−32
y=c1 e−t+c2 e−2 t+tPero t=lnx
y ( t )=c1e−lnx+c2 e−2 lnx+lnx−32
y=c11x+c2
1x2+
lnxx+ 2 ln2 x
2
16)x2 y ' '+ x y '+9 y=sen (ln x3 )Solución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+et e−t dy
dt+9 y=sen (3 t )
d2 yd t2 +9 y=sen (3 t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+9=0⇒r 1=−3 i , r2=3 ila ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 sen3 t+c2 cos3 t La solución particular seráy p=Atsen3 ty ' p=Asen3 t+3 Axcos3 ty ' ' p=3 Acost+3 Acos 3 t−9 Atsen3 tReemplazando en la ecuación 3 Acos 3 t+3 Acos 3 t−9 Atsen3 t+9 Atsen3 t=sen3 t
⇒ y p=tsen 3ty=c1 sen 3t+c2 cos3 t+tsen 3 tPero t=lnxy ( t )=c1 sen (3 lnx )+c2cos (3lnx )+ ln x ( sen (3 lnx ) )
17)x2 y ' '+4 x y '+2 y=2 ln2 x+12xSolución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )+4 e t e−t dy
dt+2 y=2 t
d2 yd t2 +3 dy
dt+2 y=2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2+3 r+2=0⇒r1=−1, r2=−2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:y g=c1 e−t+c2 e−2 t La solución particular seráy p=At+By ' p=Ay ' ' p=0Reemplazando en la ecuación 0+3 A+2 At+2 B=2 t
⇒ y p=t−32
y=c1 e−t+c2 e−2 t+t−32
Pero t=lnx
y ( t )=c1e−lnx+c2 e−2 lnx+lnx−32
y=c11x+c2
1x2+lnx−3
2
18)x2 y ' '−3 x y '+4 y=lnxSolución
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−3 et e−t dy
dt+4 y=t
d2 yd t2 −4 y '+4 y=t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2Y g=c1 e2 t+c2 t e2 t
Como Y p=Alnx+B
Y 'p=A 1
x
Y ' 'p=A −1
x2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando en la ecuación
A −1x2 ∓4 A 1
x2 At+2 A+2 B=6−t
⇒ A=−12
, B=72
,Por lo tanto Y p=−t2+ 7
2La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 sent+c2 cost− t2+ 7
2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y ( t )=c1 sent+c2cost− t2+7
2
y=c1 sen (lnx )+c2cos (lnx )− lnx2+ 7
2
19)( x+1 )2 y ' '−3 ( x+1 ) y '+4 y=( x+1 )3Solución
Sea x+1=e t⇒ t=ln ( x+1 ) ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−3 et e−t dy
dt+4 y=e3 t
d2 yd t2 −4 dy
dt+4 y=e3 t
, es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−4 r+4=0⇒r 1=2 ,r2=2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y g=c1 e2 t+c2 t e2 t
y p=Ae3 t
y 'p=3 Ae3 t
y ' 'p=9 Ae3 t
Reemplazando en la ecuación diferencial9 Ae3 t−12 Ae3 t+Ae3 t=e3 t
−2 Ae3 t=e3 t⇒ A=12
Por la tanto y p=12
e3 t
Pero t=ln ( x+1 )
y (t )=c1e2 ln ( x+1) ,+c2ln ( x+1 ) e2 ln ( x+1 ),+12
e3 ln ( x+1 ) ,
y=c1(x+1)2+c2ln ( x+1 ) ( x+1 )2+12(x+1)3
20)x2 y ' '−2 x y '+2 y=3 x2+2 lnxSolución
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea x=e t⇒ t=lnx ,además dydx
=e−t dydt
; d2 yd x2=e−2 t( d2 y
d t 2 −dydt )
Reemplazando en la ecuación diferencial
e2 t e−2 t( d2 yd t2 −
dydt )−2 et e−t dy
dt+2 y=3 et+2 t
d2 yd t2 −3 y '+2 y=3 e t+2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
Es decir:Sea P (r )=r 2−3 r+2=0⇒ r1=1 ,r 2=2Y g=c1 et+c2e2 t
Como Y p=3 At e t+Bt+C
Y 'p=3 A t e t
Y ' 'p=A −1
x2
Reemplazando en la ecuación
A −1x2 ∓4 A 1
x2 At+2 A+2 B=6−t
⇒ A=−12
, B=72
,Por lo tanto Y p=−t2+ 7
2La solución estará dada por Y=Y g+Y p
Es decir y=c1 sent+c2 cost− t2+ 7
2la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
y ( t )=c1 sent+c2cost− t2+7
2
y=c1 sen (lnx )+c2cos (ln x )−lnx2
+ 72
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 09
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ECUACIONES DIFERENCIALES
OPERADORES DIFERENCIALESI) ECUACION LINEAL HOMOGENEARESOLVER
1)d2 yd x2 +
dydx
−6 y=0
Solución:y ' '+ y '−6 y=0P (r )=r 2+r−6=0(r−2 ) (r+3 )=0r1=2, r2=−3y=c1 e2 x+c2 e−3 x
2)d3 yd x3−
d2 yd x2−12 dy
dx=0
Solución:y ' ' '− y ' '−12 y '=0P (r )=r 3−r2−12 r=0(r−4 ) (r+3 ) (r )=0r1=4 , r2=−3 ,r 3=0y=c1+c2 e−3 x+c3 e4 x
3)d3 yd x3 +2 d2 y
d x2 −5 dydx
−6 y=0
Solución:y ' ' '+2 y ' '−5 y '−6=0P (r )=r 3−r2−12 r=0(r−2 ) (r+1 ) (r+3 )=0r1=2, r2=−1, r3=−3y=c1 e2 x+c2 e−1 x+c3 e−3 x
4)(D3−3 D2+3 D−1 ) y=0Solución:y ' ' '−3 y ' '+3 y '− y=0P (r )=r 3−3 r2+3 r−1=0(r−1 ) (r−1 ) (r−1 )=0r1=1 , r2=1 , r3=1y=c1 ex+c2 x ex+c3 x2 ex
5)(D4−6 D3+5 D2−24 D−36 ) y=0Solución:y IV−6 y ' ' '+5 y ' '−24 y '−36 y=0P (r )=r 4−6 r 3+5 r 2−24 r−36=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
(r+1 ) (r−6 ) ( r2−13+6 )=0
r1=−1, r2=6 ,r 3=12+ √23
2i , r 4=
12−√23
2i
y=c1 e− x+c2 e6 x+c3 e12 x
sen (√232
x)+c4 e12 x
cos(√232
x )6)(D4−D3−9 D2−11 D−4 ) y=0Solución:y IV− y ' ' '−9 y ' '−11 y'−4 y=0P (r )=r 4−r 3−9 r2−11r−4=0(r+1 ) (r−4 ) (r+1 ) (r+1 )=0r1=−1, r2=4 , r3=−1, r 4=−1y=c1 e− x+c2 xe− x+c3 x2e− x+c4 e4 x
7)(D2−2D+10 ) y=0Solución:y ' '−2 y '+10 y=0P (r )=r 2−2 r+10=0r1=1+3 i , r2=1−3 iy=c1 ex sen3 x+c2 ex cos3 x
8)(D3+4 D ) y=0Solución:y ' ' '+4 y '=0P (r )=r 3+4 r=0(r ) (r2+4 )=0r1=0 ,r 2=2i , r3=−2 iy=c1+c2 sen2 x+c3cos 2x
9)(D4+D3−2 D2+D+3 ) y=0Solución:y Iv− y ' ' '−9 y ' '−11 y '−4 y=0P (r )=r 4−r 3−9 r2−11r−4=0(r+1 ) (r−4 ) (r+1 ) (r+1 )=0r1=−1, r2=4 , r3=−1, r 4=−1y=c1 e− x+c2 xe− x+c3 x2e− x+c4 e4 x
10)(D4+5D2−36 ) y=0Solución:y IV+5 y ''−36=0P (r )=r 4+5 r2−36=0(r2+9 ) ( r2−4 )=0r1=2, r2=−2, r3=−3 i , r4=3 iy=c1 e2x+c2 e−2 x+c3 sen 3 x+c4 cos3 x
12)(D2+2 D−15 ) y=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:y ' '+2 y '−15 y=0P (r )=r 2+2 r−15=0r1=3 ,r2=−5y=c1 e3x+c2 e−5 x
13)(D3+D2−2 D ) y=0Solución:y ' ' '+ y ' '−2 y '=0P (r )=r 3+r2−2 r=0(r ) (r−1 ) (r+2 )=0r1=0 ,r 2=1 ,r3=−2y=c1+c2 ex+c3 e−2 x
14)(D4−6 D3+13 D2−12 D+4 ) y=0Solución:y IV−6 y ' ' '+13 y ' '−12 y '+4 y=0P (r )=r 4−6 r 3+13 r 2−12r+4=0(r−1 ) (r−1 ) (r−2 ) (r−2 )=0r1=1 , r2=1 , r3=2 , r4=2y=c1 ex+c2 x ex+c3 e2 x+c4 x e2 x
15)(D6+9 D4+24 D2+16 ) y=0Solución:yVI+9 yIV +24 y ' '+16 y=0P (r )=r 6+9 r4+24 r2+16=0(r2+1 ) (r2+4 ) (r2+4 )=0r1=i , r2=−i , r3=2 i,r 4=−2 i , r5=2i , r6=– 2iy=c1 senx+c2cosx+c3 sen 2 x+c4 cos2 x+c5 xsen2 x+c6 xcos 2 xII) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESRESOLVER1)(D2−3 D+2 ) y=ex
Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 ex+c2 e2 x
Calculando la solución particular
y p=1
F ( D )eαx= 1
F ( α )ex= e x
(D−2 ) (D−1 )= 1
(D−2 ) [ ex
( D−1 ) ]y p=e2 x∫ex∫ e−x ex (dx )2
y p=e2 x∫ex xdx
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y p=−xex−ex
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e2 x−x ex−ex
2)(D3+3 D2−4 ) y=x e−2 x
Solución:y ' ' '+3 y ' '−4 y=0P (r )=r 3+3 r 2−4=0r1=1 , r2=−2, r3=−2yc=c1 ex+c2 e−2 x+c3 x e−2 x
Calculando la solución particular
y p=¿ x e−2 x
( D−1 ) ( D+2 )2
y p=ex∫e−3 x∫e0x∫ e2 x x e−2 x (dx )3
y p=ex∫e−3 x∫ x2
2( dx )2
y p=ex∫e−3 x x6
3
dx
y p=−118
(x3+x2 )e−2x
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e−2 x+c3 x e−2x− 118
(x3+x2)e−2 x
3)(D2−3 D+2 ) y=e5 x
Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 ex+c2 e2 x
Calculando la solución particular
y p=e5 x
( D−2 ) ( D−1 )= e5x
(5−2 ) (5−1 )= e5 x
12y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e2 x+ e5 x
12
4)(D2+5 D+4 ) y=3−2 xSolución:y ' '+5 y '+4 y=0P (r )=r 2+5 r+4=0r1=−4 , r2=−1yc=c1 e−4 x+c2 e− x
Calculando la solución particular
y p=3−2 x
( D+4 ) ( D+1 )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y p=e−4 x∫ e−3 x∫ ex (3−2 x ) (dx )2
y p=2ex
5−9 e4 x
16y= yc+ y p
y=c1 e−4 x+c2e− x+ 2 ex
5−9 e4 x
16
5)(D3−5 D2+8 D−4 ) y=e2 x
Solución:y ' ' '−5 y ' '+8 y '−4 y=0P (r )=r 3−5 r2+8 r−4=0r1=1 , r2=2 , r3=2yc=c1 ex+c2 e2 x+c3 xe2 x
Calculando la solución particular
y p=¿ e2 x
( D−1 ) ( D−2 ) ( D−2 )y p=ex∫e x∫ e0 x∫ e2 x e−2 x (dx )3
y p=ex∫e x∫ x2
2(dx )2
y p=ex∫e x x6
3
dx
y p=( x2
2−x− 1
2 )e−2 x
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e2 x+c3 xe2x+( x2
2−x− 1
2 )e−2 x
6)(D2+9 ) y=xcosxSolución:y ' '+9 y=0P (r )=r 2+5 r+4=0r1=−3i , r2=3 iyc=c1 sen3 x+c2 cos3 xCalculando la solución particular
y p=xcosxD2+9
y p=x cosxD 2+9
− 2 DD 4+18 D2+81
cosx
y p=xcosx
8− 2 D
1−18+81
y p=xcosx
8− senx
64y= yc+ y p
y=c1 sen 3 x+c2 cos3 x+ xc o sx8
− senx64
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ECUACIONES DIFERENCIALES
7)(D2+4 ) y=2cosxcos 3 xSolución:y ' '+4 y=0P (r )=r 2+4=0r1=−2i , r2=2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular
y p=x4
cos (x− π2 )= x
4senx
y= yc+ y p
y=c1 sen 2 x+c2 cos2x+ x4
senx
8)(D2−9 D+18 ) y=ee−3 x
Solución:y ' '−9 y '+18 y=0P (r )=r 2−9 r+18=0r1=3 ,r2=6yc=c1 e3 x+c2e6x
Calculando la solución particular
y p=ee−3 x
( D−3 ) ( D−6 )y p=e3 x∫e3 x∫ e−6 x ee−3 x
(dx )2
y p=ee−3 x
9e6 x
y= yc+ y p
y=c1 e3x+c2 e6 x+ ee−3 x
9e6x
9)(D2−4 D+3 ) y=1Solución:y ' '−4 y '+3 y=0P (r )=r 2−4 r+3=0r1=3 ,r2=1yc=c1 e3 x+c2e x
Calculando la solución particular
y p=13
y= yc+ y p
y=c1 e3x+c2 ex+ 13
10)(D2−4 D ) y=5Solución:y ' '−4 y '=0P (r )=r 2−4 r=0r1=0 ,r 2=4yc=c1+c2 e4 x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Calculando la solución particular
y p=R° xk
ax= 5 x−4
=−5 x4
y= yc+ y p
y=c1+c2 e4x−5 x4
11)(D3−4 D2 ) y=5Solución:y ' ' '−4 y ' '=0P (r )=r 3−4 r2=0r1=0 ,r 2=r3=4yc=c1+c2 x+c3 e4 x
Calculando la solución particular
y p=R° xk
ax= 5 x−4
=−5 x4
y= yc+ y p
y=c1+c2 x+c3 e4 x−5 x4
12)(D5−4 D3 ) y=5Solución:yVI−4 y ' ' '=0P (r )=r 5−4 r3=0r1=0 ,r 2=0 , r3=0 , r4=−2 , r5=2yc=c1+c2 x+c3 x2+c4 e2x+c5e−2 x
Calculando la solución particular
y p=R° xk
ax=5 x2
−4=−5 x2
4y= yc+ y p
y=c1+c2 x+c3 x2+c4 e2 x+c5 e−2x−5x2
413)(D2−1 ) y=sen2 xSolución:y ' '− y=0P (r )=r 2−1=0r1=1 , r2=−1yc=c1 ex+c2 e−x
Calculando la solución particular
y p=sen2 x
( D+4 ) ( D+1 )y p=ex∫e−2 x∫ e−x sen2 x (dx )2
y p=−12
+cos 2 x10
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e−x−12+ cos2 x
10
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
14)(D2+1 ) y=cosecxSolución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular
y p=cosecxD2+1
= cosecx1+1
=cosecx2
y= yc+ y p
y=c1 senx+c2cosx+ cosecx2
15)(D2−3 D+2 ) y=sen e− x
Solución:y ' '−3 y '+2 y=0P (r )=r 2−3 r+2=0r1=2, r2=1yc=c1 e2 x+c2ex
Calculando la solución particular
y p=sene− x
( D−2 ) ( D−1 )y p=e2 x∫e− x∫ e−x sen e−x ( dx )2
y p=e2 x∫ex cose− x dxy p=e2 x sene−x
y= yc+ y p
y=c1 e2 x+c2 ex+e2 x sene− x
III) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION DE PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS)RESOLVER1) (D2−2 D ) y=ex senx
Solución:y ' '−2 y '=0P (r )=r 2−2 r=0r1=0 ,r 2=2yc=c1+c2 e2 x
Calculando la solución particular
y p=ex senx
D ( D−2 )=
1D [ ex senx
D−2 ]y p=e0 x∫e2x∫ e2 x ex senx (dx )2
y p=∫ e2 x∫e3 x senx (dx )2
y p=−e x senx
3y= yc+ y p
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y=c1+c2 e2x− ex senx3
2) (D2+D ) y=cosecx
Solución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular
y p=cosecxD2+1
= cosecx1+1
=cosecx2
y= yc+ y p
y=c1 senx+c2cosx+ cosecx2
3) (D2−6D+9 ) y=x−2 e3 x
Solución:y ' '−6 y '+9 y=0P (r )=r 2−6 r+9=0r1=3 ,r2=3yc=c1 e3 x+c2 xe3x
Calculando la solución particular
y p=x−2 e3 x
( D−3 ) ( D−3 )= 1
( D−3 ) [ x−2 e3 x
( D−3 ) ]y p=e3 x∫e0 x∫ e−3 x x−2 e3 x (dx )2
y p=e3 x∫∫ x−2 ( dx )2
y p=−e3 x lnxy= yc+ y p
y=c1 e3 x+c2 xe3 x−e3 x lnx
4) (D2−2 D+3 ) y=x3+senx
Solución:y ' '−2 y '+3 y=0P (r )=r 2−2 r+3=0r1=1 , r2=2yc=c1 ex+c2 e2 x
Calculando la solución particular
y p=x3+senx
( D−1 ) ( D−2 )= 1
( D−1 ) [ x3+senx(D−2 ) ]
y p=ex∫e x∫ e−2 x (x3+senx ) (dx )2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y p=ex∫e x∫ e−2 x (x3+senx ) (dx )2
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e2 x+ y p
5) (D3+2 D2−D−2 ) y=ex+x2
Solución:y ' ' '+2 y ' '− y '−2 y=0P (r )=r 3+2 r2−r−2=0r1=1 , r2=−1 , r3=−2yc=c1 ex+c2 e−x+c3e−2 x
Calculando la solución particular
y p=ex+x2
( D−1 ) ( D+1 ) ( D+2 )= 1
( D−1 ) (D+1 ) [ ex+x2
(D+2 ) ]y p=ex∫e0 x∫ e−x∫ (ex+x2 ) ( dx )3
y p=ex∫∫e− x∫ (e x+x2 ) (dx )3
y= yc+ y p
y=c1 ex+c2 e−x+c3 e−2 x+ yp
6) (D2−4 D+4 ) y=x3 e2 x+ xe2 x
Solución:y ' '−4 y'+4=0P (r )=r 2−4 r+4=0r1=2, r2=2yc=c1 e2 x+c2 xe2 x
Calculando la solución particular
y p=x3 e2 x+x e2x
( D−2 ) ( D−2 )= 1
( D−2 ) [ x3e2x+x e2x
( D−2 ) ]y p=e2 x∫e0x∫ e−2 x (x3 e2 x+ xe2x ) (dx )2
y p=ex∫∫e−2 x (x3 e2x+x e2 x) (dx )2
y p=ex ( x5
20+ x3
6 )y= yc+ y p
y=c1 e2x+c2 xe2 x+ex ( x5
20+ x3
6 )7) (D2+4 ) y=x2 sen2 x
Solución:y ' '+4=0P (r )=r 2+4=0r1=2i ,r 2=−2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
y p=x2 sen2x
D2+4= x2 sen2x
8y= yc+ y p
y=c1 se n 2 x+c2 cos2 x+ x2 sen2x8
8) (D2+1 ) y=cosecx
Solución:y ' '+ y=0P (r )=r 2+1=0r1=i , r2=−iyc=c1 senx+c2 cosxCalculando la solución particular
y p=cosecxD2+1
= cosecx1+1
=cosecx2
y= yc+ y p
y=c1 senx+c2cosx+ cosecx2
9) (D2+4 ) y=4 sec22 x
Solución:y ' '+4=0P (r )=r 2+4=0r1=2i ,r 2=−2 iyc=c1 sen2 x+c2cos2 xCalculando la solución particular
y p=4 sec2 2 x
D2+4= sec2 2 x
2y= yc+ y p
y=c1 sen 2 x+c2 cos2x+ sec2 2x2
10) (D2−4 D+3 ) y=(1+e−x )−1
Solución:y ' '−4 y'+3=0P (r )=r 2−4 r+3=0r1=3 ,r2=1yc=c1 ex+c2 e3 x
Calculando la solución particular
y p=(1+e−x )−1
( D−3 ) ( D−1 )= 1
( D−3 ) [ (1+e− x )−1
( D−1 ) ]y p=e3 x∫e−2x∫ e−x (1+e−x )−1 (dx )2
y= yc+ y p
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y=c1 ex+c2 e3 x+ y p
11) (D2−1 ) y=e−x sen e−x+cose− x
Solución:y ' '−1=0P (r )=r 2−1=0r1=−1, r2=1yc=c1 e−x+c2 ex
Calculando la solución particular
y p=e− x sene−x+cos e−x
( D+1 ) ( D−1 )= 1
( D+1 ) [ e− x sene−x+cos e−x
( D−1 ) ]y p=ex∫e0 x∫ ex (e−x sene− x+cose−x ) (dx )2
y= yc+ y p
y=c1 e− x+c2 ex+ y p
12) (D2+2 ) y=2+ex
Solución:y ' '+2=0P (r )=r 2+2=0r1=−√2 i ,r2=√2iyc=c1 sen √2 x+c2 cos√2 xCalculando la solución particular
y p=2+ex
D2+2= 2+ex
√2+2y= yc+ y p
y=c1 sen √2 x+c2cos √2 x+ 2+ex
√2+2
13) (D2−1 ) y=ex sen2 x
Solución:y ' '−1=0P (r )=r 2−1=0r1=−1, r2=1yc=c1 e−x+c2 ex
Calculando la solución particular
y p=ex sen2 x
( D+1 ) ( D−1 )= 1
( D+1 ) [ ex sen2 x( D−1 ) ]
y p=e−x∫ e2 x∫ e−x (ex sen2 x ) (dx )2
y= yc+ y p
y=c1 e− x+c2 ex+ y p
14) (D2+2 D+2 ) y=senx+ x2
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:y ' '+2 y '+2 y=0P (r )=r 2+2 r+2=0r1=−1+ i , r2=−1−iyc=c1 e−x senx+c2 e−x cosxCalculando la solución particular
y p=senx+x2
D2−2 D−2= senx+x2
−2 D−3
y p=e32 x∫e
32 x
( senx+x2 ) (dx )2
y= yc+ y p
y=c1 e− x senx+c2e− x cosx+ y p
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 10
INTEGRACION POR SERIES
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
1).-Resolver y '− y−x2=0 mediante una serie de potencia de x que satisfaga la condición y= y0 para x=o.SoluciónSea:y0= y=3 ; x0=x=2i ¿.−Hacemos v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv
Luego dydx
=dydv
=v2+ y−3=F(v , y )
ii¿ .−¿Suponiendo que:
y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )
Luego: y '−v2− y+3=0 será de la forma:
y '=A1+2 A2 v+3 A3 v2+4 A4 v3+…+nAn vn−1+…−v2=−v2
− y=−A0−A1 v−A2 v2−A3 v3−A4 v4−…−An vn−…3=3
y '−v2− y+3=( A1−A0+3 )+(2 A2−A1 )v+(3 A3−A2−1 ) v2+¿
Como y '−v2− y+3=0 se dirá lo siguiente: 2 A0−A1=0 ⇒ A1=A0−3= y0−3 ⇒A1=O 2 A0−A1=0 ⇒ A2=0
3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13
4 A4−A3=0 ⇒ A4=1
4∗3
5 A5−A4=0 ⇒ A5=1
5∗4∗3
⇒ An=2n! ∀n≥ 3
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
y=3+ 13
v3∗( 22 )+…+ 2
n!vn+…
iii¿ .−Haciendo v=x−2 se tiene :
∴ y=3+ 23!
(x−2)3+ 24 !
(x−2)4 …+ 2n !
(x−2)n+…
SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1−x ) y '+ y−2 x=0Suponiendo que la solución es de la forma:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2,…son constantes para determinar.Sea:(1−x ) y '=A1 (1−x )+2 A2 (x−x2 )+3 A3 (x2−x3 )+…+nAn(x¿¿n−1−xn)+(n+1) An+1(x¿¿n−xn+1)+…¿¿y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+An+1 xn+1+…
−2 x=−2 x
(1−x ) y '+ y−2x=(A1+A0 )+(2 A2−2 )x+¿0=( A1+A0 )+(2 A2−2 ) x+¿
3)Resolver (1−x ) y '=2x− y mediante una serie que satisfaga la condición y= y0 cuando x=o.Por lo tanto:
A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y0 ⇒ A1=− y0
2 A2−2=0 ⇒ A2=1
−A2+3 A3=0 ⇒ A3=13
−2 A3+4 A4=0 ⇒A4=1
2∗3.
−(n−1)An−(n+1)An+1=0 ⇒
2
(n−1 )∗n∀n ≥ 2
.Reemplazando los valores de los “A” en la serie supuesta dado se tiene:
∴ y= y0− y0 x+ 22
x2
+ 2∗12∗3
x3+ 24∗3
x4+…+ 2(n−1)∗n
xn+…
5).- Resolver xy '− y=x+1 mediante potencias de (x−1).
SoluciónLa ecuación diferencial será:
xy '− y−x−1=0Además:v=x−1⇒ x=v+1⇒dx=dv
Luego dydx
=dydv
= y+v+2(v+1 )
=F (v , y )
Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )Luego:( v+1 ) y '− y−v−2=0 será de la forma:
( v+1 ) y '=A1 v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v2+4 A4 v3+4 A4 v4+…+nAn vn−1+nAn vn+…− y=A0−A1 v−A2 v2−A3 v3−A4 v 4−…−An vn−…−v=−v−2=−2
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Como: ( v+1 ) y '− y−v−2=0
Se dirá lo siguiente: −A0−2+A1=0 ⇒ A1=3
2 A2−1=0 ⇒ A2=12
3 A3+A2=0 ⇒ A3=−12∗3
4 A4+2 A3=0 ⇒ A4=2
2∗3∗4
3 A4+5 A5=0 ⇒ A5=6
2∗3∗4∗5.
⇒ An+1=−(n−1)An
(n+1 ) ∀n≥ 2
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
y=1+3 v+ v2
2− v3
2∗3+ 2 v4
2∗3∗4− 6 v5
2∗3∗4∗5+…
y=1+3 v+ v2
2 !− v3
3 !+ 2 v 4
4 !−6 v5
5 !+…
y=Haciendo v=x−1 se tiene :
∴ y=1+3(x−1)+ (x−1)2
2!−(x−1)3
3 !+
2(x−1)4
4 !−
6( x−1)5
5 !+…
7).- Resolver (1+x2 ) y ' '+x y '− y=0 mediante potencias de x.SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1+x2 ) y ' '+x y '− y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:(1+x2) y ' '=2 A2+2 A2 x2+6 A3 x+6 A3 x3+12 A4 x2+12 A4 x4+20 A5 x3+20 A5 x5+30 A6 x4+30 A6 x6+…+ (n∗(n−1 ) ) An xn−2+ (n∗(n−1 ) ) An xn+…x y '=A1 x+2 A2 x2+3 A3 x3+4 A4 x4+5 A5 x5+6 A6 x6+…+nAn xn+…
− y=A0−A1 x−A2 x2−A3 x3−A4 x4−…−An xn−…
(1+x2 ) y ' '+x y '− y=(2 A2−A0 )+ (6 A3 ) x+¿
0=(2 A2−A0 )+ (6 A3 ) x+¿
Por lo tanto:
2 A2−A0=0 ⇒ A2=A0
2 6 A3=0 ⇒ A3=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=−A0
8
8 A3+20 A5=0 ⇒A5=0
2 A6+A4=0 ⇒ A6=A0
16.
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
y=A0+A1 x+A0
2x2+ (0 ) x3−
A0
8x4+ (0 ) x5+
A0
16x6+…
∴ y=A0(1+ x2
2− x4
8+ x6
16…)+A1 x+5¿ XXXX
9).- Resolver y ' '−2 x2 y '+4 xy=x2+2x+2 mediante potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y ' '−2 x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:
y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x2+20 A5 x3+30 A6 x4+…+¿(n∗(n−1 ))An xn−2+…
−2 x2 y '=−2 A1 x2−4 A2 x3−6 A3 x4−8 A4 x5−10 A5 x6−…−2 nAn xn+1−…4 xy=4 A0 x+4 A1 x2+4 A2 x3+4 A3 x4+4 A4 x5+…+4 An xn+1+…−x2=−x2
−2 x=−2 x−2=−2
y ' '−2 x2 y '+4 xy−x2−2 x−2= (2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿
0=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿
Por lo tanto: 2 A2−2 A1−2=0 ⇒ A2=A1+1
6 A3+4 A0−2=0 ⇒ A3=1−2 A0
3
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ECUACIONES DIFERENCIALES
12 A4−2 A1+4 A1−1=0 ⇒ A4=1−2 A1
12
20 A5−4 A2+4 A2=0 ⇒A5=0
30 A6−6 A3+4 A3=0 ⇒ A6=1−2 A0
45.
(n+1 )∗(n+2)An+2−(2 n−2) An−1+4 An−1=0 ..
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
y=A0+A1 x+(A ¿¿1+1) x2+( 1−2 A0
3 ) x3+( 1−2 A1
12 ) x4+(0 ) x5+(1−2 A0
45)x6+…¿
∴ y=A0(1−23
x3− 245
x6+…)+A1+5 ¿(x+x2−16
x4+…)+x2+ 13
x3 +112
x4
+ 145
x6
10).- Resolver y ' '+( x−1 ) y '+ y=0 mediante potencias de (x−2).Solución
La ecuación diferencial será:y ' '+( x−1 ) y '+ y=0
Además:v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv
Luego dydx
=dydv
=−( y¿¿ ' '+ y )
(v+1 )=F (v , y )¿
Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…---( )Luego: y ' '+( v+1 ) y '+ y=0 será de la forma:
y ' '=2 A2+6 A3 v+12 A4 v2+12 A5 v3+30 A6 v4+…+n∗(n−1)An vn−2+…( v+1 ) y '=A1 v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v2+4 A4 v3+4 A4 v4+…+nAn vn−1+nAn vn+…y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v3+A4 v4+…+An vn+…
y ' '+( v+1 ) y '+ y=( A1+2+2 A2)+ (2 A2+2 A1+6 A3 ) v+ (3 A3+3 A2+12 A4 )v2+¿
Como:
y ' '+( v+1 ) y '+ y=0
Se dirá lo siguiente:
A1+2+2 A2=0 ⇒ A2=−2−A1
2
2 A2+2 A1+6 A3=0 ⇒ A3=2−A1
6
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ECUACIONES DIFERENCIALES
3 A3+3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=4 A1+4
48
4 A4+4 A3+20 A5=0 ⇒ A5=4 A1−20
240
⇒ An+2=An+An+1
(n+2 )∀n≥ 1
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
y=A0+A1 v+(−2−A1
2 )v2+( 2−A1
6 )v3+( 4 A1+448 )v4+( 4 A1−20
240 )v5+…
y=A0+A1(v− v2
2− v3
6+ v 4
12+ v5
60+…)+ v2
2+ v3
3+ v4
12− v5
12+…
Haciendo v=x−2 se tiene :
∴ y=A0+A1((x−2)−(x−2)2
2−(x−2)3
6+(x−2)4
12+(x−2)5
60+…)+(x−2)2
2+(x−2)3
3+(x−2)4
12−(x−2)5
12+…
11).- Resolver (1−x ) y '=x2− y según potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1−x ) y '−x2+ y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:(1−x ) y '=A1−A1 x+2 A2 x−2 A2 x2+3 A3 x2−3 A3 x3+4 A4 x3−4 A4 x4+…+nAn xn−1−nAn xn+…−x2=−x2
y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…
(1−x ) y '−x2+ y=( A1+A0 )+(2 A2 ) x+(3 A3−A2 ) x2+(4 A4−2 A3 ) x3+…+((n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…
0=( A1+A0 )+(2 A2) x+(3 A3−A2 )x2+(4 A4−2 A3 )x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+… xn+…
Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y0
2 A2=0 ⇒ A2=0
3 A3−A2=0 ⇒ A3=0
4 A4−2 A3=0 ⇒A4=0 ..
(n+1 ) An+1−(n−1)An=0 ..
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:y= y0− y0 x
∴ y= y0(1−x )
13).- Resolver y '=2 x2+3 y mediante potencias de x .
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y '−3 x−2 x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x2+4 A4 x3+5 A5 x4+…+nAn xn−1+…−3 y=−3 A0−3 A1 x−3 A2 x2−3 A3 x3−3 A4 x4−…−3 An xn−…−2 x2=−2 x2
y '−3 x−2 x2=( A1−3 A0 )+ (2 A2−3 A1 ) x+(3 A3−3 A2−2 ) x2+ (4 A4−3 A3 )x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+…
0=( A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+(3 A3−3 A2−2 ) x2+(4 A4−3 A3 )x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1) An ) xn+…Por lo tanto:
A1−3 A0=0 ⇒ A1=3 y0
2 A2−3 A1=0 ⇒ A2=3 y0
2
3 A3−3 A2−2=0 ⇒ A3=9 y0+4
2∗3
4 A4−3 A3=0 ⇒A4=3(9 y0+4)
2∗3∗4
5 A5−3 A4=0 ⇒ A5=9 (9 y0+4 )2∗3∗4∗5
. (n+1 ) An+1−(n−1)An=0
.
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
y= y0+3 y0 x+3 y0
2x2+
(9 y0+4)2∗3
x3+( 3(9 y0+4)2∗3∗4 ) x4+( 9 (9 y0+4)
2∗3∗4∗5 ) x5+…
∴ y= y0+3 y0 x+3 y 0
2x2+(9 y 0+4 )[ x3
3 !+
3 x4
4 !+
9 x5
5 !+…]
17).- Resolver y ' '−x y '+x2 y=0 mediante potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y ' '−xy '+x2 y=0
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:
y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x2+20 A5 x3+30 A6 x4+…+¿(n∗(n−1 ))An xn−2+…
−x y'=−A1 x−2 A2 x2−3 A3 x3−4 A4 x4−5 A5 x5−6 A6 x6−…−nAn xn−…
x2 y '=A0 x2+A1 x3+A2 x4+A3 x5+A4 x6+…+An xn+2+…
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿
0=(2 A2 )+(6 A3−A1 )x+¿Por lo tanto:
2 A2=0 ⇒ A2=0
6 A3−A1=0 ⇒ A3=A1
6
12 A4−2 A2+A0=0 ⇒ A4=−A0
12
20 A5−3 A3+A1=0 ⇒A5=3 A1
40
30 A6−4 A4+A2=0 ⇒ A6=−A0
90.
(n+1 )∗(n+2 ) An+2−n An+An−2=0 ..
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
y=A0+A1 x+A0
6x3+(−A0
12 )x4+( 3 A1
40 )x5+(−A0
90)x6+…
∴ y=A0(1− x4
12− x6
90+…)+A1+5¿(x+ x3
6+ 3 x5
40+…)
19).- Resolver y ' '+x2 y=1+x+ x2según potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x3+A4 x4+…+An xn+…---( )Sea:
y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x2+20 A5 x3+30 A6 x4+…+¿(n∗(n−1 ))An xn−2+…
x2 y '=A0 x2+A1 x3+A2 x4+A3 x5+A4 x6+…+An xn+2+…−1=−1−x=−x−x2=−x2
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2−1 )+ (6 A3−1 ) x+¿
0=(2 A2−1 )+(6 A3−1 ) x+¿
Por lo tanto:
2 A2−1=0 ⇒ A2=12
6 A3−1=0 ⇒ A3=16
12 A4+A0−1=0 ⇒ A4=1−A0
12
20 A5+A1=0 ⇒A5=−A1
20
30 A6+A2=0 ⇒ A6=−160
. (n+1 )∗(n+2)An+2+An−2=0
.
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:
y=A0+A1 x+ x2
2+ x3
6+( 1−A0
12 )x4+(−A1
20 ) x5+(−160
)x6+…
∴ y=A0(1− x4
12+…)+A1+5¿(x− x5
20+…)+ x2
2+ x3
6+ x4
12+ x6
60+…
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 11
ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
1) Comprobar que :
d J 0(X)
dx=−J 1(X)
J0( X)=∑
n=0
∞
¿¿
J0( X)=1−( x
2)
2
+ 1(2! )2
( X2)
4
− 1(3 !)2
( X2)
6
+….+¿¿
d J 0( X )
dx=−( x
2 )+ 11!2 ! ( x
2 )3
− 12!3 ! ( x
2 )5
++…(−1)n+1 1(n! ) (n+1 )!
( x2)
2n+1
d J 0( X )
dx=¿ −¿¿]
d J 0( X )
dx=−∑
n=0
∞
¿¿
d J 0( X )
dx=−J 1( X)
2) Comprobar que :
a)ddx (x K J k ( X )
)=xK Jk−1( X )
xK J k( X )=( x2
2)
k
¿
+12 ! (k+2 )! ( x
2 )4
−…+ 1n! ( k+1 )! ( x
2 )2 n}
ddx (x K J k ( X ))=
(2k )x2 K−1
2k { 1k !
− 11 ! (k+1 ) ! ( x
2 )2
+12! ( k+2 )! ( x
2 )4
−…+(−1)n
n! (k+n ) ! ( x2 )
2n
}
+ x2 K
2k { −10! (k+1 )! ( x
2 )+ 11 ! (k+2 ) ! ( x
2 )3
− −12 ! (k+3 )! ( x
2 )5
+…+(−1)n+1
n ! (k+n+1 )! ( x2 )
(2n+1)}ddx (x K J k ( X )
)= x2 K−1
2k−1 ¿
k2! ( k+2 )! ( x
2 )4
−…+(−1¿¿ )n kn! (k+n )! ( x
2 )2n
}¿
+ x2 K−1
2k−1 { −10 ! (k+1 ) ! ( x
2 )2
+ 11! (k+2 )! ( x
2 )4
− −12 ! (k+3 ) ! ( x
2 )6
+…+(−1)n+1
n! (k+n+1 )! ( x2 )
2 (n+1)}Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
ddx (x K J k ( X )
)= x2 K−1
2k−1 ¿
k+22! ( k+2 )! ( x
2 )4
−…+ k+nn! (k+n ) !
ddx (x K J k ( X )
)= x2 K−1
2k−1 ¿
12! ( k+1 )! ( x
2 )4
−…+(−1)n
n! (k+n−1 )! ( x2 )
2n
}
Por lo tanto :
ddx (x K J k ( X )
)=xK Jk−1( X )
b)ddx (x−K J k ( X )
)=−x−K J k+ 1( X )
Debemos llegar a :
−x−K J k+1( X )=−x−K ( x2
2)
k +1
¿
+12! ( k+3 ) ! ( x
2 )4
−…+ 11! ( k+n+1 ) ! ( x
2 )2 n
}
−x−K J k+1( X )=−X
2k +1 ¿
+12! ( K+3 )! ( x
2 )4
−…+ 11 ! ( K+n+1 )! ( x
2 )2n
}
Partimos de :
x−K J k (X )= 1
2K ¿
+12 ! (k+2 )! ( x
2 )4
−…+ 1n! ( k+1 )! ( x
2 )2 n}
ddx (x−K J k ( X )
)=¿
12K { −1
0 ! (k+1 ) ! ( x2 )+ 1
1! ( k+2 )! ( x2 )
3
− −12! (k+3 ) ! ( x
2 )5
+…+(−1)n+1
n! ( k+n+1 ) ! ( x2 )
(2 n+1)} ddx (x−K J k ( X )
)=¿ −X2K+1 { 1
0 ! ( k+1 )!− 1
1 ! (k+2 ) ! ( x2 )
2
+ 12! ( k+3 )! ( x
2 )4
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
ddx (x−K J k ( X )
)=¿ −x−K J k+1( X )
4)probar que:
ex2 (t−1
t )=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+1t
J−1 (x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯⋯= ∑
n=−∞
∞
t n J n ( x )
Partimos de la igualdad:
ex2 (t−1
t )=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+1t
J−1 (x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯
x2 (t− 1
t )= ln (1× J 0 (x ) )+ ln ( t × J1 ( x ) )+⋯+ln (t k × Jk ( x ) )+⋯+ln( 1t
× J−1 ( x ))+⋯+ln( 1t k × J−k (x ))+⋯
x2 (t−1
t )= ln (1 )+ ln (J 0 (x ) )+ ln (t )+ ln (J 1 ( x ) )+⋯+ ln (t k )+ ln (J k ( x ) )+⋯+ ln( 1t )+ln (J−1 ( x ) )+⋯+ln ( 1
t k )+ ln (J−k ( x ) )+⋯⋯
x2 (t− 1
t )= ln (J 0 (x ) × J1 ( x )×⋯× J k ( x ) ×⋯ )+ ln (J−1 ( x ) ×⋯× J−k ( x )×⋯ )+ ln (1 ×t ×t 2×⋯×t k ×⋯ )+ ln( 1t
× 1t2 ×⋯× 1
t k ×⋯)Hallando el equivalente en sumatorias:
x2 (t− 1
t )=∑n=0
∞
ln (J n ( x ))+ ∑n=−∞
−1
ln (J n ( x ) )+∑n=0
∞
ln (t n)+ ∑n=−∞
−1
ln ( tn )
x2 (t−1
t )=∑−∞
∞
ln (J n ( x ) )+∑−∞
∞
ln (t n )
x2 (t− 1
t )=∑−∞
∞
[ ln (Jn ( x ) )+ln (t n ) ]
x2 (t−1
t )=∑−∞
∞
ln (t n× J n ( x ) )
ex2 (t−1
t )=∑−∞
∞
t n× J n (x )
∴ ex2 (t−1
t )=J0 ( x )+t J1 (x )+⋯+t k J k ( x )+⋯+ 1t
J−1 ( x )+⋯+ 1t k J−k ( x )+⋯⋯=∑
n=−∞
∞
t n J n ( x )
5)
SOLUCION:
+ + 1 = 2 ; = 3/2
= 1 - = 1/4(1 - ) = 1/4
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
- 2 - ¼ = 02 - + ¼ = 0 = ½ ; = ½ ; = 3/2
ANALOGAMENTE:
y = Ay1 + By2
6.- resolver mediante serie:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0
Solución:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0 , mediante gauss
γ=4 , αβ=2 , α+β+1=4 , res olviendoobtenemos :α=1 , β=2 , γ=4 , x=x
y 1=F (α , β , γ , x ) , reemplazando obtenemos :
y 1=(1+ x2+ 3
10x2+ 1
5x3……)
Análogamente:y 2=x1−γ F ( α−γ+1 , β−γ+1,2−γ , x ) , reemplaz ando obtenemos
y 2=x1−γ F (−2 ,−1,−2 , x )y 2=x−3 (1+2 x .. )
La solución completa será:
y=A (1+ x2+ 3
10x2+ 1
5x3 ……)+B x−3 (1+2 x .. )
7.- probar que:
a) F (α , β , β , x )=(1− x )−α
b) xF (1,1,2,−x )= ln (1+x )
a) F (α , β , β , x )=(1− x )−α
Como:
y=F (α , β , γ , x )=F (α , β , β , x )tenemos : α=α , β=β , γ=β , x=x
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Como:
y=1+αβ1 γ
x+α (α+1) β ( β+1 )1 x2 xγ (γ+1 )
x2+
α (α+1)(α+2) β( β+1 )(β+2 )1 x2 xγ ( γ+1)( γ+2 )
x3+ .. ..
Reemplazando obtenemos:
y=1+x+α (α+1)1 x2
x2+
α (α+1)(α+2)1 x2 x3
x3+
α (α+1)(α+2)(α+3)1 x2 x3 x 4
x4+.. . .. .. .
Como :
(1−x )−n=1+x+n(n+1 )2!
x2+
n( n+1)(n+2 )3 !
x3+
n( n+1)(n+2 )(n+3 )4 !
x4+. .. .. . ..
entonces :y= (1−x )−α
Entonces queda probado que:
F (α , β , β , x )=(1− x )−α
b) xF (1,1,2,−x )=ln (1+x )
Como:
y=F (α , β , γ , x )=F (1,1,2 ,−x )tenemos : α=1 , β=1 , γ=2 , x=−x
Como:
y=xalignl [1+ αβ1 γ
x+ ¿][ α(α+1 )β ( β+1)1 x2 xγ ( γ+1)
x2+ ¿][ α (α+1 )(α+2 )β ( β+1)( β+2)1 x 2 xγ (γ+1)(γ+2)
x3 ¿ ]¿¿
¿¿
Reemplazando obtenemos:
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ECUACIONES DIFERENCIALES
y=xalignl [1−x2+2 x2
2 x2 x3x2+2 x3 x 2 x 3
2 x3 x 2 x 3 x 4x3 ¿ ]¿
¿¿¿
¿
¿
Entonces queda probado que:xF (1,1,2,−x )=ln (1+x )
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA N° 12
I) TRANSFORMADA DE LAPLACECALCULAR LAS SIGUIENTES TRANSFORMADAS:1) Calcular: F (t )=1
Solución: Por definición.
L {F(t)}=∫0
+∞
e−St (1 ) dt=−e−St
S |0
+∞
=−e−St
S+
e0
S=
1S
2) Calcular: F(t )=tSolución: Por definición.
L {F(t)}=∫0
+∞
e−St ( t )dt=−t e−St
S−∫
0
+∞−e−St
Sdt=[−t e− St
S− e−St
S2 ]∞0= 1S2
3) Calcular: F(t )=eat
Solución: Por definición.
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
L {F(t)}=∫0
+∞
e−Sr (eat )dt=∫0
+∞
e−St+at dt=∫0
+∞
e−t (S−a)dt=[−e−t (S−a)
S−a ]∞0= 1S−a
4) Calcular L {F (t )} , donde F (t )=t 2+cos2t+e3 t
Solución: Por propiedad de linealidad: L {F( t ) }=L {t 2+cos2t+e3 t }=L{t 2 }+L {cos2t }+L {e3 t }
L {F( t ) } ¿2S3+
SS2+4
+ 1S−3
5) SI F (t )=e−t cos2 t , hallar L {F (t )}
Solución: Por la primera propiedad de traslación:
Sea; L {cos2 t }= SS2+4
=f (S ) , entonces,
L {e−t cos2 t }=f (S+1)=S+1
(S+1)2+4
L {e−t cos2 t }= S+1S2+2 S+5
6) Hallar: L {F (t )} si f (t )={( t−2)2 ,∧t>20 ,∧t<2
Solución: Por la segunda propiedad de traslación:
Sea: L {t3 }= 6S4=f (S )
L {F( t ) }=e−2 S f (S )=6e−2 S
S4
L {F( t ) }=6e−2 S
S4
7) L{3 u (T−2 ) }=e−2 S L
{3 }=3 e−2 S
S
8) L{Tu (T−a ) }= L{(T−a+a ) u (T−a ) }= L{(T−a )u (T−a ) }+ L{au (T−a ) }=
e−aS L{T }+ ae−aS
L{1 }=
e−aS
S2 + ae−aS
S
9) L{(3 T+1 )u (T−3 ) }= L{(3 T+1−10+10 ) u (T−3 ) }= L{(3 T−9+10 )u (T−3 ) }=
3 L{(T−3 )u (T−3 ) }+10 L{u (T−3 ) }= 3e−3 S L{T }+10 e−3 S
L{1 }=3e−3 S
S2 +10e−3 S
S
10) L{TeT −5 u (T−5 ) }= L{(T−5+5 ) eT −5 u (T−5 ) }= L{(T−5 )eT−5u (T−5 ) }+
L {5eT−5 u (T−5 ) }= e−5 S
L{TeT }+5 e−5 S L
{eT }= e−5 S
( S−1 )2+5e−5 S
S−1
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
11) L{(T−1 )3 eT −1 u (T−1 ) }=e−S L
{T 3eT }= 6 e−S
( S−1 )4
12) Hallar L {sen7 t }
Solución: Por la propiedad de cambio de escala
Sea: L {sin7 t }= 1S2+1
=f (S ) ; entonces
L {sen7 t }=17
f(
S7 )=1
7( 1
S2
72 +1)
L {sen7 t }= 7S2+49
13) Sea: F (t )=sen2t+cos2 t , hallar L {F( t ) }
Solución:
L {sen2 t+cos2t }=L { sen2t }+L {cos2t }= 2S2+4
+ SS2+4
14) Sea: F (t )=t 2+6 t−3, hallar L {F( t ) }
Solución:
L {t2+6 t−3 }=L {t 2}+6 L {t }+3 L {1 }= 2S3 +
6S2−
3S
15) Hallar L {(T +1)3 }
Solución:(T +1)3=t3+3 t2+3 t+1
L {t3+3 t 2+3t+1}=L {t 3 }+3 L {t2 }+3 L {t }+L {1 }= 6S4 +
6S3+
3S2+
1S
16) Hallar: L {(1+e2 t)2 }Solución:
F(t )=(1+e2 t)2=1+2 e2t+e4 t
L {1+2 e2 t+e4 t }=L {1 }+2 L {e2 t }+L {e4 t }=1S+ 2
S−2+ 1
S−4
17) Hallar: L {e2t cos2t }Solución:
L {e2t cos2t }=L {os2 t } SS2+4|S → S−2
= S−2(S−2)2+4
= S−2S2−4 S+8
18) Hallar: L {e t sen3 t }
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:
f (s )=L {e t sen3 t }=L {sen3 t }|S → S−1=3
S2+9|S → S−1
= 3(S−1)2+9
= 3S2−2S+10
19) Hallar: L{(et –e-t)5}
Solucion:
f (T )=(eT−e−T )5=e5T−5 e3T+10eT−10 e−T+5 e−3T−e−5T
L{e5 T−5 e3T+10 eT−10 e−T+5 e−3 T−e−5 T }= L{e5 T }- 5 L{e3 T }+ 10 L{eT } - 10 L{e−T }+
5{e−3 T }- L{e−5 T }=
1S−5
− 5S−3
+10S−1
−10S+1
+ 5S+3
− 1S+5
II) TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACEIDENTIFICAR LA PROPIEDAD Y RESOLVER
1) Si f (S )=1S2+
1S2+9
− 3S−2 ; Hallar F (t )
Solución: Por propiedad de linealidad.
F (t )={f (t ) }=L−1{ 1S2+
1S2+9
− 3S−2 }=L−1 { 1
S2 }+L−1 { 1S2+9 }−3 L−1{ 1
S−2}
F (t )=t+ sin 3 t3
−3 e2 t
2) Hallar F (t ) si: f (S )=S−2
(S−2)2+9
Solución: Por la segunda propiedad de traslación:
F (t )=L−1 {f (S )}=L−1{ S−2(S−2)2+9 }=e2t L−1{ S
S2+9 }F (t )=e2 t cos3 t
3) Hallar F (t ) si f (S )=1
9S2+1
Solución: Por la cuarta propiedad de cambio de escala
L−1 { 1S2+1 }=sin t
L−1 { 1(3 S)2+1 }=
sin t3
3
4) Hallar F (t ) si f (S )=1S2
Solución:
L−1 { 1S3 }= 1
2 !L−1{2 !
S3 }=12
t2
5) Hallar F (t ) si f (S )=1S4
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:
L−1 { 1S4 }= 1
3!L−1 {3 !
S4 }=16
t 3
6) Hallar F (t ) si f (S )=1S2+
48S5
Solución:
L−1 { 1S2+
48S5 }=L−1 { 1
S2 }+L−1{4 8S5 }=t+2t 4
7) Hallar F (t ) si f (S )=( 2S+ 1
S3 )2
Solución:
L−1 {( 2S+ 1
S3 )2}=L−1 { 4
S2−4S4+
1S6 }= 4
1 !L−1{1 !
S2 }− 43!
L−1 {3 !S4 }+ 1
5 !L−1{5 !
S6 }L−1 {( 2
S+ 1
S3 )2}=4 t−2
3t3+ 1
120t 5
8) Hallar F (t ) si f (S )=(S+1)3
S4
Solución:
L−1 { (S+1 )3
S4 }=L−1{S3+3 S2+3 S+1S4 }=L−1{1
S+ 3
S2+3S3+
1S4 }
L−1 { (S+1 )3
S4 }=L−1{1S }+3L−1{ 3
S2 }+ 32 !
L−1{2 !S3 }+ 1
3 !L−1{3 !
S4 }L−1 { (S+1 )3
S4 }=1+3 t+ 32
t 2+ 16
t3
9) Hallar F (t ) si f (S )={ 1S2−
1S+ 1
S−2}
Solución:
L−1 {{ 1S2−
1S+ 1
S−2}}=t−1+e2 t
10) Hallar F (t ) si f (S )={ 14 S+1
}
Solución:
L−1 { 14 S+1 }=L−1 { 1
4
S+ 14}=1
4L−1 { 1
S+ 14 }=1
4e−14
11) Hallar F (t ) si f (S )={ 15 S−2
}
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución:
L−1 { 15S−2 }=L−1 { 1
5
S+15}=1
5L−1{ 1
S+15 }=1
5e−15
12) L-1 { 1
S3 }=
12! L-1
( 2!S3 )
=
12
T 2
13) L-1{( 2
S− 1
S3)2}
= L-1 { 4
S2 −4S4 +
1S6 }
=
41! L-1
{1 !S2 }−
43! L-1
{3 !S4 }+
15! L-1
{5 !S6 }
=
4 T−23
T3+ 1120
T5
14) L-1{ 1
4 S+1 }= L-1{ 1
4
S+14}=1
4 L-1{ 1
S+14 }=
14
e−1
4 T
15) L-1{ 15 S−2 }= L-1
{ 15
S−25}
=
15 L-1
{ 1S−2
5 }=
15
e2
5T
16) L-1{ 5
S2+49 }=
57 L-1
{ 7S2+49 }=
57
sen7 T
17) L-1{10 S
S2+16 }= 10 L-1{ S
S2+16 }=10 cos4T
18) L-1{2S−6
S2+9 }= 2 L-1
{ SS2+9 }−6
3 L-1{ 3
S2+9 }=2 cos3 T−2 sen3 T
19) L-1{ 5( S−2 ) (S−3 ) (S−6 ) }
AS−2
+BS−3
+CS−6
=5( S−2 ) ( S−3 ) (S−6 )
A (S−3 ) ( S−6 )+B (S−2 ) (S−6 )+C (S−2 ) ( S−3 )=5A (S2−9S+18 )+B (S2−8S+12 )+C (S2−5 S+6 )=5A+B+C=0−9 A−8 B−5 C=018 A+12B+6 C=5
A=12 , B=−1 y C=1
2
L-1{ 5( S−2 ) (S−3 ) (S−6 ) }=
12 L-1
{ 1S−2 }− L-1
{ 1S−3 }+ 1
2 L-1{ 1
S−6 }= 12 e2T−e3T+ 1
2 e6T
20) L-1{ 1S (S2+4 ) }
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
AS+BS+C
S2+4=1
S (S2+4 )A (S2+4 )+(BS+C ) S=1AS2+4 A+BS2+CS=1A+B=0C=04 A=1⇒ A=1
4 ⇒B=−A=−14
L-1{ 1
S (S2+4 ) }=
14 L-1
{1S }−1
4 L-1{ S
S2+4 }=
14− 1
4cos2T
21) L-1{ 1(S2+1 ) (S2+4 ) }
AS+BS2+1
+CS+DS2+4
=1(S2+1 ) (S2+4 )
( AS+B ) (S2+4 )+(CS+D ) (S2+1 )=1AS3+4 AS+BS2+4 B+CS3+CS+DS2+D=1A+C=0B+D=04 A+C=04 B+D=1
A=0 , B=1
3 , C=0 y D=−13
L-1{ 1(S2+1 ) (S2+4 ) }=
13 L-1
{ 1S2+1 }− 1
3∗2 L-1 { 2S2+4 }=1
3 senT−16 sen2T
(1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
22)L-1 { 1( S+2 )3 }=
12! L-1
{2 !S3 }|S→ S+2=
12 T2|S→S+2=
12 T2 e−2 T
23) L-1{ 1
S2−6 S+10 }= L-1{ 1
S2−6 S+10−1+1 }= L-1{ 1S2−6 S+9+1 }=
L-1{ 1( S−3 )2+1 }= L-1
{ 1S2+1 }|S→S−3
= e3T senT
24) L-1{ 1
S2+2 S+5 }= L-1{ 1
S2+2 S+1+4 }= L-1{ 1( S+1 )2+4 }= 1
2
L-1 { 2
S2+4 }|S→S+1 = 1
2e−T sen 2T
25) L-1{ 2 S+5S2+6 S+34 }= L-1
{ 2 S+5S2+6S+34−25+25 }= L-1
{ 2S+5S2+6 S+9+25 }=
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
L-1{2 S+5+1−1
(S+3 )2+25 }= L-1{ 2 S+6( S+3 )2+25 }− L-1
{ 1( S+3 )2+25 }= 2 L-1
{ S+3( S+3 )2+25 }
− 15 L-1
{ 5( S+3 )2+25 }=2 L-1
{ SS2+25 }|S→ S+3−
15
L-1{ 5S2+25 }|S→S+3=
2 e−3T cos5 T−15
e−3T sen5 T
26) L-1{ 2 S−1
S2 (S+1 )3}AS+B
S2+C
S+1+D
( S+1 )2+E
( S+1 )3=2S−1
S2 ( S+1 )3
AS (S+1 )3+B (S+1 )3+CS2 ( S+1 )2+DS2 (S+1 )+ES2=2 S−1AS4+3 AS3+3 AS2+AS+BS3+3 BS2+3 BS+B+CS4+2 CS3+CS2+DS3+DS2+ES2=2 S−1A+C=0⇒C=−A⇒C=−53 A+B+2 C+D=03 A+3 B+C+D+E=0A+3 B=2⇒ A=2−3 B=5B=−1 , D=−4 y E=−3
L-1{ 2 S−1
S2 (S+1 )3}= L-1{5S }+ L-1
{−1S2 }+
L-1{ −5S+1 }+ L-1
{ −4( S+1 )2 }− 3
2 ! L-1
{ 2!( S+1 )3 }=
5−T−5 e−T−4 Te−T−32
T 2 e−T
27) L-1{ e−2 S
S2 (S−1 ) }= L-1{ 1S2 (S−1 ) }e−2 S
AS+B
S2+C
S−1=1
S2 ( S−1 )AS (S−1 )+B (S−1 )+CS2=1AS2−AS+BS−B+CS2=1A+C=0−A+B=0B=−1⇒ A=−1⇒C=1
L-1{ 1S2 (S−1 ) }e−2 S
= L-1{−1S −
1S2 +
1S−1 }e−2 S=(−1−T+eT )u (T−2 )=
−u (T−2 )−(T−2 )u (T−2 )+eT−2u (T−2 )
28) L-1{(1+e−2 S )2
S+2 }= L-1{1+2 e−2 S+e−4 S
S+2 }= L-1{ 1
S+2 }+2 L-1{ 1
S+2 }e−2 S+
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
L-1{ 1S+2 }e−4 S=
e−2T+2e−2 T u (T−2 )+e−2 T u (T−4 )=
e−2T+2e−2 (T−2 ) u (T−2 )+e−2 (T−4 )u (T−4 )
29) L-1{e−2 S
S3 }= L-1{ 1
S3 }e−2 S=12 ! L-1 {
2 !S3 }e−2 S=
12 T 2e−2S=
12 T 2u (T−2 )=
12
(T−2 )2 u (T−2 )
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
ECUACIONES DIFERENCIALES
Lic. FERNANDEZ JUAN RAYMUNDO
FIN