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SEMESTRE I/2010
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CAIDA LIBRE
1. OBJETIVOS. Estudiar las caractersticas del movimiento de cada libre de un cuerpo
(Movimiento rectilneo uniformemente acelerado en direccin vertical).
Comprobar que la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempoempleado al cuadrado, que la grafica y t es una parbola, que la grfica v t es
una recta donde su pendiente representa a la aceleracin.
Medir experimentalmente la aceleracin de un cuerpo que cae libremente(aceleracin de la gravedad).
2. FUNDAMENTO TEORICO.Aceleracin Media
Es el cambio que experimenta la velocidad instantnea de una partcula en un ciertointervalo de tiempo.
Aceleracin Instantnea
Esta aceleracin asociada a un tiempo t, se considera como el lmite de la aceleracin
media conforme al intervalo tiende a cero, es decir como la derivada de la velocidadcon respecto al tiempo, o bien como la segunda derivada del desplazamiento y con
respecto al tiempo dos veces.
Se puede decir que la aceleracin instantnea es la rapidez de la variacin de la velocidad
instantnea.
Si se grafica la velocidad en funcin del tiempo, se encontrara que la pendiente en
cualquier punto seria igual a la aceleracin instantnea en el punto correspondiente.
Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado
Se analizara el movimiento de una partcula restringida a moverse solo a lo largo de la
direccin vertical (eje y) con aceleracin constante, es decir que la aceleracin media
coincide con la aceleracin instantnea, a esta aceleracin se denomina aceleracin de lagravedad: En este movimiento la velocidad del mvil varia uniformemente, es decir la velocidad
aumenta disminuye la misma cantidad en la unidad de tiempo.
A la variacin de la velocidad de un intervalo de tiempo se denomina aceleracin. Tambin
la aceleracin se puede interpretar como una medida de la rapidez con que varia la
velocidad.
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v
t
La velocidad se incrementa a
medida que transcurre el tiempo.
g
t
La aceleracin de la gravedad se
mantiene constante a medida que
transcurre el tiempo.
Entonces se puede escribir:
Considerando:
1)Las grficas v t y g t que caracterizan a este movimiento, cuando el mvil parte del
reposo, es decir se las representa n la figura 1. Donde la pendiente de la grafica vt representa la aceleracin constante.
Figura 1.
Cuando la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, es decir la aceleracin se
mantiene constante, tambin la velocidad media para cualquier intervalo de tiempo est
dada por:
2)Adems, por lo analizado anteriormente:
3)
Si la posicin inicial del mvil se encuentra en el origen se tiene: y Igualando 3) y 2) se obtiene:
4)Y reemplazando 1) en 4) se tiene:
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t
y
Figura 2. La rapidez va
aumentando segn con el
tiempo.
5)
La grafica de la ecuacin 5) es una parbola como se representa en la figura 2.
Cada libre de los cuerpos
El ejemplo ms sencillo del movimiento rectilneo vertical con aceleracin constante es el
movimiento de un cuerpo que cae libremente por accin de la gravedad.
La aceleracin de la gravedad para todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre se
puede representar como un vector que apunta verticalmente hacia abajo, hacia abajo,
hacia el centro de la tierra. Si la resistencia del aire no afecta en la cada de los cuerpos, es
decir es despreciable, todos los cuerpos caen con la misma aceleracin sobre la superficie
de la tierra.
La aceleracin de un cuerpo que cae libremente, cerca de la superficie terrestre tiene
valor aproximado de:
Su valor vara de acuerdo con la latitud la altura del lugar.La resistencia que ejerce el aire ejerce a la cada de los cuerpos es despreciable en los
casos de cuerpos de densidad grande como por ejemplo una esfera de metal, una piedra,
un proyectil, un bloque de madera, una pelota, etc.
El movimiento de cada libre de un cuerpo, es un movimiento rectilneo uniforme en la
direccin vertical, por lo tanto se cumplen las siguientes ecuaciones:
donde
donde
3. PROCEDIMIENTO.Realizamos la prctica de laboratorio con equipos ya armados, los cuales constaban del
siguiente material:
Mecanismo de liberacin de la esfera. Detector de impacto. Cronometro. Dos esferas metlicas de diferentes masas. Regla de madera de 1 m.
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Regla metlica de 50 cm.El mecanismo de liberacin estaba fijo en un solo lugar, el detector de impacto estaba en
los pies del mecanismo, el cual estaba conectado al cronometro, este nos daba el tiempo
de cada hasta el impacto en el detector.
El mecanismo tena a una cierta altura una suerte de agarre del cual mediamos la altura y
al caer sobre el detector de impacto se imprima un tiempo; y tuvimos que efectuar unas
40 mediciones para una esfera y otras 40 para la otra.
4. ANALISIS DE DATOS.Se trabajo con dos masas, para la primera masa se saco la siguiente tabla:
Masa (1) = 13.6 gramos
N h (cm) t1 t2 t3 t4 t5 t (promedio)
1 171,70 0,596 0,594 0,593 0,597 0,594 0,595
2 161,54 0,576 0,577 0,583 0,579 0,576 0,578
3 151,30 0,556 0,556 0,556 0,556 0,556 0,556
4 142,88 0,541 0,539 0,541 0,540 0,540 0,540
5 133,98 0,522 0,524 0,524 0,524 0,525 0,524
6 125,73 0,510 0,507 0,507 0,507 0,507 0,508
7 121,00 0,496 0,497 0,497 0,497 0,498 0,497
8 111,00 0,476 0,478 0,477 0,477 0,477 0,477
Tabla 1.
En esta se ve que en la segunda columna se ve las alturas de las cuales
se tomaron los tiempos de cada, desde la tercera, hasta la sptimacolumna estn los tiempos tomados y en la ltima columna se ve el
promedio de los tiempos, los tiempos medidos estn expresados en
segundos
Masa (2) = 27.9 gramos
N h (cm) t1 t2 t3 t4 t5 t (promedio)
1 171,70 0,591 0,593 0,593 0,593 0,592 0,592
2 161,54 0,576 0,574 0,575 0,575 0,575 0,575
3 151,30 0,555 0,555 0,555 0,557 0,556 0,556
4 142,88 0,541 0,540 0,541 0,540 0,540 0,540
5 133,98 0,523 0,523 0,523 0,523 0,523 0,5236 125,73 0,509 0,507 0,509 0,509 0,508 0,508
7 121,00 0,496 0,497 0,496 0,495 0,497 0,496
8 111,00 0,476 0,476 0,478 0,475 0,477 0,476
Tabla 2.
Esta tabla est compuesta por valores tomados para una esfera de
27.9 gramos, tambin tiene las caractersticas de la tabla 1.
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a) Ahora construiremos las graficas de h vs t.Ahora realizaremos las graficas de h vs t, para eso se usaran las siguientes tablas:
h (cm) 171.70 161.54 151.30 142.88 133.98 125.73 121.00 111.00
t (promedio) 0.595 0.578 0.556 0.540 0.524 0.508 0.497 0.477Tabla 3.
Es el resumen de la tabla 1 para construir la grafica 1 de h vs t para
una masa de 13.6 gramos.
h (cm) 171.70 161.54 151.30 142.88 133.98 125.73 121.00 111.00
t (promedio) 0.592 0.575 0.556 0.540 0.523 0.508 0.496 0.476
Tabla 4.
Con estos datos abreviados de la tabla 2, construiremos la grafica 2 de
h vs t para una masa de 27.9 gramos.
Grafico 1
Para este grafico se utilizaron los datos de la tabla 3, en el cual el eje y
representa la altura medido en centmetros, el eje x representa el
tiempo que transcurre medido en segundos.
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Grafico 2.
Este grafico utiliza los datos de la tabla 4, en el eje y se puede notar
que representa la altura medida en centmetros, el eje x representa el
tiempo medido en segundos.
b) Linealizando la curva y ajustando por el mtodo de Mnimos cuadrados y asobteniendo la aceleracin: (trabajaremos con la tabla 3)
Trabajaremos con la ecuacin 5:
Ya que el objeto cae, la velocidad inicial es igual a 0 ( ) entonces la ecuacinqueda como sigue:
Esta es la ecuacin experimental, la cual vemos que es una funcin potencial de la
forma:
Ajustndola se tiene:
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Y esta la ajustamos a una funcin lineal de aplicando logaritmos de la siguiente forma:
Cambiando las variables tenemos:
Y queda de la siguiente manera:
Ahora aplicando mnimos cuadrados:
N t (s) = x h (cm) = y X = log x Y = log y X * Y X^2
1 0,595 171,70 -0,2255 2,2348 -0,50390 0,05084
2 0,578 161,54 -0,2381 2,2083 -0,52573 0,05668
3 0,556 151,30 -0,2549 2,1798 -0,55570 0,06499
4 0,540 142,88 -0,2676 2,1550 -0,57668 0,07161
5 0,524 133,98 -0,2807 2,1270 -0,59699 0,078776 0,508 125,73 -0,2941 2,0994 -0,61752 0,08652
7 0,497 121,00 -0,3036 2,0828 -0,63242 0,09220
8 0,477 111,00 -0,3215 2,0453 -0,65753 0,10335
-2,1860 17,1324 -4,66649 0,60496 Tabla 5.
Esta tabla nos servir para realizar el ajuste por mnimos cuadrados, y
es una extensiva de la tabla 3.
Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados tenemos:
Donde:
Ahora calculando B tenemos:
Reemplazando los valores de la tabla 5 tenemos:
(
)
( )
Tenemos
Ahora calculamos K
Reemplazando valores tenemos:
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Resolviendo tenemos el valor de K el cual es:
Reemplazando los valores en la ecuacin tenemos: Pero:
Despejando A tenemos:
Ahora reemplazamos los valores en la ecuacin experimental y tenemos:
Como el fin de este procedimiento es el obtener la aceleracin de la gravedad ahora la
reemplazamos en la ecuacin terica que relaciona la altura con el tiempo:
Comparando la ecuacin experimental con la terica, se concluye:
Despejando la gravedad nos da:
Entonces el valor de la gravedad con unidades nos da:
Ahora calculando con ayuda de la tabla 4 la gravedad mediante mnimos cuadrados para la
esfera de masa 27.9 gramos. (El proceso es similar al anterior clculo as que omitiremos
algunos pasos)
Trabajaremos con la ecuacin 5:
Ya que el objeto cae, la velocidad inicial es igual a 0 ( ) entonces la ecuacin quedacomo sigue:
Esta es la ecuacin experimental, la cual vemos que es una funcin potencial de la forma:
Ajustndola se tiene:
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Y esta la ajustamos a una funcin lineal de aplicando logaritmos de la siguiente forma:
Cambiando las variables tenemos:
Y queda de la siguiente manera:
Ahora aplicando mnimos cuadrados:
N t (s) h (cm) X = log x Y = log y X * Y X 2
1 0,592 171,70 -0,2277 2,2348 - 0,50881 0,05184
2 0,575 161,54 -0,2403 2,2083 - 0,53072 0,05776
3 0,556 151,30 -0,2549 2,1798 - 0,55570 0,064994 0,540 142,88 -0,2676 2,1550 - 0,57668 0,07161
5 0,523 133,98 -0,2815 2,1270 - 0,59876 0,07924
6 0,508 125,73 -0,2941 2,0994 - 0,61752 0,08652
7 0,496 121,00 -0,3045 2,0828 - 0,63425 0,09273
8 0,476 111,00 -0,3224 2,0453 - 0,65940 0,10394
-2,1931 17,1324 -4,68183 0,60862
Tabla 6.
Esta tabla nos servir para realizar el ajuste por mnimos cuadrados, y
es una extensiva de la tabla 4.
Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados tenemos:
Donde:
Ahora calculando B tenemos:
Tenemos
Ahora calculamos C
Resolviendo tenemos el valor de C el cual es:
Reemplazando los valores en la ecuacin tenemos:
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Pero:
Despejando A tenemos:
Ahora reemplazamos los valores en la ecuacin experimental y tenemos:
Como el fin de este procedimiento es el obtener la aceleracin de la gravedad ahora la
reemplazamos en la ecuacin terica que relaciona la altura con el tiempo:
Comparando la ecuacin experimental con la terica, se concluye:
Despejando la gravedad nos da:
Entonces el valor de la gravedad con unidades nos da:
c) Ahora construimos la grfica h vs t2, ajustando la recta y obteniendo la aceleracin
h (cm) 171.70 161.54 151.30 142.88 133.98 125.73 121.00 111.00t
2(promedio) 0.354 0.334 0.309 0.292 0.275 0.258 0.247 0.228
Tabla 7.
En esta tabla se observa que es similar a la tabla 3, lo que cambia es el
tiempo, ya que este est elevado al cuadrado.
h (cm) 171.70 161.54 151.30 142.88 133.98 125.73 121.00 111.00
t2
(promedio) 0.350 0.331 0.309 0.292 0.274 0.258 0.246 0.227
Tabla 8.
En esta tabla se observa que es similar a la tabla 4, lo que cambia es el
tiempo, ya que este est elevado al cuadrado.
Ahora graficando gracias a las tablas 7 y 8 tenemos:
Primeramente para la tabla 7
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Grafico 3.
En este grfico el eje y representa la altura, el eje x es el tiempo
elevado al cuadrado, y la pendiente representa la aceleracin de la
gravedad
Ajustando la recta a una funcin exponencial tenemos:
Ajustando esta a la ecuacin
Tenemos:
Y la gravedad nos da:
Poniendo unidades tenemos:
Ahora lo graficaremos la tabla 8:
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Grafico 4.
Para graficarlo se utilizaron los valores de la tabla 8, en el eje y esta la
altura medida en centmetros, el eje x representa al tiempo elevado al
cuadrado.
De la misma manera que el anlisis del grafico 3 ajustamos a una funcin potencial y
realizamos los mismos pasos:
Ajustando esta a la ecuacin
Tenemos:
Y la gravedad nos da:
Poniendo las unidades correspondientes nos da:
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d) Ahora calcularemos las velocidades utilizando las aceleraciones halladas en el inciso c)y los tiempos de la tabla3 entonces primeramente para
t(s) v(cm/s)=g*t
0,595 570,0
0,578 553,7
0,556 532,6
0,540 517,3
0,524 502,0
0,508 486,7
0,497 476,1
0,477 457,0
Tabla 9.
En la primera columna tenemos los tiempos medidos, en la segunda
tenemos la velocidad calculada con la aceleracin.
Ahora para una t(s) v(cm/s)=g*t
0,592 579,0
0,575 562,4
0,556 543,8
0,540 528,1
0,523 511,5
0,508 496,8
0,496 485,1
0,476 465,5 Tabla 10.
Esta tabla es idntica a la tabla 9, pero con un ligero cambio de la
aceleracin de la gravedad.
e) Ahora construiremos la grafica de V vs t con la ayuda de las tablas 9 y 10;
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Grafico 5.
Esta construido gracias a la tabla 9, el eje y representa la velocidad
medida en centmetros por segundo, y el eje x el tiempo. Como se
puede ver esta grafica se ajusta a una recta.
Ahora aplicando mnimos cuadrados tenemos:
Hallando b directamente tenemos:
Ahora para a:
Entonces:
La ecuacin resultante es:
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Como vemos claramente la pendiente que es b nos da la aceleracin de la gravedad
que para este caso es:
Con las unidades correspondientes ser:
Ahora graficaremos los datos de la tabla 10:
Grafica 6.
Como se ve en la grafica la recta tiene una tendencia a ajustarse a una
funcin lineal.
Ahora aplicando mnimos cuadrados directamente tenemos:
Hallando b directamente tenemos:
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Ahora para a:
Entonces:
La ecuacin resultante es:
Como vemos claramente la pendiente que es b nos da la aceleracin de la gravedad
que para este caso es:
Con las unidades correspondientes ser:
f) Comparando los valores de la gravedad obtenidos por las de h vs t y v vs t tenemos:Para la primera masa con h vs t
Con v vs t
Ahora analizamos la segunda masa h vs t
Con v vs t
Creo que los valores ms confiables seran los primeros, h vs t ya que son medidas
directas y no indirectas como se ve en la grafica de v vs t.
En teora los valores deberan ser iguales, pero por factores externos, de error
humano o de calibracin se sumaron errores y nos son similares.
Pero podemos tomar el valor para la gravedad de convertida al sistemainternacional tenemos ya que la tabla de la segunda bolita de masa 27.9gramos no tiene tantos errores y los tiempos de ambas tablas son similares.
g) En teora las masas no deberan tener ninguna influencia porque la gravedad no esten funcin a la masa sino a la influencia de la atraccin gravitacional de la tierra, por
ende es independiente de la masa.
5. CONCLUCIONES.Se estudio las caractersticas del movimiento de cada libre experimentalmente con
clculos, el cual era uno de los objetivos de la prctica, ya que se estudio las graficas de h
vs t y la de v vs t.
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Tambin se puede ver que la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo
empleado al cuadrado como se puede ver a continuacin con los datos tomados de la
tabla 3 de la segunda columna:
Y se ve que es proporcional el cual era un objetivo.
Las graficas que se hicieron como ser la grafica 1 y grafica 2 tendran que ser una parbola,
pero podemos decir que tampoco es una recta, as que se aproxima lejanamente a una
parbola.
Y el objetivo principal, el cual era el clculo de la aceleracin de la gravedad en el
laboratorio de fsica de la facultad, lo cumplimos la gravedad que podemos tomar es:
Y es aceptable ya que la gravedad vara de acuerdo a la latitud y altura del lugar donde sequiera calcular la gravedad.
Y la ciudad de La Paz se encuentra a una altura de 3600 m y pico de altura entonces
podemos aceptar esta aceleracin.
6. BIBLIOGRAFIA.Gua de Laboratorio de Fsica Bsica I, Ingeniero Rene Delgado S. pgina 13