ESCUELA:
PONENTE:
BIMESTRE:
CÁLCULO II
CICLO:
CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
II BIMESTRE
Ing. María del Carmen Cabrera Loayza
Octubre – Febrero 2007
OBJETIVO GENERAL
Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series.
En resumen:Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP• Conocer y evaluar integrales impropias• Caracterizar y tabular sucesiones• Analizar Series (CV o DV)• Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones
reales• Analizar las series de Fourier
CONTENIDOS
5. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN5.1 Integración por partes 5.2 Integración mediante fracciones parciales5.3 Sustituciones trigonométricas
6. FORMAS INDETERMINADAS6.1 Límites infinitos6.2 Integrales Impropias
7. SERIES7.1 Sucesiones7.2 Series Infinitas (CV, DV)7.3 Convergencia (Criterios)7.4 Serie de Taylor7.5 Series de Fourier
Capítulo 5
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES
Método que surge de la formula de la derivada de un producto:
Ejemplo 1:
Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden:LOGARÍTMICA, INVERSA TRIGONOMÉTRICA, ALGEBRAICA, EXPONENCIAL
Ejemplo 2:
u = x, du = dx
dv = dx, v = xe xe
Ejemplo 3:
dx)xlog(
xv,......dxdv
dxx
1du),.....xlog(u
Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:
Caso Especial: Doble integración por partes
Ejemplo 4:
(1)(1)
(2)(2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene:
5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES)
•Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios)•Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples
CASO 1: Funciones de la formaGrado P(x) > Grado Q(x)
Ejemplo:
Donde:
Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x)
Se hace la descomposición:
Donde constantes reales.
Ejemplo 1:
Igualando numeradores:
Se forma un sistema de ecuaciones lineales:
Resolviendo se obtiene:
Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas
Entonces:
Ejemplo:
Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas.Q(x) posee factores cuadráticos de la forma:
Entonces:
Ejemplo:
Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
Luego:
Se obtiene:
5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS
•Integrar funciones Irracionales (Radicales)•Utilizar identidades trigonométricas
Algunos Ejemplos:
Tres casos fundamentales:
a: constante real.
Ejemplo 1: Resolver la integral
tanaau.,.........secau.,.........au
secaua.,.........tanau.,.........ua
cosaua.,.........asenu.,.........ua
2222
2222
2222(1)(1)
(2)(2)
(3)(3)
Ejemplo 2: Resolver la integral
Utilizando la identidad:
Puesto que: =
Capítulo 6
INTEGRALES IMPROPIAS
6.1 LÍMITES INFINITOS
¿Qué significan las siguientes expresiones?
X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.)f(x): toma valores positivos muy grandes
X: toma grandesf(x): se aproxima a 5
Gráfica de Límites Infinitos
Algunos Ejemplos
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
6.1 INTEGRALES IMPROPIAS
CASO 1:
CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)
b
a
dx)x(f
b_y_a
b
a
6.1 INTEGRALES IMPROPIAS
CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO
b
a
dx)x(f
CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA
INTEGRALES CONVERGENTES- Si existe el límite
INTEGRALES DIVERGENTES- Si limite es infinito (+/-)
INTEGRALES OSCILANTES- Si no existe limite
Algunos EjemplosEjemplo 1: Esquematizar la región.
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Capítulo 7 SERIES INFINITAS
7.1 SUCESIONES
Aplicaciones de los naturales en los reales:
a: N R n an
Ejemplo: número e
¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!
Sucesiones MonótonasEjemplo: Analizar la monotonía de la sucesión
nn 2a
creciente_nteestrictame
...aaa
8a
4a
2a
321
3
2
1
verdad.....21
222
22
aa
nn
1nn
1nn
Paso 1Paso 1 Paso 2Paso 2
La sucesión es monótona La sucesión es monótona
7.2 SERIES INFINITAS
Sumas parciales
n321n
3213
212
11
a...aaaS
.
.
.
aaaS
aaS
aS
N-ésima suma parcialN-ésima suma parcial
¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límitela serie converge !!!
¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límitela serie converge !!!
7.3 CONVERGENCIA
EJEMPLOS
Serie armónica divergente
Serie geométrica
PROPIEDADES
CRITERIOS DE CV
Adición:Adición:
Producto por escalar:Producto por escalar:
Criterio del cociente
Criterio de la raíz
Criterio de la INTEGRAL
7.4 SERIE DE TAYLOR
Polinomio de Taylor:Polinomio de Taylor:
Residuo de Taylor:Residuo de Taylor:
La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0 La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0
ALGUNAS SERIES BÁSICAS de MaclaurinALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin
7.5 SERIE DE FOURIER