Seales senoidales, anlisis en el
tiempo y fasores. .
1
Ing. C. Contreras.
Parmetros de las seales senoidales:
)sin()( wtVtv mVm = Amplitud de la senoidal.
w = Frecuencia angular dada en radianes/seg.
wt = Argumento de la sinusoidal.
Variacin de la amplitud:
Seal peridica: Se repite la seal despus cierto tiempo llamado perodo de la seal (T).
T : Perodo de la seal (segundos). En el ejemplo T = 2* seg.
= Desfasamiento.
2
Variacin del perodo:
2T
T
3
2T
A menor perodo ms rpido se repite.
Tf
1
Frecuencia: Inverso del perodo.
)sin()( wtVtv m
fT
w
22
12
2
w
22
w
3
32
2
w
El perodo (T) se da en
segundos, la frecuencia (f)
en Hz (ciclos/segundo) y la
frecuencia angular (w) en
radianes/segundo.
3
*180
gradosradianes
gradosradianes _180_
gradosgradosradianes _296.57_180
_1
180*
radianesgrados
360 180
4
Conversin entre radianes y grados.
Parmetros de las seales sinusoidales:
Vmax = Amplitud mxima de la sinusoidal.
w = Frecuencia angular dada en radianes/seg.
wt = Argumento de la sinusoidal.
= Desfasamiento.
)sin()( max wtVtv
)602sin(2127)( ttv
voltsttv )377sin(6.179)(
Valor efectivo o rms (root mean square): Voltaje que se tendra que aplicar en CD para generar la misma potencia en CA. 2
maxVVrms
Tfw
2
2 f = Frecuencia dada en Hertz (ciclos/seg).
T = Perodo de la seal y es dado en seguntos. f
T1
Seal senoidal en el hogar.
voltstfVrmstv )2sin(2)(
seg
radfw 37760**2**2
La frecuencia del voltaje en casa es de 60 Hz.
La seal de voltaje es:
msegsegHz
T 67.1601667.60
1
6
Voltaje en el hogar.
voltsttv )377sin(6.179)( )602sin(2127)( ttv
Variacin del desfasamiento:
Desfasamiento negativo: Atrasada.
Desfasamiento positivo: Adelantada. 7
-30
-60
0
Desfasamiento:
-90
-180
0
Desfasamiento:
+30
+60
0
Desfasamiento:
+90
+180
0
Desfasamiento:
Comparacin seal seno con coseno.
El coseno es un seno adelantado 90 que equivale a decir que el seno es un
coseno atrasado 90.
Decir adelantada 180 es lo mismo que decir atrasada 180.
Decir adelantada 90 es lo mismo que decir atrasada 270. 8
Desfasamientos en forma grfica.
Los ngulos medidos a favor de las manecillas del reloj son negativos (atrasar) y
en contra de las manecillas (adelantar) son positivos.
9
Desfasamientos en forma grfica.
Ejemplos: Obtener las otras tres
formas de escribir la funcin dada.
10
)903(2)180903(2)(
)903(2)(
)1803cos(2)(
)3cos(2)(
tsentsentv
tsentv
ttv
ttv
)903cos(2)180903cos(2)(
)903cos(2)(
)1803(2)(
)3(2)(
tttv
ttv
tsentv
tsentv
Desfasamiento 180.
)3cos(2)( ttv
)3(2)( tsentv
)()cos()( wtsenCwtBwtAsen
Suma de senos con cosenos. El resultado puede ser expresado con una
funcin seno o con un coseno.
Grficamente:
22 BAC
A
B1tan
)90cos()cos()( wtCwtBwtAsen
11
5)4(3 22 C
1.53
3
4tan 1
Ejemplo. )cos()(4)cos(3 wtCwtsenwt
)9.126cos(5)1801.53cos(5 wtwt
)1.143(5)1.5390(5 wtsenwtsen
)9.36(5)1801.143(5 wtsenwtsen
Obtener las cuatro formas del resultado.
12
)1.53cos(5 wt
13
Grfica de la suma de dos seales con poca diferencia de frecuencia.
El desfasamiento se va acumulando hasta que llegan a los 180 que es donde se
cancelan.
Resistencia fija. Resistencia variable.
La resistencia en CA.
tiRtv Voltaje en una resistencia:
14
tsenti 23)(
tsentv 232)(
2R
En la resistencia el voltaje y la corriente van en fase.
tsentv 26)(
Capacitor fijo. Capacitor variable.
El capacitor en CA.
dt
tdvCti Corriente en un capacitor:
15
vCq
2
2vCw
tsentv 23)(
tti 2cos6)(
FC 1
La derivada adelanta 90 la seal.
tsendt
dti 231
En el capacitor la corriente va adelantada 90 que equivale a decir que el
voltaje va atrasado 90.
Inductor fijo. CInductor variable.
El inductor en CA.
dt
tdiLtv Voltaje en un inductor:
16
2
2iLw
tsenti 23)(
ttv 2cos6)(
HL 1
tsendt
dtv 231
En el inductor la corriente va atrasada 90 que equivale a decir que el voltaje
va adelantado 90.
La derivada adelanta 90 la seal.
wtiwtv SS
Anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de circuitos lineales en
alterna (AC).
Si a un circuito lineal (solo contiene R, C, L y fuentes lineales) se coloca como
entrada una funcin forzada de frecuencia angular w entonces la salida tambin
ser de frecuencia angular w pero la magnitud y el desfasamiento pueden cambiar.
wtIwtV MM coscos
wtsenIjwtsenVj MM
wtsenIjwtIwtsenVjwtV MMMM coscos
Fuente imaginaria.
Aplicando teorema de superposicin con los dos casos anteriores.
17
Ejemplo 1. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito si: L=1H, R=2 y vs(t)=10sen(3t)V.
Solo existe una malla por lo que se analizar por mallas.
0 iRdt
diLvs
Suma de voltajes en la malla:
iRdt
diLvs
Anlisis en el tiempo de un circuito en estado estable (Respuesta forzada).
0 RLs vvv
Ecuacin diferencial
del circuito.
Respuesta despus de que ya pas el transitorio (mucho tiempo de estar energizado).
18
La respuesta forzada debe tener la misma frecuencia angular que la fuente pero puede tener desfasamiento diferente.
)3()( tAsenti
Contina Ejemplo 1. 10sen(3t)V(t)vS
Se requiere la primera derivada:
)3cos(3)(
tAdt
tdi
Sustituyendo en la ecuacin diferencial:
)3()2()3cos(3)1()3(10 tsenAtAtsen
)3cos(3)3(2)3(10 tAtsenAtsen
Se expresar la parte derecha de la ecuacin en una funcin senoidal para
poderla comparar con la funcin de la izquierda y obtener los valores
desconocidos.
Voltaje de la fuente:
19
iRdt
diLvs
Ecuacin diferencial.
Contina Ejemplo 1.
31.56
2
3tan
2
3tan 11
A
A
Se obtiene que: )31.563(13)03(10 2 tsenAtsen
Sumando en una senoidal las funciones de la derecha queda:
Por igualdad se debe cumplir: 21310 A 31.560
Despejando se obtiene: 774.2
13
102A
31.56
20
)3cos(3)3(2)3(10 tAtsenAtsen
222 1332 AAAC
)31.563(133 2 tsenAtCsen
)3()( tAsenti
Contina Ejemplo 1.
774.213
102A 31.56
Finalmente queda: )31.563(774.2)( tsenti
21
Forma vectorial:
Simulacin en TINA.
Calcular el desfasamiento en
base a la seal en el tiempo.
7.55360
094.23/2
324
sT
msdesf
22
Contina Ejemplo 1.
Resultado en el tiempo:
V
I
Resultado vectorial:
Ejemplo 1B. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito si: L=1H, R=2 y vs(t)=10sen(3t)V.
Solo existe una malla por lo que se analizar por mallas.
0 RLs vvv
0 iRdt
diLvs
Suma de voltajes en la malla:
iRdt
diLvs
La respuesta forzada debe ser igual a la fuente solo que puede tener diferente amplitud y desfasamiento. Para evitar el manejo del desfasamiento en el anlisis se trabajar la seal como una suma de seno con un coseno.
)3cos()3()( tBtAsenti
iRdt
diLvs
)3cos()3()( tBtAsenti Donde:
)3(10)( tsentvs
Sustituyendo:
)3cos()3()2()3(3)3cos(3)1()3(10 tBtAsentBsentAtsen
)3(3)3cos(3)(
tBsentAdt
tdi
Agrupando el lado derecho:
)3(23)3cos(32)3(10 tsenBAtBAtsen
Para que la igualdad sea vlida para cualquier valor de t se debe cumplir:
BA 320 BA 2310
Resolviendo las dos ecuaciones : 538.1A
31.2B
Finalmente: )3cos(31.2)3(538.1)( ttsenti
Contina ejemplo 1B.
Forma fasorial: Seales en el tiempo:
)3cos(31.2)3(538.1)( ttsenti
Que equivale a: )3.563(77.2)( tsenti
77.231.2538.1)( 22 ti
3.56
538.1
31.2tan 1
Forma fasorial:
Simulacin:
Contina ejemplo 1B.
Ejemplo 2. Obtener la respuesta forzada v(t) del siguiente circuito:
Un solo nodo por lo que se analizar por nodos:
Suma de corrientes en el nodo superior:
LRCs iiii
)0(
1
0L
t
s ivdtLR
v
dt
dvCi
Derivando para eliminar la integral:
vLRdt
dv
dt
vdC
dt
dis 12
2
Ecuacin diferencial del circuito.
26
Contina ejemplo 2.
vLRdt
dv
dt
vdC
dt
dis 12
2
La respuesta forzada debe tener la misma frecuencia angular que la corriente mas un desfasamiento:
)4cos()( tAtv
)4cos(24)( ttiS
)4(216)(
tsendt
tdiS )4(4)(
tAsendt
tdv)4cos(16
)(2
2
tAdt
tvd
Obteniendo sus derivadas:
Sustituyendo ecuaciones y valores de elementos:
)4cos(16/1
1)4(4
5.
1)4cos(16)5(.)4(216 tAtAsentAtsen
)4cos(16)4(8)4cos(8)4(216 tAtAsentAtsen27
)4cos(16)4(8)4cos(8)4(216 tAtAsentAtsen
Contina ejemplo 2.
)4cos(8)4(8)4(216 tAtAsentsen
AAAC 2888 22
45
8
8tan 1
A
A
Se obtiene: )454(28)4(216 tsenAtsen
Sumando en una senoidal las funciones de la derecha queda:
)454(28 tsenA
28
Por igualdad se debe cumplir: A28216 450
Despejando se obtiene: 2
28
216
A 45
Contina ejemplo 2. )454(28)4(216 tsenAtsen
)4cos()( tAtvSustituyendo en:
)454cos(2)( ttv
Simulacin en TINA:
29
Ejemplo 2B. Obtener la respuesta forzada v(t) del siguiente circuito:
Un solo nodo por lo que se analizar por nodos:
Suma de corrientes en el nodo superior:
LRCs iiii
t
s vdtLR
v
dt
dvCi
1
Derivando para eliminar la integral:
vLRdt
dv
dt
vdC
dt
dis 12
2
La respuesta forzada debe ser semejante a la fuente de corriente:
)4cos()4()( tBtAsentv
vLRdt
dv
dt
vdC
dt
dis 12
2
)4cos()4()( tBtAsentv )4cos(24)( ttiS
)4(216)(
tsendt
tdiS )4(4)4cos(4
)(tBsentA
dt
tdv
)4cos(16)4(16)(
2
2
tBtAsendt
tvd
Sustituyendo ecuaciones y valores de elementos:
)4cos(16)4(16
)4(8)4cos(8)4cos(8)4(8)4(216
tBtAsen
tBsentAtBtAsentsen
Agrupando:
)4cos()88()4()88()4(216 tBAtsenBAtsen
Contina ejemplo 2B.
Para que la igualdad sea vlida para cualquier valor de t se debe cumplir:
BA 88216 BA 880
Resolviendo las dos ecuaciones : 41.1A
41.1B
Finalmente: )4cos(41.1)4(41.1)( ttsentv
241.141.1)( 22 tv
45
41.1
41.1tan 1
)454cos(2)( ttvQue equivale a:
)4cos()88()4()88()4(216 tBAtsenBAtsen Contina ejemplo 2B.
Ejemplo 3. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito:
Un solo nodo por lo que se analizar por nodos. Se obtiene v(t) i(t)=v(t)/R
Suma de corrientes en el nodo superior:
RCs iii
R
v
dt
dvCis
)4cos(10)( ttis Donde:
Se obtendr primero el voltaje del nodo y despus las corrientes.
La respuesta forzada del voltaje debe tener la misma frecuencia angular que la corriente ms un desfasamiento.
)4cos()( tAtv
+
-
v
33
+
- v
R
v
dt
dvCis
)4cos(10)( ttis )4cos()( tAtv )4(4)(
tAsendt
tdv
)4cos(4
1)4(425.)4cos(10 tAtAsent
Sustituyendo ecuaciones y valores de elementos:
Contina ejemplo 3.
Donde:
)4cos(4
)4()4cos(10 tA
tAsent
AAAC4
17
4
22
96.75
4
tan 1A
A
)96.754cos(4
17 tA
34
Contina ejemplo 3.
)96.754cos(4
17)4cos(10 tAt
Sustituyendo la parte derecha queda:
Por igualdad se debe cumplir: A4
1710
Despejando se obtiene: 7.917
40A
96.750
96.75
Sustituyendo en: )4cos()( tAtv
)96.754cos(7.9)( ttv
4
)96.754cos(7.9)()(
t
R
tvti
)96.754cos(43.2)( tti
Finalmente lo que interesa es la corriente en R.
+
- v
35
+
- v
Contina ejemplo 3.
Simulacin en TINA:
)96.754cos(7.9)( ttv
)96.754cos(43.2)( tti
36
Ejemplo 3B. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito:
Un solo nodo por lo que se analizar por nodos:
Suma de corrientes en el nodo superior:
RCs iii
R
v
dt
dvCis
)4cos(10)( ttis
+
-
v
Donde:
Se obtendr primero el voltaje del nodo y despus las corrientes.
La respuesta forzada del voltaje debe tener el siguiente formato con la misma frecuencia angular que la corriente:
)4cos()4()( tBtAsentv
Rv
dt
dvCis
)4cos(10)( ttis
)4cos()4()( tBtAsentv
)4(4)4cos(4)(
tBsentAdt
tdv
)4cos()4(1
)4(4)4cos(4)4cos(10 tBtAsenR
tBsentACt
)4cos(4
)4(4
)4()4cos()4cos(10 tB
tsenA
tBsentAt
Sustituyendo ecuaciones y valores de elementos:
Agrupando:
)4cos(4
)4(4
)4cos(10 tB
AtsenBA
t
Para que la igualdad sea vlida para cualquier valor de t se debe cumplir:
B
A
40
4
10B
A
Resolviendo las dos ecuaciones : 41.9A 35.2B
Contina ejemplo 3B.
)4cos()4()( tBtAsentv 41.9A 35.2BDonde:
)4cos(35.2)4(41.9)( ttsentv
7.935.241.9)( 22 tv
76
35.2
41.9tan 1
)764cos(7.9)( ttvQue equivale a:
4
)764cos(7.9)()(
t
R
tvti
)764cos(43.2)( tti
Contina ejemplo 3B.
Ejemplo 4. Obtener el voltaje forzante si vC(t)=2cos(8t-53.1) del siguiente circuito:
Analizando por nodos:
RCS iii
505.
10
CCCS v
dt
dvvv
CC
S vdt
dvv 35. Ecuacin del circuito:
40
Donde: 1.538cos2 tvC )1.538()8)(2( tsendt
dvC
tAvS 8cos
Contina ejemplo 4. C
CS v
dt
dvv 35. Ecuacin del circuito:
Sustituyendo: 1.538cos23)1.538()8)(2(5.8cos ttsentA
1068 22 C
13.53
6
8tan 1
)13.531.538cos(10 t
)8cos(10 t
Finalmente:
1.538cos6)1.538(88cos ttsentA
)8cos(108cos ttA 41
Contina ejemplo 4. )8cos(108cos ttA
Relacionando la igualdad se tiene que:
10A 0
tAvS 8cosSustituyendo en :
ttvS 8cos10)(
Simulacin en TINA:
42
Formula de Euler.
senje j cos
Donde: 1jEn circuitos elctricos se utiliza la j ya que la i est reservada para sealar la corriente.
La demostracin se puede realizar utilizado la serie de Taylor alrededor del origen.
Forma geomtrica de la formula de Euler:
Haciendo suma vectorial:
)()cos( senje j
22cos2 ksenjke kj
Formula de Euler generalizada. ,...2,1,0k
43 Cada 2 se repite.
Contina formula de Euler.
Para cualquier magnitud queda:
)()cos( senrjrer j
Donde se cumple que:
22 yxr
x
y1tan
Forma polar: rer j
yjxer j Forma rectangular.
Nota: Cuando se evala la notacin exponencial el ngulo deber estar en
radianes.
44
Contina formula de Euler.
rsenrjrer j )()cos(
Ejemplos de evaluaciones:
101)()cos(1 jsenje j
45
101)()cos(1 jsenje j
jsenjej
)2
()2
cos(2
12
jsenjej
)2
()2
cos(2
12
Contina formula de Euler. Ejemplos de evaluaciones:
jsenjej
)2
3()
2
3cos(
2
312
3
12222
jjjjj
eeeejj
111 jj
jjj
j
j
11
46
jej
212
jej
2
12
101)()cos( jsenje j
1ln j
jaa
a
a
ln
1lnln
1ln
ln
Sacando logaritmo natural se obtiene:
Contina formula de Euler. Logaritmo natural de nmeros negativos.
Para cualquier nmero negativo.
47
jaa lnln
1lnln je
Contina formula de Euler.
)()cos( senje j
En senos y cosenos.
2)cos(
jj ee
j
eesen
jj
2)(
48
)()cos( senje j
)cos()cos( )()( sensen
)()cos( senje j
En base a las identidades anteriores se puede
obtener la funcin del coseno y del seno.
Operaciones con nmeros complejos.
rsenrjrer j )()cos(
Notaciones: Exponencial, rectangular y polar.
Suma en rectangular: 21212211 yyjxxjyxjyx
Resta en rectangular: 21212211 yyjxxjyxjyx
Multiplicacin: 2121 2121 jjj errererExponencial:
21212211 rrrrPolar:
Divisin: 2121
2
1
2
1
2
1
2
1
jjj
j
j
er
ree
r
r
er
erExponencial:
212
1
22
11
r
r
r
rPolar:
49
Operaciones con nmeros complejos.
Inverso:
j
j
j erre
re
111
Exponencial:
rrr
111Polar:
Conjugado: jj rere *Exponencial:
rr *Polar:
jyxjyx *Rectangular:
50
Multiplicar por el conjugado.
2* rrererere jjjj
* jjj rererer
Operaciones con nmeros complejos.
Negativo: jyxjyx 1
jjj rerere1
rrr1
Rectangular:
Exponencial:
Polar:
51
Ejemplos:
Evaluar:
La suma se realiza ms fcilmente en forma rectangular:
Evaluar:
52
wtiwtv SS
Anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de circuitos lineales en
alterna (AC).
Un circuito lineal con entrada de una funcin forzada de frecuencia angular w
siempre genera respuestas de la misma frecuencia angular w.
wtIwtV MM coscos
wtsenIjwtsenVj MM
wtjMwtj
M eIeV
wtsenIjwtIwtsenVjwtV MMMM coscos
Fuente imaginaria.
Aplicando formula de Euler.
Aplicando teorema de superposicin con los dos casos anteriores.
53
Ejemplo 1. Obtener la respuesta forzada i(t) del siguiente circuito donde el voltaje de entrada es:
Solo existe una malla por lo que se analizar por mallas.
0 iRdt
diLvs
Suma de voltajes en la malla:
iRdt
diLvs
0 RLs vvv
Ecuacin diferencial
del circuito.
Anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de circuitos lineales en
alterna (AC).
wtjMS eVtv
54
wtjMS eIti
La corriente vara
en amplitud y fase.
Contina ejemplo 1.
iRdt
diLvs
wtjMS eVtv wtjMS eIti
wtjMS ejwIdt
tdi
Sustituir las ecuaciones en la ecuacin diferencial:
wtjMwtj
M
wtj
M eIReILjweV
jwtjM
jwtj
M
wtj
M eeIReeIjwLeV
Todos los trminos en la ecuacin contienen ejwt por lo que se divide entre l para
eliminarlo. Esto significa que la magnitud y la fase de la corriente no dependen
de ejwt.
jM
j
MM eIReIjwLV
jMM eIjwLRV Finalmente: 55
La corriente vara
en amplitud y fase.
Contina ejemplo 1. jMM eIjwLRV
Despejando la corriente:
jwLR
VeI MjM
Pasar el divisor de rectangular a polar:
R
wLj
Mj
M
eLwR
VeI
1tan222
RwL
jMj
M eLwR
VeI
1tan
222
Por igualdad se debe cumplir:
222 LwR
VI MM
R
wL1tan
56
Contina ejemplo 1.
wtjMS eVtv
wtjMS eIti
222 LwR
VI MM
R
wL1tan
Resultado final:
RwL
wtjM
S eLwR
Vti
1tan
222
Analizar un circuito con funciones exponenciales:
a) Es mucho ms simple ya que es la nica funcin que al derivarse o integrarse
genera la misma funcin.
b) En la ecuacin general del circuito todos los trminos contienen ejwt , lo cual
indica que la frecuencia angular en cualquier parte del circuito es la misma y este
factor podr ser eliminado de la ecuacin.
c) El punto anterior significa que la magnitud y la fase que se buscan no dependen
del factor ejwt 57
Para facilitar el anlisis podemos subirnos a uno de los vectores y los dems vectores se vern estticos manteniendo el desfasamiento entre ellos. Esto
permite prescindir del trmino ejwt y simplificar el anlisis basndolo solo en magnitudes y desfasamientos.
Conclusiones al anlisis en estado estable (Respuesta forzada) de
circuitos lineales con funciones exponenciales con parte imaginaria.
El voltaje o la corriente en cualquier parte del circuito se puede ver como un vector
que rota a una frecuencia angular w pero con diferentes desfasamientos.
58
wtjM eVtv )(
wtjM eIti )(
Anlisis fasorial.
V Mj
M
wtj
M VeVeVFasor voltaje:
I Mj
M
wtj
M IeIeIFasor corriente:
No olvidar que el comportamiento del capacitor y del inductor depende de la
frecuencia angular w por lo que tendr que ser incluida en las ecuaciones que modelan a estos dos elementos.
No se incluye el trmino ejwt.
59
60
wtVtv M cos)(Funcin coseno en funcin del fasor voltaje.
wtVjwtVtv MM coscosRe)(
wtjM eVtv Re)(
jwtjMjjwtM eeVeeVtv ReRe)(
jwtetv VRe)(Finalmente se obtiene:
MM VVjeV
Se utiliza la formula de Euler para expresar la funcin coseno en funcin exponencial.
Fasor voltaje:
El anlisis del circuito se har con la forma fasorial V pero al final habr que
tomar solo la parte real para obtener la funcin en el tiempo v(t).
Ejemplos para obtener el fasor correspondiente a una seal en el tiempo:
61
wtVtv M cos)(
Funcin en el dominio del tiempo. Funcin en el dominio del fasor.
MM VVjeV
wtVti M cos)( MM IIjeI
wtsenVtv M)(
9090 MM VVjeV 90cos)( wtVtv M
wtsenIti M)(
9090 MM IIjeI 90cos)( wtIti M
La funcin siempre tendr que expresarse en coseno para que corresponda
a la parte real de la formula de Euler.
Pasar del dominio en el tiempo al dominio del fasor. Este ltimo
tambin llamado dominio de la frecuencia.
Ejemplos:
62
Ejemplos:
Obtener representacin fasorial:
Recordar:
Obtener representacin fasorial:
63
Obtener la representacin en el tiempo de :
Recordar que:
Obtener la representacin en el tiempo:
64
Ejemplos:
jj
eejj 90290110
Sumar las dos seales utilizando la forma fasorial:
65
Ejemplos:
Representacin fasorial:
Problema anterior grficamente en el tiempo:
En radianes y con w=1 :
Representacin en el tiempo:
66
Representacin fasorial: