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CAPÍTULO IFUNDAMENTOS MECÁNICOS
1.1.- R ESISTENCIA DE MATERIALES - HIPÓTESIS BÁSICAS
La resistencia de materiales es la ciencia que trata la relación que
existe entre las fuerzas internas, la deformación y las cargas externas. En
el método general de análisis utilizado en la resistencia de materiales el primer paso es asumir que el cuerpo se encuentra en equilibrio. Las
ecuaciones de equilibrio estático se aplican a las fuerzas actuando en
alguna parte del cuerpo para obtener la relación entre las fuerzas externas
actuando en el cuerpo y las fuerzas internas que resisten la acción de las
cargas externas. Debido a que las ecuaciones de equilibrio deben ser
expresada en términos de las fuerzas externas actuando sobre el cuerpo, es
necesario convertir las fuerzas resistentes internas en fuerzas externas.
Esto se logra pasando un plano a través del cuerpo en el punto de interés.
La parte de un lado del plano cortante se remueve y se reemplaza por las
fuerzas que este eerc!a en la sección de corte de la parte del cuerpo que
permanece. Debido a que las fuerzas actuando en el "#uerpo libre$
mantienen a este en equilibrio, las ecuaciones de equilibrio pueden ser
aplicadas al problema.
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Las fuerzas resistentes internas son com%nmente expresadas como
el esfuerzo actuando sobre cierta área, de esta forma la fuerza interna es
igual al integral del esfuerzo multiplicado por el diferencial del área sobre
el que este act%a. &ara evaluar este integral, es necesario conocer la
distribución del esfuerzo sobre el área del plano de corte. La distribución
del esfuerzo se conoce observando y midiendo la distribución de la
deformación en el cuerpo, debido a que el esfuerzo no puede ser medido
f!sicamente. 'in embargo, en vista de que el esfuerzo es proporcional a la
deformación para deformaciones peque(as presentes en la mayor!a de los
casos, la determinación de la distribución de la deformación provee la
distribución del esfuerzo. La expresión del esfuerzo es entonces sustituida
en las ecuaciones de equilibrio y estas son resueltas para dar el esfuerzo
en función de las cargas y las dimensiones del cuerpo.
En la resistencia de materiales se asume que el cuerpo siendo
analizado es continuo si no contiene )uecos o espacios vac!os de ninguna
clase. Es homogéneo si sus propiedades son iguales en todos sus puntos.
* es isotrópo con respecto a alguna propiedad si esta no var!a con la
dirección u orientación. +na propiedad que var!a con la dirección respecto
a alg%n sistema de ees es nisotrópic.
Los materiales de ingenier!a tales como el acero, las fundiciones y
el aluminio cumplen con estas condiciones macroescalarmente, es
aparente que si estos son vistos a través del microscopio estos no son ni
)omogéneos ni continuos. La mayor!a de los materiales de ingenier!a están
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formados por más de una fase con propiedades mecánicas diferentes, de
tal forma que microescalarmente estos son )eterogéneos. un más un
metal monofásico com%nmente presentará segregación qu!mica y de esta
forma las propiedades no serán idénticas en cada punto. Los metales están
compuestos por un agregado de granos cristalinos con propiedades
distintas en diferentes direcciones cristalográficas. Las ecuaciones de la
resistencia de materiales que describen el comportamiento de materiales
reales, en general consideran que los granos son tan peque(os en cualquier
material de volumen macróscopico que estad!sticamente los materiales son
)omogéneos e isotrópos. 'in embargo, cuando los metales son
severamente deformados en una dirección particular, como en caso de la
laminación o fora, las propiedades mecánicas pueden ser anisotrópicas
macroescalarmente.
-tros eemplos de propiedades nisotrópics son el refortaleci
miento por medio de fibras en los materiales compuestos y los
monocristales. La falta de continuidad en el material se )ace presente en
fundiciones porosas o en partes formadas mediante técnicas de
pulvimetalurgia y en un nivel atómico en defectos tales como vacancias y
dislocaciones.
1.2.- COMPORTAMIENTO ELÁSTICO Y PLÁSTICO
/odos los materiales sólidos pueden ser deformados cuando se
someten a cargas externas de suficiente magnitud. 0asta ciertas cargas
l!mites un sólido recobrará sus dimensiones originales cuando la carga que
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act%a sobre el es removida. La recuperación de las dimensiones originales
de un cuerpo deformado cuando se retira la carga se conoce como
comportmiento e!"stico. La carga l!mite más allá de la cual el material
no se comporta elásticamente es el !#mite e!"stico. 'i se excede el l!mite
elástico, el cuerpo experimentará una deformación permanente después de
que la carga sea removida. +n cuerpo que se deforma permanentemente se
dice que )a sufrido una $eformción p!"stic.
&ara la mayor!a de los metales, en la medida que la carga no exceda
el l!mite elástico, la deformación es proporcional a la carga. Esta relación
se conoce como la %e& $e 'oo(e. Esta ley reconoce que la relación
cargadeformación es lineal. 'in embargo, no todos los materiales que se
comportan elásticamente tienen una relación esfuezodeformación lineal.
El cauc)o es el eemplo de un material con una relación
esfuerzodeformación no lineal que satisface la definición de un material
elástico.
Las deformaciones elásticas en los metales son bastante peque(as y
requieren para su medición instrumentos muy sensibles. lgunos
instrumentos ultrasensibles )an demostrado que los l!mites elásticos son
muc)o menores que los valores com%nmente medidos en los ensayos de
ingenier!a. 0a medida de que los instrumentos se )acen más sensibles, el
l!mite elástico decrece, de tal forma que para la mayor!a de los metales
existe solamente un rango estrec)o de cargas sobre el cual la ley de 0oo1e
se aplica estrictamente. Esto es, sin embargo, primordialmente de
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importancia académica. La Ley de 0oo1e es una relación bastante válida
en dise(o ingenieril.
1.3.- TENSIÓN Y DEFORMACIÓN MEDIAS
#omo punto de partida en la discusión del esfuerzo y la
deformación medias, considere una barra cil!ndrica uniforme la cual se
encuentra sometida a una carga de tracción monoaxial 23ig. 445. suma
que se colocan dos puntos en la superficie de la barra en su estado inicial
y que L0 es la longitud entre esos puntos. +na carga P se aplica en uno de
los extremos de la barra, de esta forma la distancia entre puntos sufre un
peque(o incremento en la longitud y una peque(a disminución en el
diámetro. La distancia entre puntos se )a incrementado en una cantidad δ ,
llamada alargamiento. La deformación lineal media e es la relación entre el
cambio en longitud y la longitud inicial.
e L
L
L
L L
L= = =
−δ
6 6
6
6
∆2445
La deformación es una magnitud adimensional ya que tanto δ como
L0 se expresan en unidades de longitud.
L0
+ δ
L0
3igura 44. 7arra cil!ndrica sometida a unamonoaxial.
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La figura 48 muestra el diagrama de cuerpo libre de la barra
cil!ndrica de la figura 44. La carga externa P es equilibrada por la fuerza
interna resistente σ dA∫ , donde σ es el esfuerzo normal al plano de corte
y A es el área de la sección transversal
de la barra. La ecuación de equilibrio
es9
P dA= ∫ σ 2485
'i el esfuerzo se encuentra distribuido uniformemente sobre el área
A, esto es, si σ es constante, la ec. 2485 se transforma en9
P dA A= =∫ σ σ
σ = P
A 24:5
En general, el esfuerzo no será uniforme sobre el área A, por esto la
ec. 24:5 representa un esfuerzo medio. &ara que el esfuerzo sea
absolutamente uniforme, cada elemento longitudinal en la barra deber!a
experimentar exactamente la misma deformación y la proporcionalidad
entre el esfuerzo y la deformación deber!a ser idéntica para cada elemento.
La anisotrópica in)erente entre los granos de un metal policristalinodescarta la posibilidad de la uniformidad completa del esfuerzo sobre un
cuerpo de tama(o macroscópico. La presencia de más de una fase también
aumenta la no uniformidad del esfuerzo en una escala microscópica.
σ dA∫ 3igura 48. Diagrama de cuerpo libre de la 3ig. 4
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)ro*!em I!ustrti+o ,-,. #alcule el alargamiento total de la barra
representada en la 3ig. 4: 2 E ; <.6=6 Kg/mm8 5.
'olución9
e PL
AE = 'ección > & ; =.?=? Kg 2tensión5
'ección >> & ; 4.:@= Kg 2tensión5
'ección >>> & ; ?.=?= Kg 2tensión5
e e e et = + +4 8 :
( )
mm
mm
mm
Kg .mm
mm. Kg .
mm
Kg .mm
mm Kg .
mm
Kg .mm
mm. Kg .
t
t
t
?A,=
86,8??,6A:,4
86=6<
8@=?
A8A4=?=?
86=6<
8:88
B4=:@=4
86=6<
8@=?
A8A4?=?=
=
++=
⋅
⋅+
⋅
⋅+
⋅
⋅=
δ
δ
δ
'i la barra no está totalmente recta o no esta cargada centralmente,las deformaciones serán diferentes en ciertos elementos longitudinales y el
esfuerzo no será uniforme. #uando existe cambio s%bito en la sección
transversal se produce un rompimiento extremo en la uniformidad del
A ; :88 mm 8
=.6B6 Kg :.4A4 Kg
4.A8A mm
?.=?= Kg
>>>>>
4.A8A mm
=.?=? Kg
>
B4= mm
A ; @=? mm 8 A ; @=? mm 8
3igura 4 'E# 3igura#&> Cn C #-3-F/- 3.
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patrón de esfuerzos. Esto trae como consecuencia la formación de un
concentrador de esfuerzos.
En ingenier!a, la carga se mide com%nmente en libras y el área en
pulgadas cuadradas, de tal forma que el esfuerzo tiene unidades de libras
por pulgadas cuadradas 2 PSI 5. Debido a que es com%n para los ingenieros
trabaar con cargas de miles de libras, por simplificación se trabaa meor
con unidades de 4.666 libras, llamadas Kips.
El esfuerzo puede expresarse en unidades de Kips por pulgada
cuadrada 2 KSI 5. 24 KSI ; 4.666 PSI 5. En los trabaos cient!ficos los
esfuerzos son expresados muc)as veces en unidades de 1ilogramos
por mil!metros cuadrados o dinas por cent!metros cuadrados
( 8<846xA4,B4 cmdinasmm Kg = .
En el 'istema >nternacional de +nidades 2SI 5, la unidad oficial del
esfuerzo es el GeHton por metro cuadrado, 8m N . +n neHton por metro
cuadrado )a sido designado como un &ascal 2 Pa5. En el sistema '> la
unidad de fuerza es el neHton, este se define como la fuerza requerida
para acelerar una masa de un 1ilogramo 2kg 5 con una aceleración de un
metro por segundo cuadrado. 8 sm Kg ⋅ . Debido a que el neHton por
metro cuadrado representa un esfuerzo muy peque(o
( Psim N 6664=?,64 8 = , es más com%n expresar el esfuerzo en unidades de
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meganeHtons por metro cuadrado 8m MN . =84 m MN 46@ 8
m N ;
Psi4=? , ( )8=
x466=,<4 mm Kg Psi = .
&or debao del l!mite elástico la Ley de 0oo1e puede considerarse
válida, de tal forma que el esfuerzo medio es proporcional a la
deformación media.
σ
e E constante= = 24=5
donde9 E ;ódulo de elasticidad o módulo de *oung.
1.4.- DEFORMACIÓN POR TRACCIÓN DE METALES DÚCTILES
La información básica acerca de las propiedades mecánicas de un
metal d%ctil se obtiene del ensayo de tracción, en el cual una muestra
estandarizada es sometida a una carga monoaxial creciente )asta su
fractura. La carga y el alargamiento son medidos durante el ensayo y
expresados como esfuerzos y deformaciones medios, de acuerdo a las
ecuaciones correspondientes.
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La información obtenida del ensayo de tracción generalmente se
gráfica en un diagrama esfuerzodeformación. La figura 4= muestra la
curva esfuerzodeformación t!pica de un
metal d%ctil tal como el cobre o el
aluminio. La porción inicial lineal OA
es la región elástica dentro de la cual la
Ley de 0oo1e se cumple. El punto A es
el !#mite e!"stico, el cual se define
como el esfuerzo mayor que el material
puede soportar sin experimentar una
deformación cuando la carga es
removida. La determinación del l!mite
elástico es complicada y depende de la sensibilidad del instrumento
utilizado para medir la deformación. &or estas razones muc)as veces se
reemplaza este por el l!mite proporcional, el punto A’ . E! !#mite
proporcion! es el esfuerzo al cual la curva esfuerzodeformación se
desv!a de la linealidad. La pendiente de la curva esfuerzodeformación en
esta región es el módulo de elasticidad 2 E 5.
&ara efectos de ingenier!a el l!mite del comportamiento elástico es
el esfuerzo de efluencia, el punto . E! esfuerzo $e f!uenci se define
como el esfuerzo que producirá una deformación permanente peque(a,
generalmente igual a una deformación de 6,668. En la figura 4= esta
deformación permanente, es O!. La deformación plástica comienza
cuando el l!mite elástico es excedido. medida de que la deformación
σmáx
3ractura
7
I
#Deformación, e →
E s f u e r z o ,
σ
→
-
3igura 4: #urva t!pica deesfuerzodeformación de un metal d%ctil.
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plástica de la muestra aumenta, el metal se )ace más fuerte
2en$urecimiento por $eformción5 de tal forma que la carga requerida
para estirar la muestra aumenta para una deformación mayor.
Eventualmente la carga alcanza un valor máximo. La carga máxima
dividida entre el área original de la muestra es la resistenci ! trcción.
&ara un metal d%ctil el diámetro de la muestra comienza a decrecer
rápidamente más allá de la carga máxima, de tal manera que la carga
requerida para continuar la deformación disminuye constantemente )asta
que la muestra se fractura. Debido a que el esfuerzo medio está basado en
el área original de la muestra, este también disminuye desde la carga
máxima )asta la fractura.
)ro*!em I!ustrti+o ,-/. 'i se ensaya a la tracción una
probeta de acero recocido ( )8666.84 mm Kg E = , la cual posee un
diámetro m!nimo de 4:mm y una longitud entre puntos de ?8,6mm.La carga máxima que soporta la probeta es @.A66 Kg y la fractura
ocurre a =.??6 Kg .
a5. J#uál será la resistencia a la tracciónK
b5. J&or qué la fractura ocurre a una carga inferior a la máximaK
c5. J#uál será el alargamiento si se aplica un esfuerzo de 448mm Kg K
So!ución0
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a5. La resistencia a la tracción será9
8
86
max:6<,?8
4:6
A66.@
mm Kg
mm
Kg P " ===σ
b5. Debido a que la probeta es de un metal d%ctil esta sufre un
encuellamiento, el cual reduce el diámetro de la probeta en un
punto a lo largo de la longitud de trabao.
c5. sumiendo comportamiento elástico, el alargamiento será9
e E
eL E L= ∴ = =
σ δ
σ 6 6
mmmmmm Kg
mm Kg 6:,6?8
666.84
448
8
=⋅=δ
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1.5.- COMPORTAMIENTO DÚCTIL Y FRÁGIL
El comportamiento general de los metales sometidos a cargas puede
ser clasificado como d%ctil o frágil dependiendo si el material presenta
deformación plástica o no. La figura 4= muestra la curva
esfuerzodeformación de un material d%ctil. +n material completamente
frágil se fracturará
casi en el l!mite
elástico 3ig. 4
?2a5M. ientras que
un metal frágil
como la fundición
blanca, muestra
alguna medida de
plasticidad antes de
fracturarse 3ig. 4?2b5M. +na ductilidad adecuada es una consideración importante en
ingenier!a, ya que esta permite al material redistribuir los esfuerzos
localizados. #uando no se toman en consideración esfuerzos los
localizados como en entallas u otros concentradores de esfuerzos
accidentales, es posible dise(ar, para situaciones estáticas en base al
esfuerzo medio. 'in embargo, en los materiales frágiles, los esfuerzos
localizados contin%an creciendo si no )ay fluencia. 3inalmente, se forma
una grieta en uno o más puntos de concentración de esfuerzos y esta se
propagará rápidamente sobre toda la sección. unque no exista un
concentrador de esfuerzos en un material frágil, la fractura ocurrirá
Deformación
2a5
E s f u e r z o
Deformación
2b5
E s f u e r z o
3igura 4= 2a5 #urva esfuerzodeformación para unmaterial completamente frágil 2#omportamiento >deal5,2b5 #urva esfuerzodeformación para un material con
una peque(a cantidad de ductilidad.
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s%bitamente debido a que el esfuerzo de fluencia y la resistencia a la
tracción son casi idénticas.
Es importante se(alar que la fragilidad no es una propiedad absoluta
de un metal. +n metal como el tungsteno, el cual es frágil a temperatura
ambiente, es d%ctil a alta temperatura. +n metal que es frágil en tracción
puede ser d%ctil bao compresión )idrostática. ás a%n, un metal que es
d%ctil en tracción a temperatura ambiente puede comportarse fragilmente
ante la presencia de entallas, baas temperaturas, ratas de cargas elevadas
ó agentes fragilizantes como el )idrógeno.
1..- CONCEPTOS DE FALLA EN LOS METALES
Los miembros estructurales y los elementos de las máquinas pueden
dear de eecutar las funciones para las cuales fueron dise(ados en tres
formas generales9
45. &or deformación elástica excesiva.
85. &or deformación plástica excesiva.
:5. &or fractura.
El entendimiento de los tipos comunes de falla es importante para
un buen dise(o debido a que siempre es necesario relacionar las cargas ylas dimensiones del elemento con un parámetro significativo del material
el cual limita la capacidad de soporte de carga del elemento.
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Dos tipos generales de deformación elástica excesiva puede ocurrir9
245 pandeo excesivo bao condiciones de equilibrio estable, tal como la
flexión de una viga bao cargas aplicadas gradualmenteN 285 flexión s%bita
o "b"ckling $, bao condiciones de equilibrio inestable.
La deformación elástica excesiva de la parte de una máquina puede
significar la falla de la máquina tal como si la parte se )ubiese fracturado
completamente. &or eemplo, un ee que es muy flexible puede causar un
desgaste rápido de los coinetes. El tipo de falla por pandeo excesivo
puede ocurrir en una columna cuando la carga axial excede la carga cr!tica
de Euler 2ec. 4?5. Las fallas debidas a deformación elástica excesiva son
controladas por el módulo de elasticidad y no por la resistencia del
material. Oeneralmente muy poco control metal%rgico puede eercerse
sobre el módulo de elasticidad. La forma más efectiva de aumentar la
rigidez de un miembro com%nmente es cambiando su forma y aumentando
las dimensiones de su sección transversal.
P EI
l = π
8
824?5
donde9 P = #arga cr!tica de Euler.
E = ódulo de elasticidad o módulo de *oung.
I = omento de inercia.
l = Longitud de la columna.
La fluencia, o deformación plástica excesiva ocurre cuando el l!mite
elástico del metal )a sido excesivo. La fluencia produce un cambio de
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forma permanente, el cual puede ocasionar un mal funcionamiento de la
pieza. En un metal d%ctil bao condiciones de carga estática a temperatura
ambiente la fluencia raramente resulta en fractura, debido a que el metal se
endurece por deformación a medida que este se deforma y se requiere un
incremento en el esfuerzo para producir un incremento en la deformación.
La falla debido a la deformación plástica excesiva es controlada por el
esfuerzo de fluencia del material para una condición de carga monoaxial.
&ara condiciones de carga mas compleas el esfuerzo de fluencia es
todav!a el parámetro significante, pero este debe ser utilizado con un
criterio de falla apropiado. temperaturas significantemente mayores que
la temperatura ambiente los metales no sufren endurecimiento por
deformación. En vez de esto, los metales pueden deformarse
continuamente a esfuerzo constante en una fluencia que depende del
tiempo conocida como f!uenci !ent o 1Creep2 . El criterio de falla bao
condiciones de fluencia lenta es complicado en virtud de que el esfuerzo
no es proporcional a la deformación y más a%n las propiedades mecánicas
del material pueden cambiar apreciablemente durante el servicio.
La formación de una grieta puede resultar en una completa
interrupción de la continuidad del miembro lo cual constituye una fractura.
+na parte )ec)a de un metal d%ctil el cual esta cargado estáticamente
raramente se fractura igual que una muestra de tracción, debido a que este
fallará primero por deformación plástica excesiva. 'in embargo, los
metales fallan por fractura en tres formas generales9 245, por fractura frágil
s%bitaN 285, por fatiga o fractura progresiva y 2:5, por fractura retardada.
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nteriormente se vio que un material frágil se fractura bao la acción de
cargas estáticas con poca evidencia de fluencia. +n tipo de fractura s%bita
puede también ocurrir en materiales d%ctiles bao ciertas condiciones. El
acero estructural es el eemplo más com%n de un material con una
transición d%ctil a frágil. +n cambio de tipo de fractura d%ctil o frágil es
promovido por un descenso en la temperatura, un incremento en la rata de
carga, y la presencia de un estado de esfuerzos compleos debido a una
entalla.
La mayor!a de las fracturas en las partes de máquinas son debidas a
fatiga. Las fallas por fatiga ocurren en partes las cuales son suetas a
esfuerzos alternos o fluctuantes. +na grieta peque(a se inicia en un punto
localizado, generalmente en una entalla o en un concentrador de esfuerzos
y gradualmente se extiende sobre la sección transversal )asta que la parte
se rompe. Las fallas por fatiga ocurren sin ning%n signo visible de fluencia
a esfuerzos medios bastante por debao de la resistencia a la tracción del
metal. La falla por fatiga es causada por un esfuerzo de tracción cr!tico
localizado lo cual es bastante dif!cil de evaluar, y por esto el dise(o contra
la fatiga se basa primordialmente en relaciones emp!ricas las cuales
emplean el esfuerzo medio.
/odos los materiales de ingenier!a presentan cierta variabilidad en
las propiedades mecánicas, las cuales por otra parte pueden ser
influenciadas por cambios en los tratamientos térmicos o la fabricación.
#om%nmente existe incertidumbre en cuanto a la magnitud de la carga
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aplicada y usualmente es necesario )acer aproximaciones para calcular los
esfuerzos permisibles de )asta el miembro más simple9 'e debe trabaar
con una tolerancia por la posibilidad de cargas accidentales. Esto se )ace
con el obeto de proveer un margen de seguridad y proteger contra fallas
por causas imprevistas, para ello es necesario que todos los esfuerzos
permisibles sean menores que los esfuerzos que producen la falla. El valor
del esfuerzo para un material en particular el cual es considerado seguro
se llama esfuerzo de trabao ( )σ # . &ara aplicaciones estáticas el esfuerzo
de trabao de metales d%ctiles se basa en el esfuerzo de fluencia ( )σ o y
para materiales frágiles en la resistencia a la tracción ( )σ " . El esfuerzo de
trabao puede ser considerado como el esfuerzo de fluencia o la
resistencia a la tracción divididos por un n%mero llamado el factor de
seguridad.
σ σ
σ σ
#o
o
#"
" N N = =o 24@5
donde9 σ # = Esfuerzo de trabao.
σ o = Esfuerzo de fluencia.
N o = 3actor de seguridad basado en el esfuerzo de fluencia.
σ " = Fesistencia a la tracción.
N " = 3actor de seguridad basado en la resistencia a la
tracción.
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1.!.- CONCEPTO DE ESFUER"O Y TIPOS DE ESFUER"O
El esfuerzo se define como la fuerza por unidad de área.
nteriormente se consideró el esfuerzo distribuido uniformemente sobre el
área de la sección transversal del miembro. 'in embargo, este no es el
caso general. La figura 4@2a5M representa un cuerpo en equilibrio bao la
acción de las fuerzas externas P 4, P 8,..., P ?. Existen dos clases de fuerzas
externas que pueden actuar en un cuerpo9 fuerzas de superficie y fuerzas
de cuerpo. Las fuerzas distribuidas sobre la superficie del cuerpo, tales
como la presión )idrostática o la presión eercida por un cuerpo sobre
otro, se llaman fuerzas superficiales. Las fuerzas distribuidas sobre el
volumen de un cuerpo, tales como las fuerzas gravitacionales, las fuerzas
magnéticas o las fuerzas de inercia 2para un cuerpo en movimiento5 se
denominan fuerzas de cuerpo. Los dos tipos más comunes de fuerzas de
cuerpo encontradas en ingenier!a son las fuerzas centr!fugas debidas a
altas velocidades de rotación y fuerzas debidas a gradientes detemperatura 2esfuerzo térmico5.
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En general la fuerza
no estará uniformemente
distribuida sobre cualquier
sección transversal del cuerpo ilustrado en la figura 4@a. &ara obtener el
esfuerzo en alg%n punto O en un plano tal como el mm, se remueve la
parte , del cuerpo. Esta situación se representa en la figura 4@b. si
consideramos un área ∆ A alrededor del punto O entonces una fuerza ∆ P
actuará en está área. 'i el área ∆ A se reduce continuamente, el valor l!mite
de la relación A P ∆∆ es el esfuerzo en el punto O del plano mm del
cuerpo /.
lim P
A A∆
∆
∆→
=6
σ 24<5
#uando el esfuerzo act%a a un cierto ángulo con respecto al área.
Este se descompone en dos componentes, un esfuerzo normal σ
perpendicular a ∆ A , y un esfuerzo de corte τ en el plano mm. &ara
ilustrar este punto consideremos la figura 4<. La fuerza ) forma un
ángulo θ con respecto a la normal 3 del plano de área A. /ambién el
P
$
%
&
!
O φ θ
3igura 4@ Fesolución delesfuerzo total en dos
componentes.
$
%
&
o
m
n
mn
P ?
P=
P8 P
4
P:
2a5
1
2
$
&
o
m
mn
P
P
2b5
2
P=
3igura 4? 2a5 #uerpo en equilibrio bao la acción de las fuerzaexternas P 4, P 8,..., P ?N 2b5 3uerzas actuando en la parte 8 del cuerp
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plano que contiene la normal y ) intercepta al plano de área A a lo largo
de la l!nea de segmentos cortos OC , la cual forma un ángulo φ con el ee &. El esfuerzo normal esta dado por9
σ θ = P
Acos 24A5
El esfuerzo de corte en el plano mm act%a a lo largo de la l!nea OC
y tiene una magnitud de9
τ θ = P
Asen 24B5
Este esfuerzo de corte puede ser resuelto en componentes paralelas
a los ees 4 y &. Entonces9
En la dirección 4 τ θ φ = P
A sen sen 24465
En la dirección & τ θ φ = P
Asen cos 24445
En general, un plano dado puede tener un esfuerzo normal y dos
esfuerzos de corte actuando en él.
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1.#.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN Y TIPOS DE DEFORMACIÓN
La deformación lineal media se define como la relación del cambio
de longitud con respecto a la longitud original.
e L
L
L
L L
L= = =
−δ
6 6
6
6
∆ 24485
donde9 e = Deformación lineal media.
δ = largamiento.
&or analog!a con la definición de esfuerzo en un punto, la
deformación en un punto es la relación de la deformación entre puntos
( ) L6 cuando esta tiende a cero.
En vez de referir el cambio de longitud con la longitud original,
muc)as veces es más %til definir la deformación como el cambio de
dimensión lineal dividida por el valor instantáneo de la dimensión.
ε = =∫ dL
L Ln
L
L L
L
' '
6 6
244:5
La ecuación anterior define la deformación natural o verdadera. La
deformación verdadera es %til cuando se trabaa con problemas de
p!stici$$ & conform$o $e met!es. &ara deformaciones muy peque(as
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para las cuales las ecuaciones de la elasticidad son válidas las dos
definiciones dan resultados idénticos.
La deformación elástica no solo cambia la longitud
de un elemento lineal en el cuerpo, también cambia el
ángulo inicial entre dos l!neas. El cambio angular se
conoce como la $eformción $e corte ( )γ . La figura 4A
ilustra la deformación producida por corte puro en la cara
de un cubo. El ángulo en la punto A$ el cual era originalmente B6P, es
disminuido una cantidad por la aplicación de un esfuerzo de corte. La
deformación de corte es igual al desplazamiento 56 dividido por la
distancia entre los plano 5h6. La relación (a es también la tangente del
ángulo a través del cual el elemento )a sido rotado. &ara ángulos
peque(os la tangente del ángulo y el ángulo 2en radianes5 son iguales. Las
deformaciones de corte son muc)as veces expresadas como ángulos de
rotación.
γ θ θ = = =a
(tang 244=5
a
A
(
θ
3igura 4< Deformación de