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FUERZAS Y EQUILIBRIO EN EL ESPACIO
MECNICA VECTORIAL
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PROPSITOS
Reconoce las fuerzas en el espacio.
Analiza las operaciones de fuerzas en el espaci
Analiza las condiciones del equilibrio de unapart cula en tres di!ensiones.
"
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P = Punto espacioP = (x; y; z
istema cartesiano tridimensional
O = (0; 0;O: Origen
A # $%'() # $%&"(C # $'&"(* # $'& "(E # ' +
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Indica la ubicaci/n de un punto0 respecto del ori1en delsiste!a cartesiano.
e posicin
3i 0 # $4& ,& %(
r OP xi yj zk = = + +uuurr
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posicin relativo*eter!ina un 5ector ubicado entredos puntos cualesquiera delespacio.
3i6 7 # $"& +"& %( 8 0 # $,& "& 9(
Cabeza menos cola
1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k = + +
r
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En el estudio de la Mec:nica 5ectorial es i!portante el an:lisis de 5ec
en el espacio; los cuales requieren la desco!posici/n de 5ectores enco!ponentes en un siste!a coordenado tridi!ensional. A continuacdetallare!os sus caracter sticas 8 trata!iento.
n el !spacio
O"#$ %$"&!S'$ $ !* V!%&O"
#$+ '&, !* V!%&O"
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CO3ENO3 *IRECTORE36
n el !spacio
V!%&O" , '&$"'O
'"!%%'- !* V!%&O"
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3e aplica una fuerza - auna part cula tal co!o!uestra la .
b( E?presar - en for!a5ectorial cartesiana.
E=e!plo 96
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3i la !a1nitud de latensi/n en el cablees de "'' N;deter!ine la
e?presi/n cartesiana8 la direcci/n de latensi/n que actBasobre el anillo en A.
E=e!plo "6
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RESOLUCIN1 Determinamos el vector unitario del segmento AB.
2 Determinamos el vector fuerza en funcin de sumagnitud y el vector unitario de su direccin.
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Cuando se presentan dos o !:s fuerzasactuando en un siste!a; es necesarioencontrar la resultante de todas ellas& para locual s/lo es necesario su!ar las fuerzas5ectorial!ente aplicando los principios5ectoriales.
$dicin de .uerzas concurrentes en el espacio
O"#$%$"&!S'$ $
#$+ '&, / '"!%%'-
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EJEMPLO 3
*ado el siste!a defuerzas que actBansobre el 1anc o en A;!ostrado en la
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RESOLUCIN9D *eter!ina!os la for!a cartesiana decada fuerza6
"D *eter!ina!os el 5ector fuerresultante o 5ector su!a6
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Cuando el siste!a de fuerzas e?ternas queactBan sobre un cuerpo en equilibrio estridi!ensional; pode!os e?presar la sumade las .uerzas externas co!o6
o en el espacio
Esta ecuaci/n se cu!ple si 8 s/lo si6
Las sumas de las componentes x, y 8 zde las
fuerzas e?ternas que actBan sobre un cuerpoen e uilibrio deben ser i uales a cero.
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Procedimiento sugerido para resolverpro1lemas de e uili1rio de una part2cula en el
espacio3
Esta ecuaci/n se cu!ple si 8 s/lo si; en for!aescalar6
9D *ibu=ar el diagrama de cuerpo li1re %* con5eniente."D *eter!inar cada 5ector fuerza en .orma cartesiana3
4D $plicar la condicin de e uili1rio . Cuando el siste!a defuerzas e?ternas que actBan sobre un cuerpo en equilibrio estridi!ensional; pode!os e?presar
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EJEMPLO 4
En la
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RESOLUCIN
45 %* !* P, &O $3 65 !7P"!S'O !S %$"&!S'$ $S ! %$ $
,!"8$3 *eter!ina!os cada 5ector en forcartesiana6
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95 %O '%'- ! ! ,'*' "'O3 3e cu!ple la ecuaci/n 5ectorial si1ui
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EJEMPLO 5
@n bloque est:suspendido de unsiste!a de cables co!ose !uestra en la
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RESOLUCIN
45 %* !* P, &O 3 65 !7P"!S'O !S %$"&!S'$ $S !%$ $ ,!"8$3 *eter!ina!os caden for!a cartesiana6
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RESOLUCIN
95 %O '%'- ! ! ,'*' "'O3 3e cu!ple la ecuaci/n 5ectorial si1uen la cual se sustitu8en las ecuaciones $a( anteriores6
En la ecuaci/n anterior co!o la resultante debe ser nula ta!bi n deben sernulas las distintas co!ponentes de esta e?presi/n cartesiana; lue1o se debensatisfacer las si1uientes ecuaciones6
Resol5iendo6
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EJEMPLO PROPUESTO 1
La car1a !ostrada pendedel siste!a de cables. 3esabe que el peso de la
car1a es "''N. *eter!inelas e?presiones cartesianasde las tensiones en cadacable.
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EJEMPLO PROPUESTO 2
@n contenedor de peso W est: suspendido del aro A ;al cual se unen los cables
AC 8 AE . @na fuerza P seaplica al e?tre!o F de untercer cable FBAD que pasasobre una polea en ) 8 atra5 s del anillo A 8 queest: unido al soporte en D .3i se sabe que W # 9''' N;deter!ine la !a1nitud de 0.
Nota6 La !a1nitud de la
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ING. CARLOSCOAQUIRA ROJO