M.Sc. Norbil Tejada Campos
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA
CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2013
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
CINÉTICA DE UNA PARTICULA:
Método del Trabajo y Energía
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DEFINICION: Cuando una fuerza actúa
sobre una partícula, realiza un trabajo
cuando ésta desplaza a dicha partícula
en la dirección de la fuerza. Así, la
fuerza desplaza a la partícula P
según .
El trabajo es una magnitud física
escalar, y se define como:
F
rd
rdFW
dsFW cos
Según la definición de producto
escalar, tenemos:
TRABAJO y ENERGIA
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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dsFrdFW cos
Análisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).
2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).
3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).
Unidades:
1. (W) = 1 N.m = 1 J (julio)
2. (W) = 1 din. cm = 1 erg (ergio)
3. (W) = 1 kgf.m
4. (W) = 1 lb.pie
5. etc.
DEFINICION:
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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cosFxxFW
Análisis:
1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).
2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).
3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).
DEFINICION: Si el desplazamiento es horizontal; tenemos:
m m
(A) (B)
θ
x
FN
P
f
x
1. TRABAJO DE UNA FUERZA
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Conociendo Fc y θ constantes, el
trabajo que realiza Fc cuando la
partícula se desplaza de S1 a S2, se
determina por medio de la ecuación:
12coscos
2
1
SSFdsFW
S
S
Este trabajo se representa mediante una área de un rectángulo, como se observa
en la figura:
Fccosθ
S1 S2 S
F
0
W = AREA
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
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Ejemplo 01.- Con una fuerza de 1200 N que forma un ángulo de 37º con la
horizontal se tira una caja de 200 kg, en una superficie áspera horizontal. La caja
se mueve una distancia de 4 m con rapidez constante. Calcular: a) el trabajo
realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce.
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
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Ejemplo 02.- Siendo el campo de fuerzas definido por , en newtons; Hallar el trabajo, que realiza dicho campo para llevar una partícula por la curva C en el sentido indicado en la figura.
2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL
F x y i y x j 2 3 42
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La partícula al desplazarse de S1 a S2,
en una posición intermedia se tiene:
kdzjdyidxrd
kmgkPP
El trabajo que realiza la fuerza peso,
es:
2
1
r
r
rdPW
2
1
)()(
r
r
kdzjdyidxkPW
)( 12
2
1
zzPPdzW
z
z
ZmgZPW
3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)
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3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)
Ejemplo 03.- Un cuerpo puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado.
El coeficiente de rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar
al punto más bajo es de 9 m/s. Determine, el trabajo de cada una de las
fuerzas durante el movimiento del cuerpo.
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2. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario des x = xi hasta
x = xf, el trabajo realizado por el resorte
está dado por:
22
2
1
2
1)(
fi
fx
ix
resorte xkxkdxxkW
F
xi xf
k
m
1. Si la masa (m) experimenta un
desplazamiento arbitrario desde x = xi
hasta x = xf, el trabajo realizado por un
agente externo (que realiza la fuerza F);
está dado por:
22
2
1
2
1)(
if
fx
ix
xkxkdxxkW
4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
Ejemplo 04.- Una masa de 4kg se mueve del punto A al punto B
sobre una varilla de guía lisa de un cuarto de círculo, como se
ilustra. La masa está sujeta a un resorte de longitud no estirado de
200 mm y una constante de resorte de 10 kN/m. Determine el
trabajo total efectuado en la masa.
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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
Ejemplo 05.- Un collarín de 0,25 lb se desliza en la barra circular AB que
se encuentra en un plano vertical. El resorte unido al collar tiene una
longitud libre de 9 pulgadas y su rigidez es 0,1 lb/pulg. Si el collarín se
suelta desde el reposo en A, determine: a) el trabajo realizado por el
resorte, b) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, c) la rapidez del
collarín cuando llega al punto B.
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Si actúan más de una fuerza sobre el cuerpo, el
trabajo resultante es el realizado por la componente de
la fuerza resultante en dirección del desplazamiento,
entonces en términos del producto escalar en tres
dimensiones, el trabajo total es:
2
1
2
1
2
1
cos)(
S
S
T
S
S
r
r
TOTAL dsFdsFrdrFW
Fcosθ
S 0 S1 S2 ds
Fcosθ
Dicho trabajo representa el área bajo la curva Fcosθ versus s, según la figura:
5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
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Si una fuerza variable F está moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una
posición inicial a otra final, ya no se puede usar la expresión anterior para calcular el
trabajo realizado por la fuerza. En este caso se puede hacer que el cuerpo
experimente pequeños desplazamientos dx, entonces la componente Fx de la fuerza
en la dirección del desplazamiento se puede considerar aproximadamente constante
en ese intervalo dx y se puede calcular un trabajo dW en ese pequeño
desplazamiento como:
f
i
x
x
xdxFW
Dicho trabajo representa el área bajo la curva Fx versus x, según la figura:
5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE
ENERGIA CINETICA : K = ½ mv2
ENERGIA POTENCIAL : EP = EP (x,y,z)
ENERGIA MECANICA TOTAL : E = K + EP
6. ENERGIA MECANICA
TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA CINETICA
“El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre
una partícula, es igual al cambio de la energía cinética de la
partícula”:
KKKmvmvW ififn 22
2
1
2
1
Observaciones:
1. W y K son cantidades escalares, de iguales unidades.
2. W (+ o -) y K (+)
3. W y K dependen del marco de referencia elegido; pero Wn = ΔK
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA
Ejemplo 06.- Los bloques están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte está indeformado. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen 0,3 y 0,2, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar: a) la máxima velocidad de los bloques y el alargamiento que, en esa condición sufre el resorte, b) la máxima distancia que recorrerá el bloque de 10 kg, hacia abajo, por el plano inclinado.
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gradF
12
2
1
2
1
)21( rdgradrdFW
0)21( rdFW
Campo de fuerzas conservativas:
a. La fuerza es función de la posición, dada en Coordenadas espaciales.
F=F(x,y,z).
b. La fuerza se expresa como el gradiente de una función escalar
denominada “Potencial de Fuerza”, de la siguiente forma:
c. El trabajo efectuado por una fuerza de este tipo sobre una partícula que se
mueve del punto “1” al punto “2” es independiente de la trayectoria y
depende solamente de los puntos extremos de estudio.
d.- Si la trayectoria recorrida por la partícula es cerrada, entonces el trabajo
efectuado es nulo, porque coinciden los puntos inicial y final.
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
31/01/2013 21
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la
trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el
trabajo es sólo función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con
una variación de energía función de la posición, similar al caso de la energía
cinética que es función de la velocidad.
fpipp
r
r
EEErdFW
f
i
“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor
negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza”:
TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA POTENCIAL
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 1.- Fuerza de un resorte
ikxF
Fuerza de un resorte:
ikxkx
jx
ix
De donde:
kxx
2
2
1kx
pE
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 2.- Fuerza de gravedad
kmgF
Fuerza de gravedad:
kmgkx
jx
ix
De donde:
mgz
mgz
pE
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 3.- Campo gravitatorio de fuerzas centrales
rur
mMF
2
),,( zyxFF
r
mMgradF
r
mMU
r
mMiagravitator
También puede expresarse como:
Donde,
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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Ejemplo 4.- Campo electrico de cargas puntuales
re ud
qQKF
2
),,( zyxFF
r
qQKgradF e
r
qQKU
r
qQK eelectrica
e
También puede expresarse como:
Donde,
7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL
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p
r
r
c ErdFW
f
i
KrdFW
f
i
r
r
c
1. Movimiento en un Campo de Fuerzas Conservativas:
pEK
^
De donde, tenemos que:
Principio de conservación de la Energía Mecánica: “La
suma de la energía cinética y la energía potencial de una
partícula, permanece constante todo el tiempo que dure
el movimiento”.
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE
Ejemplo 07.- Un peso de 30 lb se mueve sobre una barra guía lisa
vertical. El peso se suelta del reposo en la posición que se ilustra.
Determine la velocidad cuando se mueve 5 pies hacia abajo. Cada
resorte tiene una longitud sin deformación de 1.5 pies y una
constante de resorte de 75 lb/pie.
31/01/2013 28
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
Ejemplo 08.- El resorte tiene una longitud natural de 0.4 m y una
constante de 400 N/m. La corredera unida a él se suelta en el
punto A y se mueve en el plano vertical. Calcular la celeridad de
la corredera al llegar al punto B en ausencia de rozamiento.
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KrdFE
f
i
r
r
cp
KrdFrdFrdFFW
f
i
f
i
f
i
r
r
nc
r
r
c
r
r
ncc
)()(
2. Movimiento en un Campo de Fuerzas no Conservativas:
El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la
energía cinética mas la variación de la energía potencial”.
pnc EKW
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
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8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
Ejemplo 09.- La corredera C de 1,5 kg se mueve por una varilla inmóvil bajo la acción del resorte cuya longitud natural es de 0,3 m. Si la velocidad de la corredera es de 2 m/s en el punto A y de 3 m/s en el punto B; calcular: a) el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento entre esos dos puntos, b) la fuerza de rozamiento media que actúa sobre la corredera entre A y B si la longitud del trayecto es de 0,70 m. (el plano x-y es horizontal).
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PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:
“Cuando todas las fuerzas que actúan sobre una
partícula son conservativas, la energía Mecánica total en
cualquier posición es igual a una constante, igual a
sumar: E = K + Ep”
LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:
“La energía de un sistema aislante puede ser
transformada de una clase a otra; sin embargo, la
energía total en sus varias formas no se puede ser
creada ni destruida”
8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
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DEFINICION: Potencia se define como la rapidez con la que se realiza
trabajo. Así tenemos:
i
ii
i
vFdt
rdF
P
dt
dWP
vFdt
rdFP
Como dW para cualquier fuerza Fi es: , de modo que la Potencia
que desarrolla un sistema de n fuerzas en el tiempo “t”, es: ii rdFdW
Unidades:
1. (P) = 1 J/s = 1 w (watts)
2. (P) = 1 lib.pie/s
3. (P) = 1HP (horse power o caballo de potencia)
Equivalencias:
1 w = 1 J/s = 1 N.m/s
1 HP = 550 lb.pie/s = 746 w
9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA
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8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
Ejemplo 10.- En el dispositivo de forja mostrado, el martillo de 40 kg se
levanta a la posición 1 y se libera del reposo, el cual cae y golpea una
pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k
= 1500 N/m, y la tensión en cada resorte es de 150 N cuando el martillo
está en la posición 2. Ignore la fricción, se pide: a) Calcular la rapidez del
martillo justamente antes de que golpee la pieza de trabajo, b) Si toda la
energía cinética del martillo se transfiere a la pieza de trabajo, determine
la potencia media que se transfiere si el impacto dura 0.02 s,
respectivamente.
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MAQUINAS:
)(..
)(..)(
e
s
pentradapotencia
psalidapotenciaeficiencia
Para algunas máquinas se hace necesario conocer la
potencia en base a la cual se puede realizar un trabajo en un
determinado tiempo (ε); donde las fuerzas de rozamiento
disminuyen la potencia de salida haciendo que la eficiencia
de una máquina sea menor que la unidad (ε<1).
Nota.- Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de 1 kW. El valor de un kWh es: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 x 106 J.
9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA