Contenido
Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
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Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
Cambio de masa = entrada - salida
Ecuación de continuidad conservativa
t t t x x x
t t t x x x
adv dif dis
dif dis
c c A x j j A t
c c j j
t xc
jt
j j j j
qc c c
D D
x
jx jx+x
A
Condiciones de contorno
Tres tiposFijar concentración
Fijar caudal másico (adv.+dif.+dis.)
Fijar relación caudal-concentración
= fijar concentración = 0, = q fijar caudal
ctec contorno
contornocontornocontornocqctej
contornocontornoccj
Transporte reactivo 'monosoluto' (1)
Adsorción
Desintegración
Ecuación de continuidad
ckc dads
ckr desdes
adsads
desads
rt
c
rrcLt
c
)(
ccL disdif DDq ()
¡¡ Ojo unidades !!
Transporte reactivo 'monosoluto' (2)
Sumamos las dos ecuaciones de continuidad
Sustituimos ecuaciones para adsorción y desintegración
desads rcLt
c
t
c
)(
ckcLt
ck desd
)(1
Factor de retardo (Rd)
Transporte reactivo 'monosoluto' (3)
Ejemplos 1D sin dispersión o difusión
Conservativo
Retardo
Desintegración
Retardo +Desintegraciónx t
c
c
c
c
Contenido
Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
Transporte reactivo multisoluto
Más solutos (especies químicas), más reacciones
Notación con matrices y vectoresAlgo de teoría de matrices y vectoresAplicación a transporte reactivo
Matriz por matriz
Ejemplo
Ojo, No. de columnas de A = No. de filas de BAB BA
65
43
21
A
42
31B
3917
2511
115
46352615
44332413
42312211
AB
Matriz por matriz, particularidad
Ejemplo
21 AAA
2
1
B
BB
2211 BABAAB
3917
2511
115
2412
168
84
155
93
31
42
6
4
2
31
5
3
1
AB
65
43
21
A
42
31B
Matriz de unidad (I)
Tiene 1 en el diagonal y ceros en los demás elementos
Particularidades
100
010
001
I
AIA AAI
Matriz transpuesta (AT)
Filas y columnas se intercambianEjemplo
Particularidades
642
531
65
43
21T
T T TAB B AII t
Sistemas lineales
Escribir sistema de ecuaciones lineales como
A debe ser cuadrática (no. filas/ecuaciones = no. columnas/incógnitas)
A es singular y no se puede resolver el sistema cuando una ecuación es combinación de otras
A es invertible o linealmente independiente cuando se puede resolver el sistema
bAx
451
430
021
A
6
5
43
21
2
1
x
x
643
52
21
21
xx
xxp.e.
Matriz inversa (A-1)
DefiniciónPodemos escribirA debe ser cuadrática y linealmente
independienteEjemplo
Particularidades
IAA 1
5.05.1
12
43
21 1AA
10
01
43
21
5.05.1
12Porque
CABCAB 1
11 T T A AII 1
Subespacios vectoriales
X 1
X 2
X 3
2
1
1
0
v
1
0
2
1
v
1
1
2
w
Subespacio 2D definido por combinación lineal de v1 y v2: a1v1 + a2v2
(v1 y v2 linealmente independiente)
Subespacio 1D definido por combinación lineal de w: bw
1
2
0 2 1
1 1 0
t
t
vU
v
1 1 2 tS w
Subespacios son ortagonales si
tUS 0
Rango = 2
Rango = 1Suma de rangos máximos de subespacios ortagonales = número total de dimensiones
U es núcleo de S
Escribir reacciones químicas como matriz
Por convenioCoeficiente estequiométrico positivo: productoCoeficiente estequiométrico negativo: reactante
EjemploR1: HCO3
- = CO32- + H+
R2: X2Ca +2Na+ = 2XNa + Ca2+
R3: H2O = H+ + OH-
R4: CaCO3(s) = Ca2+ +CO32-
SqMatriz estequiométrica Especie química
Escribir reacciones químicas como matriz
3
2
2
2-3
-
-3
2
CaCO
OH
CaX
CO
OH
H
XNa
Na
HCO
Ca
1001000001
0100110000
0010002201
0001010010
R4
R3
R2
R1
Sq
Escribir ley de acción de masas como matrizUsar logaritmos
En notación de matrizlog loge S a k
Vector de actividades de todas las especies químicas
Vector de constantes de equilibrio
3.10)HCOlog()COlog()(Hlog
10)HCO(
)CO)((H
-3
2-3
3.10-3
-23
K
Matriz estequiométrica para reacciones en equilibrio
Ejemplo ley de acción de masa como matriz
5.8
0.14
8.0
3.10
)log(CaCO
O)log(H
Ca)log(X
)log(CO
)log(OH
)log(H
log(XNa)
)log(Na
)log(HCO
)log(Ca
1001000001
0100110000
0010002201
0001010010
3
2
2
2-3
-
-3
2
Especies primarias/secundarias
Si hay Ns especies y Nr reacciones químicas podemos escribir las actividades de Nr especies secundarias en función de (Nc = Ns– Nr) especies primarias mediante leyes de a. m.
Rescribimos la ley de acción de masas
Despejamos a2
Ojo, S2 debe ser invertible
1 1 2 2log log log log loge S a k S a S a k
21 SSS
2
1
a
aa
*
1*
1211
122
loglog
logloglog
kaS
kSaSSa
Especies primarias/secundarias ejemplo
1-001000001R4
01-00110000R3
001-00022-01R2
000101001-0R1
CaCOOHCaXCOOHHXNaNaHCOCa 322-2
3--
32
S
01-0011CaCO
110000OH
0022-01CaX
01-0010CO
OHHXNaNaHCOCa
000001
110000
002201
010010
1001
0100
0010
0001
3
2
2
-23
--3
2
1
11
2* SSS
Primarias Secundarias
S1 S2
Nr
NrNc = Ns–Nr
Especies primarias/secundarias ejemplo
8.1
0.14
8.0
3.10
5.8
0.14
8.0
3.10
1001
0100
0010
0001
loglog
1
12
* kSk
8.1
0.14
8.0
3.10
)OHlog(
)Hlog(
)XNalog(
)Nalog(
)HCOlog(
)Calog(
010011
110000
002201
010010
)log(CaCO
O)log(H
Ca)log(X
)COlog(
-
-3
2
3
2
2
2-3
*1
*2 logloglog kaSa
Especies primarias/secundarias comentariosHay más posibles conjuntos de
primarias/secundarias, cambiando columnas en Se
No todos los conjuntos son posible (S2 debe ser invertible)
En nuestro ejemploNo es posible como primarias: CO3
2- (en lugar de Ca2+), HCO3
-, Na+, XNa, H+, OH-
Es posible como primarias: Ca2+, CO32- (en lugar
de HCO3-), Na+, XNa, H+, OH-
Velocidad de reacción (reaction rate)
Una reacción aA + bB = AaBb
En notación matricial
Para reacciones cinéticas r es una función de todas las concentraciones:ley cinética
Para reacciones en equilibrio no hay expresión explícita
art
cA
brt
cB
rt
cbaBA
cinética
Tk kt
c
S r
k r f c
Velocidad de reacción
Nuestro ejemplo con todas las reacciones en cinética:R1: HCO3
- CO32- + H+
R2: X2Ca + 2Na+ 2XNa + Ca2+
R3: H2O H+ + OH-
R4: CaCO3(s) Ca2+ + CO32-
2
-3
1
2
-3
2-43
2
2
3
0 1 0 1Ca
1 0 0 0HCO
0 2 0 0Na
0 2 0 0XNa
1 0 1 0H
0 0 1 0OH
1 0 0 1CO
0 1 0 0X Ca
0 0 1 0H O
0 0 0 1CaCO
Tk
r
r
r
r
S r
Ejemplos leyes cinéticas
Disolución/precipitación
Monod
k mkxc
mkmki
m N
k
NN
im
pimk
RT
Ea
mmm akeAr1 1
1
)(O
)(O)OCH(
22
222
o
o kr