DESARROLLO NUMERICO DE UN CASO
A continuación se da un ejemplo numérico del calculo de coordenadas que ayudará a comprender mejor todo lo expuesto al respecto.
Angel F. Becerra Pajuelo
Datos de campo necesarios
Ángulos internos y Distancias de la poligonal:
Lado Distancia Vértice Ang.Horiz.
(m) Gr Min Seg
1-2 497 1 88 10 10
2-3 454 2 107 20 10
3-4 625 3 65 30 10
4-1 355 4 99 0 10
Azimut del Lado 1- 4 = N 60 50’
Tolerancia error lineal de cierre
Aproximación del instrumento igual a 30 segundos.
Angel F. Becerra Pajuelo
SOLUCION:
1. Corrección de lados de la poligonal
Las mediciones de campo se corrigen de errores por tensión, temperatura, catenaria, etc. si los hubiera.
Luego se determina la longitud horizontal o longitud proyectada al horizonte de c/u de los lados de la poligonal.
Angel F. Becerra Pajuelo
2. Determinación del error angular de cierre
a) Sumatoria de ángulos medidos ( a.m )
88 10’ 10”
107 20’ 10” ”
65 30’ 10”
99 00’ 10”
La suma de los 4 ángulos internos de la poligonal dan :
ang. medidos = 360 00 40”
Angel F. Becerra Pajuelo
b) La suma de ángulos horizontales internos calculados
de una poligonal de n lados es:
ang. calc.= 180(n–2) = 2R(n-2) = 180(4–2) = 360
c) Error Angular (Ea):
Ea = ang. med - ang. calc.
Ea = 36000’40” - 36000’00” = 40” (en exceso)
Angel F. Becerra Pajuelo
d) Tolerancia angular:
= 30( 4 )0.5 = 60”
La “Ta” se compara con el error encontrado Ea = 40”
Ea < Ta ==> 40” < 60”
e) Corrección o distribución del error angular:
Este valor se restara a cada uno de los ángulos por ser el error en exceso.
Angel F. Becerra Pajuelo
e) Ángulos Corregidos:
Vértice 1 = 88 10’10” –10” = 88 10’
Vértice 2 = 107 20’10” – 10” = 107 20’
Vértice 3 = 65 30’10” – 10” = 65 30’
Vértice 4 = 99 00’10” – 10” = 99 00’
Angel F. Becerra Pajuelo
3. Cálculo de Azimut y Rumbos.
Habiéndose realizado la corrección angular y a partir del valor del azimut inicial, se calcula el azimut de los otros lados.
El azimut inicial proporcionado en los datos es un azimut inverso Az1-4 = N 6050’
Para hallar el Azimut directo Az4-1 , hay que sumarle 180 grados.
Az4-1 = (6050’ + 180) = N 240 50’ ;
Luego los azimut para cada lado de la poligonal serán:
Angel F. Becerra Pajuelo
Vértice 1:
Az1-2 = Az4-1 + Ang 1
Az1-2 = 240 50’+ 86 10’ = 329; como es mayor de 180 =>
Az1-2 = 329 - 180 = N 149
Vértice 2:
Az2-3 = Az1-2 + Ang 2
Az2-3 = 149 + 107 20’ = 256 20’; como es mayor de 180 =>
Az2-3 = 256 20’-180 = N 76 20’
Angel F. Becerra Pajuelo
Vértice 3: Az3-4 = Az2-3 +Ang 3 Az3-4 = 7620’+6530’ = 14150’; como es
menor de 180 => Az3-4 = 14150’+ 180 Az3-4 = N 321 50’ Vértice 4: Az4-1 = Az3-4 + Ang 4 Az4-1 = 32150’+99 =42050’: como es
mayor de 360 => 420 50’ - 360 = 60 50’ como la diferencia es menor de 180 ==> Az4-1 = 6050’+180 = N 240 50’
Angel F. Becerra Pajuelo
Resumiendo tenemos:
Azimut
Lado Directo Inverso
1-2 14900’ 32900’
2-3 7620’ 25620’
3-4 32150’ 14150’
4-1 24050’ 6050’
Angel F. Becerra Pajuelo
4. Determinación de Rumbos:
El Azimut 1-2 = N 149 esta en el II cuadrante luego:
Rb 1-2 = 180 – 149 = S 31 E
El Azimut 2–3 = 7620’ esta en el I cuadrante luego:
Rb2-3 = N 76 20’ E
El Azimut 3-4 = 32150’ esta en el IV cuadrante luego:
Rb3-4 = 360 - 321 0’ = N 38 10’ O
El Azimut 4-1 = 240 50’ esta en el III cuadrante luego:
Rb4-1 = 240 50’ - 180 = S 60 50’ O
Angel F. Becerra Pajuelo
Calculo de las Proyecciones
El resumen de la información obtenida hasta ahora y
el calculo de la proyecciones o coordenadas parciales
se presentan en el cuadro siguiente:
Vért. Ang.Horiz Lado Dist. Azimut Rumbo Coord.Parciales
Gr Min (m) Gr Min Gr Min X=LSenRb Y=LSenRb
1 88 10 1-2 497 149 0 S 31 E 255.97 -426.01
2 107 20 2-3 454 76 20 N 76 20 E 441.15 107.27
3 65 30 3-4 625 312 50 N 38 10 O -386.22 491.39
4 99 0 4-1 355 240 50 S 60 50 O -309.99 -173.01
Angel F. Becerra Pajuelo
Determinación del Error Lineal de Cierre y el Error
Relativo de Cierre
En el eje X : Suma Algebraica de las Abscisas
X(+) = 255.97 + 441.15 = + 697.12
X(-) = - 386.22 + (-309.99) = - 696.21
Error de Cierre en el Eje X = Ey = + 0.91
En el eje Y : Suma Algebraica de las Ordenadas
Y(+) = 491.39 + 107.27 = + 598.66
Y(-) = - 426.01 + (- 173.01) = - 599.02
Error de Cierre en el Eje Y = Ey = - 0.36
Angel F. Becerra Pajuelo
Luego el Error lineal de cierre = ((0.91)2+ (0.36)2 )0.5
Ec = 0.978
Perímetro (P) = Longitud total de la poligonal = 1,931 m.
El Error Relativo de Cierre Erc = Ec / P
Se compara el error Relativo con la Tolerancia:
Angel F. Becerra Pajuelo
Compensación de Coordenadas de la Poligonal
Lado 1-2
Lado 1-2 Compensado ò corregido
X = +255.97 - 0.23 = +255.74
Y = - 426.01 + 0.09 = - 425.92
De esta forma se compensan los otros lados de la poligonal obteniéndose los siguientes resultados.
Angel F. Becerra Pajuelo
Abscisa Ordenada
Lado X Cx Corregida Y Cy Corregida
1 - 2 255.97 -0.23 255.74 -426.01 0.09 -425.92
2 - 3 441.15 -0.22 440.93 107.27 0.08 107.35
3 - 4 -386.22 -0.29 -386.51 491.39 0.11 491.50
4 - 1 -309.99 -0.17 -310.16 -173.01 0.08 -172.93
Angel F. Becerra Pajuelo
8. Determinación de las Coordenadas Totales
8.1 Para la determinación de las Coordenadas Totales hemos asumido el valor de la coordenada del vértice 1 en:
V1(1000,1000) ó X=1000, Y=1000
A este valor inicial se han sumado algebraica y sucesivamente el valor de las coordenadas parciales compensadas de los vértices 2, 3 y 4 obteniéndose el valor de las coordenadas totales de cada uno de los vértices de la poligonal (ver cuadro siguiente).
Angel F. Becerra Pajuelo
Coordenadas Coordenadas Totales
Lado X Y Vértice X Y
1 - 2 255.74 -425.92 1 1000.00 1000.00
2 - 3 440.93 107.35 2 1255.74 574.08
3 - 4 -386.51 491.50 3 1696.67 681.43
4 - 1 -310.16 -172.93 4 1310.16 1172.93
1 1000.00 1000.00
Angel F. Becerra Pajuelo
8.2 Determinación de Coordenadas UTM
Con el GPS Navegador, se obtuvo la Coordenada UTM (sistema WGS84) del V1 de la poligonal:
18 L 292288 m E, 8863295 m N
A este valor se le suma algebraica y sucesivamente el valor de las coordenadas parciales compensadas de los vértices o estaciones 2, 3 y 4 obteniéndose el valor de las coordenadas UTM de cada uno de los vértices de la poligonal como se muestra en el cuadro siguiente.
Angel F. Becerra Pajuelo