Juan Carlos Gacita
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace es un mtodo simple de resolver
ecuaciones diferenciales, convirtindola en una ecuacin
algebraica.
F(t) : una funcin del tiempo t tal que f(t) = 0 para t
El proceso inverso de encontrar la funcin del tiempo f(t) a
partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina
transformada inversa de Laplace.
F(t) F(s) F(t)
PROPIEDADES
Linealidad :
L ( f1(t)+f2(t) ) = L (f1(t)) + L (f2(t))
Transformada de una derivada :
Transformada de una primera derivada
L( df(t) ) = S * F(s) f(0)
dt
0
1
1
0
1
0
1 )(....)(
)()()(
t
n
n
t
n
t
nn
n
n
dt
tfd
dt
tdfstfssfs
dt
tfdL
PROPIEDADES
Translacin de la funcin :
L ( f(t-t0) ) = e-t
0S F(S)
Translacin de la transformada:
L (e- at f(t)) = F(S+a)
Integral :
L( f(t)dt) = F(S)/S
Teorema del valor final :
L (lim f(t) ) = lim (s F(S))
t
s 0
Algunas funciones transformadas importantes
Escaln Unitario
Rampa
Exponencial
ssFtf 1)(1)(
SsFttf
2)()( 1
)(1)()(
S
tsFtf e
TABLAS
TABLAS
Expansin en fracciones
T d L
Y(s) = G(s)
T inversa Expansin
Sistema Lineal
Y(t)
Transformar a L(s)
Despejar para Y(s)
Invertir Y(s)
___
12
_2
Ubyaotd
yda
dt
yd
Cond inicial Y(t=o)
Podemos hacer un ejemplo ?
F CA0 V CA
AA kCr
BA
kVF
FK y
kVF
V con
0AKC
AC
dtA
dC
Con CA expresada en variables de desviacin : CA(0)=0
Aplicando T.d.L a la ecuacin diferencial tenemos
}0
{}{}{A
CKLA
CLdt
AdC
L
(s) Ao
KC(s)A
C) (A
(s)-S* CA
CS 0*
0
)1(
)1(
S
K
(s)Ao
C
(s)A
C
(s) Ao
KCS(s)A
C
Si CAo es un escaln entre 0 y A podemos encontrar la
respuesta de la concentracin de salida con el tiempo
)/
1(*
)1(*
et
AK(t)A
C
S
K
S
A(s)
AC