MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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Material para fines académicos RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DRA. JUDITH AGUILA MENDOZA
DE LA DIDÁCTICA GENERAL A LA DIDÁCTICA PARTICULAR
Tomado de: Castelnuovo, Emma. (2004) Didáctica de la matemática moderna.
Argentina. Ed. Trillas. (pág. 15-29)
Comenius y Pestalozzi: Los principios de la escuela activa
“Si bien estas escuelas son diferentes ─la escuela de la primera infancia, la
escuela de la infancia, la de la adolescencia y la de la juventud─, no queremos
que se enseñen cosas diferentes, sino las mismas cosas de maneras distintas.
Queremos decir las cosas que pueden hacer al hombre verdaderamente hombre,
a los sabios verdaderamente sabios, acercarlos según la edad y el nivel de
preparación que debe siempre tender a elevarlos ulteriormente.”
He aquí cómo se expresaba Jan Amos Komemenski, más conocido como
Comenius, en su obra Didáctica magna, escrita de 1627 a 1657, el hombre que
fue llamado el “Galileo de la Educación”.
Reflexionemos sobre el texto que hemos expuesto; en su pryección de una
escuela para todos, Comenius distinguía diferentes estratos, según la edad, y a
cada uno de éstos señalaba un determinado programa de instrucción. No se
trataba de cambiar temas, sino de tratar los mismos con maneras diversas a
medida, precisamente, de la posibilidad de comprensión de los alumnos, y
considerados desde un punto de vista siempre, más amplio, extendiéndose como
una espiral; así se formará la cultura “ de modo tal”, dice Comenius, “que aquello
que se ha aprendido hoy refuerce aquello que se aprendió ayer y abra el camino
para lo que se aprenderá mañana”
Hoy, en términos modernos, se dice que una instrucción que sigue esta
metodología se logra por ciclo. En Italia, muchas materias son desarrolladas con
métodos cíclicos. Así, en el estudio de la historia, un mismo tema, por ejemplo la
historia del Renacimiento italiano, se viene tratando ya en las ecuelas elementales
donde son elogiadas algunas figuras ─ Mazzini, Garibaldi─ más que los hechos;
se reanuda después en la escuela media inferior donde se estudian las causas
políticas y en donde el Renacimiento es considerado desde el punto de vista
puramente italiano con pocas referencias de naciones extranjeras. El tema, en los
cursos superiores, es tratado sobre una base más amplia; se estudian las caudas
económicas, sociales, etc., y el Renacimiento aparece como un fenómeno
encuadrado en la historia de Europa. El tratamiento es, entonces, como el
continuo ensanchamiento de un mismo tema.
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En cambio no se desarrollaría una enseñanza “por ciclos” si se siguiera
cronológicamente todo el decurso de la historia en la duración del curso completo
de estudios, desarrollando, por ejemplo, la historia antes de Cristo en el periodo
elemental, los primeros mil años de nuestra era en la escuela media inferior, y
todos los hechos del último milenio en el curso secundario superior.
Es fácil darse cuenta cuán absurdo sería, tanto desde el punto de vista
pedagógico como social, un curso de historia de tipo unitario, monolítico, como el
descrito. El método cíclico ha sido ideado para hacer de cada hombre un ser
preparado, darle una cultura completa después de cada ciclo de estudios, aunque
esta cultura no sea profunda en los primeros ciclos.
El método cíclico tiene como objetivo fomentar el respeto de la personalidad
humana, y es conmovedor pensar cómo este principio que está bajo las bases de
una didáctica moderna actualizada, haya sido delineada hace más de tres siglos
por un hombre, Jan Amos Comenius, que era hijo del pueblo.
Hemos, pues citado el ejemplo de la enseñanza de la historia. La enseñanza de la
geometría en Italia se desarrolló también por el método cíclico; las nociones
aprendidas por vía experimental en la escuela elemental se vienen reorganizando
y desarrollando en el curso de geometría intuitiva; estas mismas nociones son
después reanudadas en el curso secundario superior y encuadradas en un
sistema hipotético-deductivo. Pero, ...
…. Ejercitando, como yo ahora comienzo a hacerlo; haciendo que los muchachos
tracen líneas, ángulos y círculos, así se da precisión a la intuición de cada objeto y
se genera en el alumno una energía activa que lo llevará al conocimiento claro de
todo aquello que entrará en el círculo de sus experiencias.
Estas palabras son las de Enrico Pestalozzi, el hombre que fue llamando “ el
Beethoven de la educación”. Son consideraciones expuestas en su obra Cómo
Gertrudis instruye a sus hijos, escrita en 1801. Suenan tan dulces y vivas que es
casi una irreverencia comentarlas; mas lo debemos hacer porque adquirirán, a la
luz de la historia de la pedagogía, un relieve aún mayor.
Aquí se habla de actividad, de energía activa y de intuición. Mientras que los dos
primeros términos son claros, el término intuición es siempre vago y tiene varias
interpretaciones. Veamos el significado etimológico de la palabra “intuición”. Intueri
significa mirar adentro, mirar con atención; en su origen, el significado era estático:
significaba contemplar la verdad en sentido platónico. Este significado ha
evolucionado y de estático ha llegado a ser dinámico; ya en Roisseau, pero sobre
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todo en Pestalozzi, la intuición nace del trabajo en el sentido de una operación. La
intuición es una construcción.
El término intuición se encontrará frecuentemente en nuestro discurso, sobre todo
tratándose de la enseñanza de la geometría intuitiva; es por esto que hemos
querido precisar los dos significados que conducen en modo diverso a la
enseñanza de un primer curso de geometría.
Escuchemos una vez más a Comenius: “ El conocimiento debe, necesariamente,
empezar a través de los sentidos ─ si es verdad que nada puede ser objeto de
comprensión si no ha sido primero objeto de sensación. ¿Por qué, entonces,
empezar la enseñanza con una exposición verbal de las cosas y no con una
observación real de ellas? Solamente cuando esta observación de la cosa haya
sido hecha, la palabra podrá intervenir para explicarla con eficacia.”
No es distinto lo que sostiene Pestalozzi: “ Cada estudio científico cuyas
definiciones han sido evocadas del alma de los muchachos como un deus ex
machina o que le han sido murmuradas al oído como por un apuntador de teatro,
no tiene mayor valos que el del estudio destinado a producir míseros comediantes.
Cuando las fuerzas fundamentales del espíritu humano son adormecidas y sobre
su sueño no son vertidas más que palabras vanas, no se pueden formar sino
soñadores, los cuales sueñan sombras tanto más vanas cuanto más grandes y
pretensiosas sean las palabras volcadas sobre la miseria y el fastidio de su alma…
Las descripciones deben preceder a las definiciones. Si cualquier cosa está clara
para mí, eso no significa que yo la pueda definir, que solamente yo la pueda
describir; puedo decir con precisión cómo está hecha, mas no qué cosa es.”
No hace falta poner al alumno en condiciones de inferioridad; descorazonarlo con
una “didáctica catedrática”, con una enseñanza verbal, porque así su aprendizaje
será pasivo. Mediante la experiencia directa, la actividad, la concepción por sí sola
a través de los sentidos, de las cosas y de las operaciones sobre las cosas, es
como le nacerá el concepto, primero vago y apenas esbozado, después más
preciso, consistente, claro y universal.
Hombres….
Los conceptos de Comenius y de Pestalozzi surgen de las necesidades de la
sociedad, y en la sociedad se experimentan, se concretan, se generalizan hasta
asumir un sentido preciso y desarrollarse con seguridad y confianza, donde fuese
siempre iluminada por aquellos principios fundamentales. En sus obras se ven,
aunque no explícitamente enunciados, aquellos conceptos de psicología científica
que constituyen los fundamentos de los modernos métodos didácticos, y que han
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conducido a considerar la didáctica de cada materia como una ciencia en sí, cuya
base está en el estudio de la estructura mental del educando.
Decroly y Montessori: Los principios de la Pedagogía Científica
Comenius había indicado la necesidad de desmenuzar un programa unitario a lo
largo de todo el curso de estudios, en determinados “ciclos”, cada uno de los
cuales debíase reanudar, con miras más amplias, con los mismos temas
desarrollados en el ciclo precedente; Pestalozzi había insistido en la constante
actividad por parte del alumno y aclarado el concepto de intuición como
construcción. Ambos se habían lanzado contra una enseñanza verbal
nemotécnica y por tanto retórica, y habían exaltado el método natural, el método
que sostiene a los sentidos como el instrumento necesario para la precisión. El
desarrollo de los órganos de los sentidos lleva el desarrollo de las facultades
perceptivas y, por tanto, en segunda instancia, a la observación.
De esto parten, con miras diversas y por direcciones opuestas a distancia de un
siglo de publicación de Cómo Gertrudis instruye a sus hijos, dos grandes artífices
de la pedagogía científica: María Montessori y Ovide Decroly. Los métodos de
estos educadores señalaron al principio de nuestro siglo, una línea de acción
particularmente significativa para la enseñanza de las materias científicas. A los
métodos se les condujo al estudio de los niños, tanto intelectual o psíquicamente
anormales; para éstos, era evidente que se debía hacer hincapié no sobre la
facultad intelectual, sino sobre la respuesta de los sentidos; se debía pues, partir
de los concreto.
Por esto fueron estudiados desde sus detalles los tipos de material de
experimentación que podían ejercitar una acción sobre los sentidos y por reflejo,
sobre la mente. Las correlaciones sensitivo-mentales, esto es concreto-abstracto,
eran datos y sujetos, moderados o anormalmente acelerados. De todos modeos,
era una vía de investigación científica para llegar a la inteligencia y por el estudio
de esta misma, oportunamente modificada, para poder aplicarse también a los
niños normales con el propósito de acelerar y hacer más claro el proceso de
adquisición que, a menudo, era largo y tedioso. El problema médico y psiquiátrico,
se transforma, independiente uno del otro, en problema pedagógico; de médicos
se derivaron a pedagógicos.
Su atención se dirige particularmente a la edad preelemental y a la elemental.
Demos un caso de las dos metodologías en un ejemplo particular: la adquisición
del concepto de número, de los primeros números que son los naturales.
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Escogimos este tema por considerarlo un poco fuera del tiempo y de la historia, no
sujeto al ambiente en el cual se vive, rebelde, diríamos, a cualquier manifestación
de civilización y de progreso. El niño de hoy, al que nuestros abuelos no podrían
reconocer, porque a los dos o tres años es en muchos aspectos un hombre
pequeño en miniatura, tan habituado a los últimos descubrimientos hechos en el
mundo de la técnica que los considera como patrimonio natural, se encuentra en
cuanto respecta al número” de uno a dos a tres”, como se encontraban los niños
de hace milenios; como se encuentran los niños de los pueblos primitivos.
“ De uno a dos de dos a tres”: en las metodologías anteriores, a la de Montessori y
la de Decroly, también apoyándose en la ayuda de los sentidos, no se ponía
acento en el paso de número a número, sino que se insistía en la percepción de
un determinado número; no hay “de uno a dos o de dos a tres”; más bien hay “uno
o dos o tres”
Así por ejemplo, para dar la idea del número 3 se mostraba un esquema gráfico de
este tipo ( tres puntos) para dar la idea del número, 5 se presentaban 5 puntos.
Pero existía allí el paso de número; no se insistía, a saber sobre operaciones, al
principio manuales, que se debían hacer para pasar de un número a otro. Se
trataba entonces de una didáctica basada en la percepción de transformaciones,
de operaciones, Se tenía el concepto de intuición como contemplación, no como
construcción activa.
El mérito de Montessori y Decroly es el de haberse inspirado en la concepción
pestalozziana de la intución y haberla desarrollado para la didáctica da cada
disciplina, en particular de las matemáticas.
Para darnos cuenta del proceso mental con que el método Montessori hace
trabajar al niño, consideremos la adquisición del concepto de número. Si damos al
niño unas reglillas de madera, de longitud diferente: una de 10 centímetros, una de
20 y otra de un metro; éstas materializan los diez primeros números. Cada reglilla
tiene franjas en color, alternando el rojo y el azul de longitud constante (10 cm),
correspondiente a la dimensión de la reglilla más pequeña; cada reglilla
representa entonces un número, el número es así la medida de la reglilla. Con
estas reglillas se forman los números, por ejemplo, poniendo enseguida de la
reglilla “2” la reglilla ”3” el niño construye y verifica por sí mismo, <<es largo como
la reglilla “5”; el número 5 es, entonces, la suma de 2 y 3>>, o bien 1 + 4. Se
comprende que con este procedimiento no sólo hay percepción pasiva de una
imagen, hay también construcción, se opera. Se trata de un método activo-
sintético, sintético porque es constructivo; de los elementos se pasa al conjunto, a
lo global.
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El método del belga Decroly, pudiéndose también aproximar al de Montessori,
porque también es operativo, difiere sustancialmente por la idea y los medios de
operación. El método de Decroly es este: la mente del niño no es atraída por el
detalle del elemento, de la unidad, pero sí de una vista en conjunto, del todo. Por
tanto, Decroly no pone en la mano del niño material para construir, pero sugiere
por los puntos que se tratan, los fenómenos naturales más adecuados que lo
conducirán a medir y a contar. Es el análisis que hace un aturalista el que Decroly
sugiere al niño; de la observación global lo conduce a la descomposición del
fenómeno, al análisis. De lo complejo se pasa a lo simple; el método de Decroly
es activo-analítico.
Comenius tenía ya indicado en su Didáctica magna que se debe partir de la
generalidad para llegar a los detalles, pero el gran mérito de Decroly es el de
haber demostrado con investigaciones psicológicas que lo global es un proceso
intelectual típico del niño pequeño, y de haber aplicado de lleno estas ideas a la
enseñanza de una materia un particular.1
Los métodos Montessori y Decroly se inspiran entonces, de distinta manera, en las
concepciones de Comenius y de Pestalozzi. Estos métodos tienen como finalidad
el paso de lo concreto a lo abstracto, con la preparación de ejercicios que
conduzcan a medir y a contar. Un meticuloso examen de los procedimientos
propuestos por los dos pedagogos para el paso de lo concreto a lo abstracto, nos
hace concluir que entre ellos hay una laguna, por lo que se refiere a la didáctica de
las matemáticas.
Decroly lleva la atención del niño hacia la variación de un fenómeno, por ejemplo,
el crecimiento de una planta, que es fenómeno natural; por tanto las variaciones
son continuas. Se trata pues de una función continua siempre limitada, dado que
hay un principio y un fi, un nacimiento y una muerte, ya que el objeto considerado
es precisamente un fenómeno natural. Por tanto, el niño no está capacitado de
manera extraordinaria para “concebir imaginativamente”, idealizando el objeto
mismo. “La observación dice Decroly, conduce a establecer un puente entre el
mundo y el pensamiento” es decir, entre lo concreto y lo abstracto.
Estamos perfectamente de acuerdo con estas ideas, pero comprendemos que se
deben separar los fenómenos de la naturaleza si queremos llegar a la abstracción.
1 Con la psicología de la forma, el globalismo de Decroly precisa, todavía más, sus bases científicas; la psicología gestatl
aporta un nuevo instrumento de investigación para el estudio de las estructuras mentales del niño dando una importante contribución a la pedagogía. Este tema se puede consultar también en David Katz, La psicología de la forma, Espasa Calpe, Madrid, y en el folleto de Egle Becchi, La pedagogía della Gestatl, Florencia, La Nueva Italia, 1961.
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En el método Montessori, en cambio, la experiencia matemática no se ejercita
sobre fenómenos de variación continua, pero si procede de modo discontinuo;
como se trabaja con material, idealizándolo. Se puede, por ejemplo, trabajando
con las reglillas rojas y azules, pensar en agregar siempre una y así llegar
consecuentemente a la idea de lo infinito.
En este sentido, el método Montessori es más matemático que el método Decroly;
en el de Montessori, en cambio, no hay el concepto de continuidad, pero se puede
llegar al concepto de infinito.
Podemos concluir que en ambos métodos falta “una cierta cosa” para que se
consideren como métodos para introducirse de lleno en el mundo matemático; es
aquella “cierta cosa” la que conduce a la intuición propia del matemático.
Jean Piaget: Didáctica Psicológica
Hemos visto cómo los métodos de Montessori y Decroly siguen caminos
didácticos opuestos; ambos son activos, pero el primero es un método sintético, el
segundo es analítico; tales métodos han sido criticados por la psicología moderna.
Veamos por qué. Los materiales y los útiles que ofrecen al niño Montessori y
Decroly tienen por objeto facilitar el paso de lo cuantitativo a lo cualitativo, al
número y a la medida; “manipulando” lo cualitativo, introducen poco a poco lo
métrico y lo numérico; medida y número son “unidos” a aquel concreto
determinado. El niño es obligado a seguir ciertos pasos que le son sugeridos, si no
por el maestro, por el material mismo con el cual trabaja.
Entonces, esta pedagogía no es libre. Justamente la libertad de la construcción
matemática que quiere alcanzar la metodología, está basada en la experiencia
psicológica del suizo Jean Piaget.
La concepción que tiene Piaget del material, o mejor dicho del recurso al objeto y
a la acción, es notablemente distinto de la de los pedagogos que hemos
mencionado; más bien, la evolución del significado de base concreta que
encontramos en Piaget es esencialmente diferente debido a una critica hacha a
las dos metodologías precedentes. Para Piaget, el material no debe servir de tema
para hacer sentir la necesidad de número o de la medida, sino servir de tema para
hacer sentir la necesidad del número o la medida, sino servir en el desarrollo de
ciertas leyes que después serán necesarias en la adquisición de un concepto
matemático, por ejemplo, para formación del número; dichas leyes, a menudo
erróneamente, se consideran como patrimonio del niño desde la más tierna edad.
Piaget ha organizado durante un año una serie de experiencias con millares de
niños, en un coloquio singular con maestros especializados, de esto han surgido
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las dificultades y las incomprensiones de los niños hacia dichas leyes, sin las
cuales es imposible construir el edificio matemático.
Hablaremos de algunas experiencias que conducen a la formación del concepto
de número y del concepto de medida y que se refieren a la edad preelemental;
tales experiencias han sido establecidas por millares de niños y por tanto nos
aportan datos de abundancia.
Experiencia de la conservación de los conjuntos
Se presentan al niño dos recipientes cilíndricos de vidrio iguales, conteniendo uno
agua roja y otro agua azul al mismo nivel. El agua del segundo recipiente se pasa
a un tercero siempre de vidrio, mucho más alto y más angosto, y se pregunta al
niño si el primero y el tercer recipiente contienen la misma cantidad de líquido.
La respuesta es negativa en los niños de hasta 5 años. Ellos dicen: “contiene más
el tercero porque el agua llega más arriba”.
Si el agua del segundo recipiente se vierte en dos o tres vasos pequeños, los
niños dirán que estos vasos contienen más agua “ porque son muchos”
La misma experiencia puede hacerse con cantidades discontinuas, con bolitas
rojas y azules que el niño puede colocar y pasar en varios recipientes; pero el
resultado es siempre el mismo, la comprensión por el pequeño es exclusivamente
de carácter perceptivo.
Solamente hasta los 6 años se tiene la conservación del conjunto; el niño sonríe
ante la pregunta que se le hace y dice: “ claro que la cantidad de agua es la
misma, bastaría volver a verterla nuevamente al primer recipiente para ver que el
agua llega siempre al mismo nivel”. He aquí que ahora el niño posee la ley de la
reversibilidad.
De este género de experiencias, resulta que no es posible que el niño comprenda
el concepto de número, ya que le falta la ley de conservación de conjuntos, esto
es la ley de variación del número.
Experiencia del ordenamiento en serie
Para formar el concepto de número, es necesaria también una condición de orden;
el niño debe estar en posibilidad de poder ordenar en sucesión los elementos, y
esto no se obtiene sino hasta los 5 o 6 años.
La experiencia es la siguiente: se da al niño cierto número de palitos ─con forma
de paralelepípedo de igual base─, que difieran un poco uno del otro, por ejemplo
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en un cm y se le ordena ponerlos en escala, por orden de altura. El adulto que no
ha visto jamás hacer esta experiencia permanecerá maravillado viendo cómo le
resulta difícil; a los niños mas pequeños podrán confrontar dos palitos y basta;
otros, un poco mayores, podrán agrupar unos pocos palitos. A los 5 o 6 años, es
cuando el niño encuentra el método; comienza a escoger el más pequeño y lo
confronta con todos los otros, después…
Se comprende cómo es necesario posser esta ley de continuidad para poder
construir el número; porque el 2 está comprendido en el 3, y el 3 en el 4, etc.
Experiencia sobre la correspondencia biunívoca
Generalmente, se afirma que el niño posee el número si ha comprendido la ley de
la correspondencia biunívoca; Piaget prueaba con una experiencia, ahora ya
clásica, que esto no es cierto, la correspondencia puede representar para el niño
sólo un hecho perceptivo.
He aquí la experiencia. Utilizamos dos conjuntos de fichas de tamaño igual, unas
de color rojo y otras de color azul. Se disponen sobre una mesa 6 fichas rojas
alineadas a cierta distancia una de la otra; se le dice al niño que coloque otras
tantas de color azul. Con ello podemos observar ahora tres estados de la
comprensión infantirl; los más pequeños, hasta los 4 años y medio, juzgarán
simplemente la cantidad del espacio ocupado; dispondrán las fichas azules cerca
unas de las otras, sin correspondencia, pero de modo que se forme la misma
longitud realizada por las fichas rojas. Este estado es pronto superado
posteriormente por una correspondencia; el niño colocará una ficha azul en
correspondencia con cada ficha roja. En este punto es cuando decimos que el
niño posee la correspondencia biunívoca, y también el número, al menos por la
acción de manipulación operatoria. Pero si separamos las fichas de su conjunto,
una de la otra insistiendo sobre el hecho de que no se suprima ni se añada
ninguna, el niño dirá que las fichas azules no son tantas como las rojas. La
correspondencia era, por tanto, sólo una forma perceptiva, cuando llega a faltar la
correspondencia visual no hay más equivalencia para el niño. Solamente a los 5 ó
6 años el niño admitirá que la equivalencia perdura, cualquiera que sea la figura
geométrica formada por las fichas.
Piaget demuestra con investigaciones psicológicas que la construcción del número
por parte del niño no puede hacerse, si antes no se han asimilado ciertas leyes.
De las experiencias logradas en gran escala, resulta que estas leyes y, por tanto,
el concepto de número, no se forman sino a una cierta edad.
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“Si se quiere llegar después, dice Piaget, al concepto de medida, se habrá
lesionado la naturaleza del todo cualitativa, de las nociones primitivas”
Comencemos por referirnos a las experiencias realizadas con niños de tierna edad
(de 2 a 3 años), y que parecen extrañas desde el punto de vista matemático. Son
experiencias que se tornan evidentes haciendo copias de dibujos del cuadrado,
del circulo, del triángulo o del rectángulo, todos son copiados por el niño como
figuras redondas. Se dirá que es la dificultad manual que no permite al niño dibujar
las figuras de otro modo. Pero pronto nos damos cuenta que el niño copia de
diferente manera una cruz, por ejemplo. Esto significa que el niño se da cuenta de
las formas cerradas y de las formas abiertas.
Así, si se dibujan dos círculos uno dentro del otro, uno fuera del otro, secantes, el
niño copiará con escrupulosa exactitud la posición reciproca.
Son entonces formas topológicas las que afectan primero toda su atención; la
percepción euclidiana viene después, hacia los 4 años.
Hablemos ahora de las leyes que conducen a la medida y hagamos dos
experiencias; una que pone en evidencia “la no conservación de la longitud” y la
otra “ la no conservación de la superficie”.
1. Se colocan sobre una mesa dos muñecos a una cierta distancia uno de
otro; ponemos después un cartón grueso entre los dos, y entonces se
pregunta al niño si los muñecos están a la misma distancia que al principio.
Los niños de tierna edad dirán que la distancia ha cambiado, que ahora los
muñecos están más cercanos. Y si en el cartón abrimos una ventanilla,
dirán que cuando se abre ésta el espacio es el mismo, pero cuando se
cierra es menor.
Estas observaciones son verdaderamente muy extrañas; el error quizá
pueda ser explicado pensando en el sentido que los niños le dan a la
palabra “espacio”. Espacio para el niño, es espacio vacío; es una región en
donde uno puede extenderse. Si ponemos un cartón, el espacio vacío
disminuye. Es interesante observar que el concepto que tiene el niño del
espacio, corresponde tal vez al significado etimológico de la palabra, a la
cual muchos lingüistas le atribuyen el significado original de extensión.
2. Del mismo tipo es la interesante experiencia de la no conservación de la
superficie. Se presentan al niño dos cuadrados iguales de cartón verde;
éstos representan dos prados, si ponemos sobre ellos dos vacas pequeñas
de juguete, y se pregunta: ¿Tienen las vacas la misma cantidad de hierba
para comer?” el niño responderá afirmativamente. Después, sobre el
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primero de estos cartones, y precisamente en el centro , se coloca un
pedazo pequeño de cartón color marrón y se dice al niño que éste
representa una casa . Ahora se le pregunta: “¿Tienen las vacas la misma
cantidad de hierba para comer?”. El niño estará de acuerdo en que la vaca
del primer prado tiene menos hierba para comer porque ahí está el espacio
ocupado por la casa. Pero, aquí radica el hecho psicológicamente
interesante, si se coloca también un pedazo pequeño de cartón color
marrón, igual al primero, en un ángulo en lugar de colocarlo en el centro, los
niños comenzarán a confundirse y responderán que ahora el espacio libre
que tiene la vaca para comer no es el mismo porque cuando la casa está
en un ángulo, la vaca tiene más espacio y tiene más que comer.
Errores de este género son atribuibles, ya sea al significado que se da
comúnmente a la palabra espacio ─si, por ejemplo , en un cuarto, una
mesa está colocada en un rincón, en lugar de estar colocada en el centro,
decimos que hay más espacio─, ya sea a la confusión que el niño tiene
entre la noción de superficie y la de perímetro. Tal vez se deba, sobre todo,
a que para llegar a la conclusión de que las vacas tienen la misma cantidad
de hierba para comer, le hace falta comprender que los dos prados son
equivalentes en cuanto son diferencias de polígonos iguales dos a dos, lo
que exige de la facultad de abstracción.
Se concluye que no es posible formar el concepto de medida sino hasta
que no existan las leyes de conservación, y estas leyes el niño no las
comprende sino hasta los 6 años.
De estas experiencias, hemos referido solamente algunas que nos parecen
particularmente significativas, para que se comprenda el sentido que Piaget
da al material. La función del material es para Piaget exclusivamente
operativa; son las transformaciones de configuración a configuración sobre
las cuales debe fijarse la atención y la actividad del niño, y no las
configuraciones mismas, de las cuales más bien debe liberarse poco a
poco.2
De las investigaciones hechas con millares de niños, Piaget deduce que en
el niño nacen primero las estructuras topológicas, después casi
simultáneamente, las de tipo algebraico, por ejemplo, la reversabilidad de
las acciones; posteriormente, nacen las de orden, por ejemplo, la capacidad
de disponer de las reglas de sucesión.3
2 Para un material que tiene estos fines, el lector puede encontrar muchas ideas en el folleto de J.Piaget, B.
Boscher, A. Chatelet, Introducción al cálculo. Puede consultarse también el folleto de C. Gattegno, Guía introducción para los núemros en colores. Neuchatel, Delachaux y Niestlé, 1961. 3 Estas ideas de Piaget se encentran expuestas en su artículo, publicado en el libro La enseñanza de las
matemáticas, de J. Piaget, J. Dieudonné, A. Lichnerowtgz, G. Choquet, C. Gattegni. Aguilar , Madrid.
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Ahora bien, aparte del interés psicológico, el hecho verdaderamente notable
es que tales estructuras corresponden a aquellas sobre las cuales, según la
escuela de Bourbaki,4 está basada toda la estructura matemática. Esta
correspondencia entre el nacimiento de los primeros conceptos
matemáticos en la mente del niño, es fundamento de la matemática
moderna, que pone como base del edificio un sistema operatorio, lo que
nos debe hacer recapacitar ya que tiene sus reflejos en la didáctica.
Las experiencias de las cuales hemos hablado se refieren a la edad
preeemental; pero los trabajos de Piaget se extienden también hasta el
periodo elemental, y en un libro suyo De la lógica del niño a la lógica del
adolescente,5 considera en particular el periodo del cual nos ocupamos,
esto es, la edad de la preadolescencia. En este último trabajo Piaget
investiga sobre la comprensión de algunas experiencias en física por parte
de los jóvenes, tales como la igualdad de los ángulos de incidencia y de
reflexión, los vasos comunicantes, el equilibrio de un cuerpo sobre un plano
inclinado, las condiciones de equilibrio de una balanza. La comprensión de
estas experiencias, es decir, su interpretación y traducción en fórmulas,
exige facultades analíticas y sintéticas que en general, un muchacho no
posee sino hasta los 14 o 15 años.
Según Piaget la diferencia esencial entre el pensamiento del niño y el del
adolescente, es que el niño hace relación a lo real, en lo referente a leyes,
según la experiencia de lo que tiene ante sus ojos, mientras que el
adolescente hace referencia a casi todo lo que no ha visto realizado en la
experiencia, y puede moverse por tanto en un sistema hipotético-deductivo.
Y tal parece como si en la mente del muchacho naciese, en un cierto punto,
un esquema anticipado que le permite acertar y proveerse de las leyes.
Varios trabajos de la Escuela de Ginegra se inspiraron en las ideas de
Piaget, entre otros, los libros de Louis Johannot: El razonamiento
matemático del adolescente, y de Hans Aebli: Didáctica psicológica;
aplicación a la didáctica de la psicología de Jean Piaget,6 libros que tratan
en particular la edad de la preadolescencia. Esta escuela de “didáctica
psicológica”, basada sobre estudios de psicología infantil, se ha designado
con el nombre de didáctica genética, porque no se limita a estudiar las
reacciones de un periodo aislado de la infancia, sino que analiza, desde su
nacimiento, la formación de los conceptos y las operaciones en la mente del
4 Sobre las ideas de Bourbaquistas y su matemática moderna, véase en particular, “ las matemáticas de ayer
y hoy” del capítulo 2. 5 B. Inhelder y J. Piaget, De la logique de Venfant a la logique de Vadolecent, París, 1955. Presses
Universitairesde France. 6 Neuchatel, Delachaux y Niestlé, 1947 y 1951
MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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Material para fines académicos RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DRA. JUDITH AGUILA MENDOZA
niño. Esto es extremadamente importante a los fines de la enseñanza:
“didáctica general”, dice Aebli en la introducción de su libro, “estudia los
caracteres fundamentales de los procesos formativos y de ellos deduce los
principios metodológicos sobre los cuales debe basarse la enseñanza”.
La idea fundamental de esta escuela es que el interés del niño no sea
atraído por el objeto material en sí o por el ente matemático, sino más bien
por las operaciones sobre el objeto o sus entes. Operaciones que,
naturalmente, serán primero de carácter manipulatorio para después
interiorizarse y posteriormente, pasar de lo concreto a lo abstracto. “Recurrir
a la acción”, dice Piaget en el prefacio escrito para el libro de Michael
Margot,7 “no conduce del todo a un simple empirismo, al contrario, prepara
la deducción formal ulterior, con tal que se tenga presente que la acción,
bien conducida, puede ser operatoria, y que la formalización más
adelantada lo es también.”
La primacía de las operaciones en el desarrollo de las estructuras mentales
nos conduce a la necesidad de una pedagogía nueva, a una enseñanza
activa basada sobre ellas.
Repitamos que las experiencias de Piaget se refieren en particular a niños
pequeños; es sobre todo para la edad preelemental y elemental para la cual
estas experiencias han sido organizadas sobre larguísimas ecalas y, por
tanto, no están exentas de críticas, ellas nos dan una base sólida para una
didáctica psicológica de las matemáticas en esas edades. Para el periodo
de la preadolescencia, hace poco se han hecho estudios, ya sea por la
Escuela de Ginebra, ya sea por otras escuelas.8 Como quiera que sea, nos
parece que el camino a seguir está claramente delineado por las palabras
de Piaget: “El recurso de la acción.”
Veremos cómo en el Capitulo 3, en particular en “el paso de los concreto a
lo abstracto”, esta línea de traajo sugerida por la psicología, coincide en
modo impresionante con las ideas fundamentales de las matemáticas
modernas que, partiendo de concepciones del todo diversas, colaboran, en
forma armónica, sugiriendo un programa orgánico y un método de
enseñanza de las matemáticas en la edad de la preadolescencia.
7 Michael Margot. L’école opérante, Psychopédagogie de l’élaboration mathématique. Neuchatel, Delachaux
y Niestlé, 1960. 8 Muy interesante es el trabajo del inglés Z. P. Dienes; véase en particular, el folleto Costruiano la
matematica. Publicado por la Organizzazioni Speciali”, 1962.