Deducción de la ecuación de momento resistente para una viga de concreto armado.M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello
P
L
A B
Tensión
Compresión
Compresión
Tensión
Estados Limites de Falla• Determinacion de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a
flexion, carga axial o una combinación de ambas, se efectua a partir de las condiciones de equilibrio y las siguientes hipótesis:
1.- La distribución de Deformación unitaria longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana.
2.- Existe adherencia entre el concreto y el cero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente.
3.- El concreto no resiste esfuerzos de tensión.
4.- Deformación unitaria máxima del concreto (εcu)
5.- La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la resistencia de la sección, es uniforme con una valor F´´c igual a 0.85F*c, hasta una profundidad de la zona de compresión igual a β1c
b
h
h/2
h/2
d
Deformación unitaria máxima del concretoεcu
De la NTC-DCEC2. Estados Limites de Falla2.1. Hipótesis para obtención de resistenciasd) εcu = 0.003
εcu = 0.003
εy = 𝑓𝑦𝐸 =4200𝐾𝑔/𝑐𝑚2
2,100,000𝐾𝑔 /𝑐𝑚2=0.002Deformación unitaria máxima del Acero (εy)
εy = 0.002T (Tensión)
C (Compresión)c a = 0.8c
f´´c = 0.85f*c
0.4c
d - 0.4c
Por Equilibrio Compresión = Tensión
Compresión = (a)(f´´c)(b)
Tensión = (As)(fy)
Por Tanto:
abf´´c = Asfy
0.8c b f´´c = As fy
𝐴𝑠𝑏 =
0.8𝑐𝑓 ´ ´𝑐𝑓𝑦
𝜌=𝐴𝑠𝑏𝑑
SI
𝐴𝑠𝑏𝑑=
0.8𝑐𝑓 ´ ´𝑐𝑑𝑓𝑦
𝜌=0.8𝑐𝑓 ´ ´ 𝑐
𝑑𝑓𝑦
𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐
𝑓𝑦 ∗ 𝑐𝑑
Cuantía Balanceada
𝑐=𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐
Aceptando las condiciones de viga balanceada
εcu = 0.003 𝜖 𝑦=𝑓𝑦𝐸
𝑐𝑑=
𝜀𝐶𝜀𝐶+𝜀𝑦
= 0.003
0.003+ 𝑓𝑦2,100,000
= 60006000+ 𝑓𝑦
Cuantía Balanceada
𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´𝑐
𝑓𝑦 ∗ 𝑐𝑑
𝑐𝑑=
60006000+ 𝑓𝑦
Pero:
Entonces:
𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´𝑐
𝑓𝑦 ∗ 60006000+ 𝑓𝑦
𝝆𝒃=𝒇 ´ ´𝒄𝒇𝒚 ∗ 𝟒𝟖𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎+ 𝒇𝒚
Realizando una sumatoria de momentos, con respecto a la resultante de compresión.
Mu = T(d-0.4c) = Asfy(d-0.4c)
De manera análoga, pero ahora para la compresión.
Mu = C(d-0.4c) = 0.8cbf´´c(d-0.4c)
Sabemos que:
𝑐=𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐
𝑀𝑢=0.8[ 𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐 ]𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐 (𝑑−0.4 [ 𝜌 𝑓𝑦𝑑
0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐 ])𝑀𝑢=
𝜌 𝑓𝑦𝑑𝑓 ´ ´ 𝑐 𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐(𝑑− 𝜌 𝑓𝑦𝑑
2 𝑓 ´ ´ 𝑐 )
Definamos:
𝑞=𝜌 𝑓𝑦𝑓 ´ ´𝑐
𝑀𝑢=𝜌 𝑓𝑦𝑑𝑓 ´ ´ 𝑐 𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐(𝑑− 𝜌 𝑓𝑦𝑑
2 𝑓 ´ ´ 𝑐 )
𝑀𝑢=𝑞𝑑𝑏𝑓 ´ ´𝑐 (𝑑−𝑞𝑑2 )
𝑀𝑢=𝑞𝑑2𝑏𝑓 ´ ´𝑐 (1−0.5𝑞)
Por Tanto, la ecuación que proporciona la resistencia ideal a flexión,Debe estar afectada por un factor de resistencia, (el Cual según las NTCDCEC, en la sección 1.7 Factores de resistencia señala F.R. = 0.9)
𝑴𝑹=𝑭 .𝑹 .𝒅𝟐𝒃𝒇 ´ ´𝒄𝒒(𝟏−𝟎 .𝟓𝒒 )
Deducciones varias𝑴𝑹=𝑭 .𝑹 .𝒅𝟐𝒃𝒇 ´ ´𝒄𝒒(𝟏−𝟎 .𝟓𝒒 )
𝑑=√ 𝑀𝑢𝐾𝑢∗𝑏
𝐾𝑢=𝐹 .𝑅 .∗ 𝑓 ´ ´ 𝑐∗𝑞(1−0.5𝑞)
𝑞=𝜌 𝑓𝑦𝑓 ´ ´ 𝑐
𝜌=𝐴𝑠𝑏𝑑 As =
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