1
Titulación:
Asignatura:
Autor:
Grado en Ingeniería
Métodos Numéricos
César Menéndez
Planificación:
Materiales:
Conocimientos previos:
Derivación e Integración Numérica
2 Teoría+1 Prácticas+2 Laboratorio
MATLAB
Tmas. básicos de Cálculo –
Desarrollos de Taylor – Sistemas
lineales –
Ultima actualización: 21/03/2011
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
2
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Evaluación de la derivada en un punto o de la
integral de una función en un intervalo a partir
de los valores de la función – Función muy compleja (difícil de calcular su integral)
– No se conoce la función sino sólo sus valores en
algunos puntos
– No existe la primitiva de la función
– …
Fórmulas de derivación e integración
numérica
– Obtención de los valores de los coeficientes
– Determinación del error cometido
Descripción del problema
Derivación e Integración
0
nn
i i
i
f x f x
0
nb
i ia
i
f x dx f x
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
3
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Evaluación de la derivada en un punto o de la
integral de una función en un intervalo a partir
de los valores de la función – Función muy compleja (difícil de calcular su integral)
– No se conoce la función sino sólo sus valores en
algunos puntos
– No existe la primitiva de la función
– …
Fórmulas de derivación e integración
numérica
– Obtención de los valores de los coeficientes
– Determinación del error cometido
Ejemplo
Derivación e Integración
0
nn
i i
i
f x f x
0
nb
i ia
i
f x dx f x
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
4
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Objetivos
Conocer las diferentes formas de obtener las fórmulas numéricas
– Interpolación – Coeficientes indeterminados – Desarrollo de Taylor o polinomios ortogonales
Aprender a obtener el error de la fórmulas Reconocer las ventajas de las fórmulas centradas
Aprender la motivación de la extrapolación de
Richardson Comprender que el error en la derivación numérica
depende no solo de la fórmula numérica y de la función a derivar sino del punto en que se calcula y del valor de espaciado h.
Entender cómo se aplica el algoritmo de integración de Romberg.
Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cuadratura gausiana.
Comprender el funcionamiento de la integración adaptativa
Aplicar las reglas a integrales impropias o múltiples
Derivación e Integración
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5
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Planteamiento y definiciones
Fórmulas de derivación numérica
Fórmulas de integración numérica
Procedimiento – Obtención de los valores de los coeficientes
– Determinación o acotación del error cometido
Error – Una fórmula es de orden n cuando es exacta para polinomios de grado menor
o igual que n
– El error de truncamiento de la fórmula es
– Se denomina parte principal del error de truncamiento al infinitésimo de menor
orden
0 0
n n
i i i i
i i
f a f x error f a f x
0 0
: lim : lim 0k k
k kh h
error errorh cte h
h h
, 0,1, 0kf x x k n error
2 5 6
1 2 3error k h k h k h
0 0
n nb b
i i i ia a
i i
f x dx f x error f x dx f x
Derivación e Integración
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6
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo
La siguiente fórmula de derivación es de orden 1 y con error de truncamiento O(h)
La siguiente fórmula de integración es de orden 1 y con error de truncamiento O(h3)
2
0
2
2 2
2
02
0
0 0 0
2!
1
1 1 10 1 1 1 2 2
2!lim lim lim2!h h h
f a h f a ff a h RN h h
h
f x f x x f x x
a h a a a h a a hh h h
fhf a RN h ferror
h h h
Derivación e Integración
3 312 24
2
2 32 2 3 3 3 31 1 1 12 2 3 2 3 12
3124 1
243 3 30 0 0
1
1
lim lim lim
ba b
a
a b a b
b
a
h h h
f x dx f b a f h RN h h
f x f x x f x x
b a b a b a b a b a b a b a b a
f x dx RN h f herrorf
h h h
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7
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Obtención de las fórmulas: Derivación
Fórmulas de tipo interpolatorio – Derivando los polinomios de interpolación (habitualmente con
puntos equiespaciados)
Métodos de desarrollo de Taylor – Desarrollando por Taylor en torno al punto de derivación y
eliminando los términos no deseados
Método de coeficientes indeterminados – Plantean un sistema de ecuaciones, dependiendo del orden de la
fórmula, cuya resolución permite obtener los coeficientes
n n n nf x P x E x f x P x E x
2 1
1! 2! 2
h h hf a h f a f a f f a f a h f a f
h
0
, 1,2 :n
k
i i
i
f x x k f a f x
Derivación e Integración
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8
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Obtención de las fórmulas: Integración
Fórmulas de Newton-Cotes – Integrando los polinomios de interpolación (habitualmente con
puntos equiespaciados)
Fórmulas de cuadratura gausiana – Utilizando las raíces de polinomios ortogonales como puntos de
interpolación (Dependen del intervalo y de la función)
Método de coeficientes indeterminados – Plantean un sistema de ecuaciones, dependiendo del orden de la
fórmula, cuya resolución permite obtener los coeficientes
0
, 1, 2 :nb
k
i ia
i
f x x k f x dx f x
Derivación e Integración
b b b
n n n na a a
f x P x E x f x dx P x dx E x dx
2 1
b b b
n na a a
f x dx P x dx error R x dx error
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9
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Formulas de tipo interpolatorio
Se definen por el número de puntos del polinomio de interpolación
Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados, aunque su
método de obtención es válido para cualesquiera puntos
Acotación del error
– No es posible la acotación para cualquier valor de x
– Se acota en uno de los puntos de interpolación
1
0 01 !
n nnxn
n n i i k
i k
n n
ff x P x E x f x L x x x
n
df x P x e x e x E x
dx
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
1
0
1 1
0 0
1 1
000
1 !
1
1 ! 1 !
siendo 1 ! 1 !
n nx
n k
k
n nn nx x
k k
k k
n nn nnx x
k kkjk
k j
fd de x E x x x
dx dx n
df f dx x x x
n dx n dx
f fdx x x x
n dx n
1
01 !
n nx
i i kk
k i
fe x x x
n
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10
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas primeras (2 y 3)
2 puntos
– Equiespaciados
3 puntos
– Equiespaciados
1 01 01 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 2
0
0 1 001 ! 2!
n nx
i i kk
k i
f x f xx x x xP x f x f x P x
x x x x x x
f fe x x x e x x x
n
2
0 0 0
02!
f x h f x ff x h
h
1 2 0 2 0 1
2 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
1 2 0 2 0 1
2 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
2 2 2
x x x x x x x x x x x xP x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x xP x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x
3
0 2
0 0 0 0
3
0 2
1 1 1
1 3 12 2
2 2 3
1
2 6
ff x f x f x h f x h h
h
ff x f x h f x h h
h
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas primeras: (4 y 5)
4 puntos
5 puntos
0 0 0 0 0 0
5
0 4
1 1 1 1 1 1
5
1 4
2 2 2 2 2
5
2 4
125 48 36 2 16 3 3 4
12
5
16 20 36 12 2 2 3
24
20
12 8 8 2
12
30
f x f x f x h f x h f x h f x hh
fh
f x f x h f x f x h f x h f x hh
fh
f x f x h f x h f x h f x hh
fh
4
0 3
0 0 0 0 0
4
1 3
1 1 1 1 1
111 18 9 2 2 3
6 4
12 3 6 2
6 12
ff x f x f x h f x h f x h h
h
ff x f x h f x f x h f x h h
h
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Aplicación: f(x)=cos(x), calcular f’(/4) tomando h=0.5 y h=0.1
Pts h=0.5 h=0.1
2 -0.7413
3 -0.7096
-0.7059
4 -0.7070
-0.7072
5 -0.7071
-0.7071
-0.7071
4 4sin 0.7071f
4 4cos 0.5 cos
0.85110.5
4 4 4 4
111cos 18cos 0.5 9cos 1.0 2cos 1.5
3
0.7015
4 4 4
1 3 1cos 2cos 0.5 cos 1 0.7822
0.5 2 2
4 4
1cos 0.5 cos 0.5 0.6780
1
4 4 4 4
12cos 0.5 3cos 6cos 0.5 cos 1 0.7127
3
4 4
4 4
cos 1 8cos 0.510.7057
6 8cos 0.5 cos 1
f
4 4 4
4 4
6cos 0.5 20cos 36cos 0.510.7099
12 cos 1 2cos 1.5
4 4 4
4 4
25cos 48cos 0.5 36cos 110.6951
6 16cos 1.5 3cos 2
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas orden superior: Taylor
Fórmulas interpolatorias: acotación del error
– ¡ No se anula en los puntos de interpolación !
1 122 2
2 2 20 0
1 1 2
20 0
1
1 ! 1 !
12
1 ! 1 !
n nn nx x
n k k
k k
n nn nx x
k k
k k
f d fd de x E x x x x x
n ndx dx dx
df fd dx x x x
n dx dx n dx
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
Taylor: – Plantea la obtención de las derivadas de cualquier orden en un punto
a partir del desarrollo de Taylor de la función en otros puntos
próximos
Proceso: – Desarrollar en serie en los puntos conocidos en torno al valor
deseado
– Combinar las expresiones anteriores, anulando todos los términos
posibles
– Obtener la expresión final de la formula y el error (cuando sea
posible)
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
14
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Taylor para derivadas primeras y segundas
Obtener, utilizando el desarrollamos en serie de Taylor, una fórmula numérica para calcular f’(a) y f”(a) a partir de los valores de f(x) en {a-h,a,a+h}
– Combinamos los desarrollos: (I)+(II) y anulamos los términos no deseados
– Derivada 1ª: anula términos en h2 (=-)
– Derivada 2ª: anula términos en h (=)
– Derivada 3ª: No tiene sentido
2 31 1 112! 3! !
2 31 1 122! 3! !
nn
n
n n
n
f a h f a hf a h f a h f a h f I
f a h f a hf a h f a h f a h f II
0
1
2 1
2!
2 12 1 1
2 1 !
22 1
2 !
:
:
:
:
:
kk
k
kk
k
h f a h f a h f a
h f a
h f a
h f a
h f a
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
311 23!
21 12 6
2
h
f a h f a h f a h h f f
f a f a h f a h h f
2
2 411 24!
21 112
2
2
iv iv
iv
h
f a h f a h f a f a h h f f
f a f a h f a h f a h f
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
15
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas de orden superior (2)
Derivada segunda – Laterales
– Centradas
Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada segunda en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
2
0 1 0 12
4
0 2 1 0 1 22
12
116 30 16
12
f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x hh
0 0 1 22
2
0 0 1 2 32
12 9
12 5 4
f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x hh
Pts Cent. h=0.5 h=0.1
3 No -0.6325
3 Si -0.7065
4 No -0.7128
5 Si -0.7071
4 4cos 0.7071f
2
1cos 2cos 0.5 9cos 1 0.2757
0.5 4 4 4
2
12cos 5cos 0.5 4cos 1 cos 1.5 0.7600
0.5 4 4 4 4
2
1cos 0.5 2cos cos 0.5 0.6925
0.5 4 4 4
4 4 4 4 4
1cos 1 16cos 0.5 30cos 16cos 0.5 cos 1
3
0.7066
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
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16
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas de orden superior (3)
Derivada tercera – Laterales
– Centradas
Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada tercera en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
Pts Cent. h=0.5 h=0.1
4 No 0.8038
5 No 0.7211
5 Si 0.7053
7 Si 0.7071
4 4sin 0.7071f
3
1cos 3cos 0.5 3cos 1 cos 1.5 0.9686
0.5 4 4 4 4
2
1cos 1 2cos 0.5 2cos 0.5 cos 1 0.6640
0.5 4 4 4 4
4 4 4 4 42
15cos 18cos 0.5 24cos 1 14cos 1.5 3cos 2
0.5
1.1217
4 4 4
4 4 4
cos 1.5 8cos 1 13cos 0.510.7046
1 13cos 0.5 8cos 1 8cos 1
0 0 1 2 33
2
0 0 1 2 3 43
13 3
15 18 24 14 3
2
f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x hh
2
0 2 1 1 23
4
0 3 2 1 1 2 33
12 2
2
18 13 13 8
8
f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x hh
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
17
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Derivadas de orden superior (4)
Derivada cuarta – Laterales
– Centradas
Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada cuarta en /4 tomando h=0.5 y h=0.1
Pts Cent. h=0.5 h=0.1
5 No 0.5516
5 Si 0.7059
6 No 0.7223
7 Si 0.7071
4 4cos 0.7071ivf
4 4 4 4 44
1cos 4cos 0.5 6cos 1 4cos 1.5 cos 2 0.2042
0.5
4 4 4
4
4 4 4
3cos 14cos 0.5 26cos 110.6443
0.5 24cos 1.5 11cos 1 2cos 1.5
4 4 4 4 44
1cos 1 4cos 0.5 6cos 4cos 0.5 cos 1 0.6782
0.5
4 4 4 4
4 4 4
cos 1.5 12cos 1 39cos 0.5 56cos80.7059
3 39cos 0.5 12cos 1 cos 1.5
0 0 1 2 3 44
2
0 0 1 2 3 4 54
14 6 4
13 14 26 24 11 2
iv
iv
f x f x f x f x x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x hh
2
0 2 1 0 1 24
4
0 3 2 1 0 1 2 34
14 6 4
112 39 56 39 12
6
iv
iv
f x f x f x f x f x f x hh
f x f x f x f x f x f x f x f x hh
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
18
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
El método de Coeficientes Indeterminados
Fija los puntos de la fórmula
Parte de una relación de coeficientes
Plantea un sistema para que la fórmula sea
exacta para el mayor orden posible (grado
del polinomio)
Obtiene el orden del error
0
0
22
0
0
1
0
1 0
1
2
n
i
i
n
i i
in
ni i
i i i
i
nnn n
i i
i
f x
f x x x
f a f xf x x a x
f x x na x
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
19
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo de obtención por coef. Indet.
Calcular f”(a) a partir del valor de f(x) en {a-h,a,a+h} – Sistema
– Solución
– ¿Orden?
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 2 22
1 2 3
1 0 1 1 1
0
2
f x
f a f a h f a f a h f x x a h a a h
f x x a h a a h
21
1
22 2
2 2 23
23
2
11 1 1 0
20
2 1
12
h
a h a a hh
a h a a hh
f a f a h f a f a hh
3 3 33
2
4 4 44 2 2 2
2
16 2
112 2 12 2
f x x a a h a a hh
f x x a a h a a h a hh
Derivación e Integración
F. Interpolatorias
- Derivadas primeras
- Der. Orden superior
Desarrollo Taylor
Coeficientes indeterm.
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
20
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Extrapolación de Richardson: obtención de fórmulas de mayor orden
Sea M un valor exacto y N0(h) la fórmula numérica que lo aproxima dependiendo del parámetro h, pudiéndose expresar como
Donde los coeficientes son constantes. Aplicándola para ½h, se tiene
y anulando entre ambas expresiones los términos en h1: 2(II)-(I), se consigue aumentar la precisión de la fórmula. Repitiendo el proceso para anular h2:
Y por inducción se llega a
2 3
1 1 1 1 10 1 2 32 2 2 2 2
n
nM N h k h k h k h k h II
2 3
0 1 2 3 0
n
nM N h k h k h k h k h N h h I
2 22 31 1 1 12 2 2 20 0 2 3
2 3 2
1 2 3 1
2 1 1 1nn
n
n
n
M N h N h h k k h k h
N h k h k h k h N h h III
111 22 3
1 1 3
3 3
2 3 2
1114
4 1 2 4 1 4 1
n
n
n
n
n
hM N N h k h k h
N h k h k h N h h IV
1
1 1 1 1
1
donde
22 2
2 1 2 2 1
n
n
n
n n n n
n nn n
M N h h
h hN N h N N h
hN h N
Derivación e Integración
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
21
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo
Dada la fórmula de derivación numérica
Aplicar la extrapolación de Richardson, tomado f(x)=cos(x) para calcular
f’(/4) tomando h=0.5. Compararla con la solución exacta: -0.7071
En este caso
2 3
1 2 3 0
n
n
f a h f af a k h k h k h k h N h h I
h
1 1
1
1
2 donde
2 2 1
n nn
n n n n
hN N h
hM N h h N h N
h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)
0.5 -0.8511
0.25 -0.7877 -0.7243
0.125 -0.7494 -0.7111 -0.7067
0.0625 -0.7287 -0.7081 -0.7071 -0.7071
0.03125 -0.7180 -0.7073 -0.7071 -0.7071 -0.7071
Derivación e Integración
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
22
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Obtención de fórmulas de mayor orden
NOTA: Si la formula fuera
Este proceso generaría la relación
– Aplicar al ejemplo anterior tomando
2 2
1 1 1 1
1
donde
42 2
4 1 2 4 1
n
n
n
n n n n
n nn n
M N h h
h hN N h N N h
hN h N
2 4 6 2 2
0 1 2 3 0
n
nM N h k h k h k h k h N h h I
h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)
0.5 -0.6780
0.25 -0.6998 -0.7070
0.125 -0.7053 -0.7071 -0.7072
0.0625 -0.7066 -0.7071 -0.7071 -0.7071
0.03125 -0.7070 -0.7071 -0.7071 -0.7071 -0.7071
2 4 6 2 2
1 2 3 02
n
n
f a h f a hf a k h k h k h k h N h h I
h
Derivación e Integración
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
23
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Inestabilidad numérica de la derivación
Partiendo de la fórmula de derivación numérica
pero al operar con aritmética finita, se evalúa
siendo el error de representación del ordenador. El error total es por tanto
que tiene un mínimo para
Por tanto le precisión no mejora indefinidamente con la disminución del valor de h.
En la práctica no podemos calcular el valor de h óptimo, ya que la cota del error de representación
depende de la máquina y M depende de la función y del intervalo en estudio.
2 ( ) ( )
( ) , con ,3! 2
h f a h f a hf a N a h f N a h
h
1 21 2
( ) ( )( ) ( ), donde ,
2 2
f a h f a hf a h f a hN a h
h h
2
( ) , ( ) , , , con sup3! a h x a h
hE h f a N a h f a N a h N a h N a h M M f x
h
33
opthM
con
Derivación e Integración
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
24
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Introducción
Teorema del valor medio para integrales Sean f(x), g(x) C[a, b] donde g(x) es integrable y no cambia de signo en
[a,b], entonces existe un punto c en (a,b) tal que
Son formulas de tipo interpolatorio que se definen por el número
de puntos del polinomio de interpolación
Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados,
aunque su método de obtención es válido para cualesquiera
puntos
Motivación
b
a
b
adxxgcfdxxgxf
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
0
1
0
:
1 !
nn n
n i i i
i
n n n nx
n k
k
b b b
na a a
P x f x L x L x
f x P x E xf
E x x xn
f x dx P x dx e x e x E x dx
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
25
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Método de coeficientes indeterminados
Obtener los coeficientes de la siguiente fórmula para que tenga el mayor orden posible Planteamiento: debe ser exacta para polinomios del mayor orden, luego comenzamos en orden creciente Resolución del sistema Orden de la fórmula
1
31 14 2 40 1 2
0f x dx f f f
1
0 1 20
131 1
4 2 40 1 20
1 2 2 22 2 31 14 2 40 1 2
0
1 1 1 1 1 1
1
2
1
3
f x dx
f x x xdx
f x x x dx
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
20 0 3
1 11 12 3
2 2 2 1 22 23 3
1 1 1 1
0.25 0.5 0.75
0.25 0.5 0.75
131 1
4 2 40
2 1 2
3 3 3f x dx f f f
?1 4 4 44 4 31 1
4 2 40
1 2 1 2 37
5 3 3 3 192f x x x dx
?1 3 3 33 3 31 1
4 2 40
1 2 1 2 1
4 3 3 3 4f x x x dx
Fórmula de orden 3
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
26
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplos de reglas simples
Interpolante de grado 0 – Valor en el extremo del intervalo
– Valor en el punto medio
Interpolante de grado 1
2
2
b b b
a a a
b af x dx f a dx f x a dx f a b a f
3
12 2 2 2 3
0 0 1 1 0 1 2
1 1 12 2 2 2 2
3
2
12
,2
como , , , , y =0
, , ,
, ,3
b b ba b a b a b a b
a a a
ba b
a
b ba b a b a b a b a b
a a
a b
a b
b af x dx f dx f x x dx f b a f
f x x f x x x x x f x x x dx
f x x dx f x x x x x dx x
xf x
b
a
11 2
1
3
1 12 2
2
12
b b b
a a a
b b b
a a a
b b
a a
f x dx P x dx f x a x b dx
f a f bx b x aP x dx f a dx f b dx b a
a b b a
b af x a x b dx f x a x b dx f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
27
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplos de reglas simples
Interpolante de grado 2
– Combinamos trapecio y punto medio
12 3!
2
b b b
a a a
a bf x dx P x dx f x a x x b dx
3 3 32 2 2 2
13! 2 2 2 2 2
5
como , , , , , , , , , , y =0
, , , ,
2
6 30 2
ba b a b a b a b
a
b ba b a b a b a b a b
a a
iv
f x a b f x a b x x x f a b x x a x x b dx
f x a x x b dx f x a b x x a x x b dx
f b a
3
2 2
2 2
3
12 2 22 3
2 2 2 22
2
2 12
2
2 3 42
46
b
a
ba b
a
ba b
a
ba b
a
P a P b b aRT P x dx b a P
b aRPM P x dx P b a P
b aRT RPM P x dx P a P P b
b aRSimpson f x dx f a f f b
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
28
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Reglas cerradas
El polinomio de interpolación SI incluye los extremos del intervalo
n=1 Regla del trapecio
n=2 Regla de Simpson
n=3
n=4 R. Boole
0 0
0
,nb
i i n ka
i
b af x dx f x x a x b x x kh h
n
23
2
0
12
0
1 n par2 !
,
1 n impar1 !
nnn
nnn
h fs s s n ds
na b
h fs s s n ds
n
Tma: Dada una fórmula cerrada de n+1 puntos el error es
Fórmulas cerradas usuales
7
620 1 2 3 445
87 32 12 32 7
945h
hf x f x f x f x f x f
5
4
0 1 234
90h
hf x f x f x f
3
0 1212
hh
f x f x f
5
430 1 2 38
33 3
80h
hf x f x f x f x f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
29
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo
n=1
n=2
n=3
n=4
2
0 12
33
2
0cos 0 cos 1 0 0.7854
2 4 42
00.3230
12 12
h f x f x
hError f
4
0 1 23
55
4
4 cos 0 4cos cos 1.00234 23
0.003390 90
h
iv
f x f x f x
hError f
6630 1 2 38
3 2
55
6
cos 0 3cos33 3 1.001
8 3cos cos
330.0015
80 80
h
iv
f x f x f x f x
hError f
20 1 2 3 445
5
75
7 32 12 32 7
28 37cos 0 32cos 12cos 32cos 7cos 1.000
8 4 8 245
88 81.2192 10
845 845
h
vi
f x f x f x f x f x
hError f
2 2
00cos sin 1x dx x
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
30
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Reglas abiertas
El polinomio de interpolación NO incluye los extremos del intervalo
n=0 Regla del punto medio
n=1
n=2
n=3
0 0
0
,2
nb
i i n ka
i
b af x dx f x x a h x b h x x kh h
n
231
2
1
121
1
1 n par2 !
,
1 n impar1 !
nnn
nnn
h fs s s n ds
na b
h fs s s n ds
n
Tma: Dada una fórmula abierta de n+1 puntos el error es
Fórmulas abiertas usuales
5
450 1 2 324
9511 11
144h
hf x f x f x f x f
3
30 12
3
4h
hf x f x f
3
023
hhf x f
5
440 1 23
142 2
45h
hf x f x f x f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
31
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo
n=0
n=1
n=2
n=3
2 2
00cos sin 1x dx x
4 40
3
3
12 2 cos 1.11072 2
40.1615
3 3
hf x
hError f
636 30 12
3
3
3cos cos 1.0729
2
33 60.1077
4 4
h f x f x
hError f
84 38 4 80 1 23
5
5
42 2 2cos cos 2cos 0.9980
3
33 80.0029
80 80
h
iv
f x f x f x
hError f
10 55
0 1 2 3243 2
10 5
5
5
5 11cos cos1011 11 0.9986
24 cos 11cos
9595 100.0020
144 144
h
iv
f x f x f x f x
hError f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
32
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Reglas Compuestas
Subdivisión en subintervalos y aplicación de la regla
simple a cada subintervalo
Reglas más habituales
– Regla del trapecio compuesta
– Regla de Simpson compuesta
1
i
nb
ai I
f x dx f x dx
1
3
12
1 1
21
02
1
12
212
i
i
n nb xh
i i ia x
i i
n
hi n
i
hf x dx f x dx f x f x f
b a hf x f x f x f
2
2 1
54
2 1 23 2 11 1
414
0 2 1 23
1 1
490
4 2180
i
i
n nb xh
i i iia xi i
n n
hi i n
i i
hf x dx f x dx f x f x f x f
b a hf x f x f x f x f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
33
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo: trapecio compuesta
Regla – 2 intervalos (3 puntos)
– 3 intervalos (4 puntos)
– 4 intervalos (5 puntos)
Cota y error real
– 2 intervalos
– 3 intervalos
– 4 intervalos
2 2
00cos sin 1x dx x
6
6 3 22 120 2 1.0 2 0.8660+0.5000 0.0 0.9770f f f f
4
4 22 80 2 1.0 2 0.7071+0.0 0.9481f f f
2, 0,
sup sup cos 1a b x
M f x
21
021
212
nbh
i na
i
b a hf x dx f x f x f x f
2
2 4
4
00.0807 1 0.9481 0.0519
12
b
ah M f x dx RT
8
3
8 22 161
0 2 1.0+2 0.9239+0.7071+0.3827 0.0 0.9871i
f f i f
2
2 6
6
00.0359 1 0.9770 0.0230
12
b
ah M f x dx RT
2
2 8
8
00.0202 1 0.9871 0.0129
12
b
ah M f x dx RT
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
34
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo: simpson compuesta
Regla – 2 intervalos (5 puntos)
– 3 intervalos (7 puntos)
– 4 intervalos (9 puntos)
Cota y error real
– 2 int.
– 3 int.
– 4 int.
2 2
00cos sin 1x dx x
12
3 22 1 2
12 12 22 241 1
0 4 2 1 4 1.9319 2 1.3660 0 1.0000263i i
i i
f f f f
8 3 28 8 8 22 16
0 4 2 1 4 0.9239+0.3827 2 0.7071+0 1.0001f f f f f
2
4
, 0,
sup sup cos 1a b x
M f x
414
0 2 1 231 1
4 2180
n nbh
i i na
i i
b a hf x dx f x f x f x f x f
4
2 8 4 4
8
02.07 10 1 1.00013 1.3 10
180
b
ah M f x dx RT
4
2 12 5 5
12
04.1 10 1 1.000026 2.6 10
180
b
ah M f x dx RT
4
2 16 5 6
16
01.3 10 1 1.000008 8.3 10
180
b
ah M f x dx RT
16
4 32 1 2
16 16 22 321 1
0 4 2 1 4 2.5629 2 2.0137 0 1.0000083i i
i i
f f f f
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
35
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Control de error y ejemplo
Las reglas compuestas permiten controlar el error variando el número de subintervalos (modifican el valor de h).
Cotas de error
– Trapecio
– Simpson
Ejemplo – Obtener el numero de subintervalos para poder asegurar que el cálculo
de la integral indicada mediante las reglas compuestas tenga un error no
superior a una millonésima
– Trapecio
– Simpson
2
2 2,
con sup12 a b
b a hM M f
4
4 4,
con sup180
iv
a b
b a hM M f
22 22 6 624
2
010 10 0.0028 568.31 569
12 24
hM h h n
h
42 24 6 64 360
4
010 10 0.1035 7.59 8
180 360 2
hM h h n
h
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
36
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Estabilidad numérica
Las fórmulas de integración numérica habituales son estables en h Trapecio compuesta (con errores de representación)
Simpson compuesta (con errores de representación)
Caso general (con errores de representación) En las reglas simples, se cumple generalmente que i>0 y ii=1
12
0
1
12
0
1
2 2
22 12
, , , 22 12
22 12 12
Nb
k k Na
k
Nb
c k Na
k
fhf x dx f a f x f b b a h
fhf x dx RT f a b h b a h
h M MN b a h b a b a h
14
0 2 1 2 2
1 1
14
0 2 1 2
1 1
4 4
4 23 180
, , , 4 23 180
63 180 180
ivN Nb
k k k k Na
k k
ivN Nb
c k k Na
k k
fhf x dx f a f x f x f b b a h
fhf x dx RS f a b h b a h
h M MN b a h b a b a h
0
0 0
, , ,
Nb
i i k trunca
i
N Nb
i k trunc i trunca
i i
f x dx h f x E
f x dx RN f a b h h E h E
Derivación e Integración
Introducción
Coef. Indeterminados
R. cerradas simples
R. abiertas simples
R. compuestas
Control del error
Estabilidad
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
37
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Cuadratura gaussiana
No fija los puntos. Valores óptimos para obtener mayor grado – Ejemplo
0 1
1 0 0 1 11coef.
2 2 2indeter10 0 0 1 1
3 3 3
0 0 1 1
2 24ª 00 1 0 12ª
1ª 12 2 3
0 1 0 0 0 33
0 3
30 1 0 11 3
1 2 1 1
0
23
0
1
123ª 2
3
2ª
i i
i
f x
f x x x xf x dx f x
f x x x x
f x x x x
x x x x
x x xx
x xx
1 43 3
3 311 1f x dx f f f x
Polinomios ortogonales
– Base de polinomios
– Definidos en un intervalo [a,b]
– Ortogonales para una determinada función w(x), denominada
peso
0 si
Sea , / 0 : 0 si
b
i ja
i jw x C a b w x w x x x
i j
0 1, , , /n nx x x grado x n
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
38
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Relación de recurrencia
Orden de las fórmulas y error Dado el polinomio ortogonal n(x) con raíces {1, 2, …n,}, se tiene
Integrando Y por tanto el error viene dado por
Propiedades
0 1 1 1 2
2 2
0 1 1 2
1 2 2 2
0 1 2
1 k k k k k
b b b
k k ka a a
k kb b b
k ka a a
x x x B x x B x C x
xw x x dx xw x x dx xw x x x dxB B C
w x x dx w x x dx w x x dx
22
1
02 !
n nb b b
n ia a a
i
fw x f x dx w x R x dx w x x dx
n
1
2 1 1 1
1 2 1
1
2 1
1
n
b b b
n n n na a a
nb bk
n n ka a
k
n
k n k
k
w x P x dx w x x P x dx w x R x dx
w x R x dx P w x L x dx
P
2 1 1 1 2 1 1 1 1n n n n n k n k n k n k n kP x x P x R x P P R R
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
39
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Nombre [a,b] w(x) Notas
Legendre [-1,1] 1 Se impone que su valor en x=1 sea 1
Asociados a la ecuación diferencial
Tchebishev [-1,1] Uso en interpolación (aproximación minimax)
Asociados a la ecuación diferencial
Hermite (-,) Asociados a la ecuación diferencial
Laguerre [0,)
Asociados a la ecuación diferencial
Jacobi, Gegenbaurer, Appell, Charlier, Jack, Krawtchouk, …
Familias de polinomios ortogonales
21 2 1 0x y xy n n y
2xe
xe
2
1
1 x
2 21 0x y xy y
2 0y xy y
1 0xy x y y
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
40
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Polinomios de Legendre
Polinomios
Norma
Relación de recurrencia
1
1
2
2 1n nP x P x dx
n
0
1
212 2
313 2
4 214 8
5 315 8
1
3 1
5 3
35 30 3
63 70 15
L x
L x x
L x x
L x x x
L x x x
L x x x x
Raíces y coeficientes
N Raíces Coeff.
2 1
3
4
5
1 1
12 1
1n n nP x n xP x nP x
n
1
3
3
5,0
1
35
1
35
525 70 30
525 70 30
1
36
1
36
18 30
18 30
1
21
1
21
0
245 14 70
245 14 70
128
225
1
900
1
900
322 13 70
322 13 70
5 8
9 9,
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
41
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Polinomios de Tchebishev
Polinomios
Norma
Relación de recurrencia
1
21
0
01 2
n nnT x T x
dxnx
0
1
2
2
3
3
4 2
4
5 3
5
1
2 1
4 3
8 8 1
16 20 5
T x
T x x
T x x
T x x x
T x x x
T x x x x
Raíces y coeficientes
2 1cos 1,2,
2
2cos 1,2,
2
kraíces k n
n
kextremos k n
n
1 12
cos , cos
n n n
n
T x xT x T x
T x n arc x
N Raíces Coeff.
2
3
4
5
1
22 1
2
1
3
1
4
1
5
1
23
1
22 2
1 1
2 2
0
5 5
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
42
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Polinomios de Hermite
Polinomios
Norma
Relación de recurrencia
2
2 !x n
n ne H x H x dx n
0
1
2
2
3
3
4 2
4
5 3
5
1
2
4 2
8 12
16 48 12
32 160 120
H x
H x x
H x x
H x x x
H x x x
H x x x x
2 2
1 12 2
1
n n n
nn x x
n n
H x xH x nH x
dH x e e
dx
N Raíces Coeff.
2
3
4
5 0
0.958572
2.02018
0.945309
0.393619
0.0199532
1
22
1
26,0
1
2
1
2
3 6
3 6
11
4
11
4
3 6
3 6
1 2
6 3,
1
2
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Raíces y coeficientes
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
43
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Polinomios de Laguerre
Polinomios
Norma
Relación de recurrencia
0
1x
n ne L x L x dx
0
1
212 2
3 213 6
4 2
4
5 3
5
1
1
4 2
9 18 6
8 8 1
16 20 5
L x
L x x
L x x x
L x x x x
L x x x
L x x x x
1 1
!
1 2 1
x nn x
n n
n n n
e dL x x e
n dx
n L x n x L x nL x
N Raíces Coeff.
2
3
0.415775
2.29428
6.28995
0.711093
0.278518
0.0103893
4
0.322548
1.74576
4.53662
9.39507
0.603154
0.357419
0.0388879
0.000539295
5
0.26356
1.4134
3.59643
7.08581
12.6408
0.521756
0.398667
0.0759424
0.00361176
0.00002337
2 2
2 2
1
4
1
4
2 2
2 2
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
44
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Cambio de variable
Ejemplos
Integral en un intervalo cualquiera
22
1 02 !
b bb a
b a b aa ab a
n nn b
k k ka
k k
y x aF y dy F y x dx w x f x dx
dy dx
ff w x x dx
n
2 4
4 4 4014
1 1
4 4 43 3
5 3 8 5 3
4 9 4 5 9 4 9 4 5
1 1
36 4 35
4
11 cos cos 1
2 cos 1 cos 1 0.998472613404115
3 cos 1 cos 0 1 cos 1 1.000008121555498
18 30 cos 525 70 30 1 cos
4
nb
k ka
k
y xx dx x dx f
dy dx
n
n
n
1
4 35
1 1 1
36 4 35 4 35
1 1 1
900 4 21 4 21
128
4 225 4
1
900
525 70 30 1
0.999999977197115
18 30 cos 525 70 30 1 cos 525 70 30 1
322 13 70 cos 245 14 70 1 cos 245 14 70 1
5 cos 0 1
322 13 70 cos
n
1 1
4 21 4 21
1.000000000039565
245 14 70 1 cos 245 14 70 1
Derivación e Integración
Introducción
Polinomios ortogonales
Cambio de intervalo
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
45
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Integración de Romberg: Proceso
Utiliza la regla del trapecio compuesta
Se combina con la extrap. de Richardson
Aprovecha las relaciones de la regla
1
2 4 6
0 1 2 32
1
2nb
hi n
ai
f x dx f x f x f x k h k h k h
1
1
2
2
0 2
11 0 1 12 2 22
3 32 2 4 2 42
11 2 2 22
2
2 2 2
3
ho
hh a bo o
hh a b a b a bo
o
N h b a f a f b
N h f a f f b N h h f a h
N h f a f f f f b
N h h f a h f a h
1 1 1 1
1
42 2
24 1 4 1
k
k k k k
k kk k
h hN N h N N hhN h N
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
46
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Integración de Romberg: Relaciones
1
2
3
4
0 2
11 0 1 122
12 1 2 2 222
3 313 2 322
3 3
4 4
4 414 3 422
4 4
4 4
3
3
5 7
3
5 7
9 11
13 15
ho
ho o
ho o
ho o
ho o
N h b a f a f b
N h N h h f a h
N h N h h f a h f a h
f a h f a hN h N h h
f a h f a h
f a h f a h
f a h f a hN h N h h
f a h f a h
f a h f a h
12
1122
1
2 1
k
k
ho k o k k k
i
N h N h h f a i h
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
47
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo
Calcular, con un error inferior a 10-6, aplicando el método de integración de Romberg Aplicamos la fórmula de Romberg, donde h=(b-a)/n, para utilizar a continuación la extrapolación de Richardson
2 2
00cos sin 1x dx x
n h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)
1 /2 0.7853982
2 /4 0.9480594 1.0022799
4 /8 0.9871158 1.0001346 0.9999916
8 /16 0.9967852 1.0000083 0.9999999 1.0000000
16 /32 0.9991967 1.0000005 1.0000000 1.0000000 1.0000000
1
0 02
1 1
4 4 0.9480594 0.78539821.0022799
4 1 3
hN N hN h
3
2 22
3 3
4 64 0.9999999 0.99999161.0000000
4 1 63
hN N hN h
2
1 12
2 2
4 16 1.0001346 1.00227990.9999916
4 1 15
hN N hN h
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
48
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Motivación
Basada en la fórmula de Simpson compuesta
Supone comportamiento “suave” de f(4)(x)
2
2
54
2 3 2
54
2 2
, con y , 490
1, ,
16 90
a b
a b
bb a h a b
a
ba b a b
a
hf x dx S a b f h S a b f a f f b
hf x dx f x dx S a S b f
4 4
5 54 4
2 2
54
Igualando y tomando
1, , ,
16 90 90
16, , ( , )
90 15 2 2
a b a b
f f
h hS a S b f S a b f
h a b a bf S a S b S a b
Estimación del error
1( ) , , , , ,
2 2 15 2 2
a
b
a b a b a b a bf x dx S a S b S a b S a S b
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
49
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Proceso
1. Calcular
2. Estimar el error como e=|I-Is|
3. Si e<15ε tomar Is como valor de la integral sino repetir el
proceso con cada semi-intervalo, dividiendo también por
dos el error admisible
2 2( , ), , , , ,a b a bI S a b Ii S a Id S b Is Ia Id
Ejemplo: Calcular, con un error inferior a 1 centésima
Representación de la función
5
8 4
8
cos 0.470355208182252x dx
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
50
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo: resultados
[a,b] I Ii Id Is |I-Is| tol
(4,20) /32 -0.2766 0.5715 0.3812 0.9526 1.2292 0.0100
(4,12) /32 0.5715 0.3861 0.1947 0.5808 0.0094 0.0050
(12,20) /32 0.3812 -0.1969 -0.2272 -0.4240 0.8052 0.0050
5 14 4 48 8 3 51
8 8 8
3 14 4 48 8 31 2
8 8 82
5 34 4 48 8 3 54
8 8 82
( , ) cos 4cos cos 0.27666
1.2292, cos 4cos cos 0.5715
>156
0.9526, cos 4cos cos 0.3812
6
a b
a b
I S a b
Is IIi S a
Is Ia Id
Id S b
(12,16) /32 -0.1969 -0.1568 0.0011 -0.1557 0.0412 0.0025
(16,20) /32 -0.2272 0.0136 0.0646 0.0781 0.3053 0.0025
(12,14) /32 -0.1568 -0.0622 -0.0947 -0.1569 0.0001 0.0013
(14,16) /32 0.0011 -0.0523 0.0555 0.0032 0.0021 0.0013
(16,18) /32 0.0136 0.0715 -0.0635 0.0081 0.0055 0.0013
(18,20) /32 0.0646 -0.0083 0.0462 0.0379 0.0266 0.0013
(18,19) /32 -0.0083 -0.0295 0.0217 -0.0078 0.0005 0.0006
(19,20) /32 0.0462 0.0448 -0.0000 0.0447 0.0015 0.0006
0.4721
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
51
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Ejemplo: representación gráfica
Integral: 0.5808+ 0.0081+ (-0.1569)+ (-0.0078)+ 0.0032+ 0.0447 = 0.4721
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
52
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Integración impropia (I)
Hay dos formas diferentes de abordar la integración impropia – Usando los polinomios ortogonales adecuados (Hermite o Laguerre)
– Utilizando un cambio de variable antes de resolver el límite impropio con
una fórmula abierta
– Nota: Se debe verificar ab>0 (el dominio no incluye el valor nulo),
sino es necesario realizar previamente una división del dominio
– Donde el valor b se elige lo suficientemente grande como para que
el comportamiento asintótico de la función sea O(x-2)
1
1 2
2
11
1
a
b
b
a
xt
f x dx f t dttdx dt
t
b
a a bf x dx f x dx f x dx
0 0 0
0
nx x
i ixi
g xg x dx e dx e f x dx f x
e
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
53
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Integración impropia (II)
Calcular
– Usando los polinomios de Laguerre (simples)
– Descomponiendo la integral en dos, utilizando la regla
del trapecio para la primera y la del punto medio para la
segunda
12 2 2 2 12 222 2 2 2
2 2
20 0 2 0 0
1
1.1741983013 0.0507831125 1.22498141383 2intervalos
1.1906738356 0.0555665510 1.24624038672 4intervalos
1.1948797590 0.0566733473 1.25155310642
x x x xte dx e dx e dx e dx e dt
t
8intervalos
1.1959356697 0.0569379755 1.25287364536 16intervalos
2 2
2 2
0 0
1.304677973964021 2
1.187176785267228 3
1.236879870719581 4
1.263673857958196 5
x x xx
n
ne dx e e dx
n
n
2
2
01.253314137315500
2
x
e dx
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
54
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Las integrales múltiples sobre recintos hipercúbicos se
resuelven aplicando de forma reiterada las fórmulas
simples o utilizando métodos estadísticos (Montecarlo)
– Ejemplo (utilizando Simpson)
Cuando el recinto no es hipercúbico la única solucion
es acudir a métodos estadísticos (Montecarlo)
Integración múltiple (I)
, ,d b d b
c a c af x y dxdy f x y dx dy
1 2 1 22 2
1 0 1 0
1 12 2 2 21
31 1
2 2 2 201
3 3
2 00 4 1 2 6 12 8
6
1 16 1 12 1 8 4 6 0 12 0 8 6 1 12 1 8
6
x y dxdy x y dx dy
y y y dy y y dy
, ,d b y d b y
c a y c a yf x y dxdy f x y dx dy
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
55
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Integración múltiple por Simpson
1
0 2 1 2 231 1
1
0 0 0 2 1 0 2 0 2
1 1
1
2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1
3 3
, , 4 , 2 , ,
, 4 , 2 , ,
4 , 4 , 2 , ,
2
x
yx
n nd b dh
i i nc a c
i i
m m
j j m
j j
n m m
i i j i j i m
i j jhh
f x y dx dy f x y f x y f x y f x y dy
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y f x y f x y
f x
1 1
2 0 2 2 1 2 2 2 2
1 1 1
1
2 0 2 2 1 2 2 2 2
1 1
0 0 0 2 2 0 2 2
0 2 2 2
1
3 3
, 4 , 2 , ,
, 4 , 2 , ,
, , , ,
2 , ,
yx
n m m
i i j i j i m
i j j
m m
n n j n j n m
j j
m n n m
m
j n j
j
hh
y f x y f x y f x y
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y
1 1
2 0 2 2
1
0 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
, ,
4 , , , ,
4 , 8 , , 16 ,
n
i i m
i
m n
j n j i i m
j i
n m n m n m n m
i j i j i j i j
i j i j i j i j
f x y f x y
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y f x y f x y
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
56
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Interpretación gráfica de las reglas compuestas – Trapecio
– Simpson
Integración múltiple (III)
14
24
24
24
1
1
4
2
4
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
22
22
22
1
1
2
2
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
3 3
,
1,4,1 1,4,1yx
d b
c a
hh
x y
f x y dx dy
2 2
,
1,1 1,1yx
d b
c a
hh
x y
f x y dx dy
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
57
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Método de Montecarlo (I)
Calcula
Proceso: genera una muestra aleatoria uniforme de valores xi y aproxima
la integral mediante
Nota 1: El error de la integral es proporcional a su varianza y por tanto
disminuye con (Reducirla a la mitad exige cuadruplicar el
número de muestras)
Nota 2: La convergencia depende del número de muestras, pero NO de
la dimensión del volumen
1 2
1 21 2 1 2 1
1 2 1 1 1 2 2 2
, ,
, , ; , ,
n
n
b b b
na a a V
n n n n
I f x x x dx dx dx f d
x x x V a x b a x b a x b
x x
x x
1
22
1
2 2
con valor medio muestral de la integral
1var
1
E var
n
i
i
n
i
i
V
VI f I f f
N
f f fN
VI f f d I f
N
x
x
x x
O N
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
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58
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Método de Montecarlo (II)
Calcular
1 2 2
1 0x y dxdy
102
103
104
105
106
107
5.5
6
6.5
7
7.5
puntos
inte
gra
l
102
103
104
105
106
107
10-4
10-3
10-2
10-1
100
puntos
err
or
Integracion de Montecarlo
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
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59
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Método de Montecarlo (III)
El volumen del elipsoide
Viene dado por
Calcular el volumen del elipsoide para x,y,z>0
4
3abc
2 2 2
0 0 0
2 2 21
x x y y z z
a b c
2 2 2
2 2 21
2 1 3
x y z
22 2 2 21 2 1
2 2 2 20 03 1 3 1 3.142183001731533
2 1 2 1
y
V
x y x yd dx dy
x
102
103
104
105
106
107
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
puntos
inte
gra
l
102
103
104
105
106
107
10-4
10-2
100
10-1
10-3
puntos
err
or
Integracion de Montecarlo
Derivación e Integración
Integ. Romberg
Integ. Adaptativa
Integ. impropia
Integ. múltiple
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60
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Resumen
Hay tres formas diferentes de obtener fórmulas numéricas para derivación /
integración
Interpolación / Newton Cotes
Coeficientes indeterminados
Desarrollo de Taylor / cuadratura gausiana (derivación/integración)
Derivación:
La interpolación calcula la expresión del error, pero sólo para las primeras
derivadas
Los desarrollos de Taylor permiten obtener la parte principal del error
El método de coeficientes indeterminados sólo indica el orden de la fórmula.
Integración
Las fórmulas de Newton-Cotes compuestas permiten ajustar el error deseado
Las fórmulas de cuadratura se obtienen utilizando polinomios ortogonales
definidos en intervalos determinados y para funciones de peso, y permiten
fórmulas de mayor orden con un número menor de evaluaciones de la función
La integración de Romberg se obtiene al combinar la regla del trapecio y la
extrapolación de Richardson, y permite estimar numéricamente el error
La integración adaptativa permite ajustar el error y variar el tamaño del paso
Las integrales impropias requieren usar polinomios ortogonales o combinar
cambios de variables con reglas de Newton-Cotes abiertas
La integración en más de una dimensión se realiza combinando fórmulas de una
dimensión cuando el dominio es hipercúbico o utilizando el método de
Montecarlo en caso contrario
Derivación e Integración
Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández
61
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Bibliografía comentada
Derivación e Integración
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62
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Instrucciones
M cumtrapz Cumulative trapezoidal numerical integration
M del2 Discrete Laplacian
M diff Differences and approximate derivatives
M gradient Numerical gradient
B polyder Polynomial derivative
B polyint Integrate polynomial analytically
O polyreduce Reduces a polynomial coefficient vector to a minimum number of
terms by stripping off any leading zeros
B dblquad Numerically evaluate double integral over rectangle
O colloc Compute derivative and integral weight matrices for orthogonal
collocation
B quad Numerically evaluate integral, adaptive Simpson quadrature
B quad2d Numerically evaluate double integral over planar region
B quadgk Numerically evaluate integral, adaptive Gauss-Kronrod quadrature
B quadl Numerically evaluate integral, adaptive Lobatto quadrature
B quadv Vectorized quadrature
B trapz Numerical integration using the trapezoidal method
B triplequad Numerically evaluate triple integral
Válidas en Matlab (M), Octave (O) o ambos (B)
Derivación e Integración
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63
Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Anexos
Demostraciones y desarrollos
Derivación e Integración
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Motivación
Objetivos
Temario Introducción
Fórmulas Derivac.
Extrapolación*
Estab. Derivación
Reglas NewtonCotes
Cuadratura Gauss.*
Otras integrales*
Resumen General
Bibliografía
Software
Runge Kutta de Orden 2
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