1
DERIVADAS
Definición de derivada
Ejercicio nº 1.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Ejercicio nº 2.-
Calcula la derivada de f (x) = x2 + x + 1 en x0 = 0 utilizando la definición.
Ejercicio nº 3.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
2
Ejercicio nº 4.-
Ejercicio nº 5.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Ejercicio nº 6.-
Ejercicio nº 7.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
( ) .definición la utilizando 0 en 2 de derivada la Halla 0 =+= xxxf
( ) ( ) .' 1 que sabiendo ,1 calcula ,definición la Utilizando += xxff
3
.
Ejercicio nº 8.-
Si f (x) = 2x2 − 3 halla su derivada en x0 = 1 utilizando la definición.
Ejercicio nº 9.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
4
Ejercicio nº 10.-
Si f (x) = −x2 + 1, halla su derivada en x0 = 2 utilizando la definición.
Continuidad y derivabilidad
Ejercicio nº 11.-
Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.
Ejercicio nº 12.-
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida del siguiente modo:
Ejercicio nº 13.-
Ejercicio nº 14.-
Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en todo :
Ejercicio nº 15.-
Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad.
( )
≤<≤+
<=
xxxbax
xaxf
1si410si
0si
( )
≤+<≤+
<+−=
xxxx
xxxf
1si1310si2
0si22
2
( ) dad.derivabili ydcontinuida la estudiar ,4si4
40si20si2
función la Dada2
>−<≤−
<=
xxxx
xxf
( )
−>−−≤++
=113
2
2
xnxxxmxxxf
( )
≤
<≤−−−<−
=
xxxbax
xaxxf
1si211si
1si
5
Cálculo de derivadas
Ejercicio nº 16.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Ejercicio nº 17.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
y = x cos x
Ejercicio nº 18.-
Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36.
Ejercicio nº 19.-
Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f
−1 (x) = arc cos x.
Ejercicio nº 20.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Ejercicio nº 21.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
y = (x + 1)x 2
Ejercicio nº 22.-
Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2.
Ejercicio nº 23.-
Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x.
Ejercicio nº 24.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( )3 3 1b)11a) −=
+−
= xcosyeelny x
x
( )13b)12
3a) 25
−=−
= xcosyx
y xx
·
( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·
6
Ejercicio nº 25.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
Ejercicio nº 26.-
Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada.
Ejercicio nº 27.-
Ejercicio nº 28.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Ejercicio nº 29.-
Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x.
Ejercicio nº 30.-
Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8.
Ejercicio nº 31.-
Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x, halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x.
Ejercicio nº 32.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Ejercicio nº 33-
Deriva logarítmicamente la siguiente función:
y = (cos x)x
Ejercicio nº 34.-
Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4.
x
xy
=
2
( ) ( ) ( ) .' xexfx
xfxlnxf === −1 de derivada la calcula ,1 derivada su y función la Conocida
2b)32
54a)x
xsenyx
xlny =+
−=
( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·
7
Ejercicio nº 35.-
Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de
Cuestiones sobre derivadas
Ejercicio nº 36.-
Demuestra que la función f (x) = |x + 2| + |x − 1| no es derivable ni en x = −2 ni en x = 1.
Ejercicio nº 37.-
Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función f (x) = (x + 1) · |x| no es derivable en x = 0. .
Ejercicio nº 38.-
Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:
Ejercicio nº 39.-
para el valor x = π.
Ejercicio nº 40.-
Prueba que la función f (x) = ex cos x verifica la siguiente ecuación:
f'' (x) − 2f' (x) + 2f (x) = 0
( ) .51 xxf =−
( ) ( )xfexf 2
1−=''
( ) anulan se 2
función la de par orden de derivadas las todas que Demuestra
=
xcosxf
8
SOLUCIONES EJERCICIOS DE DERIVADAS
Definición de derivada
Ejercicio nº 1.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Solución: 1 − A, 2 − C, 3 − B. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.
Ejercicio nº 2.-
Calcula la derivada de f (x) = x2 + x + 1 en x0 = 0 utilizando la definición. Solución:
( ) ( ) 11100 22
+=+
=−++
=−+ h
hhh
hhh
hfhf
( ) ( ) ( ) ( ) 11000'00
=+=−+
=→→
hlímh
fhflímfhh
9
Ejercicio nº 3.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Solución: 1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.
Ejercicio nº 4.-
Solución:
( ) .definición la utilizando 0 en 2 de derivada la Halla 0 =+= xxxf
( ) ( )h
hh
fhf 2200 −+=
−+
( ) ( ) ( ) ación.Indetermin .00000'
0=
−+=
→ hfhflímf
h
Multiplicamos numerador y denominador por 2 2 para poder simplificar la fracción.h + +
( )22
122
1)22(·)22(·
)2()2(0'00
22
0=
++=
++=
++
−+=
→→→ hlím
hhhlím
hhhlímf
hhh
10
Ejercicio nº 5.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Solución: 1 − C, 2 − A, 3 − B. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.
Ejercicio nº 6.-
Solución:
( ) ( ) .' 1 que sabiendo ,1 calcula ,definición la Utilizando += xxff
( ) ( )h
hh
fhf 2211 −+=
−+
( ) ( ) ( ) ación.Indetermin .00111'
0=
−+=
→ hfhflímf
h
Multiplicamos numerador y denominador por 2 2 para poder simplificar la fracción.h + +
( )22
122
1)22(·)22(·
)2()2(1'00
22
0=
++=
++=
++
−+=
→→→ hlím
hhhlím
hhhlímf
hhh
11
Ejercicio nº 7.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
Solución:
1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.
Ejercicio nº 8.-
Si f (x) = 2x2 − 3 halla su derivada en x0 = 1 utilizando la definición. Solución:
Ejercicio nº 9.-
Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.
( ) ( ) ( ) hh
hhh
hh
fhf 24243231·211 22
+=+
=/+−/−+
=−+
( ) ( ) ( ) ( ) 424111'00
=+=−+
=→→
hlímh
fhflímfhh
12
Solución: 1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.
Ejercicio nº 10.-
Si f (x) = −x2 + 1, halla su derivada en x0 = 2 utilizando la definición. Solución:
Continuidad y derivabilidad
Ejercicio nº 11.-
Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.
( ) ( ) ( ) hh
hhh
hh
fhf+−=
+−=
−+++−=
−+ 44121222 222
( ) ( ) ( ) ( ) 44222'00
−=+−=−+
=→→
hlímh
fhflímfhh
( )
≤<≤+
<=
xxxbax
xaxf
1si410si
0si
13
Solución:
CONTINUIDAD
Si x ≠ 0 y x ≠ 1: La función es continua pues está formada por polinomios. Para x = 0.
Para x = 1.
Por tanto, a = 2 y b = 2. Para estos valores, queda:
DERIVABILIDAD
Si x ≠ 0 y x ≠ 1, f (x) es derivable, además:
Para x = 0. f' (0−) = 0 ≠ f' (0+) = 2 Para x = 1.
f' (1−) = 2 ≠ f' (1+) = 4 La función no es derivable en x = 0 y x = 1. Por tanto: f (x) es derivable en − {0, 1}.
( )
( ) ( )
( )
ba
bf
bbaxlímxflím
aalímxflím
xx
xx
=→
=
=+=
==
++
−−
→→
→→
ser de ha continua, sea que Para
0
00
00
( ) ( )
( )
( )
4 ser de ha continua, sea que Para
41
4411
11
=+→
=
==
+=+=
++
−−
→→
→→
ba
f
xlímxflím
babaxlímxflím
xx
xx
( )
≤<≤+
<=
xxxx
xxf
1si410si22
0si2
( )
<<<
<=
xx
xxf
1si410si2
0si0
14
Ejercicio nº 12.-
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida del siguiente modo:
Solución:
CONTINUIDAD
Si x ≠ 0 y x ≠ 1.
La función es continua pues f (x) es una función polinómica en cada uno de estos tres intervalos.
Para x = 0.
Para x = 1.
f (x) es continua en − {1}
DERIVABILIDAD
Si x ≠ 0 y x ≠ 1, f (x) es derivable y:
Para x = 0.
f' (0−) = 0 = f' (0+) = 0
La función es derivable en x = 0.
Para x = 1.
La función no es derivable pues no es continua.
Por tanto:
f (x) es derivable en − {1}.
( )
≤+<≤+
<+−=
xxxx
xxxf
1si1310si2
0si22
2
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) 0 en continua es
20
22
22
2
00
2
00
=→
=
=+=
=+−=
++
−−
→→
→→
xxf
f
xlímxflím
xlímxflím
xx
xx
( ) ( )( ) ( )
1 en aDiscontinu413
32
11
2
11=→
=+=
=+=
++
−−
→→
→→ xxlímxflím
xlímxflím
xx
xx
( )
<<<
<−=
xxx
xxxf
1si310si2
0si2'
15
Ejercicio nº 13.-
Solución:
CONTINUIDAD
Si x ≠ 0 y x ≠ 4: La función es continua pues f (x) es una función polinómica.
Para x = 0.
Para x = 4.
Por tanto: f (x) es continua en − {0, 4}.
DERIVABILIDAD
f (x) es derivable en − {0, 4}, pues es una función polinómica en cada uno de estos tres intervalos.
La función no es derivable en x = 0 y x = 4, pues es discontinua en estos puntos.
Ejercicio nº 14.-
Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en todo :
Solución:
Para que sea derivable, primero ha de ser continua. Si x ≠ −1, la función es continua, pues está formada por dos polinomios. Para x = −1.
( ) dad.derivabili ydcontinuida la estudiar ,4si4
40si20si2
función la Dada2
>−<≤−
<=
xxxx
xxf
( )
( ) ( )0 en aDiscontinu
22
22
00
00=→
−=−=
==
++
−−
→→
→→x
xlímxflím
límxflím
xx
xx
( ) ( )
( ) ( )4 en aDiscontinu
124
22
2
44
44=→
=−=
=−=
++
−−
→→
→→x
xlímxflím
xlímxflím
xx
xx
( )
−>−−≤++
=113
2
2
xnxxxmxxxf
( ) ( )
( ) ( )( )
+−=−
+=−=
+−=++=
++
−−
−→−→
−→−→
mf
nnxxlímxflím
mmxxlímxflím
xx
xx
21
1
23
2
11
2
11
16
Para que sea continua en x = −1, ha de ser: −2 + m = 1 + n → m = n + 3
DERIVABILIDAD
Si x ≠ −1, la función es derivable, además:
En x = −1.
Ejercicio nº 15.-
Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad. Solución: Si x ≠ −1 y x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios. Para x = −1.
Para x = 1.
Para estos valores, queda:
( )
−>−
−<+=
12
132'
xnx
xxxf
( )( ) 0321
:ser de ha ,1 en derivable sea que Para
21'11'
=→−=→−−=
−=
−−=−=−
+
−
mnn
x
nff
( )
≤
<≤−−−<−
=
xxxbax
xaxxf
1si211si
1si
( ) ( )
( ) ( )
( )
ba
baf
babaxlímxflím
aaxlímxflím
xx
xx
−=
−−=−
−−=−=
=−=
++
−−
−→−→
−→−→
2 :ser de ha continua, sea que Para
1
11
11
( ) ( )
( )
( )
2 :ser de ha continua, sea que Para
21
2211
11
=−
=
==
−=−=
++
−−
→→
→→
b a
f
xlímxflím
babaxlímxflím
xx
xx
34,
32 tanto, Por −
== ba
17
DERIVABILIDAD
Si x ≠ −1 y x ≠ 1, f (x) es derivable, además:
Para x = −1.
Para x = 1.
La función no es derivable en x = −1 y x = 1. Por tanto: f (x) es derivable en − {−1, 1}.
Cálculo de derivadas
Ejercicio nº 16.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Solución:
a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)
( )
≤
<≤−+
−<−
=
xx
xx
xx
xf
1si2
11si34
32
1si32
( )
<
<<−
−<−
=
x
x
x
xf
1si2
11si32
1si32
'
( ) ( )321'
321' =−≠
−=− +− ff
( ) ( ) 21'321' =≠= +− ff
( )3 3 1b)11a) −=
+−
= xcosyeelny x
x
x
x
xx
xxxx
x
x
x
x
ee
eeeeee
ee
eey 21
2)1(·)1(
)1(·)1(·11
'−
−=
+−−−+−
=+
−−
−=
3 32
32
3 32
23
)1(
)1(·
)1(3
3·)1('b)−
−−=
−
−−=
xcos
xsenx
xcos
xxseny
18
Ejercicio nº 17.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
y = x cos x Solución: f (x) = x cos x ln f (x) = cos x · ln x
Ejercicio nº 18.-
Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36. Solución: 8x + 18yy ' = 0
Ejercicio nº 19.-
Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f
−1 (x) = arc cos x. Solución: f' (x) = −sen x
Ejercicio nº 20.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Solución:
( )( ) x
xcosxlnxsenxfxf 1··'
+−=
( ) ( )
+−=
+−=
xxcosxlnxsenx
xxcosxlnxsenxfxf xcos ····'
yxy
188' −
=
( ) ( )21
1
1
1)(
1))(('
1'xxcosarcsenxff
xf−
−=
−==
−−
( )13b)12
3a) 25
−=−
= xcosyx
y xx
·
( )( )
( )[ ]( )2
5
2
55
1223·125·3
123·2123·3·5'a)
−
−−=
−
−−=
xlnx
xxlny
xxx
19
b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x =
= 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)]
Ejercicio nº 21.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
y = (x + 1)x 2 Solución: f (x) = (x + 1)x 2 ln f (x) = x2 · ln (x + 1)
Ejercicio nº 22.-
Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2. Solución: 2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy ' 2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1)
Ejercicio nº 23.-
Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x. Solución:
Ejercicio nº 24.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
( )( ) ( )
11·1·2' 2
+++=
xxxlnx
xfxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+++=
+
++=1
1·2·11
1·2·'22 2
xxxlnxx
xxxlnxxfxf x
)1(·)1(·' 2
2
xyyxy
−−
=
( ) ( )xexff
xf xln
11))(('
1' 11 ===
−−
( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·
20
Solución:
Ejercicio nº 25.-
Aplica la derivación logarítmica para derivar:
Solución:
Ejercicio nº 26.-
Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada. Solución: 2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0 2x − 3y = y ' · (3x + 4y)
Ejercicio nº 27.-
Solución:
xxxxy
−
−=
−
−=
1·2
12
1·4'a)
( )4·32'b) 2 −
=xlnxy
x
xy
=
2
( ) ( )
=→
=
xlnxxfln
xxf
x 2·2
( )( ) 12
2
2
·2' 2−
=
−
+
=
xln
x
xxx
lnxfxf
( ) ( )
−
=
−
= 12·212·'
xln
xxlnxfxf
x
yxyxy
4332'
+−
=
( ) ( ) ( ) .' xexfx
xfxlnxf === −1 de derivada la calcula ,1 derivada su y función la Conocida
( ) ( ) x
x
e
exff
xf ===−
−
11
))(('1' 1
1
21
Ejercicio nº 28.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Solución:
Ejercicio nº 29.-
Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x. Solución: f (x) = (ln x)x ln f (x) = x · ln (ln x)
Ejercicio nº 30.-
Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8. Solución: 3x2 + 6y + 6xy ' + 3y2 · y ' = 0 3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y)
Ejercicio nº 31.-
Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x, halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x.
2b)32
54a)x
xsenyx
xlny =+
−=
( ) ( )325432
54a) +−−=+
−= xlnxln
xxlny
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )32·54
2332·54542325
322
545'
+−−
=+−−−+−
=+
−−−
=xxxx
xxxx
y
34
2 2·2··'b)x
xsenxxcosx
xxsenxxcosy −=
−=
( )( ) ( ) ( )
xlnxlnln
xlnxxxlnln
xfxf 1
1
·'+=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+=
+=
xlnxlnlnxln
xlnxlnlnxfxf x 1·1·'
( )2
2
22'
yxyxy
++−
=
22
Solución:
Ejercicio nº 32.-
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
Solución:
Ejercicio nº 33-
Deriva logarítmicamente la siguiente función:
y = (cos x)x Solución: f (x) =(cos x)x ln f (x) = x · ln cos x
f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x)
Ejercicio nº 34.-
Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4. Solución: y + xy ' − 2 + 3y ' = 0
Ejercicio nº 35.-
Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de
( ) ( ) 2211
11
))((11
))(('1'
xxgtarctgxffxf
+=
+==
−−
( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·
( ) ( )22 12110
1212·5'a)
−+=
−+=
xxy
( )3 25
4
2·3
5'b)+
=x
xy
( )( ) xtgxxcosln
xcosxsenxxcosln
xfxf ··'
−=−
+=
( )3
2'23·'+−
=→−=+x
yyyxy
( ) .51 xxf =−
23
Solución:
Cuestiones sobre derivadas
Ejercicio nº 36.-
Demuestra que la función f (x) = |x + 2| + |x − 1| no es derivable ni en x = −2 ni en x = 1. Solución:
f' (−2−) = −2 ≠ f' (−2+) = 0 → f no es derivable en x = −2 f' (1−) = 0 ≠ f' (1+) = 2 → f es derivable en x = 1
Ejercicio nº 37.-
Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función f (x) = (x + 1) · |x| no es derivable en x = 0. Solución:
Si x ≠ 0, entonces:
( ) ( )5 41
1
·5
1))(('
1'xxff
xf ==−
−
−≥+−<−−
=+2si22si2
2xxxx
x
≥−<+−
=−1si11si1
1xxxx
x
11121
222||
−−+−−+−
++−−
xxx
xxx
( )
≥+<≤−
−<−−=
1si1212si3
2si12
xxx
xxxf
( )
><<−
−<−=
1si212si0
2si2'
xx
xxf
≥<−
=0six0xsi
xx
x
( ) ( )
≥+<−−
=+=0six0xsi·1
2
2
xxxxxxxf
24
En x = 0.
f'(0−) = −1 ≠ f' (0+) = 1
Por tanto, f no es derivable en x = 0.
Ejercicio nº 38.-
Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:
Solución:
f (x) = ln cos x → ef (x) = cos x
Ejercicio nº 39.-
para el valor x = π. Solución:
...
En general, las derivadas de orden par son de la forma:
( )
>+<−−
=0si12x0xsi12
'x
xxf
( ) ( )xfexf 2
1−=''
( ) xtgxcosxsenxf −=
−='
( )xcos
xf 2
1'' −=
( ) .1'' tanto, Por )(2 xfexf −
=
( ) anulan se 2
función la de par orden de derivadas las todas que Demuestra
=
xcosxf
( )
−
=22
1I xsenxf
( )
−
=24
1II xoscxf
( )
+
=28
1III xsenxf
( )
+
=216
1IV xoscxf
25
Ejercicio nº 40.-
Prueba que la función f (x) = ex cos x verifica la siguiente ecuación:
f'' (x) − 2f' (x) + 2f (x) = 0 Solución: f' (x) = ex cos x − ex sen x f'' (x) = ex cos x − ex sen x − ex sen x − ex cos x = −2 ex sen x Así, −2 ex sen x − 2(ex cos x − ex sen x) + 2 ex cos x = 0
( ) constante. una es donde ,2
·2 kxcoskxf n
=
.02
pues , en todas anulan se tanto, Por =
π
π= cosx