Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales y direccionales
Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior
1 Derivadas parciales
2 Derivadas direccionales
3 Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)
Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,
[a1, b1]× [a2, b2] ={
(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}
y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R
Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior
de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1
variable:
Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion
fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).
Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion
fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).
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Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)
Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,
[a1, b1]× [a2, b2] ={
(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}
y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R
Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior
de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1
variable:
Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion
fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).
Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion
fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).
Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)
Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,
[a1, b1]× [a2, b2] ={
(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}
y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R
Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior
de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1
variable:
Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion
fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).
Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion
fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
f1/3(x) = 5− x2 − 3(1/3)2
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
f−2(y) = 5− (−2)2 − 3y2
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
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Derivada parcial respecto de x
fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0)
es una funcion de una variable (la x). Si fy0 es diferenciable enel punto x0 ∈ (a1, b1), es decir, si existe el
lımh→0
fy0(x0 + h)− fy0(x0)
h= lım
h→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h
a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Primera de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de x de f en(x0, y0), y se representa por D1f (x0, y0) o bien en notacionclasica por ∂f
∂x (x0, y0).
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Derivada parcial respecto de x
fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y),
que es una funcion real de una variable real (la y ). Si fx0 esdiferenciable en el punto y0 ∈ (a2, b2), es decir, si existe el
lımh→0
fx0(y0 + h)− fx0(y0)
h= lım
h→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h
a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Segunda de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de y de f en(x0, y0) , y se representa por D2f (x0, y0) o bien, en notacionclasica, por ∂f
∂y (x0, y0).
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
∂f∂x
(x , y) = −2x
∂f∂x
(−2, 1/3) = −2(−2) = 4
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Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)
∂f∂y
(x , y) = −6y
∂f∂y
(−2, 1/3) = −6(1/3) = −2
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Ejemplo
Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:
∂f∂x
(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x
∂f∂y
(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y
Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .
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Ejemplo
Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:
∂f∂x
(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x
∂f∂y
(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y
Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .
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Generalizaci on
En general, para funciones con n variables, f (x1, x2, . . . , xn), sedefine su derivada parcial k-esima en el punto (x1, x2, . . . , xn),que denotamos por Dk f (x1, x2, . . . , xn) o bien por∂f∂xk
(x1, x2, . . . , xn) al lımite
lımh→0
f (x1, . . . , xk + h, . . . , xn)− f (x1, x2, . . . , xn)
h
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1 Derivadas parciales
2 Derivadas direccionales
3 Derivadas parciales de orden superior
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Derivada direccional
La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es
Dv f (x0, y0) = lımh→0
f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)
h
o bien
Dv f (x0, y0) = lımh→0
f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)
h
y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .
Observacion:
D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x
(x0, y0)
D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y
(x0, y0)
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Derivada direccional
La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es
Dv f (x0, y0) = lımh→0
f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)
h
o bien
Dv f (x0, y0) = lımh→0
f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)
h
y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .
Observacion:
D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x
(x0, y0)
D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y
(x0, y0)
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Casos
Dada una funcion f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0, y0) interiorde su dominio A puede ocurrir,
(a) que no existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones (ejemplo: cono) o
(b) que sı existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones.
En este segundo caso, puede ocurrir,
(b.1) que no esten todas las rectas tangentes en unmismo plano (superficies regladas), o
(b.2) que sı esten todas las rectas tangentes en unmismo plano.
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Caso (a)
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Caso (b.1): esculturas de Alfaro
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Caso (b.2)
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Plano tangente
En el ultimo caso (existen las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones y estan todas en un mismo plano), a este plano sele llama plano tangente a f en el punto (x0, y0), y puede verseque su ecuacion es
z = f (x0, y0) + D1f (x0, y0)(x − x0) + D2f (x0, y0)(y − y0)
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Derivadas direccionales y continuidad
La existencia de las derivadas parciales en un punto o, masaun, de todas las derivadas direccionales, no implica lacontinuidad de la funcion en ese punto.
Ejemplo: f (x , y) = xy2
x2+y4 si (x , y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0. Existentodas las derivadas direccionales en (0, 0) pero no es continua.
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1 Derivadas parciales
2 Derivadas direccionales
3 Derivadas parciales de orden superior
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Derivadas parciales de orden superior
Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces su derivada parcialprimera en cada (x , y) es
∂f∂x
(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x
que es tambien una funcion de dos variables y tiene derivadasparciales que son derivadas parciales de f de segundo orden:
∂2f∂x2 (x , y) = 12x cos(x2 + y2)− 8x3 sen(x2 + y2)
∂2f∂y∂x
(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)
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Derivadas parciales de orden superior
Del mismo modo, como
∂f∂y
(x , y) = 4xy cos(x2 + y2)2x
sus derivadas parciales son
∂2f∂x∂y
(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)
∂2f∂y2 (x , y) = 4x cos(x2 + y2)− 8xy2 sen(x2 + y2)
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Derivadas parciales de orden superior
En general, se definen las 4 derivadas parciales de f desegundo orden como:
∂2f∂x2
(x , y) =∂
∂x
(∂f∂x
)(x , y) o bien D11f (x , y) = D1 (D1f ) (x , y)
∂2f∂y2
(x , y) =∂
∂y
(∂f∂y
)(x , y) o bien D22f (x , y) = D2 (D2f ) (x , y)
∂2f∂y∂x
(x , y) =∂
∂y
(∂f∂x
)(x , y) o bien D12f (x , y) = D2 (D1f ) (x , y)
∂2f∂x∂y
(x , y) =∂
∂x
(∂f∂y
)(x , y) o bien D21f (x , y) = D1 (D2f ) (x , y)
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Teorema de Schwarz
Teorema
Si∂2f
∂y∂xes continua en un punto (x , y) y si
∂f∂y
existe en un
entorno de (x , y), entonces existe∂2f
∂x∂y(x , y) =
∂2f∂y∂x
(x , y)
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Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de nvariables. Ası, por ejemplo, una funcion f (x1, x2, . . . , xn) tiene nderivadas parciales en cada punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, quedenotamos por
Dk f (x1, x2, . . . , xn) o por∂f∂xk
(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n
y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, quedenotamos por
Dij f (x1, x2, . . . , xn) o por∂2f
∂xj∂xi(x1, x2, . . . , xn), i , j = 1, 2, . . . , n
El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertascondiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden:
Dij f (x1, x2, . . . , xn) = Dji f (x1, x2, . . . , xn)
∂2f∂xj∂xi
(x1, x2, . . . , xn) =∂2f
∂xi∂xj(x1, x2, . . . , xn)